6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 题型一：由坐标判断向量是否共线 【例1】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【变式1-1】已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，． (1)求和的值； (2)若向量，，证明：． 【变式1-3】对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． (1)求下列行列式的值： ①；② (2)求证：向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示） 题型二：由向量共线（平行）求参数 【例3】已知向量，若，则正数（   ） A． B． C．1 D． 【例4】已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】已知向量且向量方向相反，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【变式2-3】设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 题型三：由坐标解决三点共线问题 【例5】已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【例6】若三点（）共线，则 . 【变式3-1】已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为 ． 【变式3-3】某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 题型一：由坐标判断向量是否共线 【例1】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 【例2】已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)， (2)共线 【详解】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 【变式1-1】已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由，得与不共线，A不是； 对于B，由，得与不共线，B不是； 对于C，由，得与不共线，C不是； 对于D，由，得，D是. 故选：D 【变式1-2】已知，． (1)求和的值； (2)若向量，，证明：． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以． 所以． （2）证明：因为 ， 所以，所以． 【变式1-3】对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． (1)求下列行列式的值： ①；② (2)求证：向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示） 【答案】(1)①1； ②0 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【详解】（1）①由题意可得：； ②由题意可得：. （2）若向量与向量共线，则： 当时，有，即， 当时，有，即，所以必要性得证. 反之，若，即， 当c，d不全为0时，即时， 不妨设，则，可得， 因为，则， 可得，则与共线， 当且时，，则与共线，充分性得证； 综上所述：向量与向量共线的充要条件是. （3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得： ，③ 同理，消去x，得：，④ 当时，即时，由③④得： ，， 所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出x、y，从而得出其有唯一解的条件. 题型二：由向量共线（平行）求参数 【例3】已知向量，若，则正数（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意得， 因为，所以，即， 解得或（舍去）， 故选：C 【例4】已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】向量，，由，得， 解得或，由能推出或成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-1】已知向量且向量方向相反，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量且向量方向相反， 当时，，不满足题意， 当时，，解得，且， 所以，，且， 经检验只有满足题意， 故选：D 【变式2-2】设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 【变式2-3】设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，∴， 点在直线上，且， ∴，或， 故，或， 故点坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的差是解答的关键． 题型三：由坐标解决三点共线问题 【例5】已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 【例6】若三点（）共线，则 . 【答案】/ 【详解】因为三点共线， 所以，， 所以，即，又， 所以，所以. 故答案为： 【变式3-1】已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【变式3-2】在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】A，B，C三点能构成三角形，则与不共线， ，若与共线，则有，解得， 若A，B，C三点能构成三角形，即实数m的取值范围为. 故答案为： 【变式3-3】某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知：，，， 所以， ， 因为三点恰好共线， 所以， 所以， 解得. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$