专题06 空间直线、平面的垂直重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题06 空间直线、平面的垂直重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 异面直线所成的角的概念及辨析 题型二 证明异面直线垂直 题型三 求异面直线所成的角 题型四 由异面直线所成的角求其他量 题型五 判断线面是否垂直 题型六 证明线面垂直 题型七 补全线面垂直的条件 题型八 线面垂直证明线线平行 题型九 线面垂直证明线线垂直 题型十 线面垂直证明面面平行 题型十一 判断面面是否垂直 题型十二 证明面面垂直 题型十三 补全面面垂直的条件 题型十四 面面垂直证线面垂直 题型十五 空间垂直的转化 知识点一 异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. (4)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 知识点二 直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 知识点三 直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 知识点四 直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. (3)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形. (4)公式法求线面角(也称等体积法)： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 知识点五 直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 知识点六 二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 知识点七 面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂 直，记作⊥. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 知识点八 平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 知识点九 直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥ a⊥. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【经典例题一 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 1．（22-23高二上·山西朔州·阶段练习），，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可. 【详解】 对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与异面，与异面，， 或与异面，与异面，与相交于点， 或与异面，与异面，与异面，故选项A错误； 对于B，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 或与相交于点，与相交于点，与相交于点， 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B错误； 对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确； 对于D，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，，，， 或 ，，与相交于点， 或 ，，与异面，故选项D错误. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）直线与直线所成的角 （1）一般地，如果是空间中的两条异面直线，过空间中 ，分别作与 的直线，则所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小. （2）范围：. 【答案】 任意一点 平行或重合 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·全国·课堂例题）两不重合的直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是什么？ 【答案】平行． 【详解】两不重合的直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是平行. 【经典例题二 证明异面直线垂直】 【例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 1．（2023·北京·一模）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 2．（21-22高一·全国·课后作业）判断正误． （1）异面直线所成的角的大小与O点的位置有关．即O点位置不同时，这一角的大小也不同．( ) （2）异面直线a与b所成角可以是．( ) （3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( ) 【答案】 × × √ 【详解】（1）异面直线所成的角的大小与O点的位置无关，故错误； （2）异面直线a与b所成角不可以是 0°，故错误； （3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直，正确. 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【经典例题三 求异面直线所成的角】 【例3】（24-25高二上·北京平谷·期末）长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 1．（2024高二上·河南安阳·学业考试）在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线平行可得即为异面直线与所成的角或其补角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接相交于，连接,则是的中点， 故，故即为异面直线与所成的角或其补角， 由于，故， 由于, 故, 故,结合, 故，即异面直线与所成的角为， 故选：C 2．（24-25高二上·上海闵行·期末）正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】如图可得异面直线与所成角等于，然后可得答案. 【详解】设正四棱锥棱长为2.连接AC，取AC中点为O，连接OE. 因E，O分别为PC，AC的中点，则， 则异面直线与所成角等于或其补角. 又由题可得，， 则. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆柱的底面半径和高即可求解； （2）把异面直线和所成的角转化为和的夹角即可得解. 【详解】（1）设圆柱上底面的圆心为，在中，是的中点， 则，， . （2）分别是的中点，， 异面直线和所成的角等于和的夹角， 在中，， ， 所以异面直线和所成的角的余弦值为. 【经典例题四 由异面直线所成的角求其他量】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 1．（24-25高二上·重庆长寿·阶段练习）如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可得答案. 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 3．（22-23高一·全国·课后作业）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长度． 【答案】或 【分析】先平移后再解三角形即可. 【详解】如图，取BC中点O，连接OE，OF． ∴OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角．    而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°． 当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝； 当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝． 【经典例题五 判断线面是否垂直】 【例5】（24-25高三上·安徽六安·期末）设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，得或，与可以相交、平行或是异面直线，A错误； 对于B，，要，必有相交，B错误； 对于C，由，得或，与可以相交、平行或是异面直线，C错误； 对于D，由，得或，而，因此，D正确. 故选：D 1．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能够得到直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果． 【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，，缺少相交，不一定能推出，故B错误； 对于C，，则与平行或，故C错误； 对于D，，由线面垂直的性质知，故D正确． 故选：D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）在三棱锥中，有五条棱长均为1，则该三棱锥体积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，取中点，连接，得到，计算得到答案. 【详解】 如图所示，设，由题设有， 取中点，连接，则， 又因为为等边三角形，故， ， 当且仅当平面时等号成立，此时， 故答案为： 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？    【答案】当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在的平面垂直. 【详解】如图，当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在的平面垂直. 这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD，CD都垂直. 根据直线与平面垂直的判定定理可知直线AD与平面垂直.    【经典例题六 证明线面垂直】 【例6】（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知球的直径是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直径所对的圆周角为直角，然后解直角三角形和等边三角形，最后通过直截面三角形的面积与来求体积. 【详解】 如图，是球的直径，则， 因为，，所以，， 又因为，所以是等边三角形，即， 在中，过作于，连接， 由于，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为在中，，所以， 则三棱锥的体积. 故选：A. 1．（2025·辽宁沈阳·一模）三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先取的中点，且,进而得出三棱锥的外接球的球心，再计算体积得出，最后计算外接球的表面积即可. . 【详解】 取的中点，因为，连接，所以,三棱锥的外接球的球心， 因为和都是等边三角形，设， 因为平面，所以平面， 所以，所以是直角三角形； 又因为， 所以所以外接球的表面积为. 故选：C. 2．（24-25高三下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则 . 【答案】 【分析】在平面中，以为圆心，为半径作圆，则点在该圆上.设正方体的边长为，由割线定理可得，连结，与平面相交于点，可得平面，在中，，利用，可求得. 【详解】在平面中，以为圆心，为半径作圆，则点在该圆上.设正方体的边长为， 根据割线定理知（或根据三角形相似）， 则. 连结，与平面相交于点， 因为，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面， 所以平面，又，所以为正的重心， 由，所以， 解得，所以， 由平面，所以. 在中，， 在中，，则. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）根据二面角的定义可得就是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于，故, 由于是正三角形，故, 平面， 故平面，平面, 故 （2）作于，作交于， 则就是二面角的平面角， 因为， ∵是的中点，则，，， 由余弦定理可求得， ∴二面角的余弦值为． 【经典例题七 补全线面垂直的条件】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）下列平面中的两条直线与直线垂直，可以保证直线与平面垂直的是（    ） ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面中的两条直线必须相交，逐一判断是否相交即可得出结论. 【详解】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直； 对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直； 对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直； 对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直. 所以可以保证直线与平面垂直的是③④. 故选：D 1．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 2．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    【答案】 【分析】取的中点，证得，，得到平面，得到，进而证得平面，得到点在线段上运动，结合，即可求解. 【详解】解：取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为正方形，所以，所以， 又因为，且为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以点在线段上运动， 在等腰直角中，由，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，可得线段的长的最大值为. 故答案为：.      3．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面 【经典例题八 线面垂直证明线线平行】 【例8】（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用空间直线与平面间的位置关系即可判断得解. 【详解】对于A，若，则也有可能，故A错误； 对于B，若，则也有可能，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，若，则也有可能，故D错误； 故选：C. 1．（24-25高三上·福建·开学考试）用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有（    ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，则. A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】对于①，根据平行公理判断，对于②③，举例判断，对于④，利用线面垂直的性质判断. 【详解】对于①，因为，，所以，所以①正确， 对于②，若a、b、c三条直线在同一个平面，则当，时，∥，所以②错误，    对于③，如图当，时，与相交，所以③错误，    对于④，因为，，所以，所以④正确. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则 . 【答案】4 【分析】由球面的性质结合已知可得线段为直径的球与平面相切，取线段中点，在直角梯形中计算求解. 【详解】直四棱柱的底面是边长为4的正方形， 以线段为直径构造球，则点与球上任意一点（除外）均能构成直角， 因此该球与平面相切时存在唯一P点，使得， 取线段中点，连接，则平面，而平面， 于是，则，， 在直角梯形中，,，， 则，所以. 故答案为：4. 3．（24-25高一下·全国·课前预习） （1）如图，已知直线a，b和平面，如果，，那么直线a，b一定平行吗？ （2）你能证明吗？ 【答案】（1）a与b平行（2）证明见解析 【详解】如图，假设b与a不平行，设，显然点O不在直线a上， 所以点O与直线a确定一个平面，在该平面内过点作直线， 则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面， 设，则． 因为，，所以，． 又，所以． 这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线，与垂直，显然不可能． 因此． 【经典例题九 线面垂直证明线线垂直】 【例9】（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质判断A的真假；根据线面平行的判定判断B的真假；根据线面垂直的判定判断C的真假；根据线面垂直的性质判断D的真假. 【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误； 若，则或，B选项错误； 若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误； 若，，则，D选项正确. 故选：D 1．（24-25高二上·北京昌平·期末）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”. 若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，利用线面垂直的判定定理与性质确定为刍甍的高，求出即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，过点分别作，垂足分别为， 则四边形为矩形，且， 由，平面， 得平面，又平面， 所以，又平面， 所以平面，即为刍甍的高. 又，所以， 因为，为的中点，所以， 所以， 即该刍甍的高为. 故选：B 2．（24-25高二上·四川自贡·期末）在四面体中，且，，则四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】合理作出四面体的高，利用给定条件求出的长度，再找到外接球球心，在直角梯形内利用勾股定理求解外接球半径，最后求解表面积即可. 【详解】如图，作面，连接， 因为面，所以， 因为，所以， 因为，面， 所以面，而面， 故，因为，， 所以由锐角三角函数定义得， 故，由勾股定理得， 而，则，故， 设，，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，得到， 联立，，解得(其它根舍去)， 取中点，过点作面， 设点为外接球球心，外接球半径为， 由余弦定理得， 在直角梯形中，， 故，解得， 且设四面体外接球的表面积为，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是作出四面体的高，然后求解关键线段的长度，再找到外接球球心，利用勾股定理求出外接球半径，得到所要求的表面积即可． 3．（24-25高二上·四川内江·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 (1)设F为ED的中点，求证：平面BCD； (2)求证：平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取DC的中点M，连接FM，BM，证明四边形ABMF是平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由鳖臑的性质，推断出，由勾股定理可得CD的值，再证得，符合勾股定理的逆定理，即为直角三角形． 【详解】（1）证明：取DC的中点M，连接FM，BM， 因为F为DE的中点，所以FM为的中位线，所以，且， 在等腰梯形ABCD中，，，且， 所以， 所以且，所以四边形AFMB是平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD； （2）由题意可得，，， 因为，，，平面， 所以平面，所以，是直角三角形， 又因为四面体DACE为一个鳖臑，所以需满足，为直角三角形，且不是直角， 又因为，所以，故要使为直角三角形，只能是直角， 即，则， 又平面， 所以，，平面 所以平面，又平面， 所以， 此时成立， 即也是直角三角形， 即证得平面 【经典例题十 线面垂直证明面面平行】 【例10】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质判断. 【详解】与已知直线垂直的不同的平面都互相平行，其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个. 故选：B 1．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）垂直于同一直线的两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】A 【分析】利用线面垂直的性质判断得解. 【详解】由线面垂直的性质知，垂直于同一直线的两个平面互相平行，A正确，BCD错误. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】利用线面垂直的性质定理可得结论. 【详解】由线面垂直的性质定理可知，空间中垂直于同一条直线的两个平面平行. 故答案为：平行. 3．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面平面，所以, 因为在矩形中，，所以, 又因为平面，所以平面, 由平面，所以， 同理可证， 又因为，平面，所以，所以四边形是矩形. （2）因为四边形是正方形，所以， 过点作于点，则， 所以，所以， 所以. 【经典例题十一 判断面面是否垂直】 【例11】（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与相交. B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】由异面直线定义可得A错误，根据线面平行判定定理可证明B正确，由线面垂直性质可得C错误，由面面垂直判定可得D错误. 【详解】对于A，易知与互为异面直线，即A错误； 对于B，由正方体性质可得，且平面，平面， 所以平面，即B正确； 对于C，与平面相交，不垂直，即C错误； 对于D，平面与平面相交，不垂直，即D错误. 故选：B 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列条件中可以推出的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可. 【详解】对于，如图所示，当为平面和平面的交线时，推不出，故A错误； 对于，如图所示，，，，但推不出，故B错误； 对于C，因为，，所以可得，又，所以，故C错误； 对于，因为，，所以可得，又因为，所以，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 . 【答案】 【分析】根据正方体的性质判断即可. 【详解】在正方体中， 平面、平面、平面、平面均与平面垂直， 平面与平面平行， 故正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为个. 故答案为： 3．（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意利用等腰三角形的性质可证得， ，则由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而可证得结论； （3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判断即可 【详解】（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形， 所以，     又因为平面CDF，平面CDF，     所以平面CDF． （2）如图1，连接AC与BD，设，连接EO，                 图1                              图2 则         因为， 所以， ， 又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且     所以平面ABCD．         所以四棱锥是正四棱锥． （3）如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，     根据等边三角形性质可知，， 所以是二面角的平面角，     设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直． 【经典例题十二 证明面面垂直】 【例12】（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，取中点，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面平面，则点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接， 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以，， 且，平面， 所以平面，且平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离， 过点做，所以点P到直线的距离即为， 又，且，所以为等边三角形， 所以， 即点P到平面ABC的距离为. 故选：C 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积. 【详解】连接，交点为，如图所示： ，且是公共边， ，， 易得，， 即，又，， ，平面， 平面，又平面， 平面平面. 过点作平面，垂足为，连接， ，， 平面，，， 由是公共边，， 即有， 三点在以为直径的圆周上， ，，， ， ， . 故选：C 2．（24-25高三上·福建南平·期中）如图所示，在正方体中，若分别是的中点，则与所成的角为 ；平面与平面关系 .（填垂直或不垂直）.    【答案】 垂直 【分析】连接，运用中位线定理推出，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即为所求角，在中求解即可；然后结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理以及面面垂直的判定定理即可得 【详解】连接， 因为为正方形，所以既是中点，又是的中点，所以， 所以与所成的角为，而为等边三角形，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，，，都在平面内， 所以平面， 又因为，所以平面，又平面， 所以平面平面，    故答案为：；垂直 3．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直易证得线面垂直，进而可证面面垂直； （2）由（1）平面，易得即直线与平面所成角，借助于直角三角形和三角函数即可求得. 【详解】（1）在图（1）中，因，折起后，， 因，则平面， 又平面，故平面平面. （2）由（1）已得，平面，连接，则即在平面上的射影， 故即直线与平面所成角. 在图（1）中，， 在图（2）中，，则， 在中，，故， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【经典例题十三 补全面面垂直的条件】 【例13】（22-23高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，垂足在直线上，若上存在一点使得平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点、的中点，连接、、，证明出平面，可得出平面平面，可得出点即为所求，进一步可求得的值. 【详解】如下图所示，取的中点、的中点，连接、、， 平面，平面，， ，为的中点， ，为的中点，所以，， 、分别为、的中点，，， 平面，平面，， ，平面， 平面，所以，平面平面， 为的中点，为的中点，，因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解线段上的点的位置的探索性问题时，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明，本题中可充分利用等腰三角形三线合一的性质找出点的位置，再利用面面垂直的判定定理给出证明. 1．（2023·云南曲靖·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分必要条件是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的定义，判定定理及性质定理分析即可. 【详解】A选项中，两平面内有两条不同的直线垂直，不符合平面垂直的定义，判定定理，不是的一个充分必要条件； B选项中，可知相交，交线设为，（否则，与矛盾），平移于一点O，确定一平面，则，由二面角定义知所成二面角为直角，故；C选项中推不出； D选项中推出推不出. 故选：B 【点睛】本题主要考查了两个平面垂直的定义及判定，属于容易题. 2．（21-22高二上·江西宜春·期中）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 【经典例题十四 面面垂直证线面垂直】 【例14】（24-25高三上·浙江台州·期末）在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据垂直可得高的最大值，即可根据体积公式求解. 【详解】由于为边长为2的等边三角形，故面积为, 也是边长为2的等边三角形， 故当平面平面时，此时到平面的距离最大，且最大值为,（其中为的中点）， 故三棱锥的体积的最大值为, 故选:C 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知正四棱台中，，可在该正四棱台中放入的最大球的体积为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作的垂面，分别交于，过作于，过作垂直的延长线于，过作于，利用球的体积求得正四棱台的高，利用线面，面面垂直的性质定理可证得平面，结合等腰梯形的性质可求得点到平面的距离. 【详解】设球的半径为，则，解得， 因为正四棱台中放入的最大球的体积为，所以正四棱台的高为， 过作的垂面，分别交于，过作于， 过作垂直的延长线于，过作于， 因为，所以平面，平面， 又平面，所以， 所以，所以四边形是矩形，所以， 所以，又因为平面，所以平面平面， 所以平面，所以，由等腰梯形的性质可得， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】由圆中直径所对圆周角为直角以及可得下底面各个线段长，根据等腰梯形，求得圆台的体高，利用线面角的定义以及直角三角形的性质，可得答案. 【详解】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 在中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，. 故答案为：. 3．（22-23高二上·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，利用几何法求出面面角的余弦值. 【详解】（1）平面平面，且交线为， 过点作的垂线，垂足记为，平面，则平面， 而平面，则， 由平面，平面，得， 又是平面内的相交直线，则平面， 而平面，. （2）连接，在中，，又， 则，即，由为的中点，得， 由平面，平面，得， 又平面，平面， 而平面，则， 故是二面角的平面角， 又平面，则， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【经典例题十五 空间垂直的转化】 【例15】（2025高三·全国·专题练习）已知圆锥，为顶点在底面圆上的射影，为底面圆的直径，点在上，且，，若过点与平行的平面为，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出圆锥的轴截面，取的中点，连接，分析可知，当平面平面时，点到平面的距离最大，过点在平面内作的垂线，垂足为，推导出平面，利用等面积法求出的长，即为所求. 【详解】作出圆锥的轴截面如图所示，取的中点，连接， 由题知，可知， 又过点与平行的平面为，设平面， 因为平面，平面，平面平面，则， 在平面内，过点与直线的直线有且只有一条，故点与点重合， 所以平面， 当平面平面时，点到平面的距离最大， 此时过点在平面内作的垂线，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以，直线平面， 由题意可知，是边长为的等边三角形， 因为为的中点，则，所以，， ，， 由等面积法，可得，即点到平面的距离的最大值为. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：求解本题的易错点有两处：（1）找不到平面与圆锥的轴截面的交线；（2）想象不到点到平面的距离取得最大值时的条件为平面平面. 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则三条交线的交点个数为0或1 【答案】D 【分析】根据线面平行性质可判断A错误，B错误，再根据面面垂直性质可得C错误，由线面平行以及交线性质可得D正确. 【详解】对于A，若，则也可能为，即A错误； 对于B，若，则也可能是异面直线，即B错误； 对于C，若，也可以是，即C错误； 对于D，当分别为三棱柱的三个侧面时，此时两两平行，交点为0； 当分别为正方体共顶点的三个侧面时，此时交于同一点，交点为1； 即可得D正确. 故选：D 2．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】根据空间中垂直关系的转化可得点在平面上的投影点的轨迹为圆弧，故可求其长度. 【详解】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 3．（24-25高三上·宁夏·期中）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； (2)若，平面平面，判断的形状并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)直角三角形，证明见解析 【分析】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理，再利用面面平行的判定定理可得答案； （2）连接，利用面面垂直的判定定理、性质定理可得答案. 【详解】（1）由已知为直四棱柱， 可知， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面， ，且，平面， 平面平面； （2）连接，，四边形是正方形， ． 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又底面，平面， ， ，，平面， 平面，， 所以是直角三角形. 1．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 【点睛】方法点睛： 利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则以 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理可得选项A错误；根据线面垂直的性质可得选项B正确、选项C错误；根据线面垂直的性质结合空间直线的位置关系可得选项D错误. 【详解】A.因为直线m，n不一定是相交直线，所以直线不一定垂直于平面，选项A错误. B.由得，由得，选项B正确. C.由得，由得，选项C错误. D.由得，由得与平行、相交或异面，选项D错误. 故选：B. 3．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源．如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设结合线面垂直判定定理依次证明平面和平面，以及求出即可由锥体体积公式求解. 【详解】因为D为的中点，， 所以， 所以，， 又，四边形为矩形，，平面， 所以平面， 又，，平面， 所以平面，故由四边形为矩形得平面， 所以由，，得, 所以，又由得， 所以， 所以多面体的体积为. 故选：C. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，充分条件必要条件的定义 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，若，，则； 反之，当时，则相交，记交线为， 又，所以或相交或重合， 若，又，则，所以不一定能得到． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 5．（24-25高三上·安徽·期中）在四棱锥中，底面为正方形，，，平面平面，则下列说法错误的是（   ） A． B．当平面平面时， C．、分别为、的中点，则平面 D．四棱锥外接球半径的最小值为 【答案】B 【分析】根据题意易得平面，再由线面垂直的性质、二面角的概念、面面平行的性质、四棱锥的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可． 【详解】对于A选项，因为在四棱锥中，底面为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，所以，，则，A对； 对于B选项，若平面平面，则平面与平面所成二面角为， 设平面平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为平面，平面平面，所以，， 因为平面，所以，平面， 因为、平面，所以，，， 所以，平面与平面所成二面角的平面角为， 因为，，则， 所以，，B错； 对于C选项，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，则平面， 因为且，、分别为、的中点， 所以，，，即四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面，C对； 对于D选项，设四棱锥的外接球球心为， 则在平面、平面的射影分别为、， 易知四边形为矩形，为外接球半径， 所以，所以， 仅当、重合时取等号，此时，，D对． 故选：B． 6．（22-23高一·全国·课后作业）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有 ． 【答案】AB，A1B1 【分析】根据线线垂直的定义或判定来判断即可. 【详解】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1． 故答案为：AB，A1B1. 7．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 8．（22-23高一下·山东枣庄·期末），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .    【答案】 【分析】根据图形关系找出一个面垂直于，从而得到点的轨迹，进而得到点的轨迹所围成图形的面积. 【详解】取中点，连接，设， 则，，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为正方体中面，面， 所以， 因为面，， 所以面， 因为正方体中面，面， 所以， 所以点的轨迹为矩形， 在直角中， 所以矩形面积为. 即点的轨迹所围成图形的面积为. 故答案为： 9．（22-23高一上·陕西渭南·期末）下列四个命题： ①平行于同一平面的两个平面平行； ②一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④若直线平面，直线平面，则．（是不同的平面） 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】①④可通过平面平行的性质和线面垂直的性质可证得，②③可举出反例. 【详解】①根据平面平行的性质可得，平行于同一平面的两个平面平行，①正确； ②一个平面内的无数条直线若都为平行直线，则两平面不一定平行，②错误； ③垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，③错误； ④直线平面，直线平面，由线面垂直的性质可得．（是不同的平面），④正确. 故答案为：①④ 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 【答案】 【分析】延长至点，使，连接，为等边三角形，可找到顶点在底面内的射影轨迹，确定线段AD在平面上的投影扫过的平面区域，从而求出面积. 【详解】解：在中，，，所以，， 延长至点，使，连接，，且， 则为等边三角形，且为二面角为时在平面上的投影. 取边的中点，连接，，则，， 又，所以平面， 过点作平面，则，即点在平面内的摄影在线段上， 则二面角从变化到的过程中，点在平面内的摄影从到， 线段AD在平面上的投影扫过的平面区域为. ，，所以为等边三角形， 则有， 又，， 所以. 故答案为： 11．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 12．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题设易知，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据菱形、线面垂直的性质有PABD、ACBD，再由线面垂直的判定证明结论； （3）根据已知证明EF平面PAC，再应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）底面ABCD是边长为2的菱形， 点O是BD的中点，又点F是PC的中点， OF是的中位线，则， 又平面PAB，平面PAB， 则平面PAB. （2）由PA底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PABD， 底面ABCD是边长为2的菱形，则ACBD， 又且都在平面PAC内， 则平面PAC. （3）底面ABCD是边长为2的菱形，， ∴△ABC是等边三角形，， 由PA底面ABCD，又平面ABCD，则PAAC， 所以， 由（1）得且， 又EDPA，，即， 且，则四边形OFED为平行四边形， 且，即， 又平面PAC，所以EF平面PAC，则EF是三棱锥的高. 所以三棱锥的体积为. 13．（2025高三·全国·专题练习）如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】 由于垂直下底面圆， 故， 平面，平面， 所以平面， 又，所以， 平面，平面， 所以平面 平面， 所以平面平面 14．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 15．（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. (1)求证：直线平面； (2)已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，即可证明； （2）由题意可证得，进而得，从而得出F为中点，可得结论. 【详解】（1）因为为等边三角形，点O为的中点， 所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，又平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，平面，则， 所以，由O为中点，可得F为中点，由， 可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间直线、平面的垂直重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 异面直线所成的角的概念及辨析 题型二 证明异面直线垂直 题型三 求异面直线所成的角 题型四 由异面直线所成的角求其他量 题型五 判断线面是否垂直 题型六 证明线面垂直 题型七 补全线面垂直的条件 题型八 线面垂直证明线线平行 题型九 线面垂直证明线线垂直 题型十 线面垂直证明面面平行 题型十一 判断面面是否垂直 题型十二 证明面面垂直 题型十三 补全面面垂直的条件 题型十四 面面垂直证线面垂直 题型十五 空间垂直的转化 知识点一 异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. (4)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 知识点二 直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 知识点三 直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 知识点四 直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. (3)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形. (4)公式法求线面角(也称等体积法)： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 知识点五 直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 知识点六 二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 知识点七 面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂 直，记作⊥. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 知识点八 平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 知识点九 直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥ a⊥. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【经典例题一 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高二上·山西朔州·阶段练习），，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 2．（2024高三·全国·专题练习）直线与直线所成的角 （1）一般地，如果是空间中的两条异面直线，过空间中 ，分别作与 的直线，则所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小. （2）范围：. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）两不重合的直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是什么？ 【经典例题二 证明异面直线垂直】 【例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 1．（2023·北京·一模）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 2．（21-22高一·全国·课后作业）判断正误． （1）异面直线所成的角的大小与O点的位置有关．即O点位置不同时，这一角的大小也不同．( ) （2）异面直线a与b所成角可以是．( ) （3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( ) 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【经典例题三 求异面直线所成的角】 【例3】（24-25高二上·北京平谷·期末）长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高二上·河南安阳·学业考试）在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海闵行·期末）正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 . 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 【经典例题四 由异面直线所成的角求其他量】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 1．（24-25高二上·重庆长寿·阶段练习）如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 3．（22-23高一·全国·课后作业）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长度． 【经典例题五 判断线面是否垂直】 【例5】（24-25高三上·安徽六安·期末）设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能够得到直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）在三棱锥中，有五条棱长均为1，则该三棱锥体积的最大值为 ． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？    【经典例题六 证明线面垂直】 【例6】（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知球的直径是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·辽宁沈阳·一模）三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则 . 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 【经典例题七 补全线面垂直的条件】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）下列平面中的两条直线与直线垂直，可以保证直线与平面垂直的是（    ） ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 1．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    3．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【经典例题八 线面垂直证明线线平行】 【例8】（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（24-25高三上·福建·开学考试）用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有（    ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，则. A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习） （1）如图，已知直线a，b和平面，如果，，那么直线a，b一定平行吗？ （2）你能证明吗？ 【经典例题九 线面垂直证明线线垂直】 【例9】（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（24-25高二上·北京昌平·期末）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”. 若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川自贡·期末）在四面体中，且，，则四面体外接球的表面积为 . 3．（24-25高二上·四川内江·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 (1)设F为ED的中点，求证：平面BCD； (2)求证：平面 【经典例题十 线面垂直证明面面平行】 【例10】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 1．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）垂直于同一直线的两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 2．（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 3．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 【经典例题十一 判断面面是否垂直】 【例11】（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与相交. B．平面 C．平面 D．平面平面 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列条件中可以推出的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 . 3．（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【经典例题十二 证明面面垂直】 【例12】（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建南平·期中）如图所示，在正方体中，若分别是的中点，则与所成的角为 ；平面与平面关系 .（填垂直或不垂直）.    3．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【经典例题十三 补全面面垂直的条件】 【例13】（22-23高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，垂足在直线上，若上存在一点使得平面平面，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023·云南曲靖·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分必要条件是（        ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·江西宜春·期中）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 3．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【经典例题十四 面面垂直证线面垂直】 【例14】（24-25高三上·浙江台州·期末）在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（   ） A．2 B． C．1 D． 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知正四棱台中，，可在该正四棱台中放入的最大球的体积为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 3．（22-23高二上·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【经典例题十五 空间垂直的转化】 【例15】（2025高三·全国·专题练习）已知圆锥，为顶点在底面圆上的射影，为底面圆的直径，点在上，且，，若过点与平行的平面为，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则三条交线的交点个数为0或1 2．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 3．（24-25高三上·宁夏·期中）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； (2)若，平面平面，判断的形状并证明. 1．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则以 D．若，则 3．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源．如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·安徽·期中）在四棱锥中，底面为正方形，，，平面平面，则下列说法错误的是（   ） A． B．当平面平面时， C．、分别为、的中点，则平面 D．四棱锥外接球半径的最小值为 6．（22-23高一·全国·课后作业）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 8．（22-23高一下·山东枣庄·期末），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .    9．（22-23高一上·陕西渭南·期末）下列四个命题： ①平行于同一平面的两个平面平行； ②一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④若直线平面，直线平面，则．（是不同的平面） 其中正确命题的序号是 ． 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 11．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 12．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 13．（2025高三·全国·专题练习）如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 14．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 15．（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. (1)求证：直线平面； (2)已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$