5.5.1第1课时两角差的余弦公式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5．5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式． 思考1　cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°－cos 30°成立吗？ 思考2　已知角α的终边与圆心在原点的单位圆的交点为P，请写出点P的坐标． 提示：P(cos α，sin α)． 思考3　观察下图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，你能得到哪些结论？ 提示：A(1，0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α， sin α)．连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，易知AP＝A1P1. cos αcos β＋sin αsin β 点拨　(1)公式的结构特征：   (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) (2)当α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsinβ.(　　) (3)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) × × × √ D A 两角差的余弦公式的正用及逆用 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．　 D 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)根据条件确定所求角的范围； (2)求出所求角的某个三角函数值，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角． [注意]　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．　 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 C √ √ 3．cos(α＋30°)cos α＋sin(α＋30°)sin α＝________．　 1．已学习：两角差的余弦公式的推导；给值求值、给值求角． 2．须贯通：两角差的余弦公式既可正用，也可逆用，结合题设条件，将未知的角分解为已知角的差，再利用公式求解．　 3．应注意：(1)两角差的余弦公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围．　 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.了解两角差的余弦公式的推导过程，知道两角差的余弦公式的意义．　2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明． 提示：cos 15°>0，cos 45°－cos 30°＝eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)<0，则cos 15°≠cos 45°－cos 30°. eq \a\vs4\al(一　两角差的余弦公式) 公式 cos(α－β)＝____________________________ 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β为任意角 解析：cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin30° ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).故选D. 2．cos(－15°)的值是(　　) A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2) C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) 解析：eq \f(1,2)cos 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°＝cos 60°·cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝eq \f(\r(2),2).故选A. 3.eq \f(1,2)cos 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°的值为(　　) A.eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 【解】　由题意可知sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(2\r(2),3)，cos β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－eq \f(4,15)－eq \f(6\r(2),15)＝－eq \f(4＋6\r(2),15). eq \a\vs4\al(二　给值求值) 　(对接教材例2)(1)已知cos α＝eq \f(1,3)，α是第四象限角，sin β＝eq \f(3,5)，β是第二象限角，求cos(α－β)的值； 【解】　由题意可知0＜α＋β＜π，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cos2（α＋β）)＝eq \f(63,65)，且cos α＝eq \f(3,5)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－eq \f(16,65)×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325). (2)已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且sin α＝eq \f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cos β的值． 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　 解析：由于角θ的终边经过点(－3，4)，可得x＝－3，y＝4，r＝eq \r(x2＋y2)＝5，则sin θ＝eq \f(y,r)＝eq \f(4,5)，cos θ＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,5)，所以cos(θ－eq \f(π,4))＝cos θcoseq \f(π,4) ＋sin θsin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),10).故选D. [跟踪训练1] (1)设角θ的终边经过点(－3，4)，则cos(θ－eq \f(π,4))＝(　　) A.eq \f(3\r(2),10) B．－eq \f(\r(2),10) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),10) 解析：由已知得，sin α＝－eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(12,13)×(－eq \f(4,5))＋(－eq \f(5,13))×eq \f(3,5)＝－eq \f(63,65). (2)已知cos α＝eq \f(12,13)，cos(α－β)＝－eq \f(4,5)，eq \f(3π,2)＜α＜2π，eq \f(π,2)＜α－β＜π，则cos β＝______________． －eq \f(63,65) 【解】　因为α，β为锐角， tan(π＋α)＝tan α＝3， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sin α,cos α)＝3，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(3\r(10),10)，,cos α＝\f(\r(10),10).)) eq \a\vs4\al(三　给值求角) 　已知cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，tan(π＋α)＝3，其中α，β为锐角．求： (1)sin α的值； 【解】　因为0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)可得sin(α＋β)＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] 已知cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，tan(π＋α)＝3，其中α，β为锐角．求： (2)β的值． ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10) ＝eq \f(25\r(2),50)＝eq \f(\r(2),2)， 因为β∈(0，eq \f(π,2))，所以β＝eq \f(π,4). 解：因为sin α＝eq \f(4\r(3),7)，0＜α＜eq \f(π,2)， 所以cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－（\f(4\r(3),7)）2)＝eq \f(1,7)，因为0＜β＜α＜eq \f(π,2)， 所以0＜α－β＜eq \f(π,2) ，又cos(α－β)＝eq \f(13,14)， [跟踪训练2] 已知sin α＝eq \f(4\r(3),7)，且cos(α－β)＝eq \f(13,14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，求角β的值． 所以sin(α－β)＝eq \r(1－cos2（α－β）) ＝eq \r(1－（\f(13,14)）2)＝eq \f(3\r(3),14)， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2)， 因为0＜β＜eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,3). 解析：cos eq \f(π,12)＝cos(eq \f(π,3)－eq \f(π,4)) ＝coseq \f(π,3)coseq \f(π,4)＋sineq \f(π,3)sineq \f(π,4) ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).故选C. 1．(教材P217T2改编)cos eq \f(π,12)的值是(　　) A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2) C.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D.eq \f(\r(6)－\r(2),4) 2．(多选)(教材P217T3改编)若sin α＝eq \f(3,5)，则cos(eq \f(π,4)－α)的值可能为(　　) A．－eq \f(\r(2),5) B．－eq \f(\r(2),10) C.eq \f(7\r(2),10) D．－eq \f(7\r(2),10) 解析：因为sin α＝eq \f(3,5)， 所以cos α＝±eq \f(4,5)，当cos α＝eq \f(4,5)时， cos(eq \f(π,4)－α)＝coseq \f(π,4)cos α＋sin eq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3,5)＝eq \f(7\r(2),10)， 当cos α＝－eq \f(4,5)时， cos(eq \f(π,4)－α)＝coseq \f(π,4)cos α＋sineq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)×(－eq \f(4,5))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3,5)＝－eq \f(\r(2),10).故选BC. 解析：因为cos(α＋30°)cos α＋sin(α＋30°)·sin α＝cos[(α＋30°)－α]＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). eq \f(\r(3),2) 解：根据题意可知，sin α＝y1＞0，cos α＝eq \f(4,5)， 则sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(3,5)， 同理sin β＝y2＞0，cos β＝－eq \f(2\r(5),5)， 则sin β＝eq \r(1－cos2β)＝eq \f(\r(5),5). 4．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点P(eq \f(4,5)，y1)，M(－eq \f(2\r(5),5)，y2)．求： (1)sin α，sin β的值； 解：易知∠POM＝β－α，所以cos ∠POM＝ cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(4,5)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3,5)＝－eq \f(\r(5),5). 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点P(eq \f(4,5)，y1)，M(－eq \f(2\r(5),5)，y2)．求： (2)cos∠POM的值． $$