精品解析：浙江省宁波市知恩中学、桃源书院2024-2025学年高一下学期期期初考试数学试题

知恩中学桃源书院 二0二四学年第二学期 高一期初考试数学试卷 选择题部分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将化为弧度是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 7. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，或”； B. 已知集合，若，则实数或； C. 函数的定义域为，则函数的定义域为； D. 若，，则. 10. 已知，且，则下列不等式恒成立是（ ） A. B. C D. 11. 已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确是（ ） A. 图象的对称中心为 B. 在上的值域为 C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象 D. 在上单调递减 非选择题部分 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是______． 13. 已知在上是增函数，则的取值范围是______． 14. 实数a，b满足，则使恒成立的实数的最大值为__________． 四、解答题：（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. （1）若A的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17 已知二次函数满足且. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求在上最小值的表达式. 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求值域； （ⅱ）若，，求的值． 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；② （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式，并证明：. （2）设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 知恩中学桃源书院 二0二四学年第二学期 高一期初考试数学试卷 选择题部分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将化为弧度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用度与弧度的互化公式计算得解. 【详解】. 故选：A 2. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，结合充分性和必要性的定义进行求解判断即可. 【详解】由，得，解得或，不能推出，故充分性不成立； 由，得，可以推出，故必要性成立 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】当时，. 故选：C 5. 下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用题给函数在上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C；利用当时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求. 【详解】当时，，.排除A； 由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C； 当时，.排除D； 为奇函数，且当时，， 当时，.B均符合题给特征. 故选：B. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 7. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断小于1，大于1，再由数形结合判断即可. 【详解】令，可得，所以，即； 令，可得，即，所以， 即； 令，可得，由此可得，所以， 即， 作的图象，如图， 由图象可知，，所以. 故选：D 8. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角公式及二倍角公式化简，将表示为的函数，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得， 即，则， 由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：A 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，或”； B. 已知集合，若，则实数或； C. 函数的定义域为，则函数的定义域为； D. 若，，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义可判断A选项，再根据集合中元素的性质可判断B选项，根据抽象函数定义域求法可判断C选项，利用作差法可判断D选项. 【详解】A选项：命题“，”的否定是“，或”，A选项正确； B选项：已知集合，若， 则①，，此时，不满足集合中元素的互异性； ②，解得或，已知不成立，当时，，满足题意；所以B选项错误； C选项：函数的定义域为，即，， 函数需满足，， 即函数的定义域为，C选项正确； D选项：由，，则， 即，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ） A. 图象的对称中心为 B. 在上的值域为 C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得的图象关于对称，在处取得最小值，推得，的值，可得函数解析式，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论. 详解】函数，满足, 可得的图象关于对称，故，即， 由于对任意，都有， 可得在处取得最小值，即， 可得， 则，化简得， 因为，当取最小值时，，可得， 则且，得，所以， 对于A，令，，解得， 则图象的对称中心为，故A正确； 对于B，当时，，可得， 所以在上的值域为，故B不正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度得到 的图象，故C正确； 对于D，当时，， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：ACD. 非选择题部分 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式成立的条件和对数有意义的条件列出不等式组求解即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为: 13. 已知在上是增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的单调增区间，再利用区间为其子集可求的取值范围. 【详解】由可得， 令，， 当时，为增函数；当时，为减函数. 故即.填. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，这类函数的单调性的判断方法是同增异减，此类问题为基础题. 14. 实数a，b满足，则使恒成立的实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角换元可得，即可根据三角函数的最值得求解. 【详解】由可得， 令, 则， 要使恒成立，故，解得， 故的最大值为， 故答案为： 四、解答题：（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. （1）若A的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先化简，根据A的横坐标为求出余弦值，再分情况讨论求出正弦值，即可求的值； （2）根据求出，将原式变形为，再弦化切即可求得答案. 【小问1详解】 由题， 若A的横坐标为，则 当时，； 当时，； 【小问2详解】 因为，所以. 所以. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】 （1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围. 【详解】， （1）时，， ∴； （2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋， 又且， ∴，解得； 【点睛】本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题. 17. 已知二次函数满足且. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求在上最小值的表达式. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由，可设函数式为，代入求得，得函数解析式； （Ⅱ）由对称轴是，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，按，，分类，分别求得最小值，得分段函数． 【详解】（Ⅰ）因为，所以令二次函数为： 又因为， ， ∴，，∴． （Ⅱ）因为对称轴为：，所以函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 若在 当时， 当时， 当时， 综上可得. 【点睛】本题考查求二次函数解析式，方法是待定系数法，考查求二次函数在给定区间上的最值，必须按对称轴与区间的关系分类求解． 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用整体代入思想即可得到对称轴方程. （2）先利用图形的变化“左加右减”得到的图象，进而求出函数的解析式，再求出值域；又由整体思想转化得到的值. 【小问1详解】 因为， 令，，解得，， 所以图象的对称轴方程是，． 【小问2详解】 由题知，， 于是 ． （ⅰ）因为，所以， 即的值域是． （ⅱ）若，即， 因，所以， 所以，， 所以， 即． 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；② （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式，并证明：. （2）设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知联立解方程组可得，代入所求表达式可证明题设中等式； （2）化简函数，然后由函数的单调性及零点存在定理确定零点的范围，根据零点满足的等式变形（都化为对数函数形式，然后由对数运算化简函数式，进而证明它小于0，得证结论成立； （3）确定函数的奇偶性与单调性，然后化简不等式为，由换元法，令，由单调性求得的范围，问题转化为一元二次不等式在某个区间上恒成立，通过分类讨论求函数的最值，解不等式得参数范围． 【小问1详解】 ， 所以，； 下面证明：， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以，显然在上为增函数， 且， 则在上存在唯一的实数，使， 所以有唯一的正零点； 由，得，两边同时取对数得， 于是， 而在上是增函数，则有， 因此，所以 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 得，即，即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题指数函数的不等式转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$