重点专题1-1 向量的概念与线性运算综合【10类题型汇总】- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学下·人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题1-1 向量线性运算综合 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】零向量，相等向量与共线向量的相关概念辨析 【题型2】向量的线性运算 【题型3】几何图形与向量线性运算 【题型4】 向量中的定比分点恒等式（爪型图） 【题型5】已知向量共线求参数及证明向量共线 【题型6】根据向量的关系判断三角形的心 模块二 平面向量共线定理的推论 【题型7】利用系数和为“1”速求参数 【题型8】向量写2次，结合系数和为“1”求参数 【题型9】系数和为定值问题以及结合基本不等式求最值 【题型10】等和线问题 课后训练 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】零向量，相等向量与共线向量的相关概念辨析 基础知识 概念梳理 1、向量的模：向量的大小叫向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作 模的特点： （1）向量的模； （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． （3）向量不等式： 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作或0，它的方向是任意的，注意：0与0的含义与书写区别. 3、单位向量：长度等于1个单位的向量，特别的：表示与同方向的单位向量，即将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 5、相反向量：长度相等方向相反的向量，如与 6、向量的共线(平行)：方向相同或相反的非零向量与是平行（共线）向量，可记作，规定：与任一向量共线 注意：(1)平行向量可以在同一直线上，若两向量平行，则它们所在的直线平行或重合 (2)共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 (4)向量的平行不具有传递性,即若，,未必有。因为零向量平行于任意向量, 当时，，可以是任意向量,所以与不一定平行。 但若,则必有 典型例题 【例题1】有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例题2】（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“”的充要条件是“且” 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）列结论中正确的是（    ） A．与是否相等与，的方向无关 B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C．若，都是单位向量，则 D．向量与相等 【巩固练习2】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【巩固练习3】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【题型2】向量的线性运算 基础知识 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 典型例题 【例题1】设分别为的三边的中点，则(　　) A． B． C． D． 【例题2】如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，请用“算两次”的方法证明： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）下列四式可以化简为的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，则________. 【巩固练习3】（多选）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】几何图形与向量线性运算 基础知识 在解决与平面向量相关的几何问题时，可以通过分析向量的性质来判断图形的形状。这里有一些基本技巧和方法： 1、向量长度（模）：向量的长度可以帮助我们确定线段的长度是否相等。如果两个向量的长度相同，那么它们代表的线段也等长。这对于判断平行四边形、菱形或等边三角形等非常有用。 2、 向量方向：通过比较向量的方向，可以判断图形中的线段是否平行。若两个非零向量方向相同或相反，则这两个向量所代表的线段是平行的。这有助于识别平行四边形、矩形等。 3、 向量加法和减法：使用向量的加法和减法可以找到图形中心点的位置或者计算对角线的长度， 综合运用这些技巧，可以根据给定的向量信息推断出图形的具体形状。例如，在证明一个四边形是否为平行四边形时，可以检查其相对两边对应的向量是否相等（即长度和方向都相同）。同样地，要证明一个四边形是矩形，除了验证它是一个平行四边形外，还需要进一步检查相邻两边的向量是否垂直。通过这种方式，我们可以有效地利用向量的性质来解决关于图形形状的问题. 典型例题 【例题1】如图，在四边形中，为两条对角线的交点，，则必有 A． B． C． D． 【例题2】如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（ ） A． B． C． D． 【例题3】若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【巩固练习3】（多选）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（    ） A．若，则四边形ABCD为平行四边形 B．若，则四边形ABCD为梯形 C．若，且，则四边形ABCD为菱形 D．若，且，则四边形ABCD为正方形 【题型4】 向量中的定比分点恒等式（爪型图） 二级结论 “爪型图”的性质（定比分点恒等式） 要点注释：已知在线段上，且，则 【现学现练】设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 思路：由“爪型图”的性质得：，解得：，答案：A 【变式训练】在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 点拨：利用“爪型图”的性质先表示，再间接求解 详解：．选：B 典型例题 【例题1】在中，点满足，若，，用表示向量，= ．    【例题2】若D为所在平面的一点，，则（ ）. A. B. C. D. 【例题3】平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若，则_______ 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（    ） A． B． C． D．1 【巩固练习3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 【巩固练习4】在中，点为边BC的中点，点在线段AM上，并且，则（ ） A． B． C． D． 【题型5】已知向量共线求参数及证明向量共线 基础知识 向量共线定理：如果且，则；反之若且，则一定存在唯一实数，使． 典型例题 【例题1】已知向量，不共线，实数x，y满足(3x－4y) ＋(2x－3y) ＝6＋3，则x－y＝ . 【例题2】已知，，，求证：A，B，C三点共线． 【例题3】如图，在平行四边形，，，为的中点，点在上，且． (1)当时，证明：、、三点共线； (2)若、、三点共线，求实数的值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ） A． B．0或 C．0或1 D．0或3 【巩固练习2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 【巩固练习3】已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【巩固练习4】在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【题型6】根据向量的关系判断三角形的心 基础知识 三角形四心的的向量性质 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 典型例题 【例题1】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例题2】已知是所在平面上的一点，若，则是的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【例题3】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( ). A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【例题4】O是△ABC所在平面内一点，动点P满足， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【巩固练习2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【巩固练习3】若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 模块二 平面向量共线定理的推论 二级结论 知识点01 平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【现学现练】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m=________. 【答案】 知识点02 等和线 【问题1】若，那么点在线段的什么位置？ 答：在BC上取一点N，，可以理解为点在直线上运动 【问题2】若时，如何理解点的位置？ 答：则，可以理解为点的轨迹为平行于的直线，且点A到该直线的距离是点A到距离的2倍 等和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线 性质一：当等和线恰为直线时，等于1；性质二：定值的变化与等和线到点的距离成正比 【现学现练1】在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________. 【解析】连接，交于G，∵共线，则，且 记，则， 【现学现练2】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是______. 【解析】设，则,而，当时，取最大值， 【题型7】利用系数和为“1”速求参数 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【巩固练习2】如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【巩固练习3】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 【题型8】向量写2次，结合系数和为“1”求参数 解题技巧 利用三点共线系数和为1来得到方程组得出系数 典型例题 【例题1】已知△ABC中，，，直线PC与QB交于点O，若，则______． 【例题2】（23-24高一下·山东聊城·期中）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________ 【例题3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【巩固练习3】在中，，，交于，，则________． 【巩固练习4】中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高一下·广东中山·期中）（多选）如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型9】系数和为定值问题以及结合基本不等式求最值 典型例题 【例题1】如图，在中，为边的中线， ，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.证明：为定值． 【例题2】中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足 ，则的最小值为（ ） A． B． C．6 D．8 【例题3】（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）（多选）如图，在中，，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为12 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系；(2)求的最小值 【巩固练习2】在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B． C．1 D． ∴ 【巩固练习3】已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．6 【巩固练习4】（23-24高一上·浙江宁波·期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【巩固练习6】经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值；(2)求m＋n的最小值. 【巩固练习7】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为 . 【巩固练习8】（23-24高一下·重庆·期中）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值． 【题型10】等和线问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【例题2】如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 【巩固练习2】 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 【巩固练习3】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【巩固练习4】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【巩固练习4】在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点， ，且满足，若，则的最小值是( )． A． B． C．1 D． 课后训练 1. 下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2. 四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 3. （多选）下列命题是真命题的是（    ）． A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 4. 已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 5. 如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 6. （23-24高一下·山东青岛·阶段练习）已知非零向量和不共线，若与共线，则的值为 ． 7. （23-24高一下·天津·期末）已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则 ． 8. 已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 9. 如图所示，，则（ ） A． B． C． D． 10. 已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（ ） A．1 B．— C．1或－ D．－1或－ 【答案】B 11. 已知为内一点，且，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 12. 已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 13. 在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 14. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围为________ 15. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 16. （多选）如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 17. （23-24高一下·河北·期中）已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若向量与平行，求实数k的值． 18. （23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． (1)用，表示； (2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； 19. 已知向量不共线，． (1)若，求； (2)若三点共线，求的最大值． 20. 如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 21. 已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，. (1)求；(2)求证：. 8 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题1-1 向量线性运算综合 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 1 【题型1】零向量，相等向量与共线向量的相关概念辨析 1 【题型2】向量的线性运算 4 【题型3】几何图形与向量线性运算 7 【题型4】 向量中的定比分点恒等式（爪型图） 10 【题型5】已知向量共线求参数及证明向量共线 13 【题型6】根据向量的关系判断三角形的心 17 模块二 平面向量共线定理的推论 21 【题型7】利用系数和为“1”速求参数 23 【题型8】向量写2次，结合系数和为“1”求参数 26 【题型9】系数和为定值问题以及结合基本不等式求最值 31 【题型10】等和线问题 39 课后训练 44 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】零向量，相等向量与共线向量的相关概念辨析 基础知识 概念梳理 1、向量的模：向量的大小叫向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作 模的特点： （1）向量的模； （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． （3）向量不等式： 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作或0，它的方向是任意的，注意：0与0的含义与书写区别. 3、单位向量：长度等于1个单位的向量，特别的：表示与同方向的单位向量，即将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 5、相反向量：长度相等方向相反的向量，如与 6、向量的共线(平行)：方向相同或相反的非零向量与是平行（共线）向量，可记作，规定：与任一向量共线 注意：(1)平行向量可以在同一直线上，若两向量平行，则它们所在的直线平行或重合 (2)共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 (4)向量的平行不具有传递性,即若，,未必有。因为零向量平行于任意向量, 当时，，可以是任意向量,所以与不一定平行。 但若,则必有 典型例题 【例题1】有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 【例题2】（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“”的充要条件是“且” 【答案】BC 【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可. 【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同； 对于B，由平面向量相等可得B正确； 对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形； 当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确； 对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误； 故选：BC 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）列结论中正确的是（    ） A．与是否相等与，的方向无关 B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C．若，都是单位向量，则 D．向量与相等 【答案】AB 【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项． 【详解】对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D，向量与互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确． 故选：AB． 【巩固练习2】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0 【巩固练习3】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断. 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC 【题型2】向量的线性运算 基础知识 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 典型例题 【例题1】设分别为的三边的中点，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析： =, 选A． 【例题2】如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由平面向量的运算法则，可得. 故选：A. 【例题3】（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，请用“算两次”的方法证明： 【详解】因为， 则， 且E，F分别为AD，BC的中点，则， 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）下列四式可以化简为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对选项A：，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误．故选：ABC 【巩固练习2】若，则________. 【答案】 【解析】将题设等式展开并化简得：，则. 故答案为： 【巩固练习3】（多选）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可． 【详解】解：如图： 对于选项A，，即选项A错误； 对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确； 对于选项C，，即选项C正确； 对于选项D，，即，即选项D正确 【题型3】几何图形与向量线性运算 基础知识 在解决与平面向量相关的几何问题时，可以通过分析向量的性质来判断图形的形状。这里有一些基本技巧和方法： 1、向量长度（模）：向量的长度可以帮助我们确定线段的长度是否相等。如果两个向量的长度相同，那么它们代表的线段也等长。这对于判断平行四边形、菱形或等边三角形等非常有用。 2、 向量方向：通过比较向量的方向，可以判断图形中的线段是否平行。若两个非零向量方向相同或相反，则这两个向量所代表的线段是平行的。这有助于识别平行四边形、矩形等。 3、 向量加法和减法：使用向量的加法和减法可以找到图形中心点的位置或者计算对角线的长度， 综合运用这些技巧，可以根据给定的向量信息推断出图形的具体形状。例如，在证明一个四边形是否为平行四边形时，可以检查其相对两边对应的向量是否相等（即长度和方向都相同）。同样地，要证明一个四边形是矩形，除了验证它是一个平行四边形外，还需要进一步检查相邻两边的向量是否垂直。通过这种方式，我们可以有效地利用向量的性质来解决关于图形形状的问题. 典型例题 【例题1】如图，在四边形中，为两条对角线的交点，，则必有 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可以根据得出四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的相关性质即可得出结果。 【详解】因为在四边形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 因为是平行四边形对角线，为中点， 所以，故选D 【例题2】如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 ， 并且四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，即 ， 对于A， ，正确； 对于B， ，正确； 对于C， ，错误； 对于D， ，正确；故选：C. 【例题3】若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____ 【答案】直角三角形 【解析】，，所以，所以的形状为直角三角形 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误； 等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确； 故选：. 【巩固练习2】在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】由化简可得，结合向量共线定理判断四边形的形状. 【详解】∵  ， ∴  ， ∴  ， ∴ 四边形一定是梯形． 【巩固练习3】（多选）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（    ） A．若，则四边形ABCD为平行四边形 B．若，则四边形ABCD为梯形 C．若，且，则四边形ABCD为菱形 D．若，且，则四边形ABCD为正方形 【答案】ABC 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论． 【详解】，则且，四边形ABCD是平行四边形，A正确； ，则且，四边形ABCD是梯形，B正确； 若，四边形ABCD是平行四边形，又，即，则四边形ABCD为菱形，C正确； 若，四边形ABCD是平行四边形，，即，则四边形ABCD为菱形，D错误． 故选：ABC． 【题型4】 向量中的定比分点恒等式（爪型图） 二级结论 “爪型图”的性质（定比分点恒等式） 要点注释：已知在线段上，且，则 【现学现练】设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 思路：由“爪型图”的性质得：，解得：，答案：A 【变式训练】在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 点拨：利用“爪型图”的性质先表示，再间接求解 详解：．选：B 典型例题 【例题1】在中，点满足，若，，用表示向量，= ．    【答案】 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】，， 故答案为： 【例题2】若D为所在平面的一点，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】易知，则，即 【例题3】平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若，则_______ 【答案】 【解答】过A点作AE∥BD，且AE=BD，则有,显然，，则，故 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】，故选A 【巩固练习2】在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 【详解】因为，则， 整理得，可得，所以. 故选：A. 【巩固练习3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为，所以， 所以. 【巩固练习4】在中，点为边BC的中点，点在线段AM上，并且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由三点共线定理，迅速可得： ， ，故选A 【题型5】已知向量共线求参数及证明向量共线 基础知识 向量共线定理：如果且，则；反之若且，则一定存在唯一实数，使． 典型例题 【例题1】已知向量，不共线，实数x，y满足(3x－4y) ＋(2x－3y) ＝6＋3，则x－y＝ . 【答案】3 【分析】由向量，不共线，利用向量相等的条件列方程，即可解出. 【详解】∵，不共线，且(3x－4y) ＋(2x－3y) ＝6＋3， ∴，解得，∴x－y＝3. 【例题2】已知，，，求证：A，B，C三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】分别用，表示和，根据和的关系即可证明. 【详解】证明:因为， ， 所以， 因此，A，B，C三点共线． 【例题3】如图，在平行四边形，，，为的中点，点在上，且． (1)当时，证明：、、三点共线； (2)若、、三点共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）由，得到，用表示向量和，再利用共线向量定理证明； （2）由，用表示向量和，再根据、、三点共线，由求解. 【详解】（1）解：当时，， 有， 又， =， ， 则，与有公共点， 于是、、三点共线； （2）由， 得 由、、三点共线，得， ， 得， 解得或（舍去）； ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ） A． B．0或 C．0或1 D．0或3 【答案】A 【解析】因为与共线，可设，即， 因为，不共线，所以所以.故选:A. 【巩固练习2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为是两个不共线的单位向量，， 若与共线，可设，即，则，解得： 【巩固练习3】已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】法一：，，因，，三点共线，所以与共线，所以，所以，解得 法二：由三点共线， 得，故解得． 【巩固练习4】在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【解析】（1）由题意，所以， ① （2）设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； （3）由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 【题型6】根据向量的关系判断三角形的心 基础知识 三角形四心的的向量性质 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 典型例题 【例题1】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 构造菱形 【例题2】已知是所在平面上的一点，若，则是的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】A 重心的性质 【例题3】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( ). A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】 【例题4】O是△ABC所在平面内一点，动点P满足， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【解析】，h为BC边上的高 ∴. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据题意结合向量的线性运算以及三角形的性质分析判断 【详解】由题意，当时，如图 可知：点在边上的中线所在直线上，∴动点的轨迹一定通过的重心 【巩固练习2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 【巩固练习3】若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 模块二 平面向量共线定理的推论 二级结论 知识点01 平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【现学现练】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m=________. 【答案】 知识点02 等和线 【问题1】若，那么点在线段的什么位置？ 答：在BC上取一点N，，可以理解为点在直线上运动 【问题2】若时，如何理解点的位置？ 答：则，可以理解为点的轨迹为平行于的直线，且点A到该直线的距离是点A到距离的2倍 等和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线 性质一：当等和线恰为直线时，等于1；性质二：定值的变化与等和线到点的距离成正比 【现学现练1】在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________. 【解析】连接，交于G，∵共线，则，且 记，则， 【现学现练2】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是______. 【解析】设，则,而，当时，取最大值， 【题型7】利用系数和为“1”速求参数 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B 【例题2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. 【详解】（1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【详解】根据题意，得， 又， 因为B，P，D三点共线，所以，即. 【巩固练习2】如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 【巩固练习3】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 【答案】 【简析】 【题型8】向量写2次，结合系数和为“1”求参数 解题技巧 利用三点共线系数和为1来得到方程组得出系数 典型例题 【例题1】已知△ABC中，，，直线PC与QB交于点O，若，则______． 【答案】 【解析】写2次 故 【例题2】（23-24高一下·山东聊城·期中）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________ 【答案】2 【解析】， ， 则有 【例题3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：利用系数和为1 因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：作平行线构造相似，如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以 法3：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可. 【详解】 因为所以， , 因为三点共线，所以, , 所以 . 【巩固练习2】在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得. 【详解】因为，， 所以，，又， 所以，，又与交于点O， 所以，所以，即 【巩固练习3】在中，，，交于，，则________． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算得到、，再由、、三点共线，即可得到，从而求出、. 【详解】解：依题意， ，又、、三点共线， 所以，即，又，所以， 所以，所以，解得. 【巩固练习4】中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据D为BC中点，得到，因为三点共线，推导出，则，结合，得到，从而得到，又，求出. 【详解】因为D为BC中点，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以设，即，整理得：， 令，则，则，其中， 因为，所以，故，因为， 所以，又，解得： 【巩固练习5】（23-24高一下·广东中山·期中）（多选）如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算，结合三点共线的向量性质，即可得出. 【详解】， 因为，所以，即， 由三点共线，所以，即，故A正确； 又为的中点，所以，即， 由三点共线，所以，即，故C正确； 则由，可解得，，故B错误；，故D错误. 【题型9】系数和为定值问题以及结合基本不等式求最值 典型例题 【例题1】如图，在中，为边的中线， ，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.证明：为定值． 【分析】根据平面向量基本定理，可得，再根据，求得，结合三点共线的性质证明即可. 【详解】因为为边的中线，所以， 可得. 因为，，所以，，， 由，，三点共线，可，即. 【例题2】中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足 ，则的最小值为（ ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【解析】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D． 【例题3】（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）（多选）如图，在中，，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为12 D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的四则运算判断A，利用三点共线结合平面向量的四则运算判断B，利用基本不等式“1”的妙用判断C，利用向量数量积的计算公式结合基本不等式判断D. 【详解】选项A：由题意可得，说法正确； 选项B：因为，， 所以由可知，即， 又因为三点共线，所以，解得，说法正确； 选项C：， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，说法错误； 选项D：因为，， 所以， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以，说法正确 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系；(2)求的最小值 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可； （2）利用（1）中结论再结合基本不等式即可. 【详解】（1），又，，，又三点共线，. （2）因为，， ， 当且仅当取等，所以的最小值为. 【巩固练习2】在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题设，如下图示：， 又，， ∴，由三点共线，有， ∴ 【巩固练习3】已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】D 【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可. 【详解】因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，. 所以. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 【巩固练习4】（23-24高一上·浙江宁波·期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】作交于F，连接    ，则∽，故， 由于点为边上的中点，故， ，故，又∽，故， 故， 则 , 由于，，故， 因为三点共线，故， 所以，     当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为 【巩固练习5】已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知，所以，由“乘1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习6】经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值；(2)求m＋n的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可； （2）运用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为的重心是G点， 所以， ， ， 因为G， P，Q三点共线， 所以存在，使得，即， 所以有； （2）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以m＋n的最小值为. 【巩固练习7】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先由平面向量的基本定理得到，然后由三点共线得，用基本不等式求解最小值即可. 【详解】如图： 因为，所以，又，所以， ，所以, ， 又三点共线，所以， 所以，，当且仅当时， 即时，等号成立 【巩固练习8】（23-24高一下·重庆·期中）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据图形用表示，再用表示，由三点共线即可求解. （2）用表示，再由三点共线的等式关系，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为为线段上靠近点的三等分点， 所以， 设，即，， 所以， 又因为，， 所以，， 所以， 即， 又因为三点共线，则，解得， 所以，所以. （2）由（1）可知，， 而，， 所以， 又因为点为线段的中点， 所以,即， 又由三点共线， 所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 【题型10】等和线问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 法一： 等和线性质 如图作PC∥AB交OA延长线于C，设， 则，故 法二：建系  如图，，又扇形的半径为，所以，即， 所以， 由，得，所以 【例题2】如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________． 【答案】【解析】令,易证，，∴ 巩固练习 题型 【巩固练习1】给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 【答案】 【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证 ，当时，取最大值，； （2）取OA中点E，则 OC交BE于F，设,，易证 ，当时，取最大值，. 【巩固练习2】 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴，∴ 【巩固练习3】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】取AD中点F，则，直线FP交AE于G， 设 ∵ FPG三点共线 ，∴， 当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值， 【巩固练习4】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】 设,，则, 设，则 ，即 而，∵PE过点C时取最大值，则，故，则 【巩固练习4】在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点， ，且满足，若，则的最小值是( )． A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】若A为原点，则P（1，2），M在以P为圆心，半径为2的圆上 取D（1，0），则有， AM交CD于N，记，则有 ； 课后训练 1. 下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0 2. 四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】由向量知识可知，可得答案. 【详解】由已知得， ， 故，由， 所以四边形ABCD是梯形. 3. （多选）下列命题是真命题的是（    ）． A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 【答案】AD 【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可． 【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上， 则向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量； B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上， 则，的方向不确定，不能判断与是否共线； C项为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上； D项为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A， 且与是共线向量，所以A，B，C三点共线． 4. 已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【答案】B 【解析】，， ， ，， 由平面向量共线定理可知，与为共线向量， 又与有公共点，，，三点共线，故选：B． 5. 如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】借助共线定理的推论即可得. 【详解】因为，所以， 所以， 因为P，B，N三点共线，所以，解得. 6. （23-24高一下·山东青岛·阶段练习）已知非零向量和不共线，若与共线，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用平面向量共线的充要条件，列式计算即得. 【详解】非零向量和不共线，则， 由与共线，得， 因此，解得，所以的值为. 7. （23-24高一下·天津·期末）已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则 ． 【答案】3 【分析】根据向量减法运算求出的表达式，根据，，三点共线，可得存在实数k，使得，由此列出关于参数的方程，即可求得答案. 【详解】由题意得， , 由于，，三点共线，故存在实数，使得， 即，则， 消去，解得 8. 已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 【答案】1 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据三点共线可设，即可得到关于的方程组，求解即可． 【详解】依题意，， 故， 因为三点共线，可设， 则， 所以，解得 9. 如图所示，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得， 可得 且， 所以.故选：B. 10. 已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（ ） A．1 B．— C．1或－ D．－1或－ 【答案】B 【解析】因为与共线，所以，解得或－． 当时与同向，不符合题意， 当时与反向，符合题意．故选：B． 11. 已知为内一点，且，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据三点共线定理求解． 【详解】取中点，连接，则，又，∴， ∴， 又三点共线，∴，． 故选：C．    12. 已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得. 【详解】依题意、、三点共线，故， 所以 ， 又、、三点共线，故， 则 ， 所以，解得，所以，又，所以， 所以有序数对. 13. 在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【详解】 因为，所以，则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点，所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 14. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围为________ 【答案】， 解析：由等和线性质知：连接，当点在点时，；作的平行线，当与相切时，当点在切点时， 15. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： ，即，， ，，，， ，、、三点共线，则. ， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B. 16. （多选）如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据向量的三角形法则逐项计算判断即可． 【详解】解：为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件， 设三点共线，O为线外一点，则， 即与前系数和为1， 证：三点共线， ， ， ． ， 故A错； 三点共线， ， 三点共线， ， ， 解得， ， ∴ F为BE的中点， ，故B对； ， ， ，故C对； 取AB中点G，BC中点H，如下图， 则三点共线， ，故D对． 17. （23-24高一下·河北·期中）已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若向量与平行，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两向量的线性关系得出向量共线，再结合公共点B，即可证明. （2）因为两个向量平行得出向量关系结合平面向量基本定理列式求参. 【详解】（1）因为，又， 故，又与有公共点B， 所以A，B，D三点共线． （2）因为与共线，即， 因为与是不共线的两个非零向量， 所以，故综上，k的值为． 18. （23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． (1)用，表示； (2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由E，O，C三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解； （2）因为H，O，G三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值； 【详解】（1）因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O，C三点共线， 所以存在实数，使，其中D是BC中点，且， 所以 即，解得，，所以． （2）因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使， 其中，，所以， 根据平面向量基本定理可得：即，所以． 19. 已知向量不共线，． (1)若，求； (2)若三点共线，求的最大值． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解； （2）根据三点共线的结论分析可得，进而结合二次函数求的最大值. 【详解】（1）由题意可得：， 且，所以. （2）若三点共线，则， 则， 可得， 则， 当时，取到最大值. 20. 如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点， 所以． （2）由，，， 得，， 所以， 因为E，F，G三点共线，则， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 21. 已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，. (1)求；(2)求证：. 【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出； （2）设，可得，，可将表示为与的线性组合，再根据三点共线系数之和为1即可求解； 【详解】（1）延长交于D，则D为BC中点，    ， G是重心，， ； （2）设， ，， ，， ∵且三点共线， ∴，∴，即 17 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 1 高一培优专题01 向量线性运算综合 模 一 重点题型梳理 【题 1】零 量，相 量与共线 量的相关概念辨析 【题 2】 量的线 运 【题 3】几 图形与 量线 运 【题 4】 量中的定比 点 式 (爪 图) 【题 5】已知 量共线 参数及证 量共线 【题 6】 量的关系 断三角形的心 模 二 平面向量共线定理的推论 【题 7】 用系数 为“1” 参数 【题 8】 量写 2次，结 系数 为“1” 参数 【题 9】系数 为定 问题以及结 基本不 式 最 【题 10】 线问题 课 训练 高一培优 宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来 模块一 模块一 重点题型梳理 【题型 1】零向量，相等向量与共线向量的相关概念辨析 概念|梳理 1、 量的模： 量的大 叫 量的模 量 AB  的大 称为 量 AB  的长 (或称模),记 |AB  | 模的特点： (1) 量 a的模 |a|≥ 0； (2) 量不能比较大 ， |a| 实数，可以比较大 ． (3) 量不 式：a + b   ≥ a+b   ≥ a - b    2、零 量：长 为零的 量叫零 量.记 0  或 0，它的方 任意的，注意：0与 0的 义与书写区 . 3、单 量：长 于 1个单 的 量，特 的： a a  表 与 a 方 的单 量，即 一个 量 以 它的模，得 的 量 一个单 量， 且它的方 与该 量相 ． 4、相 量：长 相 且方 相 的 量. 5、相反 量：长 相 方 相反的 量，如 AB  与 BA  6、 量的共线 ( 行)：方 相 或相反的 零 量 a与 b  行 (共线) 量，可记 a⎳ b，规定：0  与任一 量共线 注意：(1) 行 量可以 一直线上，若两 量 行， 它们所 的直线 行或重 (2)共线 量与相 量关系：相 量一定 共线 量， 共线 量不一定 相 量． (3)零 量 影响 量 行或共线 断的“ 灵”,要特 注意 (4) 量的 行不具有 ,即若 a∥ b  ，b  ∥ c,未必有 a∥ c。因为零 量 行于任意 量, 当 b  = 0  时，a，c可以 任意 量,所以 a与 c不一定 行。 若 b  ≠ 0  , 必有 a∥ b  ，b  ∥ c⇒ a∥ c 1 有下 结论： ①表示两个相 的有 线段，若它们的起点相 ， 终点也相 ； ②若 a≠ b  ， a，b  不 共线 ； ③若 AB   = DC   ， 四边 ABCD 行四边 ； ④若m = n，n= k  ， m = k  ； ⑤有 线段 ， 有 线段. 其中，错误的个数 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2 2 (多 )下 结论中正 的 ( ) A. 若 a = b   ， a= b  B. 若 a= b  ,b  = c， a= c C. 若 A，B，C，D 不共线的四点，“AB  =DC  ”“四边 ABCD为 行四边 ”的充要条件 D.“a= b  ”的充要条件 “ a = b   且 a∥ b  ” 1 (多 ) 结论中正 的 ( ) A. a 与 b    相等与 a，b  的方 无关 B. 零 量相等，零 量的相反 量 零 量 C. 若 a，b  都 单 量，则 a= b  D. 量 AB  与 BA  相等 2 下 中，正 的个数 ( ) ①单 量都相等；②模相等的两个平行 量 相等 量； ③若 a,b  满足 |a|> |b  |，且 a与 b  ，则 a> b  ④若两个 量相等，则它们的起点 终点分别重 ； ⑤若 a∥ b  ,b  ∥ c，则 a∥ c A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3 (多 )下 叙述中错误的 ( ) A. 若 a= b  ，则 3a> 2b  B. 若 a∥ b  ，则 a与 b  的方 相 或相反 C. 若 a∥ b  ，b  ∥ c，则 a∥ c D. 对任一 零 量 a， a  |a| 一个单 量 【题型 2】向量的线性运算 概念|梳理 运 定义 法 (或几 意义) 运 律 法 两个 量 的运 三角形法 行四边形法 ①交 律 a+ b= b+ a ②结 律 (a+ b) + c= a+ (b+ c) 减法 a与 b的相反 量-b的 的 运 叫 a与 b 的差 a- b= a+ (-b) 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 3 三角形法 数乘 实数 λ 与 量 a 的积的运 (1)|λa| = |λ||a| (2)当 λ> 0时，λa与 a的方 相 ；当 λ< 0时，λa与 a的方 相 ； 当 λ= 0时，λa= 0 λ(μa) = (λμ)a (λ+ μ)a= λa+ μa λ(a+ b) = λa+ λb 1 设D,E,F 为ΔABC的三边 BC,CA,AB的中点， EB  + FC  = ( ) A. AD  B. 12 AD  C. 12 BC  D. BC  2 如图为正八边 ABCDEFGH，其中O为正八边 的中 ， OC  +HG  + FH  = ( ) A. OB  B. OD  C. OF  D. OH  3 (23- 24高一下· 东韶关·期末)数学家波 亚说：“为了 一个方 ，我们 把 一个 以两种不 的方法表示出来，即 一个 两次，从而建 相 关系”这 两次原理，又称为 富比 原理. 如: 如图甲， △ABC中，D 为 BC的中点， △ABD 中，有 AD  = AB  + BD  ， △ACD中，有 AD  = AC  + CD  ，两 相 ，2AD  = AB  + BD  + AC  + CD  .因为 D 为 BC的中点， 所以 BD  +CD  = 0  ，于 2AD  = AB  + AC  .如图乙， 四边 ABCD中，E，F 为 AD，BC的中 点，请用“ 两次”的方法证 ：2EF  = AB  +DC  4 1 (多 )下 四 可以化 为 PQ  的 ( ) A. AB  + PA  +BQ    B. AB  +PC   + BA  -QC    C. QC  +CQ  -QP  D. PA  + AB  - BQ  2 若 3 x+a + 2 x-2a - 4 x-a+b   = 0  ， x= . 3 (多 ) △ABC中，D，E，F 边 BC,CA,AB的中点，点G为△ABC的 ， 下 结论中正 的 ( ) A. AB  - BC  =CA  B. AG  = 13 (AB  + AC  ) C. AF  + BD  +CE  = 0 D. GA  +GB  +GC  = 0  【题型 3】几何图形与向量线性运算 解决与 相关的几 问 时，可以 过 析 的 质来 断图 的 状 1、 量长 (模)： 量的长 可以 我们 定线段的长 相 。如果两个 量的长 相 ， 么它们代表的线段也 长。这对于 断 行四边形、菱形或 边三角形 有用。 2、 量方 ： 过比较 量的方 ，可以 断图形中的线段 行。若两个 零 量方 相 或 相反， 这两个 量所代表的线段 行的。这有 于识 行四边形、矩形 。 3、 量 法 减法： 用 量的 法 减法可以找 图形中心点的 或者计 对角线的长 ， 综 运用这些技巧，可以 给定的 量信 断出图形的具 形状。 如， 证 一个四边形 为 行四边形时，可以 查其相对两边对 的 量 相 (即长 方 都相 )。 1 如图， 四边 ABCD中，O为两条对角线的交点，AB  =DC  ， 有 A. AD  =CB  B. OA  =OC  C. AC  =DB  D. DO  =OB  2 如图， 腰梯 ABCD中，AD∥ BC，AD= 2，AB= BC=CD= 1，E为 AD的中点． 下 子不正 的 ( ) A. AB  + AE  = AC  B. BE   = EC    C. AB  -CD  = ED  D. ED  +CB  = 0  高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 5 3 若 O ΔABC所 内一点，且满足 OB  -OC   = OB  +OC  -2OA   ， ΔABC的 状为 1 (多 )如图所示，梯 ABCD为 腰梯 ， 下 关系正 的 ( ) A. AB  =DC  B. AB   = DC    C. AB  >DC  D. BC  ∥ AD  2 四边 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点O，若 2OA  + 3OC  = 2OD  + 3OB  ， 四边 ABCD一定 ( ) A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 3 (多 )下 有关四边 ABCD的 状 断正 的 ( ) A. 若 AD  = BC  ，则四边形 ABCD为平行四边形 B. 若 AD  = 13 BC  ，则四边形 ABCD为梯形 C. 若 AB  =DC  ，且 AB   = AD   ，则四边形 ABCD为菱形 D. 若 AB  =DC  ，且 AC  ⊥ BD  ，则四边形 ABCD为正方形 【题型 4】向量中的定比分点恒等式 (爪型图) 核 |技巧 爪 图”的 质 (定比 点 式) 要点注释：已知M 线段 BC上，且 BD  CD  = mn ， AD  = nm+n AB  + mm+n AC  现学现练 设D为△ABC所 内一点，且 BC  = 3CD  ， ( ) A. AD  =- 13 AB  + 43 AC  B. AD  = 13 AB  - 43 AC  C. AD  = 43 AB  + 13 AC  D. AD  = 43 AB  - 13 AC  路：由“爪 图”的 质得：AC  = 14 AB  + 34 AD  ，解得：AD  =- 13 AB  + 43 AC  ， ：A 6 变 训练 △ABC中，点D 边 AB上，BD = 2DA．记CA  =m，CD  = n， CB  = (    ) A. 3m - 2n B. - 2m + 3n C. 3m + 2n D. 2m + 3n 点拨： 用“爪 图”的 质先表 ，再间 解 详解：CD  = 23 CA  + 13 CB  ⇒ CB  = 3CD  - 2CA  = 3n- 2m =-2m + 3n． ：B 1 △ABC中，点M满足 BM  = 2MA  ，若 a=CA  ，b  =CB  ，用 a,b  表示 CM  ，CM  = ．    2 若D为△ABC所 的一点，BC  = 3CD  ， ( ). A. AD  =- 13 AB  + 43 AC  B.AD  = 13 AB  - 43 AC  C.AD  = 43 AB  + 13 AC  D.AD  = 43 AB  - 13 AC  3 行四边 ABCD中，M为 BC的中点，若 AB  = λAM  + μDB  ， λ- μ= 1 △ABC中，AB  = c，AC  = b  ．若点D满足 BD  = 2DC  ， AD  = ( ) A. 23 b  + 13 c  B. 53 c - 23 b  C. 23 b  - 13 c  D. 13 b  + 23 c  2 行四边 ABCD中，点 E满足 BD  = 4BE  ，CE  = λBA  + μBC  (λ,μ∈ R)， λμ= ( ) A. - 316 B. - 3 8 C. 3 16 D. 1 3 如图， 行四边 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点O，且 EO  = 2AE  ， EB  = ( ) A. 16 AB  - 56 AD  B. 16 AB  + 56 AD  C. 56 AB  - 16 AD  D. 56 AB  + 16 AD  4 △ABC中，点M为边 BC的中点，点N 线段 AM上， 且 3AN= 2NM， BN  = ( ) A. - 45 AB  + 15 AC  B. 45 AB  - 15 AC  C. 45 AB  + 15 AC  D. - 45 AB  - 15 AC  高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 7 【题型 5】已知向量共线求参数及证明向量共线 量共线定理：如果 a= λb  且 b  ≠ 0  ， a∥ b  ； 反之若 a∥ b  且 b  ≠ 0  ， 一定存 一实数 λ， a= λb  ． 1 已知 e1  ，e2  不共线，实数 x，y满足 (3x - 4y) e1  + (2x - 3y) e2  = 6e1  + 3e2  ， x - y = . 2 【 2】已知OA  = a+ b  ，OB  = a+ 2b  ，OC  = a+ 3b  ， 证：A，B，C三点共线． 3 如图， 行四边 ABCD，AD  = a，AB  = b  ，M为 AB的中点，点N DB上，且DN  = tNB  ． (1) t= 2时，证 ：M、N、C三点共线；(2)若M、N、C三点共线， 实数 t的值． 1 已知 a，b  不共线，若 p= a+ 43 mb  与 q= b  + 3ma共线， m的值为 ( ) A. ± 12 B. 0或 1 2 C. 0或 1 D. 0或 3 2 (23- 24高一下· 西西安· 段练习)已知 e1  ,e2  两个不共线的单 ，a= e1  - e2  ,b  = -2e1  + ke2  ，若 a与 b  共线， k= ． 3 已知 a，b  两个不共线的 ，且OA  = 3a+ 5b  ，OB  = 4a+ 7b  ，OC  = a+mb  ，若 A， B，C三点共线， m= ( ) A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 2 8 4 △ABC中，点 D，E 边 BC 边 AB上，且 DC= 2BD，BE= 2AE，AD交 CE于点 P，设 BC  = a，BA  = b  . (1)若 EP  = tEC  ，试用 a，b  实数 t表示 BP  ； (2)试用 a，b  表示 BP  ； (3) 边 AC上有点 F， 得 AC  = 5AF  ，求证：B，P，F三点共线. 【题型 6】根据向量的关系判断三角形的心 核 |技巧 三角形四心的的 量 质 1.若O为△ABC重心 (三条中线的交点) (1)SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB= 1:1:1； (2)OA  +OB  +OC  = 0  ； (3) 点 P满足OP  =OA  + λ AB  +AC   ,λ∈ 0,+∞ , P的轨迹一 定 过△ABC的重心 (4) 点 P满足 OP  = OA  + λ AB  AB   sinB + AC  AC   sinC      ,λ∈ 0,+∞ , 点 P的轨迹一定 过△ABC的重心 2.若O为△ABC 心 (三条高的交点) (1)OA  ⋅OB  =OB  ⋅OC  =OC  ⋅OA  (2) OA    2+ BC    2= OB    2+ CA    2= OC    2+ AB    2 (3) 点 P满足OP  =OA  + λ AB  AB   cosB + AC  AC   cosC      ,λ∈ 0,+∞ , 点 P的轨迹一定 过△ABC的 心 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 9 3.若O为△ABC内心 (三条角 线的交点) (1)S△BOC:S△COA:S△AOB= a:b:c (2)a ⋅OA  + b ⋅OB  + c ⋅OC  = 0  (3) 点 P满足OP  =OA  + λ AB  AB    + AC  AC         ,λ∈ 0,+∞ , P的轨迹 一定 过△ABC的内心 (4)OA  ⋅ AC  AC    - AB  AB         = OB  ⋅ BC  BC    - BA  BA         = OC  ⋅ CA  CA    - CB  CB          = 0 4.若O为△ABC外心 (三条中 线的交点) (1)OA2  =OB2  =OC2  ； (2 ) 点 P 满足 OP  = OB  +OC  2 + λ AB  AB   cosB + AC  AC   cosC      , λ ∈ 0,+∞ , 点 P的轨 迹一定 过△ABC的外心; (3)若 OA  +OB   ⋅ AB  = OB  +OC   ⋅ BC  = OA  +OC   ⋅ AC  = 0, O △ABC的外心. 1 已知点 O 上一定点，A，B，C 上不共线的三个点， 点 P满足 OP  = OA  + λ AB  |AB  | + AC  |AC  | ，λ∈ [0, +∞), P的轨迹一定 过△ABC的 ( ) A. 外 B. 内 C. D. 2 已知G △ABC所 上的一点，若GA  +GB  +GC  = 0， G △ABC的 ( )． A. B. 外 C. 内 D. 3 已知O 上一定点，A，B，C 上不共线的三个点， 点 P满足OP  =OA  + λ(AB  + AC  )，λ∈ (0，+∞)， P的轨迹一定 过△ABC的 ( ). A. B. 外 C. 内 D. 4 O △ABC所 内一点， 点 P满足OP  =OA  + λ AB  AB   sinB + AC  AC   sinC      ， λ∈ (0，+∞)， 点 P的轨迹一定 过△ABC的 ( ) A. 内 B. C. 外 D. 1 已知O 上一定点，A  ,  B  ,  C 上不共线的三个点， 点 P满足OP  = OA  + λ(AB  + AC  )，λ∈ (0，+∞)， P的轨迹一定 过△ABC的 ( ) A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 心 10 2 (23- 24高一下) (多 )设M △ABC所 内一点， 下 说法正 的 ( ) A. 若 AM  = 12 AB  + 12 AC  ，则M 边 BC的中点 B. 若MA=MB=MC，则M △ABC的 心 C. 若 AM  =-BM  -CM  ，则M △ABC的重心 D. 若 AM  = λ AB  AB    + AC  AC         ，则动点M过△ABC的内心 3 若△ABC的三边为 a，b，c，有 aOA  + bOB  + cOC  = 0  ， O △ABC的 ( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 心 模块二 平面向量共线定理的推论 核 |技巧 三点共线系数 为 1 量共线定理 论：若点 A,B,C互不重 ，P A,B,C三点所 上的任意点，且 PC  = xPA  + yPB  ， A,B,C三点共线 x+ y= 1的充要条件. 证 1:由 x+ y= 1⇒ A,B,C三点共线. 由 x+ y= 1 PC  = xPA  + yPB  = xPA  + (1- x)PB  ⇒ PC  - PB  = x(PA  - PB  )⇒ BC  = xBA  . 即 BC  ，BA  共线，故 A，B，C三点共线. 证 2:由 A,B,C三点共线⇒ x+ y= 1. 由 A，B，C三点共线 BC  ，BA  共线，即存 实数 x BC  = λBA  . 故 BP  + PC  = λ(BP  + PA  )⇒ PC  = λPA  + (1- λ)PB  .令 x= λ,y= 1- λ， 有 x+ y= 1. 【现学现练】如图， △ABC中，AN  = 13 NC  ，P BN上的一点，若 AP  =mAB  + 211 AC  ， 实数m =________. 【 】 3 11 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 11 核 |技巧 线 【问题 1】若 AN  = 1λ+1 AB  + λλ+1 AC  ， 么点N 线段 AB的什么 ？ ： BC上取一点N，BN  = λNC  ，可以理解为点N 直线 BC上运 【问题 2】若 AM  = 2λ+1 AB  + 2λλ+1 AC  时，如 理解M点的 ？ ： AM  = 2 1λ+1 AB  + λλ+1 AC   = 2AN  ，可以理解为点M的轨迹为 行于 BC的直线，且点 A 该直线的距 点 A BC距 的 2 线相关 质 内一组基 OA  ,OB  及任一 量OP  ，OP  = xOA  + yOB  ，若点 p 直线 AB上或 行于 AB的直 线上， x+ y= k(定 )，反之也成立，我们把直线 AB以及与直线 AB 行的直线称为 线 质一：当 线 为直线 AB时，k 于 1； 质二：定 k的变化与 线 O点的距 成正比 【现学现练 1】 行四边形中 ABCD 中，E F CD BC边上的中 点，且 AC  = λAE  + μAF  ,其中 λ，μ∈ R， λ+ μ=___________. 【解析】连 EF，交 AC于 G，∵ E， F，G共线， AG  = xAE  + yAF  ，且 x+ y= 1,记 AC  = tAG  ， λ+ μ= tx+ ty= t，t= AG    AC    = 43 【现学现练 2】给定两个长 为 1的 量OA  OB  ， 它们的夹角为 120°，如图所 ,点C 以O为 心的 弧 AB  上运 ，若OC  = xOA  + yOB  ，其中 x,y∈ R， x + y的最大 ______. 【解析】设OC  = tOM  ， OM  = xt OA  + yt OB  ⇒ x + y= t,而 t= OC  OM  ，当OM⊥ AB时，t取最大 ， tmax= 2 12 【题型 7】利用系数和为“1”速求参数 1 (23- 24高一下· 苏宿迁·期中) △ABC中，点D 线段 AC上一点，点 P 线段 BD上一点， 且CD  =DA  ，AP  = 23 AB  + λAC  ， λ= ( ) A. 18 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 3 2 (23- 24高一下· 苏苏州·期中)已知 OA  ，OB  不共线，点 P满足OP  = xOA  + yOB  ，x，y ∈ R.证 ： (1)若 x= y= 12 ， 点 P 线段 AB的中点；(2)x+ y= 1 A、B、P三点共线的充要条件. 1 (23- 24高一下· 东 州·期末)如图， △ABC中，AC= 4AD，P 线段 BD上一点，若 AP  =mAB  + 16 AC  ， 实数m的值为 ( ) A. 13 B. 2 3 C. 2 D. 1 5 2 如图， △ABC中，N为线段 AC上 近 A点的三 点，若 AP  = m+ 110 AB  + 110 BC  ， m= ． 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 13 3 如图， △ABC中，AN  = 13 NC  ，P BN上的一点，若 AP  =mAB  + 213 AC  ， 实数m= ． 【题型 8】向量写 2次，结合系数和为“1”求参数 用三点共线系数 为 1来得 方 组得出系数 1 已知△ABC中，AP  = 2PB  ，AQ  =QC  ，直线 PC与QB交于点O，若 AO  = λAB  + μAC  ， λ+ μ = ． 2 (23- 24高一下· 东聊 ·期中)如图， △ABC中，点O BC的中点，过点O的直线 交 直线 AB，AC于不 的两点M，N．设 AB=mAM，AC= nAN， m+ n的值为 3 (23- 24高一下· 苏苏州·期中) 行四边 ABCD中，E，F 边 AD，CD上，AE= 3ED，DF= FC，AF与 BE相交于点G，记 BC  = a，BA  = b  ， AG  = ( ) A. 311 a - 611 b  B. - 311 a + 611 b  C. 611 a - 311 b  D. - 611 a + 311 b  14 1 (23- 24高一下· 东深 ·期末)已知 △ABC 中，AE  = 2AB  ，BM  = 2MC  ，若 AF  = xAC  ， 且 E，M，F 三点共线， x= ( ) A. 23 B. 3 4 C. 4 5 D. 5 6 2 △ ABC 中，已知 BD  = 2DC  ，CE  = EA  ，BE 与 AD 交于点 O . 若 CO  = x CB  + yCA  x,y∈R ， x+ y= . 3 △ABC中，BM  = 13 BC  ，CN  = xCA  ，AM交 BN于Q，BQ  = 23 BN  ， x= ． 4 △ABC中，D为 BC中点，AE  = 2EC  ，AD交 BE于 P点，若 AP  = λAD  ， λ= ( ) A. 23 B. 3 5 C. 4 5 D. 5 6 5 (23- 24高一下· 东中 ·期中) (多 )如图， △ABC中，D为 BC的中点，AE  = 2EC  ， AD与 BE交于点 F，若 CF  = xAB  + yAC  ， 下 对于 x,y的 述正 的 ( ) A. 2x+ 3y=-1 B. 2x- 3y= 1 C. x- y= 1 D. x+ y=-1 【题型 9】系数和为定值问题以及结合基本不等式求最值 1 如图， △ABC中，AQ为边 BC的中线，AP  = 25 AQ  ，过点 P 直线 交边 AB，AC于点 M，N，且 AM  = λAB  ，AN  = μAC  ，其中 λ> 0，μ> 0.证 ：1λ + 1 μ 为定值． 2 △ABC中，D为 AB的中点，点 F 线段CD(不 端点)上，且满足 AF  = xAB  + yAC  x,y∈R ， 1x + 2 y 的最 值为 ( ) A. 3+ 2 2 B. 2+ 2 2 C. 6 D. 8 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 15 3 (23- 24高一下· 东 · 段练习) (多 )如图， △ABC中，AD  = 3DB  ，AC边上存 点 E 满足 EA  = λCE  λ>0 ，直线CD 直线 BE交于点 F，若 FC  = μDF  (μ> 0)， ( ) A. CD  = 14 CA  + 34 CB  B. λμ= 4 C. 1 λ2 + 64 μ2 的最 值为 12 D. CF  ⋅EA  CD  ⋅CA  ≤ 49 1 (23- 24高一下· 苏南京· 段练习)如图， △ABC中，点 P满足 BP  = 2PC  ，过点 P的直 线与 AB,AC所 的直线 交于点M ,N，若 AM  = λAB  ,AN  = μAC  ,(λ> 0,μ> 0). (1)λ与 μ的关系；(2)求 λ+ μ的最 值 2 △ABC中，点 P满足 2BP  = PC  ，过点 P的直线与 AB，AC所 的直线 交于点M， N，若 AM  = xAB  ，AN  = yAC  x>0,y>0 ， 2x+ y的最 值为 ( ) A. 3 B. 3 2 C. 1 D. 13 3 已知点G为△ABC的 ，D,E 为 AB，AC边上一点，D，G，E三点共线，F为 BC的 中点，若 AF  = λAD  + μAE  ， 1 λ + 4 μ 的最 值为 ( ) A. 272 B. 7 C. 9 2 D. 6 16 4 (23- 24高一上· 宁波·期末) △ABC中，点 D为 AC边上的中点，点 E满足 EC  = 3BE  ，点 P 直线 BD，AE的交点，过点 P 一条直线交线段 AC于点M，交线段 BC于点 N(其 中点M，N 不与端点 )设CM  =mCA  ，CN  = nCB  ， m+ n的最 值为 ( ) A. 4+ 35 B. 4+2 3 5 C. 7 5 D. 16 5 5 已知三点 A，B，C共线，OB  ,OC  不共线且 A 线段 BC上 (不 BC端点)，若OA  = xOB  + yOC  ， 1 x + 4 y+1 的最 值为 ( ) A. 不存 最 值 B. 72 C. 4 D. 9 2 6 经过 △OAB 的 G 的直线与 OA，OB 交于点 P，Q，设 OP  = mOA  ，OQ  = nOB  m>0,n>0 . (1)证 ：1m + 1 n 为定值；(2)求m+ n的最 值. 7 (23- 24高一下· 苏南京·期中)已知D,E 为△ABC的边 AB、AC上的点，线段 BE CD相交于点 P，若 AD  = 3DB  ，且 DP  = λPC  ,CE  = μEA  ,其中 λ> 0,μ> 0， 2λ + 1 μ 的最 值 为 . 8 (23- 24高一下· ·期中)如图， △ABC中，P为线段 BC上 近点 B的三 点，O 线段 AP上一点，过点O的直线与边 AB,AC 交于点 E,F，设 AE  = λAB  ，AF  = μAC  ． (1)若 λ= 23 ，μ= 3 4 ，求 AO OP 的值；(2)若点O为线段 AP的中点，求 λ+ 2μ的最 值． 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 17 【题型 10】等和线问题 1 (23- 24高一下· 东梅州·期末)如图， 扇 AOB中，扇 的半 为 1,∠AOB= 2π3 ，点 P AB  上移 ，OP  = aOA  + bOB  ． ∠AOP= π2 时，a+ b= ( )    A. 32 B. 3 C. 2 D. 3 3 2 2 如图正六边 ABCDEF中，P点三角 CDE内 (包括边界)的 点，设 AP  = xAB  + yAF  ， x + y的取值 围 ． 1 给定两个长 为 3的 OA  OB  ，它们的夹角为 120°，如图所示,点C 以O为 的 AB  上运 ，若OC  = xOA  + yOB  ，其中 x,y∈ R， x+ y的最大值 ；2x+ y的 最大值 . 18 2 如图，边长为 2的 边三角 的外 为 O，P为 O上任一点，若 AP  = xAB  + yAC  ， 2x+ 2y的最大值为 ( ) A. 83 B. 2 C. 4 3 D. 1 3 如图， 正方 ABCD中，E为 BC的中点，P 以 AB为直 的半 上任意一点，设 AE  = xAD  + yAP  (x,y∈ R)， 2x+ y的最 值为 ( ) A. - 1 B. 1 C. 2 D. 3 4 矩 ABCD中，AB= 1，AD= 2， 点 P 以点C为 且与 BD相 的 上.若 AP  = λAB  + μAD  ， λ+ μ的最大值为 ( ) A. 3 B. 2 2 C. 5 D. 2 5 △ABC中，AC⊥ AB，AB= 3，AC= 1，点 P △ABC所 内一点，AP  = AB  |AB  | + 2AC  |AC  | ，且满足 |PM  |= 2，若 AM  = xAB  + yAC  ， 3x+ y的最 值 ( )． A. 3+ 2 2 B. 2 C. 1 D. 3- 2 2 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 19 课后训练 1 下 中，正 的个数 ( ) ①单 都相 ；②模相 的两个 行 相 ； ③若 a,b  满足 |a|> |b  |，且 a与 b  ， a> b  ④若两个 相 ， 它们的起点 终点 ； ⑤若 a∥ b  ,b  ∥ c， a∥ c A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2 四边 ABCD中，AB  = a+ 2b  ，BC  =-4a- b  ，CD  =-5a- 3b  ，若 a、b  不共线， 四边 ABCD为 ( ) A. 行四边 B. 矩 C. 梯 D. 菱 3 (多 )下 的 (    )． A. 若 A，B，C，D 一条直线上， AB  与CD  共线 B. 若 A，B，C，D不 一条直线上， AB  与CD  不 共线 C. 若 AB  与CD  共线 ， A，B，C，D四点 一条直线上 D. 若 AB  与 AC  共线 ， A，B，C三点 一条直线上 4 已知MN  = a+ 5b  ，NP  =-2(a- 4b  )，PQ  = 3(a- b  )， ( ) A. M，N，P三点共线 B. M，N，Q三点共线 C. M，P，Q三点共线 D. N，P，Q三点共线 5 如图所示， △ABC中，AN  = 14 NC  ，P BN上的一点，若 AP  = 611 AB  +mAC  ， 实 数m的值为 ． 6 (23- 24高一下· 东 · 段练习)已知 零 e1  e2  不共线，若 1 2 e1  + 13 e2  与 -2e1  + ke2  共线， k的值为 ． 7 (23- 24高一下·天 ·期末)已知 a与 b  两个不共线的 ，OA  = a- b  ，OB  = 2a+ b  ，OC  = λa+ μb  ，若 A，B，C三点共线， 2λ- μ= ． 8 已知 e1,e  2不共线，且 AB  = e1+ ke  2,BC  = 5e1+ 4e  2,DC  =-e1- 2e  2．若 A,B,D三点 共线， 实数 k= ． 20 9 如图所示，BC  = 2BE  = 2AD  ,CF  = 13 CD  ， BF  + AE  = ( ) A. 43 AB  + 103 AD  B. 23 AB  + 83 AD  C. - 23 AB  + 43 AD  D. 23 AB  + 176 AD  10 已知 a,b  不共线，且 a+ tb  与 3t-2 a+ b  的方 相反， 实数 t的值为 A. 1 B. - 13 C. 1或- 1 3 D. - 1或- 1 3 11 已知O为△ABC内一点，且 AO  = 12 OB  +OC   ,AD  = tAC  ，若 B、O、D三点共线， t 的值为 ( ) A. 23 B. 1 4 C. 1 3 D. 2 3 12 已知△OAB中，OC  = CA  ，OD  = 2DB  ，AD与 BC相交于点M，OM  = xOA  + yOB  ， 有 数对 (x,y) = ( ) A. 12 , 1 3  B. 1 3 , 1 2  C. 1 2 , 1 4  D. 1 4 , 1 2  13 △ABC中，BC  = 3BD  ，CF  = 2FA  ，E AB的中点，EF与 AD交于点 P，若 AP  = mAB  + nAC  ， m+ n= ( ) A. 37 B. 4 7 C. 6 7 D. 1 14 给定两个长 为 1的 OA  OB  ，它们的夹角为 2π 3 ，如图所示点C 以O为 的 AB  上运 ，若OC  = xOA  + yOB  ，其中 x，y∈ R， x+ y的取值 围为 15 △ABC中，点 P满足 BP  = 3PC  ，过点 P的直线与 AB、AC所 的直线 交于点 M、N，若 AM  = λAB  ，AN  = μAC  λ>0,μ>0 ， λ+ μ的最 值为 ( ) A. 22 + 1 B. 3 2 + 1 C. 3 2 D. 5 2 高一培优 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 21 16 (多 )如图，△ABC中，BD  = 13 BC  ，AE  = 12 AC  ，AD与 BE交于点 F， 下 说法正 的 ( ) A. AD  = 13 AB  + 23 AC  B. BF  = 12 BE    C. S△BFD:S△AFE= 1:3 D. AF  + 2BF  +CF  = 0  17 (23- 24高一下· 北·期中)已知 零 e1  e2  不共线． (1)如果 AB  = e1  + 2e2  ，CB  = 3e1  + e2  ，CD  = e1  - 3e2  ， 证：A，B，D三点共线； (2)若 3e1  - 2e2  与 2e1  - ke2  行， 实数 k的值． 18 (23- 24高一下· · 段练习)如图， △ABC中，D BC中点，E 边 AB上，且 BE= 2EA，AD与CE交于点O． (1)用 AB  ，AC  表示 AO  ； (2)过点O 直线交线段 AB于点G，交线段 AC于点H，且 AG  = 23 AB  ，AH  = tAC  ， t的值； 22 19 已知 a,b  不共线，OA  = a+ 2b  ,OB  = 2a- b  ,OC  = xa+ yb  x,y∈R ． (1)若OC  =OB  - 2OA  ， x,y；(2)若 A、B、C三点共线， xy的最大值． 20 如图， △ABC中，AD BC边上的中线． (1)取 BD的中点M，试用 AB  AC  表示 AM  ； (2)若G AD上一点，且 AG  = 2GD  ，直线 EF过点G，交 AB交于点 E，交 AC于点 F．若 AE  = λAB  ， AF  = μAC  λ,μ∈R+ ， λ+ μ的最 值． 21 已知△ABC中，过 G的直线交边 AB于 P，交边 AC于Q，设△APQ的 积为 S1， △ABC的 积为 S2，AP  = pPB  ，AQ  = qQC  . (1) GA  +GB  +GC  ；(2) 证：1p + 1 q = 1.