精品解析： 广东省汕头市潮南区峡山学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2024~2025年学年度第二学期九年级第一次学月考 （数学科） 一、选择题 1. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和求∠B，然后根据相似三角形的性质求解. 【详解】解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°， 根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°. 故选：A. 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键. 2. 用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（　　） A. 放大后，边长是原来的2倍 B. 放大后，∠B的大小是原来的2倍 C. 放大后，周长是原来的2倍 D. 放大后，面积是原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变． 【详解】解：∵放大前后的三角形相似， ∴放大后三角形内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍， ∴A、C、D正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 3. 若是8和4的比例中项，则x的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据比例中项公式进行作答，即可求解； 【详解】解：根据比例中项公式， 可得：， 解得：； 故选：C； 4. 已知，，，则（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式得出，把已知数据代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案． 【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 6. 如图，，相交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，能够灵活利用平行线的性质、三角形相似判定和性质是解题的关键． 7. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别1、3，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵、两点纵坐标分别为1、3， ∴， ∴， 解得：， ∴点的纵坐标为6，故C正确． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键． 9. 如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 如图，过点作于点于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点于点，过点作交于点． ∵平分， ∴， ， ， 设，则， ， ∴， ，， 设，则， ， ， ， 的周长， 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，过点做于点，证明，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：∵，∴， ∵平分，∴， ∴，则，即为等腰三角形， 过点做于点． 则垂直平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明是解本题的关键． 二、填空题 11. 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 【解析】 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似． 故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12. 已知，且，则b=_______ 【答案】4 【解析】 【详解】解：设，， 则， ， ． ∴． 故答案为：4． 【点睛】解题的关键是先设a、b与第三个数x的关系，然后求解 13. 的三条边的长分别为6、8、10，与其相似的的最长边为15，则的最短边为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 设最短边为x，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：设最短边为x， ，的三条边分别为、、，最长边为15， ， 解得， 即最短边为9 故答案为：9． 14. 如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是______ 【答案】(−2,0)或 【解析】 【分析】根据已知可知需分当位似中心在两个正方形同旁和位似中心在两个正方形之间进行讨论； 【详解】两个图形位似时，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线CF解析式为y=kx+b,将C(4,2),F(1,1)代入，得 ,解得,即 令y=0得x=−2， ∴O′坐标是(−2,0). 当OC是对应点时，BG是对应点，则OC和NG的交点就是对称中心， 设OC的解析式是y=mx，则4m=3， 解得：,则OC的解析式是 设BG的解析式是y=nx+d， 则 解得： 则直线BG的解析式是 则 解得： 则交点是 故答案(−2,0)或 【点睛】考查位似变换，两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点． 15. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由三等分点的定义与平行线的性质得出，，是的中位线，证，得，解得，则． 【详解】解：∵D、E为边的三等分点，， ∴，，， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 三、解答题（一） 16. 如图，在中，D为上一点，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键． 由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】解：， ，， ， 又∵， ． 17. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物高度，已知标杆高，测得，，求建筑物的高． 【答案】建筑物的高是17.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，先得到，即可得到，然后代入数值计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， 解得，， 答：建筑物的高是. 18. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 如图，为所作． 【小问2详解】 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 四、解答题（二） 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】证明：（1）， ，即， 在和中，， ； （2）由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证： （1）AC2=AB·AD； （2）CE∥AD． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【详解】试题分析: (1)易证△ADC∽△ACB 得即, (2)由E为AB中点得CE= AB=AE,∠EAC=∠ECA,又AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB, ∴∠DAC=∠ECA,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD. 试题解析:(1)∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB, 又∵∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB, ∴即, (2)∵E为AB的中点, ∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA, ∵AC平分∠DAB, ∴∠CAD=∠CAB, ∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD. 五、解答题（三） 22. 如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA延长线于点F． （1）求证：DH是⊙的切线； （2）若E为AH的中点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明，由，可得，即可证明结论； （2）连接AD和BE，由圆周角定理可以得出，可以得出，，进而根据平行线分线段成比例推出BD=CD，CH=HE，根据E为AH的中点，可得出AE=EH=CH，，根据且，可以得出，根据相似三角形的性质得到，将AE，OD代入即可求出答案． 【小问1详解】 连接OD，则． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴DH是的切线． 【小问2详解】 连接AD和BE． ∵AB是的直径， ∴，． ∵ ∴ ∴． ∴且． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵ ∴ ∴ ∴． ∵E为AH的中点， ∴． ∴ ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键． 23. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，， ∴， ∴， ∴ （2）由题意可得， ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）过点作于点． ∴ 又∵ ∴． ∴． ∵，即 ∴， 又∵BM平分，， ∴NG=AN， ∴， ∴ 整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025年学年度第二学期九年级第一次学月考 （数学科） 一、选择题 1. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 2. 用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（　　） A. 放大后，边长是原来的2倍 B. 放大后，∠B的大小是原来的2倍 C. 放大后，周长是原来的2倍 D. 放大后，面积是原来的4倍 3. 若是8和4比例中项，则x的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 4. 已知，，，则（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 6. 如图，，相交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 7. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，为边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，D是中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 12. 已知，且，则b=_______ 13. 的三条边的长分别为6、8、10，与其相似的的最长边为15，则的最短边为_______． 14. 如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是______ 15. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为______． 三、解答题（一） 16. 如图，在中，D为上一点，，求证：． 17. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，求建筑物的高． 18. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 四、解答题（二） 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 20. 如图，和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证： （1）AC2=AB·AD； （2）CE∥AD． 五、解答题（三） 22. 如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DH是⊙的切线； （2）若E为AH的中点，求的值． 23. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$