精品解析：湖南省部分学校2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数是纯虚数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a值. 【详解】由，因为纯虚数，所以,解得 故选:B 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念进行判断即可. 【详解】由. 由不能推出，而可以推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据点到渐近线的距离列出关于的方程，解出后计算虚轴长. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，即. 点到渐近线（取这条渐近线计算，取另一条结果相同）的距离， 已知距离，则. 即，两边同时平方可得，解得. 把代入可得虚轴长为. 故选：B. 4. 已知的内角的对边分别是，且，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理，，于是，结合， 于是. 故选：A 5. 废弃矿山治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】根据容斥原理的概率公式计算可得答案. 【详解】设甲存活为事件，乙存活为事件，则，， 则甲乙至少有一种存活的概率为 ， 则所以甲、乙都存活的概率为. 故选：D 6. 已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若圆台上下底面半径分别为且，根据已知列方程求得，再应用圆台的表面积的求法求结果. 【详解】若圆台上下底面半径分别为且，则圆台轴截面腰长为， 所以，，即， 所以，可得，故， 综上，圆台的表面积为. 故选：C 7. 已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先把转化成：，再求的最大值即可. 【详解】如图： 因为， 所以. 取中点，则， 因为，所以设，， 则，， 所以， 当时，为最大值. 此时为最大值. 故选：D 8. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若存在正整数，使得，则的所有可能取值的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据，得到，利用等差数列的前项和公式，结合条件，得到，再利用，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题有，整理得到， 又，所以， 整理得到，将代入得到， ，又，则或或， 解得或或（舍）， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列结论可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过选取不同的值，确定相应的区间，再根据正弦函数的性质来找出每个区间上的最大值，进而分析选项. 【详解】对于选项A，当取时，考虑函数. 对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值. 对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项A可能成立. 对于选项B，当取时，考虑函数. 对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值. 对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项B可能成立. 对于选项C，当取时，对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，和时取得最大值，所以该区间上的最大值. 对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项C可能成立. 对于选项D， 当时，区间和至少含有半个周期，则；当时，函数在区间上的存在使，即.故D不成立. 故选：ABC. 10. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 与所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定方法判断A的真假；判断直线与的位置关系，判断B的真假；求三棱锥的体积判断的真假；构造异面直线所成的角并求其余弦，判断的真假. 【详解】对选项A：因为，平面，平面，所以平面，故A正确； 对B：如图： 取中点，连接，. 因为，所以. 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面. 平面，所以. 在直角中：， ， 所以. 又，所以，又为中点，所以与不垂直. 所以平面是错误的，故B错误； 对C：因为， 所以，故C正确； 对D：取中点，连接，. 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，所以. 在中，，， 所以，故D错误. 故选：AC 11. 已知曲线和相切，且曲线和抛物线围成封闭曲线，过的焦点的动直线与交于两点，过线段的中点作垂直于的准线的直线，垂足为为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 不大于点到轴的距离的4倍 D. 若的斜率为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由解析式求得圆心，由两圆相切求得半径，判断A选项；取点在上，且三点共线，求此时，判断B选项；分类讨论点在，设出点坐标，由作差法比较与点横坐标的4倍的大小，判断C选项；由斜率写出直线方程，联立方程组后化简为一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标的关系，从而得到中点坐标，然后得到点坐标，写出向量，由向量的数量积来判断直线的位置关系判断D选项. 【详解】如图：，， ∵圆与圆相切，∴，即，∴，A选项正确； 当直线与曲线交于圆上时，三点共线时最大， 此时，B选项错误； 当点在曲线上时，设，，即， ； 当点曲线上时，设，， ； 由对称性可知当点在曲线上时，结论也成立，C选项正确. 若的斜率为时，，显然此时直线与曲线交于， 则，整理得， 设，，则，， 即，则， 所以， ∴， ， ， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题时解析几何的综合题目，难度较大.在解决这类题目的时候一般采用数形结合，通过图形观察可以找到特殊点进行排除.在解析几何中证明直线垂直，可以利用向量的数量积为0来证明. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某蔬菜种植基地最近五年的年投资成本（万元）和年利润（万元）的统计表如下： 10 11 12 13 14 11 12 19 若关于的线性回归方程为，则的平均数______． 【答案】## 【解析】 【分析】因为线性回归方程过样本中心点，将代入即可. 【详解】因为线性回归方程过样本中心点,将代入得 故答案为： 13. 已知函数的图像与直线相切，且与直线仅有一个交点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】写出函数的导数，由题意分析得且存在唯一零点，且函数单调递增，由判别式求得的关系，代回求得对应横坐标，由图像与直线相切得到，求得的值，从而得到结果. 【详解】， 由题意知函数单调递增，且且存在唯一零点， ∴，即， ∴，， 则， 则，∴， ∴. 故答案为：6. 14. 记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得. 【详解】若函数值域为， 记， 则，故， 由，得，且， 所以，又， 所以， 故. 则由且， 可得， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列前项和． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列前项和与的关系求的通项公式.（2）先求出的表达式，再根据其特点进行求和. 【小问1详解】 当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. 【小问2详解】 已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 16. 如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，再证四边形为平行四边形，进而得，最后应用线面平行的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 如图，分别取的中点，连接，则． 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，．同理，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故，又， 所以，又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 则，，． 设平面的法向量为，则，令，得． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数的解析式求得其导数，由导数求得递减区间，由导数求得递增区间； （2）将不等式进行转化，在已知条件下，所以不等式转化为，设函数，求导数，由解析式可知递增，由函数零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到函数单调区间并得到函数最小值，证明函数最小值大于等于0即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以． 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 要证明， 即证明， 因为，且，所以， 故只需证明，即． 设，则． 易知在上单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得，即，． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以， 故原命题成立． 18. 已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与轴的交点，且点在的上方． （1）求的方程； （2）若过的直线与交于另一点（异于点），作，为垂足，直线，的斜率分别为，证明：； （3）若点在上，且，证明直线过定点，并求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）整理曲线方程，由题意知长轴为4，求得，从而求出曲线方程； （2）写出点坐标，设，得到斜率，由求，然后得到，由在曲线上求得即可得结果； （3）设，，写出直线的方程，联立方程组后整理成一元二次方程，由韦达定理得到横坐标的关系. 因为，所以建立方程解出的值.代回直线方程知道直线过定点，结合交点弦长公式求得，由基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 由题可知， 该方程表示焦点在轴上的椭圆，任意两点间的最大距离为长轴长， 所以，解得， 故的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，． 设，则． 因为，所以， 所以． 又，故，即． 【小问3详解】 由题可知直线的斜率存在． 设，，直线的方程为， 联立方程得消去可得， 则，（*）． 因为，所以， 即， 将（*）式代入，可得，即， 解得或（舍去）， 所以的方程为，易知过定点． 因为点到点的距离为， 所以 ， 令，则 ， 当，即时，取得最大值2， 所以面积的最大值为． 【点睛】方法点睛，本题是圆锥曲线的综合题目.在解析几何中已知线线垂直，可以利用斜率乘积为1来建立等式求得参数的值.直线与圆锥曲线产生的交点三角形问题，由直线方程和曲线方程联立整理得到一元二次方程，由韦达定理结合交点弦长公式得到弦长，然后求得三角形的高即可得到三角形面积. 19. 甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，乙袋中的小球分别编号为．从甲袋中任取两个小球，编号记为，从乙袋中任取两个小球，编号记为． （1）若，设，求的分布列和数学期望． （2）设，，事件“”发生的概率记为． （ⅰ）用含的组合数表示； （ⅱ）证明：当时，． 附：． 【答案】（1）分布列见解析，2 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先确定的所有可能取值，然后分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望.（2）（i）要根据的条件，找出满足条件的组合情况，并用组合数表示；（2）（ii）需要通过对的表达式进行分析和推导，结合函数的性质来证明不等式. 【小问1详解】 当时，甲袋中的小球编号分别为． 因为，所以的所有可能取值为， ，，，． 故的分布列为 1 2 3 4 ． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，必有，此时． 当时，与的所有可能取值为． 若，则任取，令，即可满足条件，故共有种取法； 若，因为，所以，所以，故共有种取法； 若，因为，所以，所以，故共有种取法． 依次类推，可知满足与满足的取法均有种，其中． 又从两个袋中各任取两个球有种取法，故． 综上，（其他等价结果也对） （ⅱ）当时， ． 又 ， 所以． 所以， 当时，，所以， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数纯虚数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. “”是“”的（ ） A 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知内角的对边分别是，且，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5. 废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 6. 已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知公差不为等差数列的前项和为，且，若存在正整数，使得，则的所有可能取值的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列结论可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 与所成角的余弦值为 11. 已知曲线和相切，且曲线和抛物线围成封闭曲线，过的焦点的动直线与交于两点，过线段的中点作垂直于的准线的直线，垂足为为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 最大值为 C. 不大于点到轴的距离的4倍 D. 若的斜率为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某蔬菜种植基地最近五年的年投资成本（万元）和年利润（万元）的统计表如下： 10 11 12 13 14 11 12 19 若关于的线性回归方程为，则的平均数______． 13. 已知函数的图像与直线相切，且与直线仅有一个交点，则______． 14. 记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，证明：当时，． 18. 已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与轴的交点，且点在的上方． （1）求的方程； （2）若过的直线与交于另一点（异于点），作，为垂足，直线，的斜率分别为，证明：； （3）若点在上，且，证明直线过定点，并求面积的最大值． 19. 甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，乙袋中的小球分别编号为．从甲袋中任取两个小球，编号记为，从乙袋中任取两个小球，编号记为． （1）若，设，求的分布列和数学期望． （2）设，，事件“”发生的概率记为． （ⅰ）用含的组合数表示； （ⅱ）证明：当时，． 附：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$