精品解析：江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

江苏省天一中学2024－2025学年第一学期期末考试 高一数学学科 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，所以； 由得，所以. 所以．选A． 2. 已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，所对弧长为， 则，解得或， 所以该扇形圆心角的弧度数或， 故选：C 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以，，的大小关系是. 故选：B 4. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是以经过分钟后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却t分钟后，物体的温度是，那么的值约等于（ ）（参考数据：） A. 1.78 B. 2.77 C. 2.89 D. 4.40 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意代入数据，利用指数和对数的互化求解即可. 【详解】由题意可得，，，代入可得： ，即， 所以，解得， 故选：D 5. 函数在上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义判断的奇偶性，再代入特殊值检验，即可得答案. 【详解】的定义域为， 则， 所以为奇函数，则图象关于原点对称，排除A、C， 又当时，，排除D 故选：B 6. 已知都是锐角，，（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求，再由结合两角差余弦公式求结论. 【详解】因为为锐角， 所以， 又， 所以，， 又， 所以 故选：A. 7. 如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为（ ） A. B. 3m C. 4m D. 【答案】D 【解析】 【分析】设离墙的距离为为，求得关于的表达式，结合基本不等式求得取得最大值时的值. 【详解】设离墙的距离为为， 过作，交的延长线于，则， ， 所以 ， 当且仅当时等号成立. 由于，所以当最大时，最大，此时. 故选：D 8. 已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，作出函数图象，如图所示， 所以当时，； 当时，，可函数的值域为， 设，若存在，使得成立，即， 只需，即对于，满足成立，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可． 【详解】当，即时，取最小值，故A错误； 当时，，故在上单调递增，故B正确； 当时，，， 则的图象关于点中心对称，故C错误； 当时，， 则当或，即或时，取最小值； 当，即时，取最大值3， 故在上值域为，故D正确． 故选：BD． 10. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】作出图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，再根据对称性和对数运算逐一判断即可. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 所以直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 选项A：因为关于对称，所以，A说法错误； 选项B：因为，由图象可得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由图象可得，所以，C说法正确； 选项D：由图象可知， 所以，D说法正确. 故选：AB 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，得到，利用基本不等式判断A,B选项,由，得到判断CD选项. 【详解】解：由，得，所以， 整理得，解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，A正确； 由，得，即， 解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，所以的最小值为，B错误； 由，得，所以，解得，C正确； ， ，当且仅当，即时，取得等号，D正确． 故选：ACD． 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】. 【解析】 【详解】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得，所以，因为，所以 点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)； (2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间. 13. 设,且,则______. 【答案】100 【解析】 【分析】 将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得的值. 【详解】,,. ,.又∵,,即,,. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； 【小问2详解】 ，对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 16. 已知函数的表达式为. （1）求函数的单调增区间； （2）求方程在上解. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【小问1详解】 由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 17. 在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边分别与单位圆相交于点，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义以及角的范围分别求得其正弦、余弦值即可得出结果； （2）利用两角差的正弦公式计算可得，再由三角形面积公式计算可得结果. 【小问1详解】 由题意知，角终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于， 所以，，则解得或，且或， 因为在第一象限，在第二象限，所以，， 所以，， 可得； 【小问2详解】 在单位圆中，因为，， 所以，， 又， 由两角差的正弦公式得， 又，， 因此． 18. 已知. （1）化简函数； （2）若，求的值； （3）若，且，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【小问1详解】 由题意. 【小问2详解】 由（1）得若，则， 所以. 【小问3详解】 由（1）得若，， 则，，所以，， 所以， 又因为，所以，， 所以. 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明； （2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围； （3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 定义域为， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得：， 此时，定义域为R， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； 【小问2详解】 当时，， 不等式，即， 可化为：， 即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，解得：， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 则可化为， 又因为在上单调递增，所以， 换底得：， 即， 令，则， 问题转化为在上有两不同实数根， 即有两不同实数根， 令， 分别作出图象如图所示： 故在上有两根，只需，解得：， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省天一中学2024－2025学年第一学期期末考试 高一数学学科 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A B. C. D. 4. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是以经过分钟后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却t分钟后，物体的温度是，那么的值约等于（ ）（参考数据：） A. 1.78 B. 2.77 C. 2.89 D. 4.40 5. 函数在上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知都是锐角，，（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为（ ） A B. 3m C. 4m D. 8. 已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 10. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 13. 设,且,则______. 14. 若，且，则______. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若在上是单调函数，求实数的取值范围． 16. 已知函数的表达式为. （1）求函数单调增区间； （2）求方程在上的解. 17. 在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边分别与单位圆相交于点，． （1）求的值； （2）求面积． 18. 已知. （1）化简函数； （2）若，求的值； （3）若，且，，求值. 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$