课时7.3 万有引力理论的成就-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（人教版2019必修第二册）

第七章 万有引力与宇宙航行 课时7.3 万有引力理论的成就 目 录 01 学习目标 02 知识梳理 知识点一、“称量” 地球的质量 2 知识点二、计算天体的质量 2 知识点三、计算天体的密度 3 知识点四、发现未知天体 3 知识点五、天体运动参量的决定因素 4 03 问题探究 问题一：天体质量和密度的计算 5 【角度1】 天体质量的计算 5 【角度2】 天体密度的计算 6 【角度3】计算天体的质量和密度 7 问题二：天体环绕问题的分析与求解 8 问题三：双星和多星问题 10 【角度1】 双星模型 10 【角度2】 多星模型 11 04 强化训练 基础强化 14 素养提升 18 能力培优 19 2020年课程标准 物理素养 2.2.4 通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 物理观念：认识万有引力定律在宇宙中的普遍性和重要性。理解万有引力是如何作用于天体之间，维持宇宙的稳定运行。了解到重力加速度的概念，以及它是如何与万有引力定律相关联的。 科学思维：培养学生的科学思维能力，特别是逻辑推理和问题解决能力。运用万有引力定律解决实际问题，如计算天体的质量和密度，预测天体的运动轨迹等。 科学探究：通过实验和实例分析，体验科学研究的过程和方法。学会如何收集、整理和分析数据，以及如何根据实验结果得出结论。 科学态度与责任：增强对科学的敬畏之心和对自然的探索欲望。认识到自然规律的美妙和人类智慧的伟大，从而培养出严谨求实、勇于探索的科学态度。承担起传播科学知识的责任，将所学知识与他人分享，为推动科学普及和进步做出贡献。 知识点一、“称量” 地球的质量 1.原理 在地球表面，物体所受重力近似等于地球对物体的万有引力，即，其中m为物体质量，g为地球表面重力加速度，G为引力常量，M为地球质量，R为地球半径） 。 2.计算方法 由，经过简单的数学推导，可得出 。只要知道地球表面的重力加速度g、地球半径R以及引力常量G，就能计算出地球的质量。例如，g约为9.8m/s2，R约为6400km，G = 6.67×10-11N·m2/kg2，代入公式即可算出地球质量。 知识点二、计算天体的质量 1.原理 将天体的运动近似看作匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即，G为引力常量，M是中心天体质量，m是环绕天体质量，r是环绕天体轨道半径，v是环绕天体线速度，ω是环绕天体角速度，T是环绕天体周期。 2.常用方法 （1）已知环绕天体的周期T和轨道半径r：由，可得 。比如，已知月球绕地球运动的周期T和地月距离r，就可算出地球质量。 （2）已知环绕天体的线速度v和轨道半径r：根据，推出 。 知识点三、计算天体的密度 1.原理 在计算出天体质量M后，结合天体的体积公式（R为天体半径），根据密度公式计算密度。 2.常用情况 当卫星环绕天体表面运行时r = R：将（r = R）、代入，可得 。这为测量天体密度提供了一种便捷方式，只要知道卫星绕天体表面运行的周期T，就能计算出天体密度。 知识点四、发现未知天体 1.背景 天文学家在观测天体运动时，发现某些天体的实际运动轨道与根据万有引力定律计算出的理论轨道存在偏差。 2.过程 以海王星的发现为例，天文学家通过对天王星轨道的异常分析，依据万有引力定律进行复杂的计算和推理，预测在天王星外存在一颗未知天体对其产生引力作用，影响其轨道。随后，按照计算出的位置进行观测，成功发现了海王星 。这一过程充分体现了万有引力理论的强大预测能力。 3.预言哈雷彗星回归 （1）理论依据 根据万有引力定律，天体在引力场中的运动遵循特定的轨道规律。哈雷彗星在太阳的引力作用下运动，其轨道是一个椭圆。 （2）预言过程 英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的研究，发现1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道十分相似，经过计算，他大胆预言这三颗彗星实际上是同一颗彗星，并预测它将在1758年底或1759年初再次回归。果然，这颗彗星在1759年如期回归，这就是著名的哈雷彗星。这一成功预言进一步验证了万有引力定律的正确性和实用性。 知识点五、天体运动参量的决定因素 1.线速度v 由，可得 ，可知线速度v由中心天体质量M和环绕天体轨道半径r决定，M越大，v越大；r越大，v越小。 2.角速度ω 由，可得，角速度ω同样由M和r决定，M越大，ω越大；r越大，ω越小。 3.周期T 由，可得 ，周期T由M和r决定，r越大，T越大；M越大，T越小。 这些知识点相互关联，通过对万有引力定律的运用，能深入理解天体的各种性质和运动规律，解决相关的物理问题。 4.合外力F 由可知F∝,环绕天体m受到的合外力F与中心天体M和环绕天体m的质量和环绕半径r决定，中心天体质量M越大，F越大；环绕天体质量m越大，F越大；环绕半径r越大，F越小。 5.加速度a 由、可得,加速度a与中心天体质量M和环绕半径r决定，中心天体质量M越大，a越大；环绕半径r越大，a越小。 问题一：天体质量和密度的计算 【角度1】天体质量的计算 【典例1】（2024·福建·一模）三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（    ） A．黑洞质量约为 B．黑洞质量约为 C．恒星S2质量约为 D．恒星S2质量约为 解法通则 （1）利用运行天体 ①已知环绕半径r和周期T，由G＝mr可得m中＝，m中为中心天体是质量； ②已知环绕半径r和线速度v，由G＝m可得中心天体是质量：m中＝。 ③已知环绕线速度v和周期T，由G＝m、G＝mr可得中心天体是质量：m中＝。 （2）利用天体表面重力加速度g和半径R 由mg＝可得中心天体是质量：m中＝。 【变式1-1】（2024·广东深圳·三模）2020年11月24日，长征五号运载火箭将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道，执行月面采样任务后平安归来，首次实现我国地外天体采样返回。已知“嫦娥五号”探测器在距离月球表面h高处环月做匀速圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此可以求出月球的质量是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·福建漳州·一模）“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍。引力常量为，则（　　） A．根据题中所给信息可求出地球的质量 B．根据题中所给信息可求出月球的质量 C．周期和满足 D．地球质量与月球质量之比 【角度2】计算天体的密度 【典例2】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． （1）利用运行天体（已知环绕天体的轨道半径r和周期T及中心天体的半径R） 由G＝mr、m中＝ρ·πR3可得ρ＝，当r＝R时，ρ＝。 （2）利用天体表面重力加速度（已知中心天体表面的重力加速度g和半径R） 由mg＝，m中＝ρ·πR3可得ρ＝。 【变式2-1】（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·河南·模拟预测）人类有可能在不久的将来登上火星。未来某航天员在地球表面将一重物在离地高h处由静止释放，测得下落时间为，来到火星后，也将一重物在离火星表面高h处由静止释放，测得下落时间为，已知地球与火星的半径之比为k，不考虑地球和火星的自转，则地球与火星的密度之比为（　　） A． B． C． D． 【角度3】计算天体的质量和密度 【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）2011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b（Kepler一22b），距离地球约600光年之遥，体积是地球的2.4倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b绕恒星做圆周运动的轨道半径可测量，万有引力常量G已知。根据以上数据可以估算的物理量有 （　　） A．行星的质量 B．行星的密度 C．恒星的质量 D．恒星的密度 【变式3-1】（2024·河北邯郸·模拟预测）科学家发现太阳系外某星系有一恒星和一行星，并测得行星围绕该恒星运动的周期是地球绕太阳运动周期的800倍，行星与该恒星间的距离为地球到太阳距离的90倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆轨道，仅利用以上两个数据可以求出的量是（　　） A．恒星与太阳的质量之比 B．恒星与太阳的密度之比 C．行星与地球的质量之比 D．行星表面与地球表面的重力加速度之比 【变式3-2】（2024·福建福州·模拟预测）某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为Fm D．该行星的密度为 问题二：天体环绕问题的分析与求解 【典例4】（2024·全国甲卷·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 （1）解决天体环绕问题的思路 ①行星（或卫星）环绕恒星（或行星）的运动均可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有，所以，，。 ②忽略星体的自转，星体表面物体的重力近似等于万有引力，有，，， （2）解决天体运动的关键 ①建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 ②应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 ③利用——“gR2”代换“GM”，简化及求解。 【变式4-1】（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（    ） A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为 C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）卫星在不同轨道绕地球做圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道高度的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则（　　） A．地球的半径为 B．地球表面附近的重力加速度为 C．地球的质量为 D．地球的平均密度为 问题三：双星及多星问题 【角度1】双星问题 【典例5】（2024·辽宁阜新·模拟预测）在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的A、B两个恒星间距离为L，A、B两个恒星的质量之比为2：1，如果若干年后双星间距离减小为kL（k小于1），A、B恒星的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． （1）天体运动的双星模型，天体的运动模型仍为圆周运动。 （2）双星模型中各星体的运动周期、角速度相等。 （3）核心是找到圆周运动的圆心，以便找到各星体的运动半径。 （4）关键是找到各星体做圆周运动所需的向心力来源。 （5）模型及解题规律 彼此的万有引力，r1＋r2＝L，ω1＝ω2。 【变式5-1】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·湖南长沙·一模）在银河系中，双星系统的数量非常多。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成与和演化，也是一个不可缺少的方面。假设在宇宙中远离其他星体的空间中存在由两个质量分别为、m的天体A、B组成的双星系统，二者中心间的距离为L。a、b两点为两天体所在直线与天体B表面的交点，天体B的半径为。已知引力常量为G，则A、B两天体运动的周期和a、b两点处质量为的物体（视为质点）所受万有引力大小之差为（　　） A．， B．， C．， D．， 【角度2】多星模型 【典例6】（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 （1）天体运动的多星模型，天体的运动模型仍为圆周运动。 （2）多星模型中各星体的运动周期、角速度相等。 （3）核心是找到圆周运动的圆心，以便找到各星体的运动半径。 （4）关键是找到各星体做圆周运动所需的向心力来源。 （5）模型及解题规律 ①三星模型（直线排列） 对星球A，B、C两个星球对它的万有引力的合力提供向心力 ②三星模型（正三角形排列） 对其中一个星体，另外两个星球对它的万有引力的合力提供向心力，。 ③四星模型（正方形排列） 对其中一个星球，另外三个星球对它的万有引力的合力提供向心力， ④四星模型（正三角形排列） 对其中一个星球，另外三个星球对它的万有引力的合力提供向心力，。 【变式6-1】据中国新闻网报道，2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。如果两颗小星间的万有引力大小为F，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，则下列说法中正确的是（　　） A．母星受到的合力大小为（）F B．每颗小星受到的合力大小为（）F C．母星的质量是每颗小星质量的倍 D．母星的质量是每颗小星质量的2倍 【变式6-2】（2024·全国·二模）（多选）如图，P、Q、S三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q、S三颗星体的运动线速度大小相等 B．P、Q、S三颗星体中S星的质量最小 C．P、Q、S三颗星体中S星的加速度最小 D．P、Q、S三颗星体中S星所受的合力最小 【基础强化】 1．（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 2．（2023·河北·高考真题）我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比、与月地距离的3次方成反比，方向如图1，随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天2次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的0.45倍。每月2次大潮（引潮力）最大和2次小潮（引潮力最小）是太阳与月球引潮力共同作用的结果，结合图2，下列说法正确的是（    ） A．月球在位置1时会出现大潮 B．月球在位置2时会出现大潮 C．涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚 D．月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力 3．（2024·重庆·模拟预测）我国计划在未来建立一个由21颗卫星组成的“月球北斗”导航系统，来帮助中国航天更安全、高效地探索月球。若将月球和地球均视为圆球，已知月球的平均密度约为地球平均密度的倍，则月球近地卫星的运行周期约为地球近地卫星运行周期的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．（2025·云南·模拟预测）2025年5月我国将发射“天问二号”探测器去近地小行星2016H03采样并返回。研究发现小行星2016HO3直径约为50m，密度与月球密度相同。已知月球的直径约为3500km，忽略星球的自转，则月球表面的重力加速度大小与小行星2016HO3表面的重力加速度大小之比约为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东济宁·期中）2024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。世界首次月球背面采样返回之旅开启。探测器登月前，先进入椭圆轨道Ⅱ，再进入近月圆轨道I。图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G，则（　　） A．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 B．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 C．月球的密度为 D．月球的密度为 6．（2024·山东济南·二模）行星冲日是指某一地外行星在绕太阳公转过程中运行到与地球、太阳成一直线的状态，而地球恰好位于太阳和地外行星之间的一种天文现象。设地球绕太阳的公转周期为，地球环绕太阳公转的轨道半径为，火星环绕太阳公转的轨道半径为，万有引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．太阳的密度为 B．火星绕太阳公转的周期为 C．从某次火星冲日到下一次火星冲日需要的时间为 D．从火星与地球相距最远到火星与地球相距最近的最短时间为 7．（2024·山东日照·二模）2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止，相互之间的距离均为l，且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知，，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星A、B、C的半径之比为 B．三颗星A、B、C的线速度大小之比为 C．若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为 D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为 8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）如题图所示，P、Q恒星构成的双星系统，一颗质量为m，另一颗质量为2m，两星均视为质点且距离保持不变，均绕它们连线上的O点做匀速圆周运动。轨道平面上的观测点F相对于O点静止，连续两次出现P、Q与O、F共线的时间间隔为t。仅考虑双星间的万有引力，引力常量为G。则（    ） A．恒星Q的质量为2m B．恒星P圆周运动的角速度为 C．任意时间内两星与O点的连线扫过的面积相等 D．恒星P、Q之间的距离为 9．（2024·江苏南通·三模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，且，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。 （1）求行星A、B的密度之比； （2）假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同的情况下，求铅球射程的比值。 【素养提升】 10.（2024·陕西西安·一模）（多选）如图所示，天文台每隔2h拍摄太阳系内某行星及其一颗卫星的照片。某同学取向左为正方向，在图中照片上用刻度尺测得行星球心与卫星之间的距离L随时间变化的关系如表所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图中照片上测得行星的直径为2cm，10h时为L大小的最大值，万有引力常量为。则（    ） 时刻/h 0 2 4 6 8 10 12 14 24 L/cm 2.59 5 7.07 8.66 9.66 10 9.66 8.66 A．该卫星围绕行星运动的周期为 B．该行星的近地卫星的环绕周期 C．该行星的平均密度约为 D．该行星到太阳的距离一定大于地球到太阳的距离 11．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量G已知，求： （1）A星体所受合力的大小FA； （2）B星体所受合力的大小FB； （3）C星体的轨道半径RC； （4）三星体做圆周运动的周期T。 【能力培优】 12.（24-25高三上·山东·开学考试）某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的密度为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 万有引力与宇宙航行 课时7.3 万有引力理论的成就 目 录 01 学习目标 02 知识梳理 知识点一、“称量” 地球的质量 2 知识点二、计算天体的质量 2 知识点三、计算天体的密度 3 知识点四、发现未知天体 3 知识点五、天体运动参量的决定因素 4 03 问题探究 问题一：天体质量和密度的计算 5 【角度1】 天体质量的计算 5 【角度2】 天体密度的计算 8 【角度3】计算天体的质量和密度 10 问题二：天体环绕问题的分析与求解 13 问题三：双星和多星问题 17 【角度1】 双星模型 17 【角度2】 多星模型 20 04 强化训练 基础强化 25 素养提升 36 能力培优 39 2020年课程标准 物理素养 2.2.4 通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 物理观念：认识万有引力定律在宇宙中的普遍性和重要性。理解万有引力是如何作用于天体之间，维持宇宙的稳定运行。了解到重力加速度的概念，以及它是如何与万有引力定律相关联的。 科学思维：培养学生的科学思维能力，特别是逻辑推理和问题解决能力。运用万有引力定律解决实际问题，如计算天体的质量和密度，预测天体的运动轨迹等。 科学探究：通过实验和实例分析，体验科学研究的过程和方法。学会如何收集、整理和分析数据，以及如何根据实验结果得出结论。 科学态度与责任：增强对科学的敬畏之心和对自然的探索欲望。认识到自然规律的美妙和人类智慧的伟大，从而培养出严谨求实、勇于探索的科学态度。承担起传播科学知识的责任，将所学知识与他人分享，为推动科学普及和进步做出贡献。 知识点一、“称量” 地球的质量 1.原理 在地球表面，物体所受重力近似等于地球对物体的万有引力，即，其中m为物体质量，g为地球表面重力加速度，G为引力常量，M为地球质量，R为地球半径） 。 2.计算方法 由，经过简单的数学推导，可得出 。只要知道地球表面的重力加速度g、地球半径R以及引力常量G，就能计算出地球的质量。例如，g约为9.8m/s2，R约为6400km，G = 6.67×10-11N·m2/kg2，代入公式即可算出地球质量。 知识点二、计算天体的质量 1.原理 将天体的运动近似看作匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即，G为引力常量，M是中心天体质量，m是环绕天体质量，r是环绕天体轨道半径，v是环绕天体线速度，ω是环绕天体角速度，T是环绕天体周期。 2.常用方法 （1）已知环绕天体的周期T和轨道半径r：由，可得 。比如，已知月球绕地球运动的周期T和地月距离r，就可算出地球质量。 （2）已知环绕天体的线速度v和轨道半径r：根据，推出 。 知识点三、计算天体的密度 1.原理 在计算出天体质量M后，结合天体的体积公式（R为天体半径），根据密度公式计算密度。 2.常用情况 当卫星环绕天体表面运行时r = R：将（r = R）、代入，可得 。这为测量天体密度提供了一种便捷方式，只要知道卫星绕天体表面运行的周期T，就能计算出天体密度。 知识点四、发现未知天体 1.背景 天文学家在观测天体运动时，发现某些天体的实际运动轨道与根据万有引力定律计算出的理论轨道存在偏差。 2.过程 以海王星的发现为例，天文学家通过对天王星轨道的异常分析，依据万有引力定律进行复杂的计算和推理，预测在天王星外存在一颗未知天体对其产生引力作用，影响其轨道。随后，按照计算出的位置进行观测，成功发现了海王星 。这一过程充分体现了万有引力理论的强大预测能力。 3.预言哈雷彗星回归 （1）理论依据 根据万有引力定律，天体在引力场中的运动遵循特定的轨道规律。哈雷彗星在太阳的引力作用下运动，其轨道是一个椭圆。 （2）预言过程 英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的研究，发现1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道十分相似，经过计算，他大胆预言这三颗彗星实际上是同一颗彗星，并预测它将在1758年底或1759年初再次回归。果然，这颗彗星在1759年如期回归，这就是著名的哈雷彗星。这一成功预言进一步验证了万有引力定律的正确性和实用性。 知识点五、天体运动参量的决定因素 1.线速度v 由，可得 ，可知线速度v由中心天体质量M和环绕天体轨道半径r决定，M越大，v越大；r越大，v越小。 2.角速度ω 由，可得，角速度ω同样由M和r决定，M越大，ω越大；r越大，ω越小。 3.周期T 由，可得 ，周期T由M和r决定，r越大，T越大；M越大，T越小。 这些知识点相互关联，通过对万有引力定律的运用，能深入理解天体的各种性质和运动规律，解决相关的物理问题。 4.合外力F 由可知F∝,环绕天体m受到的合外力F与中心天体M和环绕天体m的质量和环绕半径r决定，中心天体质量M越大，F越大；环绕天体质量m越大，F越大；环绕半径r越大，F越小。 5.加速度a 由、可得,加速度a与中心天体质量M和环绕半径r决定，中心天体质量M越大，a越大；环绕半径r越大，a越小。 问题一：天体质量和密度的计算 【角度1】天体质量的计算 【典例1】（2024·福建·一模）三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（    ） A．黑洞质量约为 B．黑洞质量约为 C．恒星S2质量约为 D．恒星S2质量约为 【答案】B 【解析】设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r=1AU，地球的公转周期为T=1年； 由万有引力提供向心力可得 解得 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R=1000AU，根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期为（2002-1994）年=8年，则周期为 T′=16年 根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出 其中R为S2的轨迹半长轴，因此有 代入数据解得 M黑≈4×106M 根据题中条件无法求解恒星S2的质量。 故选B。 解法通则 （1）利用运行天体 ①已知环绕半径r和周期T，由G＝mr可得m中＝，m中为中心天体是质量； ②已知环绕半径r和线速度v，由G＝m可得中心天体是质量：m中＝。 ③已知环绕线速度v和周期T，由G＝m、G＝mr可得中心天体是质量：m中＝。 （2）利用天体表面重力加速度g和半径R 由mg＝可得中心天体是质量：m中＝。 【变式1-1】（2024·广东深圳·三模）2020年11月24日，长征五号运载火箭将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道，执行月面采样任务后平安归来，首次实现我国地外天体采样返回。已知“嫦娥五号”探测器在距离月球表面h高处环月做匀速圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此可以求出月球的质量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据万有引力定律和牛顿第二定律可知 解得 故选D。 【变式1-2】（2024·福建漳州·一模）“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍。引力常量为，则（　　） A．根据题中所给信息可求出地球的质量 B．根据题中所给信息可求出月球的质量 C．周期和满足 D．地球质量与月球质量之比 【答案】D 【解析】A．月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，则有 解得 由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误； B．嫦娥七号绕月球表面做匀速圆周运动的周期为，则有 解得 由于不知道月球的半径，故不能求出月球的质量，故B错误； C．开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故C错误； D．地球的质量与月球的质量之比等于 故D正确。 故选D。 【角度2】计算天体的密度 【典例2】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 （1）利用运行天体（已知环绕天体的轨道半径r和周期T及中心天体的半径R） 由G＝mr、m中＝ρ·πR3可得ρ＝，当r＝R时，ρ＝。 （2）利用天体表面重力加速度（已知中心天体表面的重力加速度g和半径R） 由mg＝，m中＝ρ·πR3可得ρ＝。 【变式2-1】（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据 可得 其中 联立可得 故选D。 【变式2-2】（2024·河南·模拟预测）人类有可能在不久的将来登上火星。未来某航天员在地球表面将一重物在离地高h处由静止释放，测得下落时间为，来到火星后，也将一重物在离火星表面高h处由静止释放，测得下落时间为，已知地球与火星的半径之比为k，不考虑地球和火星的自转，则地球与火星的密度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据 可得 可知 在星球表面 可得 可得 故选A。 【角度3】计算天体的质量和密度 【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）2011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b（Kepler一22b），距离地球约600光年之遥，体积是地球的2.4倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b绕恒星做圆周运动的轨道半径可测量，万有引力常量G已知。根据以上数据可以估算的物理量有 （　　） A．行星的质量 B．行星的密度 C．恒星的质量 D．恒星的密度 【答案】C 【解析】设恒星质量为M，行星质量为m，行星做圆周运动周期为T，其轨道半径为r，则根据万有引力提供向心力 解得 题意可知，故可求出恒星质量，由于恒星半径未知，故无法求出恒星密度；由于计算时行星质量被约去了，无法求出行星质量，也无法求出行星密度。 故选C。 【变式3-1】（2024·河北邯郸·模拟预测）科学家发现太阳系外某星系有一恒星和一行星，并测得行星围绕该恒星运动的周期是地球绕太阳运动周期的800倍，行星与该恒星间的距离为地球到太阳距离的90倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆轨道，仅利用以上两个数据可以求出的量是（　　） A．恒星与太阳的质量之比 B．恒星与太阳的密度之比 C．行星与地球的质量之比 D．行星表面与地球表面的重力加速度之比 【答案】A 【解析】A．根据万有引力提供向心力可得 解得 由题中已知条件，可求得恒星和太阳的质量之比，故A正确； B．由A项分析可求出恒星与太阳质量之比，因为不知道恒星与太阳的半径之比，所以不能求出恒星与太阳的密度之比，故B错误； C．根据关系式，解得的M是中心天体的质量，所以不能求出行星与地球的质量之比，故C错误； D．根据公式可知 由于不知道行星与地球的半径及质量关系，所以不能求出行星表面与地球表面的重力加速度之比，故D错误。 故选A。 【变式3-2】（2024·福建福州·模拟预测）某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为Fm D．该行星的密度为 【答案】D 【解析】物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力 其中 联立解得 A.根据向心力公式 可得，该行星的自转周期为 故A错误； B．物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 解得 故B错误； C．在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即 解得 故C错误； D．根据 可知，该行星的密度为 故D正确。 故选D。 问题二：天体环绕问题的分析与求解 【典例4】（2024·全国甲卷·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【答案】D 【解析】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误； BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确； C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 故选D。 （1）解决天体环绕问题的思路 ①行星（或卫星）环绕恒星（或行星）的运动均可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有，所以，，。 ②忽略星体的自转，星体表面物体的重力近似等于万有引力，有，，， （2）解决天体运动的关键 ①建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 ②应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 ③利用——“gR2”代换“GM”，简化及求解。 【变式4-1】（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（    ） A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为 C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为 【答案】D 【解析】根据题意可得，木卫3的轨道半径为 AB．根据万有引力提供向心力 可得 木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为,可得木卫一轨道半径为 木卫二轨道半径为 故AB错误； C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误； D．根据万有引力提供向心力，分别有 联立可得 故D正确。 故选D。 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）卫星在不同轨道绕地球做圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道高度的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则（　　） A．地球的半径为 B．地球表面附近的重力加速度为 C．地球的质量为 D．地球的平均密度为 【答案】C 【解析】A．设地球半径为R，卫星的轨道高度为h，由万有引力提供向心力有 又 联立得 所以 求得地球的半径 故A错误； B．对在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的物体，有 结合题图可得 求得地球表面附近的重力加速度 故B错误； C．地球表面的物体所受重力等于万有引力，即 可得 故C正确； D．由上述分析可得 故D错误。 故选C。 问题三：双星及多星问题 【角度1】双星问题 【典例5】（2024·辽宁阜新·模拟预测）在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的A、B两个恒星间距离为L，A、B两个恒星的质量之比为2：1，如果若干年后双星间距离减小为kL（k小于1），A、B恒星的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知 距离改变后 解得 对A星而言 联立上述各式可得恒星A的加速度 故选B。 （1）天体运动的双星模型，天体的运动模型仍为圆周运动。 （2）双星模型中各星体的运动周期、角速度相等。 （3）核心是找到圆周运动的圆心，以便找到各星体的运动半径。 （4）关键是找到各星体做圆周运动所需的向心力来源。 （5）模型及解题规律 彼此的万有引力，r1＋r2＝L，ω1＝ω2。 【变式5-1】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两恒星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有： 又， 联立以上各式可得 故当两恒星总质量变为，两星间距变为时，圆周运动的周期变为，B正确，ACD错误。 故选B。 【变式5-2】（2024·湖南长沙·一模）在银河系中，双星系统的数量非常多。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成与和演化，也是一个不可缺少的方面。假设在宇宙中远离其他星体的空间中存在由两个质量分别为、m的天体A、B组成的双星系统，二者中心间的距离为L。a、b两点为两天体所在直线与天体B表面的交点，天体B的半径为。已知引力常量为G，则A、B两天体运动的周期和a、b两点处质量为的物体（视为质点）所受万有引力大小之差为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】设A、B的轨道半径分别为、，由几何关系可得 因为两天体的角速度相同，由圆周运动规律可得 联立可得 ， 设两天体运动的周期为，对天体B由万有引力提供向心力 可得A、B两天体运动的周期为 天体B对在a、b两点相同质量的物体的万有引力大小相等、方向相反，假设a点位于两天体中间，天体A对a、b两点处物体的万有引力（正方向）大小分别为、，a、b两点处质量为的物体所受万有引力大小之差为 故选B。 【角度2】多星模型 【典例6】（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【答案】A 【解析】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有 解得 故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得 α = 30° 则c的轨道半径为 由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为 故C错误。 故选A。 （1）天体运动的多星模型，天体的运动模型仍为圆周运动。 （2）多星模型中各星体的运动周期、角速度相等。 （3）核心是找到圆周运动的圆心，以便找到各星体的运动半径。 （4）关键是找到各星体做圆周运动所需的向心力来源。 （5）模型及解题规律 ①三星模型（直线排列） 对星球A，B、C两个星球对它的万有引力的合力提供向心力 ②三星模型（正三角形排列） 对其中一个星体，另外两个星球对它的万有引力的合力提供向心力，。 ③四星模型（正方形排列） 对其中一个星球，另外三个星球对它的万有引力的合力提供向心力， ④四星模型（正三角形排列） 对其中一个星球，另外三个星球对它的万有引力的合力提供向心力，。 【变式6-1】据中国新闻网报道，2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。如果两颗小星间的万有引力大小为F，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，则下列说法中正确的是（　　） A．母星受到的合力大小为（）F B．每颗小星受到的合力大小为（）F C．母星的质量是每颗小星质量的倍 D．母星的质量是每颗小星质量的2倍 【答案】D 【解析】A．母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，母星受到的三个力大小相等，夹角均为120°，故根据合成可知，母星受到的合力为零，故A错误； B．根据受力分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每颗小星受到的万有引力为 故B错误； CD．假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，等边三角形的边长为a，则小星绕母星运动轨道半径为 根据万有引力定律，两颗小星间的万有引力为 母星与任意一颗小星间的万有引力为 解得母星的质量是每颗小星质量的2倍。故D正确C错误。 故选D。 【变式6-2】（2024·全国·二模）（多选）如图，P、Q、S三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q、S三颗星体的运动线速度大小相等 B．P、Q、S三颗星体中S星的质量最小 C．P、Q、S三颗星体中S星的加速度最小 D．P、Q、S三颗星体中S星所受的合力最小 【答案】BD 【解析】A．三星系统是三颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，由线速度与角速度的关系公式 可知星体的线速度 故错误； C．根据 可知P、Q、S三颗星体中S星的加速度最大。故错误； BD． 三颗星体都绕同一圆心O做匀速圆周运动，每个星体受到另外两个星体的万有引力的合力需指向O点，因此可得星体S、P受力如图所示， 可知S、P间的万有引力大小等于S、Q间的万有引力大小，S、P间的万有引力大小小于Q、P间的万有引力大小，两图中的两分力的夹角相等，因此 根据 可知 故BD正确。 故选BD。 【基础强化】 1．（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【答案】B 【解析】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 故选B。 2．（2023·河北·高考真题）我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比、与月地距离的3次方成反比，方向如图1，随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天2次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的0.45倍。每月2次大潮（引潮力）最大和2次小潮（引潮力最小）是太阳与月球引潮力共同作用的结果，结合图2，下列说法正确的是（    ） A．月球在位置1时会出现大潮 B．月球在位置2时会出现大潮 C．涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚 D．月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力 【答案】A 【解析】AB．太阳、月球、地球三者在同一条直线上，太阳和月球的引潮力叠加在一起，潮汐现象最明显，称为大潮，月地连线与日地连线互相垂直，太阳引潮力就会削弱月球的引潮力，形成小潮，如图2所示得月球在位置1时会出现大潮，故A正确，B错误； C．每一昼夜海水有两次上涨和两次退落，人们把每次在白天出现的海水上涨叫做“潮”，把夜晚出现的海水上涨叫做“汐”，合称潮汐，故C错误； D．月球运动到日地连线外侧时（与1位置对称位置），如图所示 位置月球引潮力和太阳引潮力的合力等于月球引潮力减太阳引潮力小于月球引潮力，故D错误。 3．（2024·重庆·模拟预测）我国计划在未来建立一个由21颗卫星组成的“月球北斗”导航系统，来帮助中国航天更安全、高效地探索月球。若将月球和地球均视为圆球，已知月球的平均密度约为地球平均密度的倍，则月球近地卫星的运行周期约为地球近地卫星运行周期的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【解析】在中心天体表面运行的卫星，对其进行分析，由万有引力提供向心力，则有 中心天体的平均密度 联立解得 可得 故选D。 4．（2025·云南·模拟预测）2025年5月我国将发射“天问二号”探测器去近地小行星2016H03采样并返回。研究发现小行星2016HO3直径约为50m，密度与月球密度相同。已知月球的直径约为3500km，忽略星球的自转，则月球表面的重力加速度大小与小行星2016HO3表面的重力加速度大小之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】忽略星球自转，则星球表面的物体所受重力等于万有引力，即 又 联立得 因小行星2016HO3的密度与月球密度相同，所以 故选A。 5．（24-25高三上·山东济宁·期中）2024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。世界首次月球背面采样返回之旅开启。探测器登月前，先进入椭圆轨道Ⅱ，再进入近月圆轨道I。图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G，则（　　） A．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 B．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 C．月球的密度为 D．月球的密度为 【答案】B 【解析】AB．根据开普勒第三定律 解得 探测器第一次从Q点飞行到P点的时间为 联立解得 故A错误，B正确； CD．由万有引力提供向心力 根据 联立解得 故CD错误。 故选B。 6．（2024·山东济南·二模）行星冲日是指某一地外行星在绕太阳公转过程中运行到与地球、太阳成一直线的状态，而地球恰好位于太阳和地外行星之间的一种天文现象。设地球绕太阳的公转周期为，地球环绕太阳公转的轨道半径为，火星环绕太阳公转的轨道半径为，万有引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．太阳的密度为 B．火星绕太阳公转的周期为 C．从某次火星冲日到下一次火星冲日需要的时间为 D．从火星与地球相距最远到火星与地球相距最近的最短时间为 【答案】C 【解析】A．太阳的半径未知，无法计算其密度大小，故A错误； B．设火星绕太阳公转的周期为，根据开普勒第三定律有 解得 故B错误； C．地球绕太阳运转角速度为 火星绕太阳运转角速度为 设从某次火星冲日到下一次火星冲日，即从火星与地球相距最近到火星与地球第一次相距最近的时间为，则有 解得 故C正确。 D． 设从火星与地球相距最远到火星与地球第一次相距最近的时间为，则 解得 故D错误； 故选C。 7．（2024·山东日照·二模）2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止，相互之间的距离均为l，且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知，，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星A、B、C的半径之比为 B．三颗星A、B、C的线速度大小之比为 C．若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为 D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为 【答案】B 【解析】A．由于三颗星保持相对静止，一起绕着某点做圆周运动，三星角速度与周期相等，根据对称性，B、C轨道半径相等，作出三星运动轨迹，如图所示 对A星体有 对B、C星体，两星体各自所受引力的合力大小相等，令为F，根据余弦定理有 对B、C星体，两星体各自做圆周运动，B、C轨道半径相等，令为，则有 解得 可知，三颗星A、B、C的半径大小之比为，故A错误； B．根据线速度与角速度的关系有 三颗星A、B、C的角速度相等，线速度之比等于半径之比，结合上述可知，三颗星A、B、C的线速度大小之比为，故B正确； C．距离l均不变，对A星体有 若A、B、C的质量均变为原来的2倍，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径不变，则有 解得 即若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为，故C错误； D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径均变为先前的2倍，则对A星有 解得 即若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为，故D错误。 故选B。 8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）如题图所示，P、Q恒星构成的双星系统，一颗质量为m，另一颗质量为2m，两星均视为质点且距离保持不变，均绕它们连线上的O点做匀速圆周运动。轨道平面上的观测点F相对于O点静止，连续两次出现P、Q与O、F共线的时间间隔为t。仅考虑双星间的万有引力，引力常量为G。则（    ） A．恒星Q的质量为2m B．恒星P圆周运动的角速度为 C．任意时间内两星与O点的连线扫过的面积相等 D．恒星P、Q之间的距离为 【答案】ABD 【解析】AB．设恒星P、Q的质量分别为、，做圆周运动的轨迹半径分别为、，且两恒星之间的距离为，根据题图可知，而根据题意可得 根据 可得两恒星转动得角速度 根据万有引力充当向心力有 ， 解得 由此可知 ， 即恒星Q的质量为2m，故AB正确； C．由于两恒星角速度相同，但半径不同，且P的轨迹半径大于Q的轨迹半径，因此任意时间内两星与O点的连线扫过的面积 故C错误； D．根据 ， 解得 ， 则有 可得 故D正确。 故选ABD。 9．（2024·江苏南通·三模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，且，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。 （1）求行星A、B的密度之比； （2）假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同的情况下，求铅球射程的比值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设质量为m的卫星绕行星做圆周运动 整理得 由，结合图像得两行星的质量关系 密度 解得 （2）在每个行星表面 两行星表面的重力加速度之比 铅球做平抛运动，竖直方向 水平方向 解得 【素养提升】 10.（2024·陕西西安·一模）（多选）如图所示，天文台每隔2h拍摄太阳系内某行星及其一颗卫星的照片。某同学取向左为正方向，在图中照片上用刻度尺测得行星球心与卫星之间的距离L随时间变化的关系如表所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图中照片上测得行星的直径为2cm，10h时为L大小的最大值，万有引力常量为。则（    ） 时刻/h 0 2 4 6 8 10 12 14 24 L/cm 2.59 5 7.07 8.66 9.66 10 9.66 8.66 A．该卫星围绕行星运动的周期为 B．该行星的近地卫星的环绕周期 C．该行星的平均密度约为 D．该行星到太阳的距离一定大于地球到太阳的距离 【答案】BC 【解析】AD．由题意可知，24h卫星和行星之间的距离和0h时相反，转过半个周期，卫星绕行星做匀速圆周运动的周期为 h 这是卫星绕行星的周期而非行星绕太阳运动得周期，无法比较该行星到太阳的距离一定与地球到太阳的距离的关系，故AD错误； B．由题意可知，卫星绕行星做匀速圆周运动的周期为 照片上行星的半径为 cm 照片上的轨道半径 cm 由开普勒第三定律可知 解得该行星的近地卫星的环绕周期为 h 故B正确； C．根据万有引力提供向心力 行星体积为 通过甲图可知卫星在甲图中做圆周运动的半径是10cm，即卫星的轨道半径是行星半径的十倍，即 行星密度为 联立解得 故C正确。 故选BC。 11．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量G已知，求： （1）A星体所受合力的大小FA； （2）B星体所受合力的大小FB； （3）C星体的轨道半径RC； （4）三星体做圆周运动的周期T。 【答案】（1）  （2）  （3）  （4） 【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为 则合力大小为 （2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 则合力大小为 ． 可得 （3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点， （4）三星体运动周期相同，对C星体，由 可得 【能力培优】 12.（24-25高三上·山东·开学考试）某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的密度为 【答案】D 【解析】物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力 其中 联立解得 A．根据向心力公式可得，该行星的自转周期为 故A错误； B．物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 解得 故B错误； C．在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即 解得 故C错误； D．根据可知，该行星的密度为 故D正确。 故选D。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$