精品解析：湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

明德中学2024年下学期期末考试 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题：吴洪波 审定：邓朝发 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在第三象限，则角在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a＞b＞c＞0，下列结论中一定正确的是（ ） A. ab＞bc B. C. tana＞tanb D. 10. 要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 11. 已知函数，，有两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中的弧长为的弧长为，则该扇环的面积为__________. 13. 若，则_________． 14. 已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足 （1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式； （2）求该商场日收益的最小值（千元）． 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 19. 已知函数 是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围． （3）设为常数，且 ，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2024年下学期期末考试 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题：吴洪波 审定：邓朝发 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论. 【详解】因为的否定为， 所以选A. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用指数函数的性质比较的大小，再利用幂函数的性质比较的大小，即得解. 【详解】因为是单调递增函数，所以， 因为是单调递增函数，所以 ， 所以. 故选：A. 3. 若，则“”是“”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】运用充分必要条件定义判断求解． 【详解】解：， 当时，即或， 不一定成立 当时，成立， 由充分必要条件定义可判断： “”是“”的必要不充分条件， 故选：． 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点所在区间. 【详解】因为函数，都为上的增函数， 所以函数在R上单调递增， 又，，，， 根据零点存在性定理可知的零点所在区间为. 故选：D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求，注意根据的范围判断符号. 【详解】由，而， ∴， ∴. 故选：C. 6. 已知点在第三象限，则角在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据可判断. 【详解】由题意可知，，则角在第二象限. 故选：B 7. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合幂函数的图象与性质，运用函数的单调性解不等式. 【详解】根据幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数可知且为奇数，又，故，代入得，，由的单调性得，解得： 故选：B 8. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先得周期为4，由此结合对数运算即可进一步求解. 【详解】由是奇函数，∴， 又，∴，所以周期为4． ． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a＞b＞c＞0，下列结论中一定正确的是（ ） A. ab＞bc B. C. tana＞tanb D. 【答案】AD 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，利用特例判断C，构造函数判断D. 【详解】对于A：由于a＞b＞c＞0，所以ab＞bc，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：设，由于函数在（0，＋∞）上单调递增，故当a＞b＞c＞0，不等式成立，故D正确. 故选：AD. 10. 要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论； 【详解】解：将向右平移个单位得到，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，故B正确，A错误； 将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，再将向右平移个单位得到，故D正确，C错误； 故选：BD 11. 已知函数，，有两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，作单位圆，利用面积得到；对于BC选项，画出且且与的函数图象，利用数形结合判断BC选项；对于D选项，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】对于选项A，设，作单位圆，与轴交于，则，过点作垂直于轴，交射线于点,连接， 由三角函数的定义可知，，设扇形的面积为, 则,即，故，当时，有不等式，故A正确； 对于选项B，画出且且与的函数图象，如图可以看出，故，故B不正确； 对于选项C，的最小正周期为，由图象可知，所以，故C正确； 对于选项D，由，推出， 因为，所以 而，但，且在为增函数， 故，故，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数等，可令函数值为0，直接进行求解；（2）转化为两函数图象的交点问题来解决；（3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中的弧长为的弧长为，则该扇环的面积为__________. 【答案】384 【解析】 【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可. 【详解】设该扇形内弧半径为，由弧长公式和已知可得：，解得， 则外弧半径为，所以该扇环的面积为. 故答案为：384. 13. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算律结合立方和公式计算即可. 【详解】若，则． 故答案为：. 14. 已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据得或，问题转化为直线与函数的图象有3交点，结合函数图象可得结果. 【详解】 如图所示，作出函数的图象. 由得，， ∴或， 由图象可得直线与函数的图象有4个交点，故方程有4个不相等的实数根， 要使函数有七个不同的零点，需方程有3个不相等的实数根，即直线与函数的图象有3交点， 结合图象可得，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合，写出时的集合，直接求解即可. （2）将是的充分不必要条件转化为两集合的包含关系，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由得， 解得，即，或， 当时，，或， 所以，或， 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由（1）知：， 所以且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用诱导公式化简即可得到的值； （2）利用诱导公式及二倍角公式化简得出原式等于，分子分母同时除以，化为求解． 【小问1详解】 由可得：， 即， 【小问2详解】 17. 经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足 （1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式； （2）求该商场日收益的最小值（千元）． 【答案】（1）；（2）千元 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可 （1） （2）时，单调递增，最小值在处取到，； 时，单调递减，最小值在时取到， 单调递减，最小值在时取到，则最小值为， 由，可得最小值为．　 答：该商场日收益的最小值为千元．　 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的的取值范围是. 19. 已知函数 是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围． （3）设为常数，且 ，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）由题意得， 即， 故，即， 所以，解得，负值舍去； 函数在R上单调递增，理由如下： 显然在上单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性值，在上单调递增， 又是R上的奇函数，且为连续函数，故在R上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数得到，从而得到方程，求出，并利用复合函数单调性和函数奇偶性得到函数单调递增； （2）不等式变形为，根据的单调性得到，故得到，换元得到，分和时，求出； （3）求出有唯一零点0，得到在区间上有解，显然，令，只需求出的最小值，，根据单调性得到当时，取得最小值，求出的最小值为，从而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对，都有， 即， 由（1）可知在单调递增， 故， 所以只需， 即， 令，则， 因为，所以，则， ， 当时，恒成立， 当时，，其中， 故； 【小问3详解】 在R上单调递增，且， 故有唯一零点0，故，函数在区间上有解， 显然，当时，等号成立， 要求的最小值，且在区间上始终有解， 令，只需求出的最小值， ， 随着的增大，增大， ，先减小，后增大， 且当时，， ， 故， 故当时，取得最小值， 解得， 故的最小值为， 故， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $