专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 方案问题 题型二 销售利润问题 题型三 分配问题 题型四 几何问题 题型五 行程问题 题型六 和差倍分问题 题型七 新定义问题 题型八 其他问题 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【经典例题一 方案问题】 1．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案．                2．（23-24七年级下·上海闵行·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）为奖励运动会表现突出的同学，王老师准备购买笔记本和水笔作为奖品．已知购买5本笔记本和4支水笔共需37元，3本笔记本比2支水笔的费用多9元． (1)求每本笔记本和每支水笔的价格． (2)现在王老师准备用100元钱去购买笔记本和水笔共30件．求王老师最多买几本笔记本？ (3)王老师还是用100元钱去购买笔记本和水笔．要求购买的笔记本比水笔多，并且奖品的件数尽可能多．王老师需要购买多少本笔记本和多少支水笔？ 4．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 5．（23-24七年级下·上海·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【经典例题二 销售利润问题】 6．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）振华商厦准备在月月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． (1)若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 8．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季，某水果专销商购进脐橙和蜜桔共2000箱．设购进蜜桔x箱，这两种水果的售价与进价如表所示： 品种 售价（元/箱） 进价（元/箱） 蜜桔 28 20 脐橙 31 25 (1)请用含x的代数式表示该商家售完这2000箱水果所获得的利润； (2)为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于13200元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？ 9．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 10．（23-24七年级下·上海长宁·期末）某电器商场销售每台的进价分别为2599元、7300元的A，B两种型号的空调，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 A种型号 B种型号 第一周 4 3 36296 第二周 5 5 55495 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空调的销售单价． (2)若该电器商场准备用不多于151182元的金额再采购这两种型号的空调共30台，则B种型号的空调最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，该电器商场销售完这30台空调能否实现利润超过16000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【经典例题三 分配问题】 11．（2024·贵州黔南·模拟预测）黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产−−我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元． (1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价． (2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金． 12．（2024·上海宝山·一模）某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 13．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）近期各校都在开展艺术节活动，使得演出服需求量大增． (1)一套演出服由一件外套和两个道具构成，工人师傅每人每天平均生产外套12件或道具18个．车间临时派7个工人师傅赶工，为了使每天的产品刚好配套．应该分配多少工人生产外套，多少工人生产道具？ (2)704班需要演出服16套，如果租赁这批演出服小时（为正整数），有两种付费方式：方式一：当时，每套演出服收取租金50元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时30元收费；方式二：当时，每套演出服收取租金60元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时20元收费． 请你帮704班谋划一下，如果根据租赁时间选择省钱的租赁方式？ 14．（23-24七年级下·上海松江·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 15．（23-24七年级下·上海长宁·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【经典例题四 几何问题】 16．（23-24七年级下·上海静安·期中）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数． (2)若点N在点M的左侧，求x的正整数值． 17．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）某校的劳动实践基地准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米． (1)设垂直于墙的边的长为米．则平行于墙的边的长为______米； (2)在（1）的条件下，当花圃的面积为144平方米时，求边的长为多少米？ 18．（23-24七年级下·上海莆田·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 19．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______． (2)求射线OQ返回时t的值取值范围． (3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围． （注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围） 20．（23-24七年级下·上海金山·期中）【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 【经典例题五 行程问题】 21．（2024·上海闵行·二模）某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 22．（2024七年级下·全国·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 23．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 24．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 25．（23-24七年级下·上海虹口·期末）2024年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山．禅城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第1签 第2签 第3签 第4签 第5签 第6签 终点 电视塔广场 中山公园东2门 欧洲工业园C区 王借岗公园 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲体育中心 (1)小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用，求的值； (2)小明计划用（1）中速度从第6签走到终点，走了后途经景点，小明在此游览并小憩共分钟，再以的速度走完剩余的行程，若要到达终点的时间不晚于计划时间，的最大值是多少？ 【经典例题六 和差倍分问题】 26．（2024·上海奉贤·二模）为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知1件甲种学具比1件乙种学具的售价少10元，买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元． (1)甲，乙两种学具的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，需要购买甲，乙两种学具共60件，所需费用不超过1100元，那么甲种学具至少需要购买多少件？ 27．（2024·上海崇明·模拟预测）某商场购进了A，B两种空调，已知每台A空调比每台B空调贵200元，单独购买5台A空调比单独购买6台B空调少1000元． (1)每台A，B空调的单价是多少元？ (2)某商场共购进了A，B两种空调共30台，且费用不得超过62000元，则最多能购进几台A空调？ 28．（23-24七年级下·上海虹口·期中）某班同学共同在劳动实践基地种植一批花苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批花苗只有A、B两个品种，其中A品种每棵3元，B品种每棵4元，购买这批花苗的总费用没有超过540元，请问至少购买了A品种花苗多少棵? 29．（23-24七年级下·上海青浦·期末）研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． (1)请求出去研学的学生和老师各多少人？ (2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 30．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同． 素材二 已知小明旅行团中共有成人和儿童共11人，按原票价购票总花费共需1420元． 素材三 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票：其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元． 问题解决 任务1 确定票价 请计算成人票和儿童票的售价． 任务2 确定人数 请确定该旅行团中的成人和儿童人数． 任务3 拟定购票方案 根据素材三，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价．（直接写出答案即可） 【经典例题七 新定义问题】 31．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 32．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 33．（23-24七年级下·上海金山·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点． (1)如图，点中， 是点A的2可达点； (2)若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； (3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 34．（23-24七年级下·上海宝山·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 35．（23-24七年级下·上海静安·期末）阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题： (1)①______（为圆周率）；②如果，则数x的取值范围为______； (2)求出满足的x的取值． 【经典例题八 其他问题】 36．（2024七年级下·上海奉贤·专题练习）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米； (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ 37．（23-24七年级下·上海虹口·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同． (1)请分别求出1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少千克？ (2)每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 38．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）为改善河流水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 (1)求a，b的值； (2)若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 39．（2024·上海静安·一模）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270元． (1)求篮球，足球的单价分别是多少元； (2)该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买足球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？ 40．（23-24七年级下·上海金山·期中）五源河学校将在五月份举办一年一度的“学养节”活动，数学组的老师们正在为参加活动的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，已知购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元． (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔的单价分别是多少元？ (2)如果本次活动需要自动铅笔的个数比钢笔的个数的2倍还多6个，且购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过730元，那么最多可购买多少支该品牌的钢笔？ 1．（23-24七年级下·上海松江·单元测试）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期中）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40~50次之间，则最省钱的方式为(   ) A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 5．（2024·上海长宁·三模）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则（    ） A． B． C．杯子中仅放入个小铁块，水一定会溢出 D．杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出 6．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）某班级从文具店购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.4元，则签字笔购买了 支． 7．（23-24七年级下·上海闵行·期末）某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作．若程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是 ． 8．（23-24七年级下·上海长宁·期末）年4月日“世界读书日”之际，某地新华书店对《数学家的故事》一书进行打折促销，该书的定价为元．书店规定：当购买数量少于本时，打七折；当购买数量不少于本时，打六折．当购买数量在本以内，超过 本时，花费比购买本还多． 9．（23-24七年级下·上海奉贤·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 10．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 11．（23-24七年级下·上海静安·随堂练习）某中学举行了以“学习雷锋精神”为主题的知识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，小华有1题没答，小华要想获奖，最多只能错多少道题？ 12．（23-24七年级下·上海徐汇·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 13．（23-24七年级下·上海·期末）甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． (1)求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； (2)甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 14．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 15．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 方案问题 题型二 销售利润问题 题型三 分配问题 题型四 几何问题 题型五 行程问题 题型六 和差倍分问题 题型七 新定义问题 题型八 其他问题 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【经典例题一 方案问题】 1．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）为奖励运动会表现突出的同学，王老师准备购买笔记本和水笔作为奖品．已知购买5本笔记本和4支水笔共需37元，3本笔记本比2支水笔的费用多9元． (1)求每本笔记本和每支水笔的价格． (2)现在王老师准备用100元钱去购买笔记本和水笔共30件．求王老师最多买几本笔记本？ (3)王老师还是用100元钱去购买笔记本和水笔．要求购买的笔记本比水笔多，并且奖品的件数尽可能多．王老师需要购买多少本笔记本和多少支水笔？ 【答案】(1)每本笔记本为5元，每支水笔为3元 (2)王老师最多买5本笔记本 (3)需要13本笔记本和11支水笔或14本笔记本和10支水笔． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每本笔记本为元，每支水笔为元，根据“购买5本笔记本和4支水笔共需37元，3本笔记本比2支水笔的费用多9元”列二元一次方程组，求解即可； （2）设王老师买本笔记本，根据题意列不等式，求解即可； （3）设王老师购买了本笔记本，支水笔，根据题意，得不等式组，结合是正整数，且钱需尽量用完，据此即可求解． 【详解】（1）解：设每本笔记本为元，每支水笔为元， 根据题意，得， 解得， 答：每本笔记本为5元，每支水笔为3元； （2）解：设王老师买本笔记本， 根据题意，得， 解得． 答：王老师最多买5本笔记本； （3）解：设王老师购买了本笔记本，支水笔， 根据题意，得， 是正整数，且钱需尽量用完， 符合条件的的值可以有或或或或或或， 奖品的件数尽可能多， 或， 答：需要13本笔记本和11支水笔或14本笔记本和10支水笔． 4．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 【答案】任务一：共有2种租车方案，详见解析；任务二：200元钱 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于360人且总租金不超过3300元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用3300元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得： 解得： 又∵a为整数， ∴或3 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． ∵，则（元）， ∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱． 5．（23-24七年级下·上海·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 【经典例题二 销售利润问题】 6．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）振华商厦准备在月月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． (1)若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 【答案】(1)每个手机专用包售价应不高于元； (2)当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 【分析】（）设每个手机专用包售价为元，根据题意列出，然后求解即可； （）由题意列方程，然后解方程检验即可； 本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】（1）设每个手机专用包售价为元， 依题意得： 解得：， ∴的最大值为， ∴每个手机专用包售价应不高于元； （2）依题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 【答案】商店老板每辆最多可以降价160元 【分析】设商店老板每辆可以降价元，根据利润售价进价结合利润不低于进价的，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设商店老板每辆可以降价元，依题意，得： ， 解得：， ∴商店老板每辆最多可以降价160元 答：商店老板每辆最多可以降价160元． 8．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季，某水果专销商购进脐橙和蜜桔共2000箱．设购进蜜桔x箱，这两种水果的售价与进价如表所示： 品种 售价（元/箱） 进价（元/箱） 蜜桔 28 20 脐橙 31 25 (1)请用含x的代数式表示该商家售完这2000箱水果所获得的利润； (2)为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于13200元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？ 【答案】(1)元 (2)1000箱 【分析】本题考查一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和不等式． （1）根据题意和表格中的数据，可以用含x的代数式表示该商家售完这2000箱水果所获得的利润即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：售完2000箱水果所获得的利润为： 元， 即该商家售完这2000箱水果所获得的利润为元； （2）解：由题意可知，购进蜜桔x箱，则脐橙箱， ， 解得， ∴该商家至少要购进蜜桔1000箱． 9．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】(1)2500元 (2)36.7元斤 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； （2）解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 10．（23-24七年级下·上海长宁·期末）某电器商场销售每台的进价分别为2599元、7300元的A，B两种型号的空调，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 A种型号 B种型号 第一周 4 3 36296 第二周 5 5 55495 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空调的销售单价． (2)若该电器商场准备用不多于151182元的金额再采购这两种型号的空调共30台，则B种型号的空调最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，该电器商场销售完这30台空调能否实现利润超过16000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号的空调的销售单价分别为2999元和8100元； (2)B种型号的空调最多能采购16台； (3)能实现利润超过16000元的目标，方案如下：方案一：购买A种型号的空调15台，购买B种型号的空调15台；方案二：购买A种型号的空调16台，购买B种型号的空调14台；方案三：购买A种型号的空调17台，购买B种型号的空调13台；方案四：购买A种型号的空调18台，购买B种型号的空调12台． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号空调的销售单价分别为x元、y元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买A种型号的空调a台，则购买B种型号的空调台，根据题意列不等式可得答案； （3）根据题意列不等式，结合（2）问，得到a的范围，由a为非负整数，从而可得答案． 【详解】（1）设A、B两种型号的空调的销售单价分别为x元、y元． 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两种型号的空调的销售单价分别为2999元和8100元； （2）设购买A种型号的空调a台，则购买B种型号的空调台， 根据题意有：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， ∴的最大值为16 ∴B种型号的空调最多能采购16台； （3）根据题意有， 解得：． ∵，且为整数， ∴，16，17，18，19， ∴能实现利润超过16000元的目标，且方案如下： 方案一：购买A种型号的空调15台，购买B种型号的空调15台； 方案二：购买A种型号的空调16台，购买B种型号的空调14台； 方案三：购买A种型号的空调17台，购买B种型号的空调13台； 方案四：购买A种型号的空调18台，购买B种型号的空调12台． 【经典例题三 分配问题】 11．（2024·贵州黔南·模拟预测）黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产−−我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元． (1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价． (2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金． 【答案】(1)春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒 (2)该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数，然后根据（1）的结果计算总费用，即可求出总费用最少的购买方案． 【详解】（1）解：设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒． 根据题意，得 解得 答：春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒． （2）解：设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒． 根据题意，得， 解得． 为整数，且春茶毛尖购进的数量越少，投入资金越少， 最小可取41， 购进夏茶毛尖为（盒）， 最少投入资金为（元）． 答：该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元． 12．（2024·上海宝山·一模）某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【答案】(1)应该分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母； (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找出题中等量关系是解题的关键． （1）设应分配名工人生产螺母，列出方程求解即可； （2）设名工人每月加工天才能完成车间任务，则，求解即可． 【详解】（1）解：设应分配名工人生产螺母，则 解得： ∴生产螺母的工人数为：（人） （2）解：设名工人每月加工天才能完成车间任务，则 a取整数，（天） ∴至少22天加工才能完成车间任务． 13．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）近期各校都在开展艺术节活动，使得演出服需求量大增． (1)一套演出服由一件外套和两个道具构成，工人师傅每人每天平均生产外套12件或道具18个．车间临时派7个工人师傅赶工，为了使每天的产品刚好配套．应该分配多少工人生产外套，多少工人生产道具？ (2)704班需要演出服16套，如果租赁这批演出服小时（为正整数），有两种付费方式：方式一：当时，每套演出服收取租金50元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时30元收费；方式二：当时，每套演出服收取租金60元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时20元收费． 请你帮704班谋划一下，如果根据租赁时间选择省钱的租赁方式？ 【答案】(1)分配3个工人生产外套，4个工人生产道具 (2)当时，选方式一；时，方式一和方式二一样；时，选方式二 【分析】（1）设分配个工人生产外套，则个工人生产道具，根据生产道具的总数量是生产外套总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （2）分，，，四种情况考虑，当时，选择方案一所需租金为元；选择方案二所需租金为960元，由，可得出当时，选择方式一更省钱；当时，选择方案一所需租金为元，选择方案二所需租金为960元，由，得出选择方式一更省钱；当时，选择方案一所需租金为元，选择方案二所需租金为元，综上所述，即可得出结论． 【详解】（1）解：设分配个工人生产外套，则个工人生产道具， 由题意可得， 解得：， ∴， 答：分配3个工人生产外套，4个工人生产道具． （2）解：方式一：当时，元； 当时，元； 方式二：当时，元； 当时，元； 令，解得：； 令，解得：； ∴当时，，选择方式一更省钱； ∵当时，元； ∴当时，选择方式一更省钱； ∵当时，，； ∴当时，选择方式一和方式二均可，价钱一样； ∴当时，选择方式一更省钱，当时，选方式二更省钱； 综上：当时，选方式一；时，方式一和方式二一样；时，选方式二． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）分，，三种情况，找出省钱的租赁方式． 14．（23-24七年级下·上海松江·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 15．（23-24七年级下·上海长宁·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【答案】(1)①，；②人； (2)名工人进行水果采摘，名工人加工罐头；最大利润为元． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． （）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解； （）根据题意，列出不等式即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克， 故答案为：，； ②由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴采摘水果的工人至少人； （2）解：由题意得，， 解得， 要使直接出售所获利润不超过总利润的，应该有名工人进行水果采摘，名工人加工罐头， 所获最大利润为元． 【经典例题四 几何问题】 16．（23-24七年级下·上海静安·期中）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数． (2)若点N在点M的左侧，求x的正整数值． 【答案】(1)点M表示的数为3 (2)x的正整数值为1和2 【分析】（1）点M与点N关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （2）点N在点M的左侧，根据左侧的数小于右侧的数列出不等式即可求出． 【详解】（1）解：∵点M与点N关于原点对称， ∴， 解得， ∴， ∴点M表示的数为3； （2）解∶若点N在点M的左侧， ∴， 解得， ∴x的正整数值为1和2． 【点睛】本题考查数轴上点表示数，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． 17．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）某校的劳动实践基地准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米． (1)设垂直于墙的边的长为米．则平行于墙的边的长为______米； (2)在（1）的条件下，当花圃的面积为144平方米时，求边的长为多少米？ 【答案】(1) (2)边的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，代数式表示式，一元一次不等式的运用，矩形的面积公式的运用，在解答时根据矩形的面积建立方程是关键． （1）根据平行于墙的一边长等于总长减去垂直于墙的两边的边长，即可解题； （2）根据题意建立方程并求解，再结合墙长20米得出边的取值范围，即可解题． 【详解】（1）解：平行于墙的边的长为米； 故答案为：． （2）解：由题知， 解得，， 墙长20米， ，即， ， 即边的长为米． 18．（23-24七年级下·上海莆田·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 19．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______． (2)求射线OQ返回时t的值取值范围． (3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围． （注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围） 【答案】(1)80° (2) (3)或或 【分析】（1）根据当t＝5时，求出，即可求出； （2）先求出，当旋转到时的时间，并且此时，再求出当开始返回时的时间，即可得出射线返回时的时间返回； （3）先求出第一次重合时的时间，(秒)，再分① 返回前，②，重合后，③返回后到秒停止的几种情况进行求解． 【详解】（1）解：当t＝5时，， ， 故答案为：； （2）解：， 当旋转到时，（秒）， 此时， 开始返回：(秒)， 射线返回时，， 即； （3）解：， 第一次重合时，(秒)， ① 返回前，，重合前，，（秒）， 即 ②，重合后，，（秒）， 即时， ③返回后到秒停止，时， （秒）， 即当时， 综上所述：或或，． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、不等式的应用、角的和差倍分关系，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 20．（23-24七年级下·上海金山·期中）【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 【答案】(1)1或 (2)①6；②，5.5 (3)①；②，6.5 (4)①，；②4，5 【分析】（1）分向左平移和向右平移两种情况解答即可； （2）①先确定折痕处的数轴，然后再根据折叠的性质即可解答；②根据对称性求解即可； （3）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义求解即可； （4）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义列不等式组组求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是， ∴点A在数轴上向右移动3个单位长度得到点表示的数为：； 点A在数轴上向左移动3个单位长度得到点表示的数为：． 故答案为：1或． （2）解：∵折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合， ∴折痕表示的数为：， ①表示的点与表示a的点重合，则有：，解得：； 故答案为：6； ②设 A表示的数为a，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，5.5 ． （3）解：①设点M表示的数为m，则有：，解得：； 故答案为：； ②设 A表示的数为n，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，6.5． （4）解：设B表示的数为， ①由题意可得：，即， ∵， ∴ ∴整数m的值为：，； 故答案为：，； ②由题意得：A表示的数为：， O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴B表示的数为：， ∵点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， ，解得：， ∴t的所有整数值为：4，5． 【点睛】本题主要考查了数轴、新定义、点的移动、解一元一次方程、解不等式等知识点，掌握数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 【经典例题五 行程问题】 21．（2024·上海闵行·二模）某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 【答案】甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【分析】根据起步价与超过3千米以后的车费的和是支付的车费，设出未知数，列出不等式组解答即可． 【详解】设从甲地到乙地的路程是xkm， 根据题意，得：14.8﹣0.7＜5+1.4（x﹣3）≤14.8， 解得：9.5＜x≤10， 答：甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式在实际中的应用，注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 22．（2024七年级下·全国·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 【答案】(1)10秒 (2)12秒开始 (3)5秒 【分析】（1）设经过x秒小颖追上小华，根据在x秒内小颖通过的路程小华通过的路程米，列出方程，解方程即可； （2）设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，根据到终点的距离不超过16米列出不等式组，解不等式组即可； （3）分两种情况，小颖追上小华之前，小颖追上小华之后，分别求出结果即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过x秒小颖追上小华，由题意得： ， 解得：， 答：经过10秒小颖追上小华． （2）解：设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，由题意得 ， 解得：， 答：从12秒开始，小颖到终点的距离不超过16米． （3）解：设小颖追上小华之前，经a秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 设小颖追上小华之后，经b秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 小颖跑完100米所用时间为：（秒）， ∵， ∴不符合题意舍去． 答：经5秒小颖和小华相距5米． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系和等量关系列出不等式或方程． 23．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 【答案】(1)2； (2)景点或景点． 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． 学校可能组织学生去景点或景点． 24．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）按材料上提供的计算方法确定答案即可； （2）按材料上提供的计算方法确定的取值范围算即可； （2）直接把代入，求出的范围即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：1； （2）若，则的取值范围是． 故答案为：； （3）因乘车费用，故该乘客乘车路程超过， 根据题意，可得 ， 解得， ∴， ∴． 答：该乘客所行的路程的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、一元一次不等式组解决实际问题等知识，根据材料上提供的方法，弄清实际意义，得到正确的结论是解题的关键． 25．（23-24七年级下·上海虹口·期末）2024年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山．禅城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第1签 第2签 第3签 第4签 第5签 第6签 终点 电视塔广场 中山公园东2门 欧洲工业园C区 王借岗公园 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲体育中心 (1)小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用，求的值； (2)小明计划用（1）中速度从第6签走到终点，走了后途经景点，小明在此游览并小憩共分钟，再以的速度走完剩余的行程，若要到达终点的时间不晚于计划时间，的最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的最大值是20 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用， （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）首先得到原计划从第6签到达终点的时间为，然后列出不等式求解即可． 【详解】（1）小明从起点走到第三签，一共走了； 从第四签走到第六签，一共走了， 依题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解． 答：的值是； （2）解：小明到达景点需要花费（h）， 原计划从第6签到达终点的时间为， ， 解得：． 答：的最大值是20． 【经典例题六 和差倍分问题】 26．（2024·上海奉贤·二模）为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知1件甲种学具比1件乙种学具的售价少10元，买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元． (1)甲，乙两种学具的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，需要购买甲，乙两种学具共60件，所需费用不超过1100元，那么甲种学具至少需要购买多少件？ 【答案】(1)甲种学具的单价是15元，乙种学具的单价是25元 (2)甲种学具至少需要购买40件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种学具的单价是元，则乙种学具的单价是元，根据买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值（即甲种学具的单价），再将其代入中，即可求出乙种学具的单价； （2）设购买件甲种学具，则购买件乙种学具，利用总价单价数量，结合总价不超过1100元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种学具的单价是元． 依题意可列方程：， 解得：， ， 答：甲种学具的单价是15元，乙种学具的单价是25元． （2）解：设甲种学具需要购买件． 则， 解得：， 的最小值为40， 答：甲种学具至少需要购买40件． 27．（2024·上海崇明·模拟预测）某商场购进了A，B两种空调，已知每台A空调比每台B空调贵200元，单独购买5台A空调比单独购买6台B空调少1000元． (1)每台A，B空调的单价是多少元？ (2)某商场共购进了A，B两种空调共30台，且费用不得超过62000元，则最多能购进几台A空调？ 【答案】(1)每台A空调2200元，每台B空调2000元 (2)最多能购进10台A空调 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）设每台A空调x元，每台B空调元，根据单独购买5台A空调比单独购买6台B空调少1000元列出方程求解即可； （2）设能购进a台A空调，则购进B空调台，根据费用不得超过62000元列出不等式求解即可. 【详解】（1）解：设每台A空调x元，每台B空调元， 根据题意可得：， 解得：， 则（元）， 答：每台A空调2200元，每台B空调2000元； （2）解：设能购进a台A空调，则购进B空调台， 根据题意可得：， 解得：， 答：最多能购进10台A空调． 28．（23-24七年级下·上海虹口·期中）某班同学共同在劳动实践基地种植一批花苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批花苗只有A、B两个品种，其中A品种每棵3元，B品种每棵4元，购买这批花苗的总费用没有超过540元，请问至少购买了A品种花苗多少棵? 【答案】(1)该班的学生人数为45人； (2)至少购买了A品种花苗80棵． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下花苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出花苗的总数为155棵，设购买了A品种花苗m棵，则购买了B品种花苗棵花苗，再根据总费用不超过540元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵花苗， 设购买了A品种花苗m棵，则购买了B品种花苗棵花苗， 由题意得，， 解得， ∴m得最小值为80， ∴至少购买了A品种花苗80棵， 答：至少购买了A品种花苗80棵． 29．（23-24七年级下·上海青浦·期末）研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． (1)请求出去研学的学生和老师各多少人？ (2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 【答案】(1)出去研学的学生有572人，老师有28人 (2)租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设去研学的老师有人，则学生有人，根据学生和老师的总人数共600人，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出去研学的老师人数，再将其代入中可求出去研学的学生人数； （2）设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆，根据型大巴车最多租赁7辆且16辆大巴车至少可乘载600人，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各租车方案，利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出各租车方案所需总租金，比较后可得出最经济的租赁车辆方案． 【详解】（1）解：设去研学的老师有人，则学生有人， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：出去研学的学生有572人，老师有28人． （2）解：设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆， 依题意得：， 解得：． 为正整数， 可以取4，5，6，7， 该学校共有4种租车方案， 方案1：租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆； 方案2：租赁型大巴车11辆，型大巴车5辆； 方案3：租赁型大巴车10辆，型大巴车6辆． 方案4：租赁型大巴车9辆，型大巴车7辆． 租车方案1所需总租金为（元）； 租车方案2所需总租金为（元）； 租车方案3所需总租金为（元） 租车方案4所需总租金为（元）． ， 租车方案1最经济的是租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元． 30．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同． 素材二 已知小明旅行团中共有成人和儿童共11人，按原票价购票总花费共需1420元． 素材三 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票：其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元． 问题解决 任务1 确定票价 请计算成人票和儿童票的售价． 任务2 确定人数 请确定该旅行团中的成人和儿童人数． 任务3 拟定购票方案 根据素材三，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价．（直接写出答案即可） 【答案】任务1：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元；任务2：旅行团中的成人的人数为6人，儿童的人数为5人；任务3：购买2张家庭票，再单独购买成人票张，购买儿童票张，购票总价最低，总票价为1320元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，建立方程是解题关键． 任务1：设成人票的售价为x元，则儿童票的售价为元，根据花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同建立分式方程，解方程即可得； 任务2：设旅行团中的成人的人数为a人，则儿童的人数为人，根据按原票价购票总花费共需1420元建立一元一次方程，求解即可得； 任务3：设购买张家庭票，则购买成人票张，购买儿童票张，根据为正整数，建立不等式，求出的值，再计算比较即可． 【详解】解：任务1：设成人票的售价为x元，则儿童票的售价为元， 根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解， 则（元） 答：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元； 任务2：设旅行团中的成人的人数为a人，则儿童的人数为人， 根据题意得： 解得：， 则（人） 答：旅行团中的成人的人数为6人，则儿童的人数为5人； 任务3：设购买张家庭票，则购买成人票张，购买儿童票张， 根据题意得：，且为正整数， 解得：， 的值为：1或2或3， 当时，再单独购买成人票（张），购买儿童票（张）， 则（元） 当时，再单独购买成人票（张），购买儿童票（张）， 则（元） 当时，不需要再单独购买成人票和儿童票， 则（元） ， 购买2张家庭票，再单独购买成人票张，购买儿童票张，购票总价最低，总票价为1320元． 【经典例题七 新定义问题】 31．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解不等式组，得：， 由不等式组整数解恰有2个得，，则， 故； （3）∵，为整数，设，为整数， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴，1，2， 则，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 32．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 【答案】(1)①17；② (2) (3) 【分析】（1）①根据新定义求解即可；②依据新定义的方法判断即可； （2）设百位数字为m，则个位数字为，根据题意列出不等式求解即可； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b，根据新定义列式计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：17； ②， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴是“映文数”． 故答案为：； （2）设百位数字为m，则个位数字为， ∴数M为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； ∴； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b， ∵“映文数”M， ∴， ∴ ∵M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数， ∴， ∴， ∴， ∴，解得； ∴， ∵为7的整数倍， ∴当时，无满足题意的n的值； 当时，n取4，， ∴； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； ∴． 【点睛】题目主要考查新定义的数字规律问题及整式的加减运算，理解题意是解题关键． 33．（23-24七年级下·上海金山·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点． (1)如图，点中， 是点A的2可达点； (2)若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； (3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 【答案】(1) (2)①（即可）；② (3) 【分析】（1）由图和k可达点的定义直接得出结论； （2）①点C表示的数为时，，根据点C为点A的k可达点，可以得出k的一个值； ②根据点C为点A的2可达点得出，解不等式即可； （3）分三种情况讨论点D和点C的位置，由可达点的定义得出m的取值范围． 【详解】（1）由图可以看出，是点A的2可达点， 故答案为：； （2）①若点C表示的数为，则点A与点C的距离为2， ∴k应该大于2， ∴k可以为4， 故答案为：4（即可）； ②若点C为点A的2可达点，则， 解得：． 故答案为：； （3）①当时，点D在点C左侧， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， 此时都符合题意； ③当时，点D在点C右侧， ∴， 解得：， ∴． 综上：m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上了两点间的距离的表示方法以及新定义，关键是对新定义的理解和掌握． 34．（23-24七年级下·上海宝山·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)3，2； (2)x＝−5； (3)7＜x≤． 【分析】（1）根据新定义表示的意义求解； （2）整理方程得【x】＝，根据定义得出x−1＜≤x，解不等式组求得x的取值范围，由【x】是整数，设4x＋5＝3n（n是整数）得到x＝，则−8＜≤−5，解得−9＜n≤−5，即可求得当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据新定义得出关于x的不等式组，进而可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：【π】＝3，【−2.1】＋【5.1】＝−3＋5＝2， 故答案为：3，2； （2）∵4x−3【x】＋5＝0， ∴【x】＝， ∴x−1＜≤x， 解得：−8＜x≤−5， ∵【x】是整数， 设4x＋5＝3n（n是整数）， ∴x＝， ∴−8＜≤−5， 解得：−9＜n≤−5， ∵n是整数， ∴n为−8，−7，−6，−5， ∴当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据题意得：−4≤＜−3， 解得：7＜x≤， 则满足条件的x的取值范围为：7＜x≤． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答． 35．（23-24七年级下·上海静安·期末）阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题： (1)①______（为圆周率）；②如果，则数x的取值范围为______； (2)求出满足的x的取值． 【答案】(1)7；； (2)，4，． 【分析】（1）①利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值； ②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围； （2）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：7； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，为整数， 设，k为整数，则， ∴， ∴，， ∴， ∴，3，4，则，4，． 【点睛】本题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解新定义的意义是解题关键． 【经典例题八 其他问题】 36．（2024七年级下·上海奉贤·专题练习）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米； (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米 (2)该服装厂最少需要生产60套B款服装 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，根据“1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产套A款服装，根据所用布料不超过168米，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米， 根据题意得：， 解得：． 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产套A款服装， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为60． 答：该服装厂最少需要生产60套B款服装． 37．（23-24七年级下·上海虹口·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同． (1)请分别求出1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少千克？ (2)每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】(1)1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是 (2)货运电梯一次最多可装运7套设备 【分析】（1）本题考查二元一次方程解决实际应用问题，根据题意找到等量关系式列方程组求解即可得到答案； （2）本题考查不等式的应用，根据载重总质量禁止超过列不等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是， 根据题意得：，解得：． 答：1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是； （2）解：设货运电梯一次可装运m套设备， 根据题意得：，解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为7． 答：货运电梯一次最多可装运7套设备． 38．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）为改善河流水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 (1)求a，b的值； (2)若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)a的值为12，b的值为10； (2)当A设备购买1台，B设备购买9台时最省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，再根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，进行列式，再解方程，即可作答． （2）先设设购买金额为y万元，A型设备数量x台，列式得，根据处理污水量进行列不等式，再结合一次函数的性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元， 由题意得：， 解得：． 故a的值为12，b的值为10； （2）解：设购买金额为y万元，A型设备数量x台， 依题意，得， 即 ∵ ∴y随x的增大而增大 ∵ ∴ ∴当时y有最小值， 即当A设备购买1台，B设备购买9台时最省钱． 39．（2024·上海静安·一模）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270元． (1)求篮球，足球的单价分别是多少元； (2)该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买足球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)每个足球的价格为45元，每个篮球的价格为30元 (2)足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，此时总费用为3300元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，可得，即可解得答案； （2）设购买个足球，根据足球的数量不少于篮球数量的得：，求出，而，根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意得：， 解得， 每个篮球的价格为30元，每个足球的价格为45元； （2）解：设购买个足球，则购买个篮球，购买足球和篮球总花费为元， 根据题意得：， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当 时，取最小值； 当时，取最小值，最小值为， 足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，最少总费用为3300元． 40．（23-24七年级下·上海金山·期中）五源河学校将在五月份举办一年一度的“学养节”活动，数学组的老师们正在为参加活动的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，已知购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元． (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔的单价分别是多少元？ (2)如果本次活动需要自动铅笔的个数比钢笔的个数的2倍还多6个，且购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过730元，那么最多可购买多少支该品牌的钢笔？ 【答案】(1)该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元 (2)该班级最多可购买20支该品牌的钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的综合运用，理解题目数量关系，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的运用是解题的关键． （1）设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，根据数量关系列式求解即可； （2）设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，根据数量关系列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元． （2）解：设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为20， 答：该班级最多可购买20支该品牌的钢笔． 1．（23-24七年级下·上海松江·单元测试）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的实际应用，设共有学生人，根据每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，列出不等式组，求出正整数解，即可． 【详解】解：设共有学生人，由题意，得： ， 解得：， ∵人数为正整数， ∴； 故选C． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，找准不等式关系是解题关键．根据两种园艺造型使用的甲、乙两种花卉的盆数不超过两种花卉各自的总盆数建立不等式组即可得． 【详解】解：由题意可知，搭配种造型个， 则可列不等式组为， 故选：A． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期中）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40~50次之间，则最省钱的方式为(   ) A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再由确定y的范围即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元， 根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时， ， ， ， ， 当购买C类会员年卡时，消费最低， 最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 5．（2024·上海长宁·三模）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则（    ） A． B． C．杯子中仅放入个小铁块，水一定会溢出 D．杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程及一元一次不等式的应用，解此类题目的关键是读懂图意，找出相等关系和不等关系列方程及不等式．由体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，得，故项错误；由装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，得从而，故项错误；取时，，判断项错误；由可判断项正确 【详解】解：∵体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，故项错误； ∴， ∵装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为， ∴， ∴ ∴，故项错误； ∵， ∴取时，， ∴杯子中仅放入个小铁块，水不一定会溢出，故项错误； ∵ ∴ ∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出故项正确； 故选：． 6．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）某班级从文具店购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.4元，则签字笔购买了 支． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设签字笔购买了支，则圆珠笔购买了支，利用总价=单价×数量，结合总价大于26元但小于27元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出签字笔购买了9支． 【详解】解：设签字笔购买了支，则圆珠笔购买了支．根据题意，得 解得． 为正整数， ． 签字笔购买了9支． 故答案为：9． 7．（23-24七年级下·上海闵行·期末）某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作．若程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序操作进行了两次即停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·上海长宁·期末）年4月日“世界读书日”之际，某地新华书店对《数学家的故事》一书进行打折促销，该书的定价为元．书店规定：当购买数量少于本时，打七折；当购买数量不少于本时，打六折．当购买数量在本以内，超过 本时，花费比购买本还多． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 设购买本时，花费比购买本还多，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设购买本时，花费比购买本还多， 依题意得，． 解得． ∴当购买数量在本以内，超过本时，花费比购买本还多， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海奉贤·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 先判断出电费是否超过度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过元，列不等式计算即可． 【详解】解：（元）， 李叔家七月份用电量不超过， 设李叔家七月份最用电， 依据题意可得， ， 解得，， 故李叔家七月份最多可用电， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意、列出相应的不等式组是解答本题的关键． 根据题意和相关数据列不等式组求解即可． 【详解】解：设的长为x米， 由题意可得，， 解得：． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·上海静安·随堂练习）某中学举行了以“学习雷锋精神”为主题的知识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，小华有1题没答，小华要想获奖，最多只能错多少道题？ 【答案】3道 【分析】此题考查一元一次不等式的应用，设小华答错了道题，则答对了道题．根据题意列得，求解即可． 【详解】解：设小华答错了道题，则答对了道题． 根据题意，得， 解得． 又为非负整数， 的最大值为3． 答：小华要想获奖，最多只能错3道题． 12．（23-24七年级下·上海徐汇·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【答案】(1)x的取值范围是． (2)小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及用一元一次不等式解决问题，解决本题的关键是熟练掌握由题意能列出不等式． （1）根据题意先列出不等式，再求出解集即可； （2）先根据题意列出不等式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， x的取值范围是； （2）设小颖家将x亩稻田用于种植蔬菜， 由题意可得， 解得：， 小颖家最多可种植4亩蔬菜． 13．（23-24七年级下·上海·期末）甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． (1)求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； (2)甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 【答案】(1)甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时 (2)甲每小时至少要拍7张精美照片 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出相等关系和不等关系是解答本题的关键． （1）设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可； （2）设甲每小时至少要拍张精美照片，根据甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据题意得， ， 解得，， 经检验，则原方程的根， ∴（千米/时）， 答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时； （2）解：（时），（时）， 设甲每小时至少要拍张精美照片，则乙每小时拍张精美照片，根据题意得， ， 解得，， 答：甲每小时至少要拍7张精美照片． 14．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】(1)数学书有35本，语文书有45本 (2)87本 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设书架上数学书有本，则有语文书有本，根据题意列出关于的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设摆放数学书本，根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，则有语文书有本， 根据题意得 ， 解得（本）， ∴（本）， 答：书架上数学书有35本，语文书有45本； （2）设摆放数学书本， 根据题意，可得， 解得， 即数学书最多还可以摆87本． 15．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 学科网（北京）股份有限公司 $$