6.3.3平面向量加、减法运算的坐标表示-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.3平面向量加、减法运算的坐标表示 题型一：平面向量线性运算的坐标表示 【例1】已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【例2】如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，四点在边长为1的正方形网格的格点处．若．则（   ）    A．1 B．2 C． D． 【变式1-2】已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，，，在边上，延长到，使.若，则 . 题型二： 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题 【例3】在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【例4】在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 . 【变式2-1】在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 【变式2-2】已知点. (1)已知点，以为一组基底来表示； (2)若，且点在第四象限，求的取值范围. 【变式2-3】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．设． ①当时，t= ； ②若，则t的最大值是 ． 题型三：线段的定比分点 【例5】已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【例6】已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【变式3-1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 【变式3-3】如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.3平面向量加、减法运算的坐标表示 题型一：平面向量线性运算的坐标表示 【例1】已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）由已知得，，． ； （2）设为坐标原点． ，，， 又，， ，． 【例2】如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 【变式1-1】如图，四点在边长为1的正方形网格的格点处．若．则（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】建立平面直角坐标系，如图.    则,,,, 所以,,, 由可得， 即，解得，，所以. 故选：A. 【变式1-2】已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 【变式1-3】在中，，，，在边上，延长到，使.若，则 . 【答案】4 【详解】如图，建立平面直角坐标系，    则，可知， 设， 可得， 因为， 则，解得， 且，可得，， 所以. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：建系，根据可设，进而结合题意运算. 题型二： 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题 【例3】在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【例4】在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 . 【答案】 【详解】设，如图所示， 因为对任意的实数，都有恒成立， 由恒成立，则， 因为，，所以，，所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：.    【变式2-1】在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】构建如下直角坐标系：，令，， 由可得：， 则且， 所以当时，的最大值为. 故选：C 【变式2-2】已知点. (1)已知点，以为一组基底来表示； (2)若，且点在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由已知得：， 所以. 由题设，存在实数使得， 则，即， 可得，解得. 所以 （2）设，则， 又， 则，即，又点在第四象限， 所以，解得：，故的范围是. 【变式2-3】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．设． ①当时，t= ； ②若，则t的最大值是 ． 【答案】 0 【详解】由题可建立平面直角坐标系，则， ∴， ∴， ∴当时，， 因为，要使t最大， 可取，即时， t 取得最大值是. 故答案为：0；. 题型三：线段的定比分点 【例5】已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 【例6】已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 【变式3-1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【变式3-2】设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 【答案】C 【详解】由已知不妨设， 则， 因为C、D和谐分割点A、B， 所以， 所以， 代入得，（*） 若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故A错误； 若是靠近点A的线段AB的三等分点， 则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故B错误； 若C，D同时在线段AB上，则，则， 当时，，此时符合题意， 所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确； 若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则， 所以，这与矛盾， 所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误. 故选：C. 【变式3-3】如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【答案】，证明见解析. 【详解】解：结论． 证明如下： 证明：因为， 所以， 同理可得， 所以， 又，， 所以，… 综上所述，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$