精品解析：湖北省鄂东新领先协作体2025届高三下学期2月联考数学试题

高三2月联考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线的焦距为6，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得. 【详解】若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：. 故选：D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦函数的性质计算即可. 【详解】由不等式，化简得， 由余弦函数的性质得. 故选：C. 3. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.21 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可得到结果. 【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为， 故选：A. 4. 已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项. 【详解】由奇偶性判断可知： 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数， 而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当时，可知，故A错误； 所以C正确， 故选：C. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式可求值，再利用指数不等式可判断，从而可研究两个集合之间的包含关系，即可判断充要条件. 【详解】因为 ， 所以， 又由可知，， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6. 甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（ ） A. 甲：中位数为9，众数为11 B. 乙：中位数为9，极差为3 C. 丙：平均数为8，极差为4 D. 丁：平均数为8，方差为3 【答案】B 【解析】 【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对5个数据进行举例假设分析，即可得到判断. 【详解】对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11， 则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A； 对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差， 由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B； 对于C，平均数为，极差为，由于个数都是整数，根据条件可知，这个数中肯定最大数与最小数的差为，则可知最大数肯定大于，最小数肯定小于，故最小数加得最大数肯定小于，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C； 对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得， 若存在数12，则 ，这与方差为3相矛盾，所以最大数也一定小于12，故不能选D； 故选：B. 7. 若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设底面边长及高，计算底面面积，进而得到该六棱锥的体积公式，再得出最后应用基本不等式计算即可． 【详解】 设正六棱锥的底面边长与高分别为, 底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 则 ， 因为， 当且仅当，即时取最小值， 则 的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知a，，，.下列结论正确的是（ ） A. 若，则不是纯虚数 B. 若，则的实部等于虚部 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数相等建立方程组求得参数值，再利用乘法运算以及复数的相关概念，可得AB的正误；根据模长公式可得参数的等量关系，利用二次函数的性质以及对数的运算，可得CD的正误. 【详解】对于AB，由，则，可得，解得， 所以，显然是纯虚数，故A错误，B正确； 对于CD，由，则，可得， 所以， 且，故C正确，D错误. 故选：BC. 9. 已知定义域为的函数满足，且.则（ ） A. B. C. D. 可能为增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值可求出特殊值，从而判断AB选项，利用举特例函数，来检验CD选项即可. 【详解】因为，， 所以令，可得，故A正确； 再令，可得，又因为， 所以， 又令，可得，所以，故B正确； 不妨取，则， ， 此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误； 但由于此时在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线AB的斜率为 D. 当时，点P到直线l的距离的最小值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设直线的方程为，与抛物线方程联立得韦达定理，由推得，由弦长公式计算，利用二次函数的性质即可求得其最大值；对于B，利用抛物线的定义转化，利用三点共线时线段和最小原则得到最小值为长，借助于梯形中位线定理即得；对于C，由A项结论可得，求出值，即得直线的斜率；对于D，由判断直线过焦点，设直线的方程为，联立抛物线方程得韦达定理，仿照B项作图转化求得，即可求得最小值. 【详解】 对于A，如图设直线的方程为，代入可得：， 由可得， 设，则， 因的中点为，则，故， ，即，则， 于是 ， 故当时，取得最大值为32，故A正确； 对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 设交抛物线于点，因，故， 由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长， 因的中点为，则为梯形的中位线，且， 故此时，即的最小值为15，故B错误； 对于C，由A项得到，因，故得， 解得，故直线的斜率为，故C正确； 对于D，由可得直线经过点，可设直线的方程为， 代入可得：，设，则， 仿照B项作图，则点P到直线l的距离为： ， 故当时，点P到直线l的距离的最小值为14，即D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线的相关问题，一般应从曲线定义，设直线方程与之联立得韦达定理，以及弦长公式或弦中点有关的点差法等入手探求，对于线段有关的最值问题，可考虑结合图象转化，利用三点共线时线段和最小，以及将其转化为函数，利用其单调性求其最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 在 中， ， ， ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】先应用正弦定理边角转化结合已知得出，再应用余弦定理计算即可. 【详解】在  中，  ，   ， 由正弦定理得，所以，所以得出， 再应用余弦定理得 则  . 故答案为：. 12. 在正方体的底面ABCD所在平面中，以点A为圆心，1为半径的圆与以点C为圆心，3为半径的圆外切，则该正方体外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两圆相外切，就可求得圆心距为，从而可得正方体的边长，对角线长，及外接球直径，再利用球的表面积公式即可. 【详解】 由题意可知：， 即正方体边长为，正方体的体对角线为， 而正方体外接球的直径为体对角线，即正方体外接球半径为， 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 13. 函数的最小值为______，此时______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用因式分解，然后发现规律，重新结合因式展开，再展开可得二次型函数求最值即可. 【详解】由 所以可知当，即时，函数取到最小值， 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） X 1 2 3 4 5 P ． 【解析】 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案． 【小问1详解】 解：设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则． 【小问2详解】 X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 故． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，M是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面. （3）求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 连接交于，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以，且平面，不在平面内， 所以平面； （2） 因为平面，且四边形为矩形，所以两两垂直， 故以为坐标原点，以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为，，， 所以， 设平面的法向量为，且， 则，故，取，则， 因为，所以，所以，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）证得，结合线面平行的判定定理即可证出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果； （3）求出平面的法向量，利用二面角的夹角坐标公式即可求出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设平面的法向量为，且， 则，故，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则，因此平面与平面的夹角为. 16. 已知数列是等差数列，且，. （1）求的通项公式. （2）试问有多少项为整数？ （3）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列求出公差，再结合通项公式计算即可； （2）根据通项公式特征计算求解； （3）应用分组求和结合错位相减计算求解. 【小问1详解】 数列是等差数列，且，， 所以，设等差数列公差为， 所以， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 当为整数时，则为整数，所以，所以有5项为整数； 【小问3详解】 因为，所以， 数列的前n项和. 设， 于是， 两式相减得， 所以， 所以 17. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为. （1）求C的方程. （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）①证明： ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆参数的关系即可求解椭圆方程； （2）①利用设的直线与椭圆联立方程组，利用纵坐标与斜率关系计算线段长度，，即可得到线段之积与直线系数的关系，同理计算出，再作比值，即可得到定值； ②利用弦长公式和面积公式可计算出，再利用换元法,化归到对钩函数来求值域即可. 【小问1详解】 由已知得， 因为，又由， 可解得， 所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此， 所以面积的取值范围为． 18. 定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”. （1）若为“M函数”，求m的取值范围. （2）已知函数有两个极值点. ①求a的取值范围； ②证明：为“M函数”. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，根据极值点的定义建立方程，结合题意建立不等式，可得答案； （2）①由极值点定义将问题等价转化为易知函数零点分布求参数，将导数构造为新函数判断其单调性，结合零点存在性定理，建立不等式，可得答案；②明确问题为极值点偏移，构造差函数，利用单调性可得不等式，可得不等式的左边；再利用放缩，可得不等式的另一边，可得答案. 【小问1详解】 由，求导可得，令，解得， 由函数为“函数”，则， 可得，解得. 【小问2详解】 ①由，则，求导可得，令， 由题意可得函数存在两个不同的变号零点，则， 令，解得，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以， 由，令， 求导可得，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，则， 由，则当时，函数存在两个不同的变号零点， 可得，解得. ②由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根， 设为，由①不妨设， 令， 求导可得，由，当且仅当时取等号，则， 所以函数在上单调递增，由，则当时，可得， 由，且函数在上单调递减，则，可得； 由当时，，则函数在上单调递减， 由，则，所以， 要证，只需证， 由，则令， 求导可得，令，则， 所以函数在上单调递增，则当时，，即， 所以函数在上单调递增，则当时，， 所以不等式在上恒成立，可得， 综上所述，，所以函数为“函数”. 【点睛】方法点睛：解决极值点偏移问题，已知函数的极值点为，则①构造一元差函数或；②对差函数求导，判断其单调性；③结合，判断差函数的符号；④利用函数单调性，可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三2月联考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线的焦距为6，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.21 4. 已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（ ） A. 甲：中位数为9，众数为11 B. 乙：中位数为9，极差为3 C. 丙：平均数为8，极差为4 D. 丁：平均数为8，方差为3 7. 若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知a，，，.下列结论正确的是（ ） A. 若，则不是纯虚数 B. 若，则的实部等于虚部 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 9. 已知定义域为的函数满足，且.则（ ） A. B. C. D. 可能为增函数 10. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线AB的斜率为 D. 当时，点P到直线l的距离的最小值为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 在 中， ， ， ，则 _____. 12. 在正方体的底面ABCD所在平面中，以点A为圆心，1为半径的圆与以点C为圆心，3为半径的圆外切，则该正方体外接球的表面积为______. 13. 函数的最小值为______，此时______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，M是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面. （3）求平面与平面的夹角. 16. 已知数列是等差数列，且，. （1）求的通项公式. （2）试问有多少项为整数？ （3）求数列的前n项和. 17. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为. （1）求C的方程. （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 18. 定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”. （1）若为“M函数”，求m的取值范围. （2）已知函数有两个极值点. ①求a的取值范围； ②证明：为“M函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $