精品解析： 重庆一中寄宿学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

重庆一中初2025届2024-2025学年度下期开学 寒假作业完成质量抽测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：拋物线 的顶点坐标为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题4卡中对应的方框内涂黑． 1. 下列各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A. 和0 B. 0和1 C. 1和2 D. 2和3 4. 若反比例函数 的图象经过点，则k的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与 是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段 C. 正多边形的中心角等于其每一个内角 D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 7. 如图，将正方形分成4个完全一样的小正方形，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到四个更小的正方形，……，依次操作次，得到的图形中共有（ ）个正方形． A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，为 边上一点且 ，连接，将 沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形边长为6，E为线段 上一点，F为边上一点，满足 ，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ___________． 12. 一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别标有数字 ， ，，，现将它们背面朝上，从中任意抽取两张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为偶数的概率为___________． 13. 如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接 ，若，则___________． 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的平方和为___________． 15. 如图，是 直径，将劣弧沿弦折叠至 所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交 于点，连接，过点作 的切线交的延长线于点．若， ，则半径______：的面积______． 16. 对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为 ，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为___________；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为___________． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）化简，其中为整数且 ，请选择合适的代入求值． 18. 寒假期间，青少年很容易陷入“宅”生活，长时间面对电子屏幕，缺乏必要的身体锻炼，这不仅会影响他们的身体健康，还可能导致心理问题如情绪波动、注意力不集中等，某校为了解学生寒假期间体育锻炼的情况，寒假结束时，在全校组织了一次跳绳测试，现分别从八、九年级随机抽取了名同学的成绩，部分成绩如下，成绩用跳绳个数表示，其评分标准分为（ ， ， ， ， ），其中八年级成绩如表： 跳绳个数 频数（人） 频率（ ） 九年级学生跳绳测试成绩的扇形统计图如图所示，评分为B的学生的跳绳个数为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八、九两个年级跳绳测试成绩的平均数，中位数，众数如表所示： （1）填空：______，_____， ______，______． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的跳绳测试成绩较好？（写出一条理由即可） （3）假如该校八年级有 名学生，九年级有 名学生，请估计该校八、九年级达到和等级的总人数？ 19. 在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中， 平分， 平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 20. 春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为 元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． （1）求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ （2）随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低 ，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 21. 如图，在四边形中， ，，，，， ．点从点出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作 交 于点 ，过作 交于点．设运动时间为秒 ．四边形 的面积为， 的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 22. 寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东 方向，点在点的东北方向，且米，米． （1）求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； （2）小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为 米 分，小红步行的速度为米 分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据： ， ，结果精确到十分位） 23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，且点在该拋物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 ，点是直线 下方抛物线上一动点，过点作于点，求 的最大值： （3）将原拋物线向左平移个单位后得到新抛物线， 是新抛物线对称轴上一点，点是原抛物线与新抛物线的交点，将点向上平移个单位得点，若，问：平面内是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 如图，是等边三角形，、分别是、边上的点（点、不与端点重合），，连接 、为交于点，点为 延长线上一点，且 ，点为平面内 上方、左侧一点，，延长 交于点． （1）若点是中点，，求线段 的长度； （2）若，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； （3）若，为内部一点，当最小时，直接写出 面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2025届2024-2025学年度下期开学 寒假作业完成质量抽测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：拋物线 的顶点坐标为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题4卡中对应的方框内涂黑． 1. 下列各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数．根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：，，不是有理数，是有理数． 故选：D． 2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线． 故选：A． 3. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A. 和0 B. 0和1 C. 1和2 D. 2和3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 那么， ， 即的值在1和2之间， 故选：C． 4. 若反比例函数 的图象经过点，则k的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），∴﹣3=，解得：k=﹣6．故选D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与 是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据，得出位似比为，进而将点的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：∵与 是以原点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴与 的位似比为 ∵的顶点， ∴点的坐标为即 故选：C． 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段 C. 正多边形的中心角等于其每一个内角 D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断真假命题，垂线的性质，点到直线的距离，正多边形的中心角，以及中点四边形，根据以上知识逐项分析判断，即可 【详解】解：A. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意； B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，故该选项是假命题，不符合题意； C. 正多边形的中心角是正多边形的每一条边的两个端点与其中心连线所成角，而其每一个内角是由多边形内部相邻两边之间的夹角，故中心角与内角不一定相等，故该选项是假命题，不符合题意； D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形，故该选项是真命题，符合题意； 故选：D． 7. 如图，将正方形分成4个完全一样的小正方形，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到四个更小的正方形，……，依次操作次，得到的图形中共有（ ）个正方形． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究问题；根据图形可得图①中有5个正方形，每次增加4个正方形，得出进行第次操作后图形中有个正方形，即可求解． 【详解】解：图①中有5个正方形， 选取右下角的小正方形进行第二次操作，进行第2次操作后图形中有个正方形， 进行第3次操作后图形中有个正方形， 进行第4次操作后图形中有个正方形， …… 每次增加4个正方形 进行第次操作后图形中有个正方形，， ∴操作次后图中有， 故选：A． 8. 如图，在扇形中，，为 边上一点且 ，连接，将 沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接 ，交于点 ，根据折叠得出是等边三角形，进而得出 是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 9. 如图，正方形边长为6，E为线段 上一点，F为边上一点，满足 ，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，证明，推出 ，由勾股定理求得，推出，，，证明，求得，在 和求得，，再在 中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作 于点，过点作直线分别交 和于点，，作 于点 ， ∵正方形， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∵E为对角线 上一点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵正方形边长为6， ∴， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在 中，由勾股定理得， 中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在 中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则 ； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的解；根据解一元二次方程判断①；根据根与系数的关系判断②，根据，设，根据函数图象可得有两个交点时，，即可求解． 【详解】解：将，代入方程 得，即 解得：，故①不正确； ②将，代入方程 得， ∴， ∵ ∴ ∴，故②不正确； ③将，代入方程得， 设 如图所示， 当，， ∴当经过和之间时，有两个交点时， 当时，，当时，； ∴，故③错误 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整指数幂．根据特殊角的三角函数值，负整指数幂进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别标有数字 ， ， ，，现将它们背面朝上，从中任意抽取两张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为偶数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是概率公式求概率．通过列表求出所有等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 由表格可得所有可能的结果共有种，积为偶数的有种， 所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率 故答案为：． 13. 如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接 ，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，根据中位线的性质可得，根据矩形对角线相等可得，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得的长，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵点、分别为、边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， ∵点为的中点， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于 的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的平方和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法．先解不等式组并结合题意确定的范围，再解出分式方程确定的范围，进而确定的所有取值，最后求满足条件的所有整数的平方和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式有解，且最多有两个偶数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为正整数，且 ∴ ∴ ∴满足条件的所有整数的平方和为， 故答案为：． 15. 如图， 是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交 于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交 的延长线于点．若， ，则半径______：的面积______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，设关于的对称点为，连接 ，根据折叠的性质得出，进而证明，设半径 ，得出，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出 ， ；进而可得，过点作 于点，根据，求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设关于的对称点为，连接 ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵将劣弧沿弦折叠，关于对称， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 设， ∵是的切线， ∴ ∴， ∵，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， 设半径 ∵，即， ∴， ∴ ∵ 是直径， ∴， 在 中， ∴ ∵ 是直径， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ， ∴ ∴ 在中，， ∵ ∴ 如图所示，过点作 于点， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】考查了圆周角定理，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，切线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为 ，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为___________；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差3倍数”的定义表示出，由，结合为偶数，即可解答；同理表示出，且被3除余2，可得是3的倍数，根据“差3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：根据题意：， 则， ∴， ∵为偶数，且（为整数）， ∴为偶数， ∴ 为偶 数， ∴为， 当最大，则有最大值， 此时，，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴的最大值为； ∵被3除余2， ∴是3的倍数， ∵， ∴是3的倍数， ∵（为整数），， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴符合条件的代数式的值为：， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 或，即，此时，，则的值为，符合题意； ∴满足条件的“差3倍数”为； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）化简，其中为整数且 ，请选择合适的代入求值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值； （1）根据完全平方公式，平方差公式，以及多项式除以单项式进行计算即可求解； （2）根据分式的混合运算进行化简，然后将字母的值代入，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； ∵为整数且 ，， ∴当时，原式． 18. 寒假期间，青少年很容易陷入“宅”生活，长时间面对电子屏幕，缺乏必要的身体锻炼，这不仅会影响他们的身体健康，还可能导致心理问题如情绪波动、注意力不集中等，某校为了解学生寒假期间体育锻炼的情况，寒假结束时，在全校组织了一次跳绳测试，现分别从八、九年级随机抽取了名同学的成绩，部分成绩如下，成绩用跳绳个数表示，其评分标准分为（ ， ， ， ， ），其中八年级成绩如表： 跳绳个数 频数（人） 频率（ ） 九年级学生跳绳测试成绩的扇形统计图如图所示，评分为B的学生的跳绳个数为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八、九两个年级跳绳测试成绩的平均数，中位数，众数如表所示： （1）填空：______，_____， ______，______． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的跳绳测试成绩较好？（写出一条理由即可） （3）假如该校八年级有 名学生，九年级有 名学生，请估计该校八、九年级达到和等级的总人数？ 【答案】（1）， ， ， （2）九年级的跳绳测试成绩较好，理由： 从中位数和众数来看，九年级的中位数与众数都比八年级的要大，所以九年级的跳绳测试成绩较好； （3）估计该校八、九年级达到和等级的总人数为 人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，平均数，中位数，众数的求法与应用，样本估计总体． （1）根据频数除以总数得出，根据扇形统计图求得 的值，根据中位数，众数的定义结合已知数据，即可求解； （2）根据中位数，众数的意义结合表格数据，即可求解； （3）根据样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ， 根据表格可得八年级成绩中， 出现了次，出现次数最多，故 ， 根据扇形统计图可得 ， ∴ ， ∴组人数为 人， 九年级成绩中位数在组，评分为B的学生的跳绳个数为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 所以第个和第 个数分别为： ， ，中位数为 ，故 故答案为：， ， ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 答：估计该校八、九年级达到和等级的总人数为 人． 19. 在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中，平分， 平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 【答案】作图见解析，①；②；③ ；④互相平分 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定；平行四边形的性质与判定；根据题意用尺规作的平分线交于，作的平分线交于，进而根据全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定定理完成填空，即可求解． 【详解】如图所示， 证明：四边形是平行四边形， ①，，． 平分，平分， ，， ， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即 ， 四边形是平行四边形． 如图所示，连接交于点， ∵四边形是平行四边形． ∴互相平分，则点为 的中点， 又∵ 是平行四边的对角线中点， ∴也平分了 所以，过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为互相平分． 故答案为：①；②；③ ；④互相平分． 20. 春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为 元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． （1）求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ （2）随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低 ，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 【答案】（1）1月份至多卖出坝坝茶盒 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式以及三元一次方程组的应用； （1）设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意1月份总销售额至少为元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解； （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元，设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶 盒，根据题意可得，解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒． 根据题目描述，1月份总销售额至少为元，即． 化简得到， 即， 解得：． 答：1月份至多卖出坝坝茶盒． 【小问2详解】 2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元． 设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶 盒，根据2月份总销量相较1月份增长了1倍，即． 根据2月份的销售数据，可建立方程组 由②可得． 由于，得到． 将代入方程①中解出的值：， 即． 解得 ． 21. 如图，在四边形中， ，，，，， ．点从点出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作 交 于点 ，过作 交于点．设运动时间为秒 ．四边形 的面积为， 的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2） 函数图象如图所示： 函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题． （1）过点作 于点H，证明四边形 是平行四边形，推出 ，结合 ，求出，利用勾股定理求出 ，再利用三角形面积公式 ，求出，再证明四边形 是平行四边形，根据 即可解答；由 ，易证明 ，推出，结合 即可得到； （2）由（1）中解析式即可画出图象，再根据图形即可解答； （3）先求出两个函数图象的交点，根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作 于点H， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ∴四边形 是平行四边形， ∴； ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 为过点，过点， 则函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：令，即， 解得： ，（负值舍去）， 则，的图象交点的横坐标为 ， 由函数图象可得，当时，的取值范围为 ． 22. 寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东 方向，点在点的东北方向，且米，米． （1）求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； （2）小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为 米 分，小红步行的速度为 米 分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据： ， ，结果精确到十分位） 【答案】（1）米 （2）小红先到达学校自习室 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1），过点作于点，过点作 于点，则四边形是矩形，进而解 ，求得，进而得出的长，解即可得出的长，即可求解； （2）分别计算两人的路程，进而根据路程除以速度，求得所用时间，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作 于点， 依题意， ∴四边形是矩形， 又∵， ， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴米 【小问2详解】 解：在中， ∴， ∴ 小明步行的速度为 米／分， ∴小明到达学校自习室需要分钟 米, 小红步行的速度为45米/分 所用时间为：分钟， ∴小红先到达学校自习室． 23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，且点在该拋物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 ，点是直线 下方抛物线上一动点，过点作于点，求 的最大值： （3）将原拋物线向左平移个单位后得到新抛物线， 是新抛物线对称轴上一点，点是原抛物线与新抛物线的交点，将点向上平移个单位得点，若，问：平面内是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，设抛物线与 轴交于点，先求得直线的解析式为，根据三角函数关系可得，则当 取得最大值时，取得最大值，设，则，表示出的长，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移的性质得出解析式为，进而求得 的横坐标为 ，联立抛物线解析式得出，根据平移的性质得出，设点 的坐标为，，根据勾股定理求得，根据菱形的性质可得，解方程得出或，即可得 点的坐标，进而根据中点坐标公式列出方程，解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴交于点，设抛物线与 轴交于点， 当时，，解得： ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时， 设直线与 轴交于点，则 ∴，则， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴当 取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∴当 时，取得最大值为 ∴的最大值为， 【小问3详解】 解：∵向左平移个单位后得到新抛物线解析式为 新抛物线的对称轴为直线 ∵ 是新抛物线对称轴上一点， ∴ 的横坐标为 ， 联立 解得： ∴ ∵将点向上平移个单位得点， ∴ 设点 的坐标为， ∵ ，， 四边形是菱形， ，即：，解得：或， 此时的中点与 中点重合， ，解得：或， 或， 故答案为：点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，线段最值问题，解直角三角形，二次函数的平移，点的平移，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 24. 如图，是等边三角形，、分别是、 边上的点（点、不与端点重合），，连接 、为交于点，点为 延长线上一点，且 ，点为平面内 上方、 左侧一点，，延长 交 于点． （1）若点是 中点， ，求线段 的长度； （2）若，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； （3）若，为内部一点，当最小时，直接写出 面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作于点，过点作于点，解， ，进而等面积法求得，再求得 ，在中，求得，进而即可求解； （2）证明，设，得出，过点作，，设与交于点，证明得出，进而得出，又，即可得出结论； （3）连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接，可得，进而可得四点共线时取得最小值，最小值为 ，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，得出，根据四点共线，是等腰直角三角形，连接，在上截取，得出在的一部分弧上运动，过点作于点 ，当在上时， 面积取得最小值，过点作，交的延长线于点 ，则四边形是矩形，进而求得，根据得出，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是等边三角形，点是 中点， ， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：； 证明：∵是等边三角形，， ∴ 又∵， ∴， ∴； 设， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点作，，连接，设与交于点， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴四点共线时取得最小值，最小值为 ； 如图所示， ∵是等边三角形，， ∴ ，； 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵等腰，， ∴,， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四点共线，，则是等腰直角三角形， ∴， 连接，在上截取， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴在的一部分弧上运动， 如图所示，过点作于点 ，当在上时， 面积取得最小值， ∵， ∴； 过点作，交的延长线于点 ，则四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，如图所示，作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，求一点到圆上的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $