精品解析：浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题B卷

杭州二中2024学年第一学期期末考试 高二年级 数学试题B卷 命题：贺晟 校对：陈炜 审核：王彩娟 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 4与9的等比中项为（ ） A 6 B. C. D. 6.5 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 4. 在正方体中，分别为和中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前项和为，已知．，则等差数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 若直线与交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，则的最大值为（ ） A. 420 B. 380 C. 342 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若空间向量、、，满足，，则 B. 若直线方向向量为，平面的法向量为，则 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若、是两个单位向量，则 10. 已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 不可能是等差数列 B. 若，则 C. 是等差数列 D. 若单调递减，则单调递增 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线为 B. 若直线过点，则 C. 抛物线上到直线距离为的点共有个 D. 的周长大于 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，已知，，则公比______． 13. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 14. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）求的取值范围； （2）若，过作圆的切线，求切线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 18. 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． （1）求的方程； （2）设点，过直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数． （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2024学年第一学期期末考试 高二年级 数学试题B卷 命题：贺晟 校对：陈炜 审核：王彩娟 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 4与9的等比中项为（ ） A. 6 B. C. D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的概念计算即可. 【详解】设4与9的等比中项为，则，所以或. 故选：C 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，所以，， 因此，圆与圆相交. 故选：A. 4. 在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，转化为求解两向量夹角的余弦值即可. 【详解】设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 则， 又异面直线与所成角为锐角， 则异面直线与.所成角的余弦值为. 故选：B. 5. 已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 6. 设等差数列的前项和为，已知．，则等差数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算公式求解. 【详解】因为为等差数列，所以. 所以，又，所以或. 若，则； 若，则. 故选：C 7. 若直线与交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过的定点以及圆的圆心和半径，根据弦长问题可求得最值. 【详解】第1步：求解直线恒过的定点及圆的圆心、半径， 直线的方程可化为，故恒过定点， 又的圆心，半径为4． ， 第2步：求解直线与圆相交弦长， 点到圆心的距离为， 故在的内部，如图，设到的距离为，则， 第3步：判断弦长最小时的位置，并求解 要使最小，只需最大， 当时，有最大值，且， 故的最小值为． 故选：C. 8. 已知数列满足，，则的最大值为（ ） A. 420 B. 380 C. 342 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】条件可变形为①，将代入递推公式可得或；当时，②. ①-②化简变形可得或.当时，或； 当时，，故数列是以为首项，公差为2的等差数列.由等差数列通项公式可得，再利用累加法即可求解. 【详解】，①. 当时，，解得或. 当时，②. ①-②得， 或. 当时，或； 当时，， ∴数列是以为首项，公差为2的等差数列. 要使取得最大值，则，， 由等差数列通项公式可得. ，，，…，， 以上式子相加得 ， . 故的最大值为420. 故选：A. 【点睛】本题考查求数列通项公式与数列求和，解题关键是当时，两条件式作差变形后可得或.对第二种情况变形后利用等差数列通项公式与累加法即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若空间向量、、，满足，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若、是两个单位向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量相等的传递性可判断A选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断B选项；利用空间直角坐标系中点的对称性可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，若空间向量、、，满足，，则，A对； 对于B选项，因为，则，所以，或，B错； 对于C选项，点关于平面对称的点的坐标是，C错； 对于D选项，若、是两个单位向量，则，D对. 故选：AD. 10. 已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 不可能是等差数列 B. 若，则 C. 是等差数列 D. 若单调递减，则单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】通过举反例的方法判断A、D；在等差数列中，由得，再利用等差数列通项的性质可判断B；利用等差数列的定义结合等差数列的前项和公式及等比数列的定义即可判断C. 【详解】对于A，当等比数列的公比时，，是等差数列.故A不正确. 对于B，在等差数列中中，由得， ∴，即，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 则为常数. 所以是等差数列；故C正确； 对于D，令，显然单调递减，单调递减，故D不正确. 故选：BC. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线为 B. 若直线过点，则 C. 抛物线上到直线距离为的点共有个 D. 的周长大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线方程求准线方程，判断A的真假；求出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断B的真假；根据直线与抛物线的交点个数判断C的真假；根据抛物线的定义可求周长的最小值，判断D的真假. 【详解】对于A选项，因为抛物线，所以其准线方程为，故A正确； 对于B选项，直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 设点、，联立可得，， 由韦达定理可得，此时，，故B正确； 对于C选项，因为直线的方程为. 到直线的距离为的点的轨迹方程设为. 由或. 当时，由. 因为，所以方程有两个不同的解； 当时，由. 因为，所以方程有两个不同的解. 所以抛物线上到直线距离为的点共有个，故C错误； 对于D选项，过作与准线垂直，垂足为，交抛物线于点， 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点， 则， 当且仅当与重合时等号成立，且. 所以周长的大于等于， 当点坐标为时取“”，但此时与抛物线只有一个交点， 故等号不可取，故的周长大于，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：涉及抛物线中线段和最小的问题，一般要借助抛物线的定义转化为点到直线的距离求最小值. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，已知，，则公比______． 【答案】 【解析】 【分析】将用首项和公比来表示，建立关于公比的等式求解即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 13. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，且，结合，即可求解. 【详解】由题意，点和，可得，且， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 14. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出，在利用分别为的中点，得出四边形为矩形，再利用双曲线的定义列出等式，即可求出离心率. 【详解】 根据对称性设A在第一象限，设，分别为的中点,所以, 因为，所以,即四边形为矩形， ,因为，则， 则，即，即，则，则左焦点， 右焦点，则，解得，即，则双曲线的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）求的取值范围； （2）若，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆可得答案； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为， 即. 综上所述，切线的方程为，或． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 又因为， 所以，而，且平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，而， 于是建立如图所示空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式； （2）利用“错位相减法”求数列的前项的和. 【小问1详解】 当时，. 当时，，用代替，可得：. 两式相减得：， 又， 所以 是以3为首项3为公比的等比数列，所以 . 【小问2详解】 ， 所以： 两式相减得：， 所以： . 18. 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． （1）求方程； （2）设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义个焦半径公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分两种情况讨论，①直线与轴重合，求出的值；②直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求出的取值范围，综合可得答案. 【小问1详解】 因为是椭圆上任意一点，且的周长为，则，可得， 设点，则且，所以，， 易知，则 ， 所以，的最小值为，所以，，解得，则， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 如下图所示： 若直线与轴重合时，此时，，则， 若直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以， . 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数． （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可； （2）求出表达式，再分段求和即可.通过参变分离求最值即可求解； 【小问1详解】 点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 故数列的奇数项构成1为首项，4为公差的等差数列，偶数项构成2为首项，4为公比的等比数列， 由等差数列求和公式及等比数列求和公式可得： 所以等价于： 化简可得： ， 令，则，当且仅当时取等号，等号无法成立， 当，即时，；当，即时，； 所以， 所以的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $