专题03 简单几何体的表面积与体积重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题03 简单几何体的表面积与体积重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 棱锥表面积的有关计算 题型三 棱台表面积的有关计算 题型四 柱体体积的有关计算 题型五 锥体体积的有关计算 题型六 台体体积的有关计算 题型七 圆柱表面积的有关计算 题型八 圆锥表面积的有关计算 题型九 圆台表面积的有关计算 题型十 球的体积的有关计算 题型十一 球的表面积的有关计算 知识点一 几何体的表面积和体积 【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（23-24高一下·山东烟台·期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【经典例题二 棱锥表面积的有关计算】 【例2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 1．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）棱柱、棱锥、棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积和侧面积之和，底面积容易计算，那么如何求其侧面积？ 【经典例题三 棱台表面积的有关计算】 【例3】（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 1．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 2．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 【经典例题四 柱体体积的有关计算】 【例4】（22-23高三下·北京·阶段练习）一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离为1.若，，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）同一摞书，当改变摆放书的形式时（如图），该摞书的总体积是否会改变？ 【经典例题五 锥体体积的有关计算】 【例5】（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为60cm，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建厦门·一模）已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【经典例题六 台体体积的有关计算】 【例6】（2025·江西·一模）在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为3，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州毕节·期末）《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则 ． 3．（24-25高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【经典例题七 圆柱表面积的有关计算】 【例7】（24-25高三上·河南·期末）“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为1m，内外直径分别为8cm与10cm．若电镀这批钢管每平方米要用锌0.11kg，求需要用锌的总量．（结果精确到0.01kg） 【经典例题八 圆锥表面积的有关计算】 【例8】（24-25高三上·山东济南·期末）已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·甘肃·模拟预测）已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积. 【经典例题九 圆台表面积的有关计算】 【例9】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）若圆台上、下底的面积分别为，，高为2，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留） 【经典例题十 球的体积的有关计算】 【例10】（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25高三下·全国·开学考试）一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.若球缺的高为，球的半径为，则球缺的体积.已知一个圆柱的轴截面是边长为8的正方形，且正方形的中心为.球的半径为5，则球与圆柱重合部分的体积为 . 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【经典例题十一 球的表面积的有关计算】 【例11】（24-25高三上·河南·期末）已知、、是表面积为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·山西运城·期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）半径为3的球的表面积为 . 3．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度） (1)求该玻璃罩外壁的面积； (2)若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？ 1．（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 3．（24-25高二上·江西景德镇·期末）“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）酒是一种礼仪与情感文化，情深意长.每读起王翰的“葡萄美酒夜光杯”，犹如突然间在人们眼前展现出酒香四溢的盛大宴席.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 7．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 8．（24-25高二上·浙江杭州·期中）正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是 ． 9．（2025高三上·广东·学业考试）圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为 ． 10．（24-25高一上·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 11．（23-24高一下·四川成都·期末）（1）若对恒成立，求的值； （2）求的值域； （3）正五棱锥的所有棱长均为，求此正五棱锥的表面积． 12．（24-25高二上·上海·期中）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 14．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 简单几何体的表面积与体积重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 棱锥表面积的有关计算 题型三 棱台表面积的有关计算 题型四 柱体体积的有关计算 题型五 锥体体积的有关计算 题型六 台体体积的有关计算 题型七 圆柱表面积的有关计算 题型八 圆锥表面积的有关计算 题型九 圆台表面积的有关计算 题型十 球的体积的有关计算 题型十一 球的表面积的有关计算 知识点一 几何体的表面积和体积 【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（23-24高一下·山东烟台·期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得； 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，，所以， 则，， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 故选：C 1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 2．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 【答案】 【分析】求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论． 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【答案】 【分析】如图，由已知条件可知，侧面是平行四边形，也是平行四边形，为矩形，计算可得. 【详解】 由题意知为直角等腰三角形，，， 所以，侧棱长为b，则， ，侧棱长为b， 则从点A到距离为， 从点A到距离为距离为， 所以. . 【经典例题二 棱锥表面积的有关计算】 【例2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【答案】C 【分析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可. 【详解】 由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4， 则棱锥的高，斜高为， 侧面积为． 故选：C. 1．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三棱锥性质以及三角形面积计算公式可得结果. 【详解】棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是 . 【答案】4500 【分析】根据题目条件分析出原四面体的顶点分别为新四面体各个面的重心，则根据相似比易得新四面体的全面积. 【详解】设原四面体为，过每个顶点作平行平面得到新四面体 如下图所示，设过全面积为的四面体的每个顶点作一个平面与另外三个顶点所在平面平行， 作出的这四个平面围成的新四面体为，显然是唯一的， 而当分别为各个面对应三角形的重心时， 连接交于点，连接交于点， 则有，且为中位线， 所以且， 同理可得且，且， 且，且，且. 即当分别为各个面对应三角形的重心时恰满足题目条件， 此时四面体的棱长为四面体对应棱长的三倍， 所以四面体的全面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得新的四面体的棱长是原来四面体对应棱长的三倍，从而得解. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）棱柱、棱锥、棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积和侧面积之和，底面积容易计算，那么如何求其侧面积？ 【答案】答案见解析 【详解】可借助其侧面展开图来求侧面积． 【经典例题三 棱台表面积的有关计算】 【例3】（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】根据棱台的高求出侧面等腰梯形的高，再计算出棱台的表面积，即可求得该零部件的防腐处理费用. 【详解】 如图所示，，，连接，分别是的中点，连接，取的中点，连接. 由题意，在正四棱台中，平面，则， 因为分别是的中点，所以，且， 又分别是的中点，所以，且， 故，则四点共面； 因为平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形， 在直角梯形中，，又点是的中点， 所以四边形为矩形，则，且，又， 因此，在直角中，， 所以在正四棱台中， 侧面积， 底面积， 表面积（平方厘米）， 又每平方厘米的防腐处理费用为元， 所以该零部件的防腐处理费用是（元）. 故选：A 1．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 2．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 【答案】 【分析】过作，由已知，求出，进而求出四棱台的侧面面积. 【详解】 如图，过作，垂足为， 所以为正四棱台的侧面的高， 因为， 则，， ， 所以正四棱台的侧面积为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 【答案】 【分析】作出示意图，点，分别是上、下底面的中心，则，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过作的垂线，垂足为点；连接． 可求得，进而可求得，可求三棱台的侧面积. 【详解】如图，点，分别是上、下底面的中心，则． 连接并延长交于点，连接并延长交于点； 过作的垂线，垂足为点；连接． 在中，， ， ． 所以． 因此，三棱台的侧面积为． 【经典例题四 柱体体积的有关计算】 【例4】（22-23高三下·北京·阶段练习）一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据油桶两种放置时，油的体积相等，列方程求出油的高度与油桶的高度比值． 【详解】解：如图所示，    设油桶的高度为，半径为，直立时油面高为， 则横放油桶时，液体形成柱体的底面面积为， ， 直立时， 由体积相等得， 解得． 故选：B． 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离为1.若，，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将五面体补成正三棱柱，求出三棱柱的体积即可得到结果. 【详解】 如图，延长至点，延长至点，延长至点，使得， ∵棱AD，BE，CF互相平行，∴，故五面体为三棱柱，且体积为原五面体体积的2倍， ∵AD，BE，CF两两之间距离为1，， ∴三棱柱为正三棱柱，底面是边长为1的等边三角形，高为4， ∴三棱柱的体积为， ∴该五面体的体积为. 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为 . 【答案】 【分析】根据不同放置方式水的体积相等，结合柱体的体积公式求解即可. 【详解】设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，， 所以水的体积，解得， 故答案为： 3．（24-25高一下·全国·课前预习）同一摞书，当改变摆放书的形式时（如图），该摞书的总体积是否会改变？ 【答案】不变 【详解】同一摞书，当改变摆放书的形式时（如图），该摞书的总体积是不会改变， 改变前后两个几何体均为棱柱，底面面积相同，高相等，由柱体体积可得体积不变. 【经典例题五 锥体体积的有关计算】 【例5】（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为60cm，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把几何体转化为正方体减去八个三棱锥，再结合棱柱及棱锥的体积公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出四棱锥的高，再利用锥体的体积公式计算得解. 【详解】由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，得该四棱锥为正四棱锥， 其高为，所以该四棱锥的体积是. 故选：D 2．（2025·福建厦门·一模）已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】应用圆锥的几何特征结合圆锥的体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，轴截面为等边三角形，则，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 【经典例题六 台体体积的有关计算】 【例6】（2025·江西·一模）在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解. 【详解】连接相交于点，相交于点，连接， 则为正四棱台的高，作，垂足为， 则，， 四边形是等腰梯形，， 所以，， ， 由，得， 可得． 故选：C. 1．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为3，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【详解】依题意，该圆台的体积为. 故选：C 2．（24-25高二上·贵州毕节·期末）《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则 ． 【答案】 【分析】根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】依题意可得， 即， 即，解得或（舍去）. 故答案为： 3．（24-25高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)94毫米 【分析】（1）盆的形状不同，接到的雨水存在差异. （2）根据台体的体积公式求容积. （3）台体的容积除以盆口面积即可. 【详解】（1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． 再根据1寸约为现代的31.2毫米计算可得：（毫米） 故折算到现代的雨量约为94毫米． 【经典例题七 圆柱表面积的有关计算】 【例7】（24-25高三上·河南·期末）“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用圆柱表面积公式，即可求解. 【详解】解：由题可知该几何体的表面积等于两个圆柱表面积的和减去“牟合方盖”的表面积， 即 故选：A. 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8， 则底面圆面面积为：， 因为圆柱的高为6， 所以圆柱的侧面为：， 根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8， 得圆锥母线长为， 所以圆锥的侧面为：， 所以该陀螺的表面积为：， 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为2， 所以圆柱的侧面积. 故答案为： 3．（23-24高二·上海·课堂例题）要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为1m，内外直径分别为8cm与10cm．若电镀这批钢管每平方米要用锌0.11kg，求需要用锌的总量．（结果精确到0.01kg） 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可得. 【详解】圆柱上下两底面圆环面积， 圆柱外侧面积， 圆柱内侧面积， 所以每根空心钢管的表面积， 所以需要锌的总量约为. 【经典例题八 圆锥表面积的有关计算】 【例8】（24-25高三上·山东济南·期末）已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出底面圆半径，由圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的母线长为，高为， 所以圆锥底面圆半径为， 则该圆锥的表面积为. 故选：C 1．（2024·甘肃·模拟预测）已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥侧面积公式和轴截面面积列方程再联立即可得到结果. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为， 由题意，得，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，可得， 所以该圆锥的母线与底面所成的角为． 故选：D． 2．（24-25高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】依题意可求得其母线长，代入侧面积公式计算可得结果. 【详解】由题可知圆锥母线为， 所以其侧面积为. 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积. 【答案】答案见解析 【分析】分别以三角形的一边，和所在直线为轴，形成一个或两个圆锥，由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以，即， ①以三角形的一边所在直线为轴，作于，如下图所示： 可以看作两个直角三角形绕各自的直角边旋转而成，所以形成的几何体是两个同底的圆锥， 则， 此时这两个圆锥以为半径，母线长分别为， 所以其表面积为， ②以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：， ③以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：. 【经典例题九 圆台表面积的有关计算】 【例9】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由底面面积比可得半径比，利用侧面积公式及母线、高、上下底面半径之差的关系求解半径与母线长，再由体积公式得解. 【详解】根据题意，上､下底面的面积比为，可得上､下底面的半径比为， 设该圆台上底面的半径为，下底面的半径为，母线长为， 因为圆台的侧面积为，所以，即， 又，求解可得， 所以该圆台的体积， 故选：B. 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）若圆台上、下底的面积分别为，，高为2，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定条件结合圆台侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆台上、下底的面积分别为，，设上底半径为，下底半径为， 所以，，解得，(负根舍去)， 设圆台母线为，由勾股定理得，且设圆台侧面积为， 故，故C正确. 故选：C 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为 . 【答案】 【分析】利用圆台轴截面是其内切球截面大圆的外切等腰梯形，结合已知求出圆台下底面圆半径，进而求出侧面积. 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的内切圆是圆台内切球的截面大圆， 圆台上下底面圆心分别是梯形上下底的中点，令圆切腰于， 则，过作于，则， 由，得，解得， 因此圆台母线，所以圆台侧面积. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留） 【答案】 【分析】作出圆台的侧面展开图的示意图，可求得圆台的母线长，从而可求圆台的侧面积. 【详解】如图，设圆台上底面周长为． 因为圆环的圆心角是180°，所以． 又因为，所以．同理． 所以， ． 因此，圆台的侧面积为． 【经典例题十 球的体积的有关计算】 【例10】（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆柱侧面积的条件求出半径，再依据半径计算圆柱下剩余水的体积即可. 【详解】已知圆柱的侧面积为，根据圆柱侧面积公式为可得方程. 变为. 解得.   先求圆柱的体积公式为（这里），所以圆柱体积. 那么圆柱下剩余水的体积. 把代入，得到.   故选：B. 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D 2．（24-25高三下·全国·开学考试）一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.若球缺的高为，球的半径为，则球缺的体积.已知一个圆柱的轴截面是边长为8的正方形，且正方形的中心为.球的半径为5，则球与圆柱重合部分的体积为 . 【答案】 【分析】根据球缺的定义计算即可. 【详解】如图实际就是两个球缺加一个: 那么那么我们先把球缺的体积算了.先画平面图先算球缺的上下底， 先算上底. 下底，再算高，即. 所以我们剩下的（DBFE）是大球缺小球缺， 所以两个球缺的体积为:. 再算圆柱的体积. 【方法二】如图， 球与圆柱重合部分可以看成上下两部分加中间一个圆柱，上部分和下部分形状相同，可以看成一个缺挖掉一个小球缺. 那么我们先算上部分体积，再算圆柱体积，则，即可得到结果. ， 所以 . ， 故. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 【经典例题十一 球的表面积的有关计算】 【例11】（24-25高三上·河南·期末）已知、、是表面积为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的表面积求得半径，在中，由余弦定理得，利用正弦定理得的外接圆半径为，进而求出，利用球的性质求得球心到平面的距离，最后利用锥体体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，解得， 在中，由余弦定理得， 所以的外接圆半径为， 所以， 设的外接圆的圆心为，则平面， 则球心到平面的距离为，则， 所以三棱锥的体积为. 故选：A    1．（24-25高三上·山西运城·期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得球的半径，结合球与球、圆锥都相切时满足题意，进而求得球的半径，即可求解. 【详解】由边长为的正三角形的内切圆半径为， 即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为2， 所以放入一个半径为2的小球后，再放一个球， 如下图， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大， 所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图， 此时， 所以球的表面积为，圆锥表面积为， 所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为 故选： A 2．（24-25高二上·上海·期末）半径为3的球的表面积为 . 【答案】 【分析】由球的表面积公式即可求解. 【详解】由球的表面积公式可得，. 故答案为：. 3．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度） (1)求该玻璃罩外壁的面积； (2)若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？ 【答案】(1)平方分米 (2) 【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解即可； （2）根据圆柱的体积公式和球的体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意知， 故该玻璃罩外壁的面积为平方分米； （2）所求即圆柱体积与半球体积之和， 立方分米升 故最多能装升水. 1．（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正六边形的边长，六棱锥的侧棱，由，得出棱长关系，分别求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，即可求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比. 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 【答案】C 【分析】根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧面积公式计算即可. 【详解】   如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意球O的半径， 所以，，则， 故中，边AB的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 3．（24-25高二上·江西景德镇·期末）“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，所求容积为（）. 故选：A 4．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等求得两体积表达式，再利用不等关系计算可得结果. 【详解】设底面圆半径为，侧面积为， 则圆锥的母线长为，圆柱母线（即高线）长为， 可得圆锥的高为，由，可得， 即，故有， ， ； 因此. 故选：B. 5．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）酒是一种礼仪与情感文化，情深意长.每读起王翰的“葡萄美酒夜光杯”，犹如突然间在人们眼前展现出酒香四溢的盛大宴席.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据酒杯体积的变化规律，定性分析高度的变化情况，再比较大小即可. 【详解】前面三个酒杯都是上大下小，观察图形可知， 饮酒一半即体积减少一半后剩余酒的高度应该都在中点以上，且下方越小，所剩酒的高度就越高， 第二个酒杯是圆锥型，饮酒一半后所剩酒的高度应该最大， 第四个酒杯是圆柱型，饮酒一半后所剩酒的高度正好在中间. 故选：A. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 7．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【答案】6 【分析】观察几何体，利用切割法的思想进行解决： , ,由即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 8．（24-25高二上·浙江杭州·期中）正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】由正六边形性质求相应长度和面积，借助于轴截面求高，进而可得体积. 【详解】对于正六棱台， 由正六边形性质可知，， 且上、下底面面积分别为， 根据轴截面，可知为等腰梯形， 则高，即正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积是. 故答案为：. 9．（2025高三上·广东·学业考试）圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为 ． 【答案】 【分析】利用侧面积与轴截面面积的比值以及勾股定理找出母线长为，圆锥的高为，从而求出母线与底面所成角的正切值. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，母线与底面所成角为， 根据题意，圆锥的侧面积和轴截面面积的比值为， 由侧面积，轴截面面积， 因此，简化得， 由勾股定理得，代入得到， 从而，解得， 由定义知，将代入得： . 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 11．（23-24高一下·四川成都·期末）（1）若对恒成立，求的值； （2）求的值域； （3）正五棱锥的所有棱长均为，求此正五棱锥的表面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据和角公式和余弦的倍角公式，得到，再结合条件，即可求出结果； （2）利用和角公式得到，令，利用二次函数的性质，即可求出结果； （3）利用（1）中结果，求得，再利用正五棱锥的特征，即可求出底面积和侧面积，进而求出结果. 【详解】（1）∵ ∴，则． 【注：还可以代值，构造方程组求解】 如：时，；时，， 解得，则． （2）由， 【或】 ∵，∴，【或】 令，则，对称轴为， 当时，，当时，， 所以的值域为． （3）∵，又因为， ∴，即， 变形得到， 所以（舍）或（舍）或， ∴，所以， 又因为正五棱锥的所有棱长均为，如图，为底面的中心，取中点，连接， 易知，，由，得到 ∴，而 ∴． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，利用（1）中结果，求得，再利用平方关系和商数关系得到，再利用正五棱锥的特征，即可求出结果. 12．（24-25高二上·上海·期中）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 【答案】（1）答案见解析（2）（3）答案见解析 【分析】（1）为拼出三棱柱，需要四边形，根据这个原则进行裁剪； （2）根据体积公式计算对比即可； （3）任意三角形，为得到直三棱柱，需要裁出三个矩形，在三角形的三边上裁出矩形，剩余部分拼出上底面即可. 【详解】（1）如图所示， 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为正三角形边长的，有一组对角为直角.余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底. （2）依上面剪拼的方法，有， 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为.现在计算它们的高： ，. ， . （3）如图所示， 分别联结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面.过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分沿虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型. 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆锥部分的母线长，根据圆锥以及圆柱的侧面积公式即可求得答案； （2）根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得，又, 故该蒙古包的表面积为（）； （2）由题意可得该蒙古包的体积为. 14．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【答案】(1) (2)克 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是， 得球的半径与圆柱底面半径均为， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以个“浮球”的表面积为， 因此，个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【答案】(1)17 (2)880元 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 学科网（北京）股份有限公司 $$