专题05 空间直线、平面的平行重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题05 空间直线、平面的平行重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 等角定理的应用 题型二 判断线面平行 题型三 证明线面平行 题型四 补全线面平行的条件 题型五 线面平行的性质 题型六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型七 由线面平行求线段长度 题型八 判断面面平行 题型九 证明面面平行 题型十 补全面面平行的条总 题型十一 面面平行证明线线平行 题型十二 面面平行证明线面平行 题型十三 空间平行的转化 知识点一 直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 知识点二 直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 知识点三 平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 知识点四 平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【经典例题一 等角定理的应用】 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢 【经典例题二 判断线面平行】 【例2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 【经典例题三 证明线面平行】 【例3】（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面与平面相交于直线m，直线直线m，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面β C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 2．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 3．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【经典例题四 补全线面平行的条件】 【例4】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 1．（22-23高一下·山东泰安·阶段练习）如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果 条直线与此 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 若 ，则 图形语言 3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面. (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由. 【经典例题五 线面平行的性质】 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 2．（24-25高一上·上海·期末）平行于同一平面的两直线的位置可能是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【经典例题六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下列结论中正确的是（    ） A．，，，一定是各边的中点 B．，一定是，的中点 C．，且 D．，且 1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【经典例题七 由线面平行求线段长度】 【例7】（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 1．（22-23高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）线段AB与平面α平行，平面α的斜线、与α分别成30°角和60°角，且，，，求AB与平面α的距离． 【经典例题八 判断面面平行】 【例8】（24-25高三上·湖南郴州·期末）设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是 . 3．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【经典例题九 证明面面平行】 【例9】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 1．（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在平面内，则三棱锥的体积为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 【经典例题十 补全面面平行的条总】 【例10】（21-22高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 1．（2022·重庆·模拟预测）设，是空间中的两个平面，，是两条直线，则使得成立的一个充分条件是（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，， 2．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．    【经典例题十一 面面平行证明线线平行】 【例11】（24-25高三上·辽宁·期末）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 2．（2024高三·全国·专题练习）已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 3．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. 过点的平面平行于平面且与交于点，求； 【经典例题十二 面面平行证明线面平行】 【例12】（2024高三·全国·专题练习）若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【经典例题十三 空间平行的转化】 【例13】（24-25高三上·甘肃白银·期末）如图，这是一个五面体均垂直于底面，且是边长为1的等边三角形.已知.若平面平面，且与平面之间的距离为，与五面体相交，则平面切割五面体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·模拟预测）在长方体中，，过顶点作平面，使得平面，若平面，则直线l和直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）已知平面平面，直线，下列说法正确的是 （填序号） ①与内任一直线平行；     ②与内无数条直线平行； ③与内任一直线不垂直；    ④与无公共点． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）现在我们已经学习了线线平行、线面平行和面面平行的所有内容，这三种位置关系之间有怎样的内在联系？请用一个图表表示这种联系． 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 2．（2022高三·全国·专题练习）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 4．（2023高一上·全国·专题练习）已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 5．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知直线和平面，则成立的一个充分条件是（    ） A．存在一条直线且 B．存在一条直线且 C．存在一个平面且 D．存在一个平面且 6．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 7．（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知三棱柱中，是上的动点，是上的动点，且，平面． （1）若是的中点，则的值为 ； （2）若是上靠近的三等分点，则的值为 ． 9．（2025高三·全国·专题练习）平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面内的两条 .与另一个平面平行，那么这两个平面平行 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线 于另一个平面 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条 平行 10．（23-24高一下·河北石家庄·期中）在棱长为1的正方体中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分为别为棱AB，BC的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是 . 11．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 12．（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 13．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 空间直线、平面的平行重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 等角定理的应用 题型二 判断线面平行 题型三 证明线面平行 题型四 补全线面平行的条件 题型五 线面平行的性质 题型六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型七 由线面平行求线段长度 题型八 判断面面平行 题型九 证明面面平行 题型十 补全面面平行的条总 题型十一 面面平行证明线线平行 题型十二 面面平行证明线面平行 题型十三 空间平行的转化 知识点一 直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 知识点二 直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 知识点三 平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 知识点四 平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【经典例题一 等角定理的应用】 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以或. 故选：C 2．（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等角定理求解即可. 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 3．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢 【答案】在空间中，若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 【分析】略 【详解】当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图1，图2所示的两种位置． 对于图1，我们可以构造两个全等三角形，使和是它们的对应角， 从而证明， 如图3，分别在和的两边上截取AD，AE和，，使得，，连接，，，，， ，四边形是平行四边形， 同理可证，四边形是平行四边形， ．，. 对于图2，同理可证（如图4），故， 因此. 综上，在空间中，若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【经典例题二 判断线面平行】 【例2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】根据空间间线面位置关系可得出结论. 【详解】如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【答案】③④ 【分析】对①，举例子即可说明①错误；对②，根据直线与平面平行的性质即可判断②错误；对③，利用反证法结合线面平行的判定定理可判断③正确；对④，根据直线与平面平行的性质即可判断④正确. 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 【答案】答案见解析 【详解】AB平行于桌面所在平面，由翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内， 故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 【经典例题三 证明线面平行】 【例3】（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】经推理得出是过点且平行于的直线，再根据各选项中需判断的直线，平面之间的关系，结合图形，利用线线平行，线面平行的判定和性质逐一判断即得. 【详解】 因为点平面平面，所以. 又因直线平面平面，故得， 所以是过点且平行于的直线. 对于A，因为,，所以，故不成立，即A错误； 对于B，因为，而，故不成立，即B错误； 对于C，因为，而平面,故平面不成立，即C错误； 对于D，因为,，所以， 又平面平面，所以平面，即D正确. 故选：D. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面与平面相交于直线m，直线直线m，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面β C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理，结合反例，可得答案. 【详解】当时，此时，由，，则； 当时，此时，由，，则； 当，且时，此时由和得；且由和得； 所以直线平面和直线平面至少有一个成立. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直三棱柱的性质以及中位线定理可得线线平行，利用线面平行判定定理，可得答案； （2）由相似三角形求得三棱柱体高，利用三棱柱与三棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】（1）连接交于，连接，如图： ∵三棱柱为正三棱柱， ∴为的中点，又为的中点， ∴为的中位线，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体． ∵三棱柱为正三棱柱， ∴四边形为矩形，又， ∴，∴，解得. ∴三棱柱的体积为， 故三棱锥的体积为，即. 多面体的体积为．即， 所以. 【经典例题四 补全线面平行的条件】 【例4】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 1．（22-23高一下·山东泰安·阶段练习）如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，建立空间坐标系，求出各点和各线段的坐标，求出平面的法向量，利用向量法表示线面平行得出，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】如图设立空间坐标系，由题意可知： ， ，设， 则 ， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，得， 又，PE平面， 所以，解得，所以， 故 ， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课前预习）直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果 条直线与此 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 若 ，则 图形语言 【答案】 平面外 平面内 平行 ，， 【分析】略 【详解】略 3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面. (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)点是的中点，理由见解析 (2)存在，使三棱锥体积为 【分析】（1）连接，交于点，连结，根据线面平行的性质定理，证出，再结合是的中点，判断出点是的中点，可得答案；（2）若三棱锥体积为，则可推出三棱锥的体积为，进而利用棱锥的体积公式与底面，列式算出实数的值，即可得到答案. 【详解】（1）点是的中点，理由如下： 连接，交于点，连结， 底面是正方形，、相交于点， 是的中点， 平面，含于平面，平面平面， ， 中，是的中点， 是的中点. （2）为中点， . 若，则   底面，，      ，解得.    存在，使三棱锥体积为. 【经典例题五 线面平行的性质】 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 1．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·期末）平行于同一平面的两直线的位置可能是 . 【答案】平行或相交或异面 【分析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系． 【详解】若且，则与可能平行，也可能相交，也有可能异面， 故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面， 故答案为：平行或相交或异面． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. 【经典例题六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下列结论中正确的是（    ） A．，，，一定是各边的中点 B．，一定是，的中点 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】运用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理可解. 【详解】∵在三棱锥中，分别是上的点. 平面，平面,平面平面 ∴，同理. ∴且． 由题意无法确定其余选项是否正确， 故选：D．    1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·期末）在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【答案】 【分析】根据线面平行可得线线平行，结合三角形相似可得参数值. 【详解】 如图所示，连接交于点，连接， 则平面平面， 又平面，且平面，， 又，是棱的中点， 所以，则， 所以，故， 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】存在；理由见解析 【分析】如图，连接AC，BD交于点，可得，则可得平面． 【详解】存在，当为AM的中点时，平面． 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点，因为四边形为矩形，所以为AC的中点， 连接OP，因为为AM的中点，所以， 又不在平面内，平面，所以平面． 【经典例题七 由线面平行求线段长度】 【例7】（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 1．（22-23高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【详解】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为 平面 ，平面平面 ，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 【答案】5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）线段AB与平面α平行，平面α的斜线、与α分别成30°角和60°角，且，，，求AB与平面α的距离． 【答案】3或 【分析】求直线到平面的距离常转化求点到平面的距离，作于P，于Q，通过线面垂直可证斜线、与平面α所成角分别为，，设，则，，通过对点的位置分类讨论，计算即可. 【详解】如图作于P，于Q，则，. 由，得，又，都在面内，所以面， 面，则，同理，而都在面内， ∴，延长到点C，使，则，，． 由已知，， 设，则，． ∴． 在中，有，即，∴． 由已知，如图点也可以在线段CQ上，此时有，∴． 综上，AB与平面α的距离是3或． 【经典例题八 判断面面平行】 【例8】（24-25高三上·湖南郴州·期末）设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面平行的性质与判定及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】若，，则,可能平行，也可能相交，故不一定成立， 若，则，， 故是，的充分不必要条件. 故选：A 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】补形成正方体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解. 【详解】将正四面体补形成正方体，如图， 因为，，所以， 又是平面内的相交直线，所以平面平面， 因为到平面的距离分别是3和9，所以正方体棱长为， 结合正方体对称性可知，球心到平面的距离为3， 记正四面体的外接球的半径为，则，解得， 则外接球被平面截得的截面半径， 所以，截面面积为. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是 . 【答案】①③ 【分析】利用线面垂直的性质可知①符合题意；举反例知②不符合题意；利用异面直线以及线面平行的性质可知③符合题意.由线面平行的性质即可得，可能相交，可知④不符合题意； 【详解】对于①，当，不平行时，不存在直线与，都垂直， ，，故①正确； 对于②,存在一个平面，使得，；则，相交或平行（比如墙角处的三个互相垂直的平面），所以②不正确； 对于③,由，，，，所以存在过直线的平面，使得，且，即有，因为，是两条异面直线，所以相交，同时，所以可以推出，故③正确， 如图所示： 对于④，存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，比如：若直线，同时平行于与的交线，此时，是相交的（如下图所示），不能推出；所以④不正确； 故答案为 ：①③ 3．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）根据面面平行的判定，先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线特征可得线面平行，进而得到面面平行． 【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点， 则有∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面， 同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 【经典例题九 证明面面平行】 【例9】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用补形法，补成一个三棱柱，利用柱体的体积公式计算即可. 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于侧棱之间的距离为定值，而侧棱与底面所成角不是定值，所以可以取侧棱垂直于底面的特殊情况，这仍满足题意；此时补形后的三棱柱的高为侧棱长，进而根据柱体的体积公式计算即可. 1．（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在平面内，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】易证面面，得到点到面的距离相等，然后由求解. 【详解】解：如图所示： ∵，面，面， ∴面， ∵，面，面， ∴面， 又∵，面， ∴面面， 点在平面内，则点到面的距离相等， 所以三棱锥的体积为：， ， 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据菱形的几何性质以及中位线的性质，结合线面平行判定定理，可得答案； （2）根据中位线的性质，结合线面平行与面面平行的性质与判定，可得答案； （3）根据等比例可得线线平行，结合线面平行判定定理，可得答案. 【详解】（1）由已知四边形为菱形，又为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）过作交于，连接，. 因为，平面，平面，所以平面， 因为底面是菱形，是的中点，又因为为的中点，所以为的中点， 因为，，所以为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，并延长，交于点，连接， 因为为的重心，所以为中点，且. 又，所以. 所以，所以，又平面，平面， 所以平面. 【经典例题十 补全面面平行的条总】 【例10】（21-22高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，由线面关系判断面面关系判断A、B、D，利用线面垂直的性质及面面平行的判定即可判断C. 【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求； B：由，，则、可能相交或平行，不合要求； C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合. D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求； 故选：C 1．（2022·重庆·模拟预测）设，是空间中的两个平面，，是两条直线，则使得成立的一个充分条件是（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，， 【答案】D 【分析】根据面面平行的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由，，，不一定得到，与也可能相交，如图， 对于B，由，，，不一定得到，与也可能相交， 如图， 对于C，，，，，不一定得到，只有添加条件与相交时，才有； 对于D，由，，又，可得. 所以使得成立的一个充分条件是D. 故选：D 【点睛】本小题主要考查面面平行，考查充分条件的判断，属于中档题. 2．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是 . 【答案】内有两条相交直线与平行（答案不唯一） 【分析】根据空间面面平行的判定定理即可判断. 【详解】根据面面平行的判定定理可知：的充要条件是内有两条相交直线与平行. 故答案为：内有两条相交直线与平行（答案不唯一） 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．    【答案】能，证明见解析 【分析】连接，取的中点，连接，则与所确定的平面即为满足条件的平面，由面面平行的判定即可证明. 【详解】能作出满足条件的平面，其作法如下： 如图，连接，取的中点，连接，则与所确定的平面即为满足条件的平面．    证明如下：连接交于，连接，则为的中点，又为的中点，则． 因为平面，平面，故平面． 又因为为的中点， 所以，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，从而平面． 又因为，，，所以平面平面． 【经典例题十一 面面平行证明线线平行】 【例11】（24-25高三上·辽宁·期末）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，根据三角形相似得到，根据面面平行得到线线平行，得到∽，故，从而，得到，所以. 【详解】延长交于点，连接， 则∽， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形为平行四边形， 所以∽，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B 1．（2024高三·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 2．（2024高三·全国·专题练习）已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 【答案】15 【分析】根据面面平行的性质可以得到线线平行，从而利用平行线分线段成比例即可求解. 【详解】如图，连接与平面交于点，连接， 因为，且平面平面，平面平面， 所以所以， 同理可得，所以， ，由，得， 又， . 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. 过点的平面平行于平面且与交于点，求； 【答案】. 【分析】先作图由线面平行得出面面平行，再由面面平行性质定理得出线线平行即可得出线线比例. 【详解】 过作，交于，交于；过作交于. 因为，平面，平面，则平面， 同理平面， 由，且 、平面，所以平面平面， 平面即为题中所述平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以. 因为，所以. 因为为中点，且，所以为中点，所以， 所以，则. 【经典例题十二 面面平行证明线面平行】 【例12】（2024高三·全国·专题练习）若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理即可得结果. 【详解】∵α∥β，∴α与β无公共点. ∵l⊂α，∴l与β无公共点， ∴l∥β. 故选：. 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，，，则且， 反之，当且时，若，则或与相交， 所以“”是“且”的充分不必要条件. 故选：A 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 . 【答案】/ 【分析】根据正四面体的性质可得线线平行，进而得平面平面，故点的轨迹为线段，即可利用三角形边角关系求解长度得解. 【详解】如图：补全正四面体，连接, 取分别为大正四面体棱的中点，连接, 由于均为大四面体的棱的三等分点，故. 平面，平面，平面，平面， 故平面, 平面. 且平面， 故平面平面， 由于平面，因此平面， 故点的轨迹为线段， 由于, 故点的轨迹长度为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据平面平面，可得点的轨迹为线段. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 【经典例题十三 空间平行的转化】 【例13】（24-25高三上·甘肃白银·期末）如图，这是一个五面体均垂直于底面，且是边长为1的等边三角形.已知.若平面平面，且与平面之间的距离为，与五面体相交，则平面切割五面体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作平面平面，分别交于点.由点到平面的距离分别为，可知.设平面与的交点分别为，由平面到平面的距离为及平面平面，可得.通过平移截面至平面，可求截面的面积. 【详解】易知，通过等体积法可知点到平面的距离分别为. 过点作平面平面，分别交于点，则. 因为平面到平面的距离为， 所以平面与直线的交点为线段的中点，记该点为， 记平面与的交点分别为， 则平面切割五面体所得截面为. 根据平面平面可得， 由三角形相似易知. 通过平移截面至平面，可知截面的面积为. 故选：B. 1．（2024·全国·模拟预测）在长方体中，，过顶点作平面，使得平面，若平面，则直线l和直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助面面平行的性质可得线线平行，结合等角定理与余弦定理计算即可得解. 【详解】因为平面，平面，平面平面， 所以，所以即直线l和直线所成角或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 故直线l和直线所成角的余弦值为． 故选：C． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）已知平面平面，直线，下列说法正确的是 （填序号） ①与内任一直线平行；     ②与内无数条直线平行； ③与内任一直线不垂直；    ④与无公共点． 【答案】②④ 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断可得答案. 【详解】①如图，平面平面，，，但不与平行，故错误； ②如图，若平面平面，直线，， 则，因为在平面有无数条直线与平行， 所以在平面有无数条直线与平行，故正确； ③如图，长方体中，若平面平面，直线，，则，故错误； ④若平面平面，则平面与平面无公共点， 因为直线，所以与无公共点，故正确． 故答案为：②④. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）现在我们已经学习了线线平行、线面平行和面面平行的所有内容，这三种位置关系之间有怎样的内在联系？请用一个图表表示这种联系． 【答案】答案见解析 【分析】利用线线平行、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理，直接得出即可. 【详解】解：由线线平行、线面平行、面面平行这三种位置关系之间的内在联系，如图下表所示： 位置关系 相互联系 线线平行 平行于同一直线的两直线平行； 若一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行. 两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行. 线面平行 若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则平面外的直线与平面平行； 两平行平面中的任意一条直线一定平行于另一个平面. 面面平行 若一个平面中的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行； 平行于同一平面的两个平面平行. 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 2．（2022高三·全国·专题练习）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可. 【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，    则，又平面，平面，∴平面， 易知，故平面与平面是同一个平面， ∴平面，此时， 故选：B 3．（22-23高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 4．（2023高一上·全国·专题练习）已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定：如果平面α内的两条直线a，b相交，且a∥β，b∥β，则平面α∥平面β，得到结论． 【详解】根据面面平行的判定：如果平面α内的两条直线a，b相交，且a∥β，b∥β， 则平面α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是相交， 故选：A． 【点睛】考查了面面平行的判定定理，基础题 5．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知直线和平面，则成立的一个充分条件是（    ） A．存在一条直线且 B．存在一条直线且 C．存在一个平面且 D．存在一个平面且 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定方法，结合选项可得答案. 【详解】在A，B，D中，均有可能，错误， 在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，C正确， 故选：C. 6．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 7．（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充要 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】充分性：因为， 所以共面， 又因为为两个不同的平面，， 所以， 所以，故充分性成立； 必要性：因为，所以， 又因为，所以，故必要性成立， 所以是的充要条件. 故答案为：充要. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知三棱柱中，是上的动点，是上的动点，且，平面． （1）若是的中点，则的值为 ； （2）若是上靠近的三等分点，则的值为 ． 【答案】 1 2 【分析】运用线面平行的判定和性质，结合平行线分线段成比例定理可解. 【详解】（1）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以． 又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，则四边形是平行四边形． 故，所以是的中点． 故，即，即． （2）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，故四边形是平行四边形， 则，且， 所以，所以， 则，即． 故答案为：1；2. 9．（2025高三·全国·专题练习）平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面内的两条 .与另一个平面平行，那么这两个平面平行 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线 于另一个平面 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条 平行 【答案】 相交直线 平行 相交 交线 【分析】略 【详解】略 【点睛】 10．（23-24高一下·河北石家庄·期中）在棱长为1的正方体中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分为别为棱AB，BC的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是 . 【答案】 【分析】取的中点，取的中点为，连接，证明平面平面，结合直线与平面无公共点，得到点在线段上，由此求得长的范围. 【详解】如图所示，取的中点，取的中点为，连接， 由三角形的中位线的性质，可得，则， 又由平面，平面，可得平面， 连接，可得且， 则四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 由直线与平面无公共点，所以点在线段上， 当为的中点时，取得最小值，最小值为， 当与点或重合时，取得最大值，最大值为， 所以线段的长的范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：取的中点，取的中点为，连接，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，证明平面平面，结合直线与平面无公共点，得到点在线段上是解答的关键. 11．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用等角定理推理得证. 【详解】依题意，，，则， 又，同理， 观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同， 所以. 12．（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为平面，平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 13．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】过作∥，交于，连接，，则可得，由已知可得，则得，所以，在中可求得，所以∥，然后利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【答案】证明见解析 【分析】方法一：取PD的中点F，连接EF，FA，先证明，得到四边形ABEF为平行四边形，进而得到，进而求证即可； 方法二：延长DA，CB相交于H，连接PH，结合题设可得B为HC的中点，进而得到，进而求证即可； 方法三：取CD的中点H，连接BH，HE，可得，进而得到平面PAD，再结合题设得到，进而得到平面PAD，进而得到平面平面PAD，进而求证即可. 【详解】方法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．    由题意知EF为的中位线， ∴，且． 又∵，， ∴，且， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴． 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法二：如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，    ∵，，， ∴， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，    ∵E为PC的中点， ∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又由题意知且， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又，BH，平面BHE， ∴平面平面PAD， 又平面BHE，∴平面PAD． 学科网（北京）股份有限公司 $$