精品解析：山东省济南市长清区2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试题

九年级阶段检测 数 学 试 题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．本试题共 8 页，满分 150 分， 考试时间为 120 分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、 准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 拋物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性相同．如果有两辆汽车经过该路口，那么这两辆车都直行的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 8. 已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点D，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上存在四个“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 如果，那么锐角的度数是_______ 12. 在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为______个． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，求方程的另一根是______． 14. 如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图像上， 且， 则的值为_______． 15. 如图，在矩形中，，，，将沿着折叠，若点B的对应点F恰好落在矩形的对角线上，则a的值为_______________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：． 19. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） （1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； （2）求棚顶边缘点E到地面的距离． 21. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图      初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 （1）本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； （4）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 22. 某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）商家不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内． （1）点的坐标为 ； （2）将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式； （3）在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，． （1）求b，c的值； （2）如图2，点P是直线下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作轴于点D，与交于点Q．若，求点P的坐标； （3）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m的值． 25. 综合实践课上，老师带领同学们进行如下操作、探究： 第一步：将长宽比为的矩形纸片（）的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：连接，沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，然后把纸片展平，连接并延长，交于点； 【问题解决】 （）与的数量关系为________，位置关系为________； 【问题拓展】 第三步：如图②，沿剪载，得到四边形，将沿翻折，点的对应点为． （）点是否在上？若在，请判断并说明与的数量关系；若不在，请说明理由； 【拓展研究】 第四步：如图③，是上一点，将沿翻折得到，与交于点． （）已知，当是直角三角形时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测 数 学 试 题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．本试题共 8 页，满分 150 分， 考试时间为 120 分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、 准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，靠近上部分有一条横着的实线，靠近下部分有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ． 故选：C． 2. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 3. 拋物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，即可得到该抛物线的顶点坐标， 熟练掌握二次函数的顶点式是解决此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 4. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性相同．如果有两辆汽车经过该路口，那么这两辆车都直行的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有9种情况，两辆车都直行的有1种， ∴两辆车都直行的概率是， 故选：A． 5. 如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图 ∵ ． ∴，，， ∵ ， ∴， ∴，即 ∴， 故选：C． 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，求得，，的值是解题关键．先把点，，代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图像上， ∴，，， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的正半轴相交， ， 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点D，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顶角是36°的等腰三角形是黄金三角形， ∴是黄金三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，角平分线的作法，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及黄金分割的定义是解题的关键． 10. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上存在四个“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据“a方内点”的定义，结合一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”； 同理可求：，，也是函数图像上的“2方内点”，故②正确； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③不正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确； 故正确的有①②④， 故选：A． 【点睛】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解答本题的关键． 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 如果，那么锐角的度数是_______ 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．用总球的个数乘以摸到红球的概率，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：，即估计这个口袋中红球的数量为个， 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，求方程的另一根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，由已知根和常数项可求另一根． 【详解】解：设方程的另一根为，则，则， 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图像上， 且， 则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，三角函数，利用相似三角形的性质得到、之比是解答本题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，根据条件可证明，得到，根据反比例函数的比例系数的几何意义得出，，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图像上， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，，将沿着折叠，若点B的对应点F恰好落在矩形的对角线上，则a的值为_______________． 【答案】12或 【解析】 【分析】如图：当在对角线上，根据矩形的性质及折叠的性质得：、、，进而可在中由勾股定理求出，由，则，据此可在中利用勾股定理构造关于的方程求解即可．如图：当在对角线上，证明，然后根据相似三角形的性质列式即可解答． 【详解】解：①如图：当在对角线上，连接， ∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质得：、、， ∵对应点落在矩形的对角线上， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． ②如图：当在对角线上，连接， ∵将沿着折叠，若点的对应点落在矩形的对角线上， ， ∴是的垂直平分线，即， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，即，解得：， 综上，的值为12或． 故答案为：12或． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握图形的折叠变换以及运用勾股定理构造方程是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． （1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：提出x得： ∴或 ∴或 故答案为：或 【小问2详解】 解： ∴或 故答案为：或 18. 如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：． 【答案】 证明：菱形， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】利用已知条件与菱形的性质，可证明，即可得证． 【详解】略 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 19. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，，． 20. 如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） （1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； （2）求棚顶边缘点E到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【小问1详解】 解：过点E作于点G，过点D作于点H， ， ， ， 答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为． 【小问2详解】 解：过点C作于点P，于点K， ， ， ， ， ， ， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 21. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图      初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 （1）本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； （4）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】（1）120；72 （2） 良好的人数为：人； （3）136 （4）选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． （1）由“一般”人数除以“一般”所对应的扇形的百分数，得出总人数；再由“优秀”所对应百分比乘以360°，得出扇形的圆心角度数； （2）按照良好的百分比乘以总人数120，补充统计图即可； （3）根据比赛成绩良好的占比乘以340即可求解； （4）画出树状图，由概率公式即可得出答案； 【小问1详解】 人； “优秀”的百分比为： 对应的度数为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人； 【小问4详解】 画树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 22. 某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）商家不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？ 【答案】（1） （2）70；4500元 （3）65 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每分钟多销售5袋，写出y与x的函数关系式即可； （2）根据每分钟获得的利润w元等于每袋的利润乘以销售量，列出关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据从每分钟利润中捐出500元后每分钟利润不低于3875元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， y与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 抛物线开口向下， 当时，最大，最大值是4500， 答：销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 整理，得， ， ， 为了让消费者获得最大的利益， ， 答：此时大米的销售单价是65元． 【点睛】此题考查了一次函数、二次函数与一元二次方程的应用，弄清题目中的数量关系，建立函数模型，熟练掌握利用配方法求二次函数的最值是解答此题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内． （1）点的坐标为 ； （2）将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式； （3）在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）此时的值为 ；反比例函数解析式为； （3）存在，满足要求点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出，从而得出，，再结合点，的坐标即可求出点的坐标； （2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点，的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于，的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）先求出点，的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 如图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，则 ， 点的坐标为，的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 由题意，得正方形沿轴向上平移了个单位长度． 点的坐标为，的坐标为， 和的坐标分别为，， 设点，落在反比例函数的图像上， 则，解得， 所以解得， 即这个反比例函数的表达式为； 【小问3详解】 存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以，，，四点为定点的四边形是平行四边形． 设，由（2）知和点的坐标分别为，， 当为平行四边形的边时，则∥，， 点的坐标为或， 把代入中，得，解得 点的坐标为， 把代入中，得，解得 点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 的中点坐标为， 点的坐标为，把点坐标带入中，得，解得， 点的坐标为， 综上所述，满足要求的点的坐标为或或 【点睛】本题考查了是反比例函数与正方形结合的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解题的关键是证明全等三角形和分情况讨论． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，． （1）求b，c的值； （2）如图2，点P是直线下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作轴于点D，与交于点Q．若，求点P的坐标； （3）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m的值． 【答案】（1），c的值分别为， （2） （3）m的值为或2 【解析】 【分析】此题是二次函数和一次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）求出，，进一步即可求出b，c的值； （2）由（1）知抛物线的解析式为．设，则．求出直线的解析式为，则，得到，．根据得到方程，解方程即可求出答案； （3）求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．当时，，当时，．根据m的取值范围分段进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， ． 把代入， 得， 解得， ，c的值分别为， 【小问2详解】 由（1）知抛物线的解析式为． 设，则． 由，， 设直线直线BC的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ， ，． ， ， 整理，得， 解得，（舍去）． 当时，， ， 即当时，点P的坐标为． 【小问3详解】 由（1）知抛物线的解析式为， 则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 当时，， 当时，． 当，即 时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得（舍去）或（舍去）； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得（舍去）或（舍去）； 综上所述，此时m的值为或2． 25. 综合实践课上，老师带领同学们进行如下操作、探究： 第一步：将长宽比为的矩形纸片（）的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：连接，沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，然后把纸片展平，连接并延长，交于点； 【问题解决】 （）与的数量关系为________，位置关系为________； 【问题拓展】 第三步：如图②，沿剪载，得到四边形，将沿翻折，点的对应点为． （）点是否在上？若在，请判断并说明与的数量关系；若不在，请说明理由； 【拓展研究】 第四步：如图③，是上一点，将沿翻折得到，与交于点． （）已知，当是直角三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（），；（）点在上，；（）或 【解析】 【分析】（）由“”可证，可得 ，，可证； （）通过证明，可得，则点在上，通过证明，可得，据此即可求解； （）先求出，，，由相似三角形的性质可求的长，再分和讨论，由直角三角形的性质可求的长，即 可求解． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （）点在上，，理由如下： 由（）得，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在上， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $