第六章 平面向量及其应用（13大压轴题型）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（13大压轴题型） 【经典例题一 向量的模】 1．（22-23高二上·上海嘉定·阶段练习）已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意首先计算选项中所给的向量的平方，然后利用作差法比较大小即可. 【详解】设向量的夹角为，向量不共线，则 则原问题等价于考查：，， ，的最大值， 由于：，， ，， 且：， ， ， 综上可得，所给的四个向量中模最大的是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的模的计算，等价转化的数学思想，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．（22-23高一上·江西南昌·期末）若函数与的图象交于两点,则 . 【答案】 【分析】画出与图像,可得与关于点对称,进而求解即可 【详解】由题,画出与的图像,如图所示,    则与关于点对称, 所以, 所以, 故答案为: 【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想 3．（22-23高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【答案】最大值是18，最小值是6. 【分析】根据向量的三角不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 【经典例题二 向量加法的法则】 4．（22-23高一下·湖北咸宁·期末）如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，过分别作的平行线，不妨设，可得，进而可得答案. 【详解】设，过分别作的平行线， 分别交于， 如图，不妨设， 所以， 则， 从而， 故. 故选：A.    5．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像： 因为，， 所以，， 则，， 故 ， 因为， 所以，解得，，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题. 6．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力． 【答案】与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，作出受力分析图，然后计算即可. 【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力， 在中，， ，， ∴，∴， ∴与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． 【经典例题三 向量减法的法则】 7．（21-22高一·全国·课后作业）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为，, 所以，故正确； 对于B，因为,(为中点)，故错误； 对于C，因为(为中点), (为中点), 所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故正确. 故选：B. 8．（22-23高一下·上海·课后作业）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用，将的模与联系起来，即可得到的范围. 【详解】 ， ， ， 即 . 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·课后作业）对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 【答案】答案见解析 【分析】结合图形，当、不共线时，由三角形中两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，可得；当、同向、当、反向时可得和. 【详解】当、不共线时有， 理由如下， 如图，设，以为邻边作一个平行四边形， 则， 在中，，， ，， 所以； 当、同向时有， 如上左图，设，， 因为，所以； 当、反向有， 如上右图，设，， 因为，所以. 【经典例题四 三角形的心的向量表示】 10．（2023高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 11．（2023高一·全国·专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 【答案】 重心 内心 【分析】空1：设中边的中点为，知，从而得到，进而可知点的轨迹必过的重心；空2：由可得，从而可知在的角平分线上，进而可知点的轨迹一定通过的内心． 【详解】空1：由已知，， 根据平行四边形法则，设中边的中点为，知， ， ，则，，三点共线， 点的轨迹必过的重心； 空2：由已知，，而表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 在的角平分线上， 点的轨迹一定通过的内心． 故答案为：重心；内心． 12．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    【经典例题五 已知模求数量积】 13．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值. 【详解】 如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形, 则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时， 只需考虑点E在边上的运动情况即可， 因为，，知，即， 则， ①当点E在边上运动时，设，则， 则, 当时，最小值为； ②当点E在边上运动时， 设,则, 则 ， 当时，的最小值为； 综上，的最小值为； 故选：C． 【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解. 14．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得，表示点与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解. 【详解】由，得， 即，解得. ， 表示点与点的距离之和. 如图，点关于x轴的对称点为，连接， 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）. 15．（21-22高一·全国·课后作业）已知向量不共线，向量. (1)若，求的值； (2)若为相互垂直的单位向量，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行关系列出等式结合平面向量基本定理求参； （2）应用两个向量垂直得出数量积为0，再应用向量的模求出向量的平方计算求参即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以存在实数，使得， 则，解得. （2）因为，所以， 因为，所以， 即. 因为为相互垂直的单位向量，所以， 则，即. 【经典例题六 坐标计算向量的模】 16．（23-24高一下·福建龙岩·期末）已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（    ） A．22.5 B．23.5 C．24.5 D．25.5 【答案】B 【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出12个顶点的坐标，设，然后表示出，化简得，不妨设在上，表示出线段的方程，则表示出，利用二次函数的性质可求出其范围，从而可求出的范围，进而可求得答案. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， ， 设，则 ， ， ， ， 所以， 由正十二边形的对称性，不妨设在上， 因为，所以， 所以为，即， 所以， 因为对称轴为， 所以的最小值为， 最大值为， 所以， 所以， 即， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的运算，考查二次函数的性质，解题的关键是建立平面直角坐标系，表示出各顶点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 17．（23-24高一下·福建福州·期中）已知、为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及定义求出与的夹角，设，，，由得到点在以为圆心，为半径的圆上，而，表示点与圆上的点的距离，结合平面几何的性质计算可得. 【详解】因为、为单位向量，且，设与的夹角为， 则，则，即， 解得，又，所以， 设，，， 则，由， 所以，则点在以为圆心，为半径的圆上， 又， 所以，表示点与圆上的点的距离， 又点在轴上，因为，当且仅当在线段之间时取等号， 又，，则，当时， 所以当时，， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是首先求出与的夹角，从而设，，，再根据模求出轨迹，最后结合平面几何的知识求最小值. 18．（24-25高二上·河北保定·开学考试）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点. (1)已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围； (3)若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值. 【答案】(1)不是 (2) (3)证明见解析，4048 【分析】（1）分别计算与重合和与重合时这两种情况下的结果，再依据一组稳定向量基点的定义得解. （2）根据向量运算法则得，再结合正方形结构性质可得的最大值和最小值，进而得解. （3）先转化，从而得，再结合和偶数边的正多边形图形结构性质即可得解. 【详解】（1）点不是关于的一组稳定向量基点，理由如下： 当与重合时，有， 当与重合时，有， 故不是关于的一组稳定向量基点. （2）因为， 所以，故由正方形结构性质得： 当与重合时，取得最大值；当与重合时，取得最小值0. 所以的取值范围为. （3）设单位圆的圆心为， 则， 所以， 因为多边形是正2024边形， 所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知，故， 又，所以， 故是关于圆的一组稳定向量基点，且. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是： 1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题. 【经典例题七 向量在几何中的其他应用】 19．（22-23高一下·重庆·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 20．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，，，点是边的中点，点为线段的中点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，利用向量的数量积，向量的线性运算可得，从而可得答案. 【详解】设，则由三角形性质可得：， 由条件可知： . 故答案为： 21．（23-24高一下·山东临沂·期中）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程请用向量法解决解决以下问题： (1)证明：的三条高线交于一点； (2)已知矩形为平面内任意一点，求证： (3)如图，已知圆是圆上两个动点，已知点，求矩形的顶点的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先设边上的高交于一点，则，由减法运算得出，所以； （2）以点为原点建立平面直角坐标系，利用模长公式证明即可； （3）设，借助（2）中结论求解即可. 【详解】（1）在中， ， ， ． ， ， ， 故三角形三条高交于一点； （2）解：以点为原点建立平面直角坐标系： 记，，，，设， 则有：， ， 故：； （3）设，由（2）得：，得：， 化简得轨迹方程为：. 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的应用，考查利用向量证明几何中的结论，解题的关键是运用向量数量的运算律结合图形求解，考查数形结合的思想和计算能力. 【经典例题八 余弦定理边角互化的应用】 22．（23-24高一下·福建泉州·期中）设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理的式子，将函数化简为，再根据二次函数的图象与性质加以计算，可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点，可得本题的答案. 【详解】在中，根据余弦定理， ∴， 因此函数可化为：， ∵， ∴函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有公共点. 由此可得，对任意实数x，恒成立. 故选：B. 23．（22-23高三上·江苏连云港·阶段练习）拿破仑是法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形ABP，BCQ，CAR，它们的中心依次为D，E，F．若AB＝3，BC＝5，CA＝7，则RQ＝ ，△DEF的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意，根据余弦定理，解得三角形的三个内角的余弦值，进而求得正弦值，结合余弦的差角公式，求得的余弦值，在中，根据余弦定理，可得的值，利用同样的思路，求得的长，结合三角形的面积公式，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 在中，由余弦定理可得，则， 由题意，可知，，， 故， 在中，，由余弦定理可得：，故. 连接， 在中，由余弦定理可得：，则， 由等边三角形的性质，易知，，，， 故， 在中，由余弦定理可得：，故，同理可得， 在中，由余弦定理可得：，则，故，则， 故为等边三角形，则， 故答案为：；. 24．（22-23高三·云南·阶段练习）在中，设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，且. (1)若，且，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用面积公式及余弦定理解得. （2）利用余弦定理得出函数，利用单调性解决问题。 【详解】（1）由三角形面积公式可得， 则，又， 由余弦定理可得， ∴，. （2）由，可得， ∴， 如图，过点作于，过点作，使得，连接，，则， 在中，， 则， 即，解得， 则，∴， 而， 令，则在时为减函数， ∴， ∴当时，，此时取得最小值. 【经典例题九 正弦定理求外接圆半径】 25．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解. 【详解】的外接圆的半径， 如图所示，,是圆的直径. 可知点在优弧上（不包括端点）， 当为时，此时取到最大值； 当点从点A到时，此时越来越大，且； 当点从点到C时，此时越来越小，且； 综上所述：若只有一个解，则的取值范围为. 故选：D. 26．（2025·河南洛阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若的面积与的外接圆的面积之比为，则 ． 【答案】/0.4 【分析】由正弦定理表示出外接圆半径，由面积比结合正弦定理可得． 【详解】设外接圆半径为，则，， 所以的面积与的外接圆的面积之比为， 所以，由正弦定理， 故答案为：． 27．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解； （2）根据，利用两角和的余弦得到，进而得到，结合外接圆半径为2可求出三角形的边长，在中利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而， 所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 【经典例题十 正、余弦定理判定三角形形状】 28．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】不妨设，，，可得是最大角，根据余弦定理算出是负数，从而得到角是钝角，由此得到此三角形为钝角三角形. 【详解】三角形的三边长分别为4、6、8， 不妨设，，所对的边分别为，，，且，，， 因为是最大边，所以角是最大角， 根据余弦定理，得， 因为 所以角是钝角，可得是钝角三角形. 故选：D. 29．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解. 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 30．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)60°； (2)等边三角形； (3). 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. （3）因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 【经典例题十一 距离测量问题】 31．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得. 【详解】因为， 可得是等边三角形，则千米. 记直线与直线的交点为， 所以,为的中点， 所以为等腰三角形， 所以千米. 故选：A. 32．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 【答案】海里． 【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理计算． 【详解】由题意，，，    在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 故答案为：海里． 33．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【答案】(1)； (2)①；②万元，. 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求出，再利用正弦定理求出距离. （2）①利用正弦定理及差角的正弦公式求出；②令，利用辅助角公式，结合正弦函数的性质求出最小值及的值. 【详解】（1）在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. （2）①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. 【经典例题十二 高度测量问题】 34．（24-25高二上·四川广安·开学考试）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为（    ）米（，忽路人的身高） A．23.66 B．24.66 C．25.66 D．26.66 【答案】A 【分析】根据题意，利用锐角三角函数的定义，将，用表示出来，结合，列式求解即可. 【详解】根据题意设，则在中，， 所以， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以米，即电线杆的高度约为23.66米. 故选：A. 35．（2024高三·全国·专题练习）如图2，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根高48丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度= 步.（古制单位:180丈=300步） 【答案】3280 【分析】先统一单位，根据三角形相似对应线段成比例得到各个线段的长度，即可求得结果. 【详解】由题可知步，步，步，步， 在中，在中, 所以，， 则， 所以步， 故答案为：3280. 36．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解； （2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解. 【详解】（1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，， 所以，又，是的中点， 在中，由余弦定理得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以， 整理得到，解得，所以. （2）在中，由正弦定理知①， 在中，由正弦定理知②， 由（1）知， 由②①得到. 【经典例题十三 正、余弦定理的其他应用】 37．（2023·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 【答案】B 【分析】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值. 【详解】如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，， ， 连接，可得（当为与圆的交点时，取等号）， 在中，，，，根据余弦定理可知 ，所以的最小值为． 故选：B. 38．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200，曲柄CB长70，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为 .（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8） 【答案】36 【分析】在中，利用正弦定理求出，再求出，，再利用两角和的正弦公式可求出，再利用正弦定理可求出，从而可求得答案 【详解】如图，在中，，，，， 由正弦定理，， ∵，∴，故为锐角， ∴， ∴， 所以， 故. 故曲柄按顺时针方向旋转时活塞移动的距离约为36mm. 故答案为：36 39．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救. (1)太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？ (2)在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？ （角度精确到，参考数据：，，.） 【答案】(1)太原舰最少需要才能靠近商船 (2) 【分析】（1）设未知数，利用余弦定理得到方程，解出即可； （2）方法一：利用余弦定理求出即可；方法二：利用正弦定理求出即可. 【详解】（1）由题意知太原舰沿直线航行时所需时间最少， 如图，设太原舰在B处靠近商船，连接AB，设从A处到靠近商船所用的时间为， 则，， ， 根据余弦定理，得， 即，得， 解得，（舍去）. 故太原舰最少需要才能靠近商船. （2）方法一：由（1）知（n mile），（n mile）， 由余弦定理可得. 又，， 故太原舰航行的方位角约为. 方法二：由（1）知（n mile），（n mile）， 由正弦定理， 得， ， 故太原舰航行的方位角约为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用（13大压轴题型） 【经典例题一 向量的模】 1．（22-23高二上·上海嘉定·阶段练习）已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江西南昌·期末）若函数与的图象交于两点,则 . 3．（22-23高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【经典例题二 向量加法的法则】 4．（22-23高一下·湖北咸宁·期末）如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 5．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为 ． 6．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力． 【经典例题三 向量减法的法则】 7．（21-22高一·全国·课后作业）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·上海·课后作业）已知，则的取值范围是 . 9．（24-25高一上·上海·课后作业）对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 【经典例题四 三角形的心的向量表示】 10．（2023高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 11．（2023高一·全国·专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 12．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【经典例题五 已知模求数量积】 13．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D．-1 14．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 15．（21-22高一·全国·课后作业）已知向量不共线，向量. (1)若，求的值； (2)若为相互垂直的单位向量，且，求的值. 【经典例题六 坐标计算向量的模】 16．（23-24高一下·福建龙岩·期末）已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（    ） A．22.5 B．23.5 C．24.5 D．25.5 17．（23-24高一下·福建福州·期中）已知、为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为 ． 18．（24-25高二上·河北保定·开学考试）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点. (1)已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围； (3)若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值. 【经典例题七 向量在几何中的其他应用】 19．（22-23高一下·重庆·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 20．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，，，点是边的中点，点为线段的中点，则的取值范围是 . 21．（23-24高一下·山东临沂·期中）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程请用向量法解决解决以下问题： (1)证明：的三条高线交于一点； (2)已知矩形为平面内任意一点，求证： (3)如图，已知圆是圆上两个动点，已知点，求矩形的顶点的轨迹方程. 【经典例题八 余弦定理边角互化的应用】 22．（23-24高一下·福建泉州·期中）设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高三上·江苏连云港·阶段练习）拿破仑是法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形ABP，BCQ，CAR，它们的中心依次为D，E，F．若AB＝3，BC＝5，CA＝7，则RQ＝ ，△DEF的面积为 ． 24．（22-23高三·云南·阶段练习）在中，设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，且. (1)若，且，求实数的值； (2)求的最小值. 【经典例题九 正弦定理求外接圆半径】 25．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·河南洛阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若的面积与的外接圆的面积之比为，则 ． 27．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【经典例题十 正、余弦定理判定三角形形状】 28．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 29．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 30．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【经典例题十一 距离测量问题】 31．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 32．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 33．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【经典例题十二 高度测量问题】 34．（24-25高二上·四川广安·开学考试）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为（    ）米（，忽路人的身高） A．23.66 B．24.66 C．25.66 D．26.66 35．（2024高三·全国·专题练习）如图2，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根高48丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度= 步.（古制单位:180丈=300步） 36．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 【经典例题十三 正、余弦定理的其他应用】 37．（2023·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 38．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200，曲柄CB长70，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为 .（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8） 39．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救. (1)太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？ (2)在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？ （角度精确到，参考数据：，，.） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$