6.3平面向量基本定理及坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 谢谢观看！ Thank you for watching 课前篇·自主梳理巩固基础 [笔记教材] 知识点1　平面向量的正交分解及坐标表示 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标表示 如图所示，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)．　① 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示． 显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 在平面直角坐标系中，若A(x，y)，O为坐标原点，则Oeq \o(A,\s\up14(→))＝(x，y)；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Aeq \o(B,\s\up14(→))＝(x2－x1，y2－y1)．因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 知识点2　平面向量线性运算的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 知识点3　平面向量共线的坐标表示 (1)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a∥b且x2y2≠0时，有eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即两向量相应坐标成比例． (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，要证这三点共线，只需证明Aeq \o(B,\s\up14(→))与Beq \o(C,\s\up14(→))共线，又Aeq \o(B,\s\up14(→))＝(x2－x1，y2－y1)，Beq \o(C,\s\up14(→))＝(x3－x2，y3－y2)，所以只需证明(x2－x1)(y3－y2)－(x3－x2)(y2－y1)＝0即可． [重点理解] 1．关于平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标保持不变． 2．点的坐标与向量的坐标 (1)区别： ①表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； ②意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：在平面直角坐标系中，当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 3．关于平面向量的坐标运算 (1)平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标． (2)进行向量的坐标运算时，要结合向量运算的三角形法则和平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算． 4．要正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算． (3)a∥b⇔eq \f(x1,y1)＝eq \f(x2,y2)，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． [自我排查] 1．(多选)下列说法正确的有(　 　) A．向量的坐标即此向量终点的坐标 B．位置不同的向量其坐标可能相同 C．一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标 D．相等向量的坐标一定相同 BCD 解析：向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故A错误，B，C，D正确．故选BCD． 2．已知eq \o(MN,\s\up14(→))＝(2,3)，则点N位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 解析：因为起点M的位置不确定，所以终点N的位置也不确定．故选D． D 3．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝(　　) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析：因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)．故选A． A 4．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq \o(AB,\s\up14(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x的值为(　　) A．－1 B．－1或4 C．4 D．1或－4 解析：∵eq \o(AB,\s\up14(→))＝(2,0)，又∵a＝eq \o(AB,\s\up14(→))， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.故选A． B 5．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　) A．±2 B．2 C．－2 D．0 解析：由a，b共线得k2＝4，所以k＝±2，又两个向量的方向相反， 故k＝－2.故选C． C 课堂篇·重点难点研习突破 研习1 平面向量的坐标表示 [典例1]　在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． [思路点拨]　题目的图示中给出了向量a，b，c的方向及与坐标轴的夹角，要想求出向量的坐标，则需先将向量a，b，c正交分解成横、纵坐标的形式，进而再写出它们的坐标表示． [解]　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)． 则x1＝|a|·cos 45°＝eq \r(2)，y1＝|a|·sin 45°＝eq \r(2). 同理x2＝－eq \f(3,2)，y2＝eq \f(3\r(3),2)；x3＝2eq \r(3)，y3＝－2. 所以a＝(eq \r(2)，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq \r(3)，－2)． [巧归纳]　1.向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算． 2．求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标． [练习1]　如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(AD,\s\up14(→))的坐标． 解：由题意知，B，D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由三角函数的定义， 得x1＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin 30°＝eq \f(1,2)， 所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))； x2＝cos 120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin 120°＝eq \f(\r(3),2)， 所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). 所以eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). 研习2 平面向量的坐标运算 [典例2]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \o(AB,\s\up14(→))＝a，eq \o(BC,\s\up14(→))＝b，eq \o(CA,\s\up14(→))＝c，且eq \o(CM,\s\up14(→))＝3c，eq \o(CN,\s\up14(→))＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量eq \o(MN,\s\up14(→))的坐标． [思路点拨]　先根据已知条件中点的坐标求出向量a，b，c的坐标，再利用向量坐标的运算法则进行计算求解． [解]　由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.)) (3)设O为坐标原点， ∵eq \o(CM,\s\up14(→))＝eq \o(OM,\s\up14(→))－eq \o(OC,\s\up14(→))＝3c， ∴eq \o(OM,\s\up14(→))＝3c＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)． 又∵eq \o(CN,\s\up14(→))＝eq \o(ON,\s\up14(→))－eq \o(OC,\s\up14(→))＝－2b， ∴eq \o(ON,\s\up14(→))＝－2b＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴eq \o(MN,\s\up14(→))＝(9，－18)． [巧归纳]　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 其主要运算法则为： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，用终点坐标减去起点坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． [练习2]　1.已知平面向量a＝(0,1)，b＝(－1,2)，则向量2a－eq \f(1,3)b等于(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(4,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(4,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(4,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3))) 解析：2a－eq \f(1,3)b＝2(0,1)－eq \f(1,3)(－1,2) ＝(0,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3))). D 2．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→))，连接DC延长至E，使|eq \o(CE,\s\up14(→))|＝eq \f(1,4)|eq \o(ED,\s\up14(→))|，则点E的坐标为________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－7)) 解析：∵eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→))，∴A为BC中点， ∴点C坐标为(3，－6)，又|eq \o(CE,\s\up14(→))|＝eq \f(1,4)|eq \o(ED,\s\up14(→))|，且E在DC的延长线上，∴eq \o(CE,\s\up14(→))＝－eq \f(1,4) eq \o(ED,\s\up14(→))，设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－eq \f(1,4)(4－x，－3－y)． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－\f(1,4)4－x，,y＋6＝－\f(1,4)－3－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝－7.)) ∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－7)). 研习3 向量共线的坐标表示及运算 [典例3]　(1)若向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是(　　) A．(eq \r(3)，－1) B．(－1，－eq \r(3)) C．(－eq \r(3)，－1) D．(－1，eq \r(3)) (2)已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，满足λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？ (1)[思路点拨]　利用向量a，b的坐标计算出a＋2b的坐标，再结合选项给出正确答案． D [解析]　因为a＋2b＝(eq \r(3)，1)＋2(0，－2)＝(eq \r(3)，－3)， D选项，eq \r(3)×eq \r(3)－(－1)×(－3)＝0， 所以(－1，eq \r(3))与a＋2b是共线的向量，D选项正确，经验证，ABC选项皆不满足题意，故选D． (2)[思路点拨]　先求出λa－b与a＋2b的坐标表示，再根据向量平行条件构造关于λ的方程，求出λ的值，最后由λ与0的大小关系判断方向． [解]　λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)， a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)． ∵(λa－b)∥(a＋2b)， ∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－eq \f(1,2). ∴－eq \f(1,2)a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)×2－3，－\f(1,2)＋4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(7,2)))＝－eq \f(1,2)(a＋2b)， 即λa－b＝－eq \f(1,2)(a＋2b)． 故当λ＝－eq \f(1,2)时，λa－b与a＋2b平行，且两向量方向相反． [巧归纳]　1.向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)得出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0进行判断． 2．利用向量共线的坐标运算可证明三点共线问题及线线平行问题等． [练习3]　已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10) 解析：由a∥b⇒m＝－4，得b＝(－2，－4)， 所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选C． C 课后篇·基础达标延伸阅读 1．已知向量a＝(－3,3)，b＝(3，x)，若a与b共线，则x等于(　　) A．－3 B．3 C．1 D．－1 解析：因为a与b共线，则－3x－3×3＝0，解得x＝－3. A 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k，l的值为(　　) A．－2,3 B．－2，－3 C．2，－3 D．2,3 解析：∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)， ∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)． 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(11＝k＋3l，,7＝2k＋l，))解得k＝2，l＝3. D 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)， ∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)， λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)． 又∵(λa＋ub)∥(a＋b)， ∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0，∴λ＝u. λ＝u 4．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求3a＋b－2c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n的值； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值． 解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝ (9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0,6)． (2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9)，)) ∴m＝eq \f(5,9)，n＝eq \f(8,9). (3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)． 又∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－eq \f(16,13). [规范解题]　利用向量共线证明线线平行 [示例]　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up14(→))，eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up14(→))，求证：EF∥AB． [条件分析]　欲证明结论中的EF∥AB需从两点入手：一是证明eq \o(EF,\s\up14(→))∥eq \o(AB,\s\up14(→))，二是强调EF与AB不共线．利用条件求出点E，F坐标，然后由向量共线的坐标运算x1y2－x2y1＝0，得eq \o(EF,\s\up14(→))∥eq \o(AB,\s\up14(→)).接着证明E，F，A三点不共线，则EF与AB不共线，得出结论EF∥AB． [规范解答]　设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由题意，得eq \o(AC,\s\up14(→))＝(2,2)，eq \o(BC,\s\up14(→))＝(－2,3)，eq \o(AB,\s\up14(→))＝(4，－1)． ∵eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up14(→))，∴eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3))). ∵eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up14(→))，∴eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)). ∵(x1＋1，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))). ∵(x2－3，y2＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)). ∴eq \o(EF,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3)))，eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3))) 又∵4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq \f(8,3)×(－1)＝0，∴eq \o(EF,\s\up14(→))∥eq \o(AB,\s\up14(→)). 又∵不存在实数λ，使得eq \o(EF,\s\up14(→))＝λeq \o(AE,\s\up14(→))成立， 故A，E，F不共线， ∴EF与AB不共线，∴EF∥AB． [题后总结]　1.注意区别向量平行与线线平行的联系与区别，两向量平行时，只有两向量所在的直线不共线时，才有两直线平行，应用此知识点时一定要细心． 2．有关向量的坐标运算一定要准确．熟练掌握和应用向量坐标的线性运算法则是解决好此类问题的前提． 课时作业 课时作业(七)　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示　平面向量数乘运算的坐标表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．(多选)下面几种说法中正确的有(　 　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 ABD 解析：由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，ABD正确． 2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq \o(MP,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(MN,\s\up14(→))，则点P的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1) B 3．(多选)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论，正确结论有(　　) A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2 C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点不一定是原点 D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y) AC 解析：由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C正确；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误． 4．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α的值为(　　) A．2 B．eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2) 解析：∵2cos α×1－1×sin α＝0，∴tan α＝2. A 5．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝(　　) A．{(1,1)} B．{(1,2)，(－2，－2)} C．{(－2，－2)} D．∅ 解析：设a∈M∩N，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4μ－3λ＝3，,5μ－4λ＝4.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝0.))所以a＝(－2，－2)． C 6．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是(　 　) A．存在实数x，使a∥b B．存在实数x，使(a＋b)∥a C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b 解析：只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b. ABC 二、填空题 7．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且eq \o(AB,\s\up14(→))与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________. 解析：由题意，得点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则eq \o(AB,\s\up14(→))＝(4,6)．又eq \o(AB,\s\up14(→))与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，得λ＝eq \f(3,2). eq \f(3,2) 8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“⊗”为：m⊗n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为：m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)⊗m＝(5,0)，则(1,2)⊕m＝________. 解析：由(1,2)⊗m＝(5,0)，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p－2q＝5，,2p＋q＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝1，,q＝－2，))∴(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)． (2,0) 三、解答题 9．已知点A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D(x，y)，使eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→)). 解：eq \o(AB,\s\up14(→))＝(1,2)，eq \o(DC,\s\up14(→))＝(3－x,4－y)． 由eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))，得(1,2)＝(3－x,4－y)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝3－x，,2＝4－y，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))所以D(2,2)． 10．已知点A(－1,2)，B(2,8)及eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(DA,\s\up14(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up14(→))，求点C，D和eq \o(CD,\s\up14(→))的坐标． 解：设C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意可得eq \o(AC,\s\up14(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq \o(AB,\s\up14(→))＝(3,6)，eq \o(DA,\s\up14(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq \o(BA,\s\up14(→))＝(－3，－6)． ∵eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(DA,\s\up14(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up14(→))， ∴(x1＋1，y1－2)＝eq \f(1,3)(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－eq \f(1,3)(－3，－6)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝－2.,y2＝0，)) ∴C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)． 因此eq \o(CD,\s\up14(→))＝(－2，－4)． 11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式； (2)若eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(AB,\s\up14(→))，求点C的坐标． 解：(1)由已知，得eq \o(AB,\s\up14(→))＝(2，－2)，eq \o(AC,\s\up14(→))＝(a－1，b－1)． ∵A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up14(→))∥eq \o(AC,\s\up14(→)). ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(AB,\s\up14(→))， ∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3，)) ∴点C的坐标为(5，－3)． 12．已知向量eq \o(OA,\s\up14(→))＝(3，－4)，eq \o(OB,\s\up14(→))＝(6，－3)，eq \o(OC,\s\up14(→))＝(5－x，－3－y)． (1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件； (2)若eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(BC,\s\up14(→))，求x，y的值． 解：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线． 由eq \o(OA,\s\up14(→))＝(3，－4)，eq \o(OB,\s\up14(→))＝(6，－3)， eq \o(OC,\s\up14(→))＝(5－x，－3－y)，得eq \o(AB,\s\up14(→))＝(3,1)， eq \o(AC,\s\up14(→))＝(2－x,1－y)， 所以3(1－y)＝2－x. 所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0. (2)由eq \o(OB,\s\up14(→))＝(6，－3)， eq \o(OC,\s\up14(→))＝(5－x，－3－y)，得 eq \o(BC,\s\up14(→))＝(－x－1，－y)， 由eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(BC,\s\up14(→))得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－x＝－2x－2，,1－y＝－2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－1.)) 13．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示． (1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； (3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标． (1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， ∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立． (2)解：f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)解：设c＝(x，y)， 则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)， ∴y＝p,2y－x＝q，∴x＝2p－q， 即向量c＝(2p－q，p)． 14．已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y＝log2x的图象于C，D两点． 求证：O，C，D三点在一条直线上． 证明：设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)， 则eq \o(OA,\s\up14(→))＝(x1，log8x1)，eq \o(OB,\s\up14(→))＝(x2，log8x2)， 因为eq \o(OA,\s\up14(→))与eq \o(OB,\s\up14(→))共线， 所以x1log8x2－x2log8x1＝0. 又根据题设条件，可知C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)， 所以eq \o(OC,\s\up14(→))＝(x1，log2x1)，eq \o(OD,\s\up14(→))＝(x2，log2x2)． 因为x1log2x2－x2log2x1＝x1log23xeq \o\al(3,2)－x2log23xeq \o\al(3,1) ＝3(x1log8x2－x2log8x1)＝0， 所以eq \o(OC,\s\up14(→))与eq \o(OD,\s\up14(→))共线，又eq \o(OC,\s\up14(→))与eq \o(OD,\s\up14(→))有公共点O，所以O，C，D三点在一条直线上． $$