5.3 实践与探究（教学课件）数学新教材华东师大版七年级下册

5.3 实践与探究 主讲： 华东师大版七年级 第5章 一元一次方程 学习目标 目标 1 1、学会根据题干中给出的数量关系列出一元一次方程； 2、掌握一元一次方程的不同类型题目的解决方法； 重点 2 1、会建立一元一次方程模型解决简单的商品销售问题及利息问题； 2、会建立一元一次方程模型解决图形几何问题； 3、会建立一元一次方程模型解决和差倍分问题； 4、会建立一元一次方程模型解决行程问题. 难点 3 1、巩固用一元一次方程解决实际问题中的步骤，并注意检验解的合理性. 2、经历画“线段图”找等量关系，列出方程解决问题的过程，进一步体验画“线段图"也是解决实际问题的有效途径. 新课导入 1.周长公式 a. 长方形周长： b. 正方形周长： c. 圆的周长： 2. 面积公式 a. 长方形面积： b. 正方形面积： c. 圆的面积： 3. 体积（容积）公式 a. 长方体体积： b. 正方体体积： c. 球的体积： 新课导入 观察图形变化：圆柱体的底面半径减小了，高度增大了. 形状改变，体积不变. 思考：在这个过程中什么发生变化？什么没有发生变化？ 新课讲授 知识点一 图形几何问题 某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱. 现改楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m. 那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少米？ 新课讲授 解：本题中的等量关系为： 设水箱的高变为x m. 填写下表： 旧水箱的容积 = 新水箱的容积 旧水箱 新水箱 底面半径/m 高/m 容积/m3 2 4 1.6 x π·22·4 π·1.62·x 新课讲授 解：设水箱的高变为x m     = 解得: x=6.25 答：水箱的高度变成了6.25 m. 新课讲授 形积变化问题中的等量关系：形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系，分以下几种情况： (1)形状发生了变化，体积不变。 其相等关系是：变化前物体的体积=变化后物体的体积. (2)形状、面积发生了变化，周长不变。 其相等关系是：变化前图形的周长=变化后图形的周长. 新课讲授 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？ 6.答——注意单位名称. 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 1.审——审题（已知条件，未知条件，等量关系）. 新课讲授 【思考】一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解这个方程，得x＝25. 答：这一支牙膏能用25次． 新课讲授 (1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？ 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？ 新课讲授 用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？ x x+1.4 解：设此时长方形的宽为x米，则长为（x+1.4）米. 2（x+x+1.4）=10 解得 x=1.8 即宽为1.8米，长为3.2米 故面积为1.8×3.2=5.76平方米。 新课讲授 用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？ x x+0.8 解：设此时长方形的宽为x米，则长为（x+0.8）米. 2（x+x+0.8）=10 解得 x=2.1 即宽为2.1米，长为2.9米 故面积为2.1×2.9=6.09平方米。 与(1)相比，面积增加：6.09－5.76=3.3平方米 新课讲授 用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？ x x 解：设此时长方形的宽为x米，则长为x米. 4x=10 解得 x=2.5 即宽为2.5米，长为2.5米 故面积为2.5×2.5=6.25平方米。 面积增加： 6.25-6.09=0.16平方米 典例分析 【例1】已知长方形的周长是30 cm，长比宽多3 cm，求这个长方形的面积． 解：设长方形的宽为x cm，则长为(x＋3)cm. 依题意，得2(x＋x＋3)＝30. 解这个方程，得x＝6，则x＋3＝9. 因此，这个长方形的面积为6×9＝54(cm2)． 练一练 1.小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条。如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少? 解：设正方形的边长是xcm，由题意得： 4x=5（x-4）， 解得：x=20． 则4x=80（cm2）， 20×20=400（cm2）． 答：每一长条的面积为80cm2，原正方形的面积为400cm2． 练一练 2.墙上钉着一根彩绳围成的梯形状饰物，如图所示，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，小明所订成的长方形的长、宽各是多少厘米？ 解：长方形的一边为10厘米， 故设另一边为x厘米． 根据题意得2×（10+x）=10+10+10+6+10+6， 解得x=16． 答：小颖所钉长方形的长为16厘米、宽为10厘米． 新课讲授 知识点二 销售利润问题 = 商品售价-商品进价 1.售价、进价、利润的关系式： 商品利润 2.进价、利润、利润率的关系： 利润率= 商品进价 商品利润 ×100% 3.标价、折扣数、商品售价关系 : 商品售价= 标价× 折扣数 10 4.商品售价、进价、利润率的关系： 商品进价 商品售价= ×(1+利润率) 销售利润中的基本关系： 新课讲授 探究1 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 是什么决定销售的盈亏呢？ 提示：销售的盈亏取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系. 新课讲授 解：设盈利25%的衣服进价是x元，依题意得： x＋0.25x=60 解得： x=48 设另一件衣服进价的是y元，依题意得： y-0.25y=60 解得： y=80 ∴两件衣服的进价是 x＋y=128 (元) ∵两件衣服的售价是 60＋60=120 (元) 120-128=-8 (元) ∴卖这两件衣服共亏损了8元. 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 新课讲授 销售问题解题思路： 1.销售问题中的常见数量关系： （1）利润=售价-成本（进价）； （2）利润率=利润/成本×100％； （3）利润=成本×利润率； （4）售价=标价×折扣数/10； （5）售价=成本+利润=成本×（1+利润率）. 2.折扣数表示现价是原价的十分之几. 新课讲授 1.商品原价200元，九折出售，卖价是 元. 2.商品进价是30元，售价是50元，则利润是 元. 3.某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是 　元. 4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为　 　元. 5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是　 　元.　　　　　　　　 0.9a 1.25a 18.5 180 20 典例分析 【例2】某种商品零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店决定按售价9折降价并让利48元销售，仍可获利20%，则这种商品进货价是每件多少元？ 解：设这种商品的进价是x元. 　　 x＋0.2x=900×0.9-48. 　　 解得 x=635.　　　　　 答：该商品的进价是635元. 练一练 1、随州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利20%的那台钢琴进价为x元,它的利润是0.2x元,则 x+0.2x=960， 解得 x=800. 设亏损20%的那台钢琴进价为y元，它的利润是-0.2y元，则 y-0.2y=960， 解得 y=1200. 所以两台钢琴总进价为2000元，而总售价为1920元，进价大于售价，因此两台钢琴总的盈利情况为亏损了80元. 新课讲授 知识点三 数量分配问题 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1 000张票，筹得票款6 950元，成人票与学生票各售出多少张？ 儿童 成人 合计 票价（元/张） 5 8 票数（张） 1000 票款（元） 6950 新课讲授 儿童 成人 合计 票价（元/张） 5 8 票数（张） 1000 票款（元） 6950 x 5x 1000-x 8(1000-x) 成人票数+学生票数=1000张 ① 成人票款+学生票款=6950元 ② 结合图表思考：该问题中包含了哪些等量关系？ 新课讲授 解：设售出的学生票为x张，则成人票为（1 000－x）张 答：售出学生票350张，成人票650张. 1 000－x=1000-350=650张 解得：x=350 成人票数+学生票数=1000张 ① 成人票款+学生票款=6950元 ② 这道题还有没有其他解法吗？ 新课讲授 结合图表思考：该问题中包含了哪些等量关系？ 儿童 成人 合计 票价（元/张） 5 8 票数（张） 1000 票款（元） 6950 成人票数+学生票数=1000张 ① 成人票款+学生票款=6950元 ② y 6950-y 新课讲授 答：售出学生票350张，成人票650张. 成人票数+学生票数=1000张 ① 成人票款+学生票款=6950元 ② 解：设所得的学生票款为y元.则成人票款为(6950－y)张。 解得：y=1750 新课讲授 当题目中出现两个等量关系时，可以用其中一个表示未知数，另一个用来列方程 解：设售出的学生票为x张，则成人票为（1 000－x）张 成人票数+学生票数=1000张 ① 成人票款+学生票款=6950元 ② 解：设所得的学生票款为y元. 成人票数+学生票数=1000张 ① 成人票款+学生票款=6950元 ② 新课讲授 (3)采用列表格的方法是一种比较有效的途径,能清楚表示出较复杂问题中的各个量之间的关系. 反思交流 (1)在复杂问题中要选择恰当、灵活的设未知数的方法,利于快速解题. (2)当遇到含有两个未知量,两个等量关系时,可以把其中一个未知量设为未知数,另一个未知量就用其中的一个等量关系表示为代数式,用另一个等量关系来列方程. 典例分析 【例3】某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道． 等量关系： 甲工程队用时+乙工程队用时=20天， 甲工程队完成长度+乙工程队完成长度=360米. 典例分析 解：设甲工程队用时x天，则乙工程队用时（20－x）天. 由题意得 24x+16(20－x)=360 解得x=5 甲工程队完成长度：24×5=120米 乙工程队完成长度：360-120=240米 答：甲、乙两个工程队分别整治了120米和240米的河道 练一练 1. 小李在网上预定了足球小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，则小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？ 解：设小李预定了小组赛球票x张，则淘汰赛球票(10－x)张，根据题意得 550x＋700(10－x)＝5800， 解得x＝8， 所以10－x＝2. 答：小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张． 新课讲授 知识点四 行程问题 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学. 一天，小明以80m/min 的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书. 于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 新课讲授 思考1：在整个过程中，小明走的路程分为几个部分 答：整个过程分成两个部分，分别为追赶前走的路程和追赶时走的路程 思考2：在整个过程中，小明爸爸走的路程分为几个部分 答：整个过程中小明爸爸走的路程为追赶时走的路程 新课讲授 思考3：在整个过程中，小明走的路程和爸爸走的路程是什么关系？ 答：小明走的路程和小明爸爸走的路程相同 你能通过一定的示意图把整个过程表示出来吗？ 新课讲授 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 80×5 80x 180x 等量关系:爸爸走的路程=小明走的路程. 解: 设爸爸追上小明用了x分钟 180x=80x+5×80. 解得：x=4. 答：所以爸爸经过了4分钟追上了小明. 新课讲授 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 180x 等量关系: 家离学校的距离－爸爸走的路程=距离学校的距离. 答：爸爸追上小明时距学校还有280米. 1000-180×4= 280（米）. 1000 新课讲授 问题的已 知条件 解决行程问题的基本步骤： 画出线 段图 找出等 量关系 列方程 并求解 回答 新课讲授 例：小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 4米，小强每秒跑6米.如果小强站在百米跑道起跑处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？ 思考1：小彬和小强是同时出发吗？ 思考2：既然是同时出发，为什么会出现一个人追另一个人的现象呢? 答：小彬和小强是同时同向出发 答：小彬站在小强前面10米处 新课讲授 4x 6x 10m 等量关系:小彬跑的路程+10m=小强跑的路程. 解：设经过 x 秒后小强追上小彬。 4x+10 = 6x 解得：x = 5. 答：经过5秒后小强追上小彬. 新课讲授 例：若小明到校后发现忘带语文书，打电话通知爸爸来.爸爸立即以180米/分的速度从家里出发，同时小明以120米/分的速度从学校返回，两人几分钟相遇？ 180x 80x 等量关系： 小明的路程+爸爸的路程=家到学校的总路程 新课讲授 例：若小明到校后发现忘带语文书，打电话通知爸爸来.爸爸立即以180米/分的速度从家里出发，同时小明以120米/分的速度从学校返回，两人几分钟相遇？ 解：设两人分钟后相遇，根据题意得： 180+120=1000 解得 = 答：两人分钟后相遇。 新课讲授 例：操场一圈是400米，小明每秒跑5米,小红骑自行车每秒10米。 （1）若两人绕跑道同时同地相向而行，经过多久两人第一次相遇？ S红+S明=1圈 解：设经过x秒两人第一次相遇，依题意得， 10x+5x=400, 解得x= . 答：经过 秒两人第一次相遇 10x 5x 新课讲授 例：操场一圈是400米，小明每秒跑5米,小红骑自行车每秒10米。 （2）若两人绕跑道同时同地同向而行，经过多久两人第一次相遇？ 5y 10y S红-S明=1圈 解：设经过y秒两人第一次相遇，依题意得 解得y=80. 10y-5y=400, 答：经过80秒两人第一次相遇. 新课讲授 (1)对于同向同时不同地的问题，如图所示， 甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离； 甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题： 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 新课讲授 (2)对于同向同地不同时的问题，如图所示， 甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程． 注意：同向而行注意始发时间和地点． 可转换成：速度差×追击时间=需要追击的路程 新课讲授 两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题． 往往根据路程之和等于总路程列方程．如图所示， 甲的行程＋乙的行程＝两地距离． 新课讲授 环形跑道问题：设v甲＞v乙，环形跑道长s米，经过t秒甲、乙第一次相遇. 一般有如下两种情形： 1、同时同地、同向而行： 2、同时同地、背向而行： v甲t-v乙t=s. v甲t+v乙t=s. 学以致用 1．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是(　　) A．20 cm B．24 cm C．48 cm D．144 cm B 学以致用 2．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多( ) A．60元 B．80元 C．120元 D．180元 C 学以致用 3．在一农场，鸡的只数与猪的头数的和是70，而鸡的脚数和猪的脚数的和是196，则鸡比猪多( ) A．14只 B．16只 C．22只 D．42只 A 学以致用 4．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的速度为__________． 27km/h 5．好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马经过x天追上劣马，则所列方程为_______________． 120x＝75(x＋12) 学以致用 6．将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？ 解：设高变成了x厘米，根据题意 π×102×9＝π×52·x.解得x＝36. 答：高变成了36厘米 学以致用 7．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价是多少元？ 解：设这种商品的定价是x元，由题意可得 75%x＋25＝90%x－20，解得x＝300. 答：这种商品的定价是300元 学以致用 8．某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个，应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套(每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套)? 解：设应分配x人生产甲种零件，依题意得 2×12x＝3×23(62－x)，解得x＝46. 所以62－x＝16. 答：应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件 学以致用 9．一艘轮船航行在A，B两个码头之间，已知该船在静水中每小时航行12 km，轮船顺水航行需用6 h，逆水航行需用10 h，求水流速度和A，B两码头间的航程． 解：设水流速度为x km/h，根据题意，得 6(12＋x)＝10(12－x)，解得x＝3， 6×(12＋x)＝90(km)． 答：水流速度为3 km/h，A，B两码头间的航程为90 km 学以致用 10．一列火车匀速行驶，经过一座1000米的铁路桥，从车头上桥到车身全部通过铁路桥需要1分钟，并且车身全部在桥上的时间为40秒钟，求火车的速度和火车的长度． 解：设火车的速度为x米/秒，则 60x－1000＝1000－40x，解得x＝20， 则60x－1000＝200 答：火车的速度为20米/秒，火车的长度为200米 学以致用 11.某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套？ 解：设x人生产镜片，则（60-x）人生产镜架． 由题意得：200x=2×50×（60-x）， 解得 x=20， 则60-x=40． 答：20人生产镜片，40人生产镜架，才能使每天生产的产品配套． 学以致用 12.某市生活拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. A计时制:0.05元/分钟；B包月制:60元/月(限一部个人住宅电话上网).此外,两种上网方式都得加收通信费0.02元/分钟． (1)某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2)你认为采用哪种方式比较合算？ 学以致用 解：(1)采用计时制：(0.05＋0.02)×60x=4.2x， 采用包月制：60＋0.02×60x=60＋1.2x； (2)由 4.2x=60＋1.2x，得 x=20.又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合算．所以， 当0<x<20时，采用计时制合算； 当x=20时，采用两种方式费用相同； 当x>20时，采用包月制合算． 课堂小结 　一.物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变. 二.固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三.图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变. 课堂小结 1.销售问题中有哪几个基本量？ 进价（成本价）、售价、销量、总价、利润、利润率 2.他们之间有什么公式？ 利润=售价-进价；利润率=利润进价；销量售价=总价 3.如何利用一元一次方程解决实际问题？ 圈出基本量（注意隐藏量）设未知数列表表示所有基本量根据公式找等量关系列方程解方程检验答 课堂小结 问题的已 知条件 解决行程问题的基本步骤： 画出线 段图 找出等 量关系 列方程 并求解 回答 同向追及问题 同地不同时： 同时不同地： 甲路程＋路程差＝乙路程； 甲路程＝乙路程 相向相遇问题 甲的路程＋乙的路程=总路程 课堂小结 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 数学问题的解 （一元一次方程的解） 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 解方程 验证 解释 主讲： 华东师大版七年级 感谢聆听 $$