精品解析：安徽省桐城中学2024-2025学年高一下学期开学测试数学试题

安徽省桐城中学2024-2025学年高一年级下期 开学测试数学试题 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的性质求出集合，再由交集的结果求解即可； 【详解】由，所以， 因为，所以，即， 故选：D. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. B. 是整数 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定. 【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助数形结合解不等式，结合图象判断结果. 【详解】画出函数与的图象，如图所示． 由图象知，在上，两函数有2个公共点，， 在上，两函数有一个公共点． 观察图象可知：在上，；在上，； 在上，；在上，恒有． 因此，“”是“”的充分不必要条件， 故选:A． 4. 已知，则下列不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质可得A、C正确；由基本不等式可得B正确；作差可得D错误； 【详解】对于A选项：因为，则，即，故A正确； 对于B选项：若，，则由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C选项：因为，，所以两边乘以，得，即成立，故C正确； 对于D选项：若，，， 则 ，因为可能大于0，可能小于0，可能等于0， 所以 与大小关系不确定，故D错误. 故选：D. 5. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“优美点”的定义，可得时的函数图象关于原点对称的图象的解析式与有交点，转化为方程有解，分离参数后利用基本不等式即可求得结果. 【详解】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点， 当时，，将其图象关于原点对称， 所得图象的解析式为. 所以只要射线与的图象有公共点即可， 由得， 所以， 由基本不等式可得时等号成立， 所以，即. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答新定义问题的一般思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【详解】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故选：D. 8. 已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确. 【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得； 将的图象向右平移个单位长度后可得， 其图象关于y轴对称，所以为偶函数，则，， 解得，，由可知当时，符合题意； 由可得； 因此； 对于①，当时，，取得最大值， 所以是的一个对称轴，即①正确； 对于②，当时，， 所以不是的一个对称中心，即②错误； 对于③，当时，可得，又在上不单调， 所以在上不是单调递增的，所以③错误； 对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期， 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍， 由的周期为可得，，即④正确； 所以正确的个数只有①和④共2个. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再由检验法或整体代换法判断结论是否正确. 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立 D. 若实数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明，则可判断AB，确定函数的单调性判断C，根据和单调性判断D． 【详解】，所以函数定义域为， ， 所以，A正确； 由得，对任意点，它关于的对称点为， 即也在的图象上，因此B正确； ，易知其定义域为R， 由上知，，是奇函数， 时，是增函数，是增函数，因此复合函数是增函数， 从而是R上的增函数，又是增函数，所以是增函数， 那么时必有，从而，C错误； 对于D选项，由于， 因此由得，而是增函数，所以，即，D正确， 故选：ABD． 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数 D. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 11. 若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是， B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 若当时，，则 D. 若在上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，求出，根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A；代入验证是否为对称轴判断B；当时，利用周期得，结合图象得，求出的取值范围，判断C；根据图象变换求出，根据在上恰有3个零点，结合图象，得到取值范围，判断D. 【详解】的最小正周期为，由题图可得，所以， ，，得，又，所以， 所以， 对于A，，由，， 解得，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，利用周期得，，结合函数图象，可知， 若，，解得，故C正确， 对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象, 再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象， 故. 当时， 因为在上恰有3个零点，所以，得号，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数中参数的确定：由函数的最值可确定的值；由函数与轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期，进而可求得的值；由函数图象与轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得的值．函数的单调性利用换元法可解决. 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12. 已知，则___． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 13. 已知，，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：由题意可得，则，又，则，化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得，再借助权方和不等式计算即可得. 【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用： 由，，，则， 即，则， 则 ， 当且仅当，即，即、时，等号成立. 法二：借助权方和不等式： 由，，，则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是________ 【答案】或 【解析】 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于时的处理，利用二次函数的性质，结合及条件，得到或，即可求解. 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）解不等式分别求出集合，然后再利用补集的概念求解； （2）根据条件得出是的真子集，分类讨论求解集合B，根据集合关系列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 当时，， 所以或， 又，所以或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，所以，， 当时，，， 由题意，解得； 当时，，， 由题意，解得； 综上实数的取值范围为或． 16. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，利用特值法可得值域问题，再验证即可； （2）先根据条件求出，利用换元法及基本不等式求解. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 则且，，解得，即， 证明：， 故是定义在R上的奇函数， . 【小问2详解】 整理得， 代入得， 即恒成立，， 而， ， 当且仅当，即时等号成立， 即实数的最大值为. 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】（1）， （2）7万元 【解析】 【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． 小问1详解】 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． 【小问2详解】 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 18. 哈尔滨冰雪大世界的雪花摩天轮总高120米，转轮直径约为106米，共有48个月冕型轿厢，每个轿厢可容纳10人.雪花摩天轮旋转一圈时间约是24分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m） （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）若甲、乙两人进舱时间相差4分钟，从第一个人进仓开始记时，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值. 【答案】（1），. （2）分钟时，第一次达到最大值53米. 【解析】 【分析】（1）摩天轮的运动可以看作是一个圆周运动，其高度随时间的变化可以用正弦函数或余弦函数来表示.我们需要根据摩天轮的相关参数确定函数的各项参数. （2）在求出（1）中函数解析式的基础上，根据甲、乙进舱时间差，分别写出两人距离地面高度的表达式，然后求高度差的表达式，再通过分析这个表达式来找出高度差第一次达到最大时的时间和最大值. 【小问1详解】 摩天轮转轮直径约为米，那么半径米，摩天轮总高米. 摩天轮旋转一圈时间约是分钟，根据三角函数的周期公式（这里），可得. 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设. 因为，，. 所以，. 【小问2详解】 设甲进舱时间为，则乙进舱时间为. 甲距离地面高度.乙距离地面高度. 高度差. 根据两角和的余弦公式，. 则进一步化简. 根据两角差的余弦公式，. 当，即分钟时，第一次达到最大值53米. 19. 定义一种新的运算“”，都有． （1）对于任意实数，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解； （2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可； （3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 ，， ， ， ； 【小问2详解】 ， 原不等式可化为：，即， 为满足题意，必有，即或①； 令，则对称轴为， 由于，，结合①可得， 的一个零点在区间，则另一个零点在区间， 从而，即②， 由①②可得：或， 综上可得实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， ， 设，， 令，，则， ， ， 所以的值域为， ，当且仅当时取等号，， 所以的值域为， 根据题意可知：，，即， 解得且， 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省桐城中学2024-2025学年高一年级下期 开学测试数学试题 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. B. 是整数 C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则下列不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6 若，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立 D. 若实数满足，则 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数 D. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 11. 若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是， B. 直线是函数图象的一条对称轴 C 若当时，，则 D. 若在上恰有3个零点，则 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12. 已知，则___． 13. 已知，，，则的最小值为______. 14. 若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是________ 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 18. 哈尔滨冰雪大世界的雪花摩天轮总高120米，转轮直径约为106米，共有48个月冕型轿厢，每个轿厢可容纳10人.雪花摩天轮旋转一圈时间约是24分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m） （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）若甲、乙两人进舱时间相差4分钟，从第一个人进仓开始记时，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值. 19. 定义一种新的运算“”，都有． （1）对于任意实数，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$