拓展5-6 一元函数的导数及其应用高频题型专攻-2024-2025学年高二下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展5-6 一元函数的导数及其应用高频题型专攻 一、导数定义的理解与应用 七、由函数的极值求参数 二、导数的基本运算 八、用导数求函数的最值 三、导数的几何意义与应用 九、由函数的最值求参数 四、用导数求函数的单调性 十、构造法解函数不等式 五、由函数的单调性求参数 十一、导数与函数零点的综合 六、用导数求函数的极值 十二、导数与不等式的综合 一、导数定义的理解与应用 【例1】若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以， 故选：C. 【例2】如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 【变式1-1】已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 【变式1-2】若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】∵图象过原点，∴， ∴， 故选：C 【变式1-3】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 二、导数的基本运算 【例3】（多选）下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 【例4】已知函数满足，则 ． 【答案】 【详解】由，有， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式2-1】已知函数，则 . 【答案】3 【详解】令， 则，所以， 所以 ． 故答案为：3. 【变式2-2】已知函数，则（   ） A．1 B．0 C．－1 D． 【答案】C 【详解】由题意得， 故． 故选：C. 【变式2-3】已知函数的导函数为，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 则， 故选：A 三、导数的几何意义与应用 【例5】曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】当时，， ， 所以曲线的切线的斜率，切点， 故切线方程为， 即 故答案为： 【例6】曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则 . 【答案】0 【详解】由题意得，则， 因为， 所以， 因为曲线与曲线在点处的切线互相垂直， 所以， 即，解得 故答案为：. 【变式3-1】函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】的导数为 故，又， 故函数在处的切线方程为，即得. 故答案为: 【变式3-2】若直线是曲线的切线，则的值可以是 .（写出一个值即可） 【答案】或（写出其中一个） 【详解】设切点为， ， 所以切线方程为， 整理得， 由得， 所以， 消去并化简得， 解得或， 则或， 所以的值为或. 故答案为：或（写出其中一个） 【变式3-3】直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 四、用导数求函数的单调性 【例7】设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 【例8】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故函数的图象如图D． 故选：D 【变式4-1】（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【详解】由图知：上，上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增. 故选：BC 【变式4-2】已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 五、由函数的单调性求参数 【例9】已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故选：C 【例10】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 【变式5-1】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， ∵在，上为增函数；上为减函数, ∴两根分别位于和中， 得，即，解得. 故选：B 【变式5-2】若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 【变式5-3】函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 六、用导数求函数的极值 【例11】已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为，， 因为函数在定义域内单调递增，所以, 所以在恒成立，所以 设， 所以单调递减；单调递增； 所以， 所以. 故选：A. 【例12】（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】BC 【详解】由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 【变式6-1】求下列函数的极值. (1)； (2). 【答案】(1)极小值为；极大值为. (2)极大值为，没有极小值. 【详解】（1）函数的定义域为. 令，得或. 当变化时，，的变化情况如表所示： 1 0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘. 由表格可以看出，当时，函数有极小值，且极小值为； 当时，函数有极大值，且极大值为. （2）函数的定义域为， 且. 令，解得. 当变化时，，的变化情况如表所示： e 0 ↗ 极大值 ↘ 因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值. 【变式6-2】已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【答案】C 【详解】由函数的图象， 得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数有极小值，极大值和. 故选：C. 【变式6-3】已知，函数有两个不同极值点，则 . 【答案】4. 【详解】由，可得， 令，即，解得， 所以. 故答案为：. 七、由函数的极值求参数 【例13】若函数的极小值点为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】，依题意， 所以或， 当时，，为极大值点， 当时，，符合题意，故， 故选：D. 【例14】已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式7-1】已知函数在处取得极大值，则 ． 【答案】0 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，不符合题意， 所以. 故答案为：0 【变式7-2】已知函数的极小值为，其导函数的图象如图所示，则 ． 【答案】 【详解】由题可得， 则，故， 所以， 令，可得或， 由图象可知，且处有极小值， 所以，结合可得， 故， 此时， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即处取极小值，符合题意. 故答案为：. 【变式7-3】已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 八、用导数求函数的最值 【例15】函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】， 令，解得：， 令，解得： ， ∴函数在上递增，在上递减， ∴的极大值为 ， 又，， 故所求最大值为． 故选：C. 【例16】某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 【变式8-1】已知函数在处有极值2. (1)求，的值： (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）因为函数在处有极值，且， 所以，解得， 故. （2）由（1）得：，， 又， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增 故的最大值是或， 而，， 故函数的最大值是2. 【变式8-2】已知某圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，其外接球的半径为， 由题知，外接球的表面积，． 由球的截面性质知，，化简得 故圆锥的体积为． 令，则， 当时，，单调递增， 当时，时，单调递减， ，即该圆锥体积的最大值为. 故选：B 【变式8-3】已知函数，则函数在上的最大值为 ． 【答案】 【详解】设，则， 所以，， 当时，，所以，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减，， 即当时，． 故答案为：. 九、由函数的最值求参数 【例17】已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此函数在处取得最小值， 所以，则. 故选：A 【例18】已知函数的最小值是，则 . 【答案】 【详解】由题意可得. 设，易证是偶函数. 当时，. 设，则恒成立，所以在上单调递增. 所以，所以，所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于构造函数，然后利用奇偶性和单调性求的最值即可得到的最值. 【变式9-1】函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当或时，当时， 所以在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 故的图象如图： 函数在区间上有最小值，则由图可知， 即的取值范围是. 故选：D. 【变式9-2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. 【变式9-3】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 十、构造法解函数不等式 【例19】已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】构造函数 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 故 ， 即 ， 即 . 同理， ， 即 . 故选 ： A. 【例20】已知的定义域是，且，则不等式的解是 . 【答案】 【详解】依题意，不等式， 令函数，求导得，由， 得，函数在上单调递增，原不等式为， 因此，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用同构的思想变形，再构造函数是露头角问题的关键. 【变式10-1】已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为 【答案】 【详解】令，则， 所以函数在R上单调递增， 因为， 故原不等式等价于，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式10-2】已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D 【变式10-3】定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，可得， 即可得； 令函数，可得， 又可得恒成立， 因此在上单调递减，又， 所以等价于，即； 解得， 所以不等式解集为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将指数不等式转化为，再通过构造函数结合导数求得其单调性，利用函数单调性可解不等式. 十一、导数与函数零点的综合 【例21】若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解， 令，则有3个零点，可得， 若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点， 时，由得，则， 当时，，当，， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0 即，解得. 即实数的取值范围是 故选：C. 【例22】已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由有两个零点，故有两个实数根， 记，则， 当和时， ， 当时，， 故在单调递减，在单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点， 故实数的取值范围 故答案为： 【变式11-1】已知函数，其中为自然对数的底数． (1)求的极值； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1）． 当时，在上单增，既没有极大值，也没有极小值． 当时，令，则 当时，在上单减， 当时，在上单增， 所以的极小值为，没有极大值. （2）由得，．令． 则，当时，单增； 当时，单减．因此． 显然当时，；当时，． 当时，直线与函数的图象有且仅有两个公共点， 即函数有两个零点． 故的取值范围是． 【变式11-2】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有两个零点 C．若有一个零点，则或 D．当时，有三个零点 【答案】BD 【详解】函数的零点个数问题，可转化为与图象的交点个数问题．作出与的图象，如图所示．    当直线与相切时．设切点坐标为，因为，所以切线的斜率，所以切线方程为，即， 所以，解得，所以． 对于A,当时，有一个零点，A错误； 对于D,当时，有三个零点，D正确； 当直线与相切时，设切点坐标为．因为， 所以切线的斜率，所以切线方程为， 即，所以， 所以，所以． 对于C,数形结合，得或时，有两个零点，B正确； 对于D,若有一个零点，数形结合，得或或，C错误. 故选:BD． 【变式11-3】已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知有极小值， 当，当， 要使得函数有两个不同的零点，则需， 即，所以， 故的取值范围为. 十二、导数与不等式的综合 【例23】已知，证明： 【答案】证明见解析 【详解】令， 则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，等号仅当时成立， 即， 从而，所以. 综上， 【例24】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以． 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）要证明， 即证明， 因为，且，所以， 故只需证明，即． 设，则． 易知在上单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得，即，． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以， 故原命题成立． 【变式12-1】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）， 当时，在上单调递增 当时，， 当，在单调递减， 当，在单调递增． （2）由， 要证， 即证， 即证， 令，则， 易知在上单调递减，在上单调递增，即， ，得证． 【变式12-2】已知函数，证明：对一切，都有成立. 【答案】证明见解析 【详解】当时，不等式等价于， 在在，令，， 由， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 又因为当时，函数到到最小值，当时，函数到到最大值， 所以. 【变式12-3】已知在点处与轴相切. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求证. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间 (3)证明见解析 【详解】（1）因为在点处与轴相切，， 所以，，解得. （2）由（1）得，，定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，所以，所以单调递减， 当时，，单调递减，，所以单调递减， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间. （3）因为，则，要证， 即证， 即证， 设，则， 即证， 即证， 令，， 又， 所以在上单调递增，， 即，故不等式成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展5-6 一元函数的导数及其应用高频题型专攻 一、导数定义的理解与应用 七、由函数的极值求参数 二、导数的基本运算 八、用导数求函数的最值 三、导数的几何意义与应用 九、由函数的最值求参数 四、用导数求函数的单调性 十、构造法解函数不等式 五、由函数的单调性求参数 十一、导数与函数零点的综合 六、用导数求函数的极值 十二、导数与不等式的综合 一、导数定义的理解与应用 【例1】若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【变式1-2】若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 【变式1-3】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 二、导数的基本运算 【例3】（多选）下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知函数满足，则 ． 【变式2-1】已知函数，则 . 【变式2-2】已知函数，则（   ） A．1 B．0 C．－1 D． 【变式2-3】已知函数的导函数为，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 三、导数的几何意义与应用 【例5】曲线在处的切线方程为 . 【例6】曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则 . 【变式3-1】函数在点处的切线方程为 . 【变式3-2】若直线是曲线的切线，则的值可以是 .（写出一个值即可） 【变式3-3】直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 四、用导数求函数的单调性 【例7】设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【例8】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式4-2】已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 五、由函数的单调性求参数 【例9】已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【例10】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 六、用导数求函数的极值 【例11】已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例12】（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【变式6-1】求下列函数的极值. (1)； (2). 【变式6-2】已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【变式6-3】已知，函数有两个不同极值点，则 . 七、由函数的极值求参数 【例13】若函数的极小值点为，则（    ） A．1 B． C． D． 【例14】已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数在处取得极大值，则 ． 【变式7-2】已知函数的极小值为，其导函数的图象如图所示，则 ． 【变式7-3】已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 八、用导数求函数的最值 【例15】函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【例16】某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【变式8-1】已知函数在处有极值2. (1)求，的值： (2)求函数在区间上的最大值. 【变式8-2】已知某圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数，则函数在上的最大值为 ． 九、由函数的最值求参数 【例17】已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 【例18】已知函数的最小值是，则 . 【变式9-1】函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 十、构造法解函数不等式 【例19】已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例20】已知的定义域是，且，则不等式的解是 . 【变式10-1】已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为 【变式10-2】已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 十一、导数与函数零点的综合 【例21】若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例22】已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【变式11-1】已知函数，其中为自然对数的底数． (1)求的极值； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【变式11-2】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有两个零点 C．若有一个零点，则或 D．当时，有三个零点 【变式11-3】已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，求的取值范围. 十二、导数与不等式的综合 【例23】已知，证明： 【例24】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，． 【变式12-1】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：． 【变式12-2】已知函数，证明：对一切，都有成立. 【变式12-3】已知在点处与轴相切. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$