（单元复习讲义） 第二单元 因数和倍数-五年级下册数学单元重点难点一网打尽（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册单元复习讲与练 第二单元 因数和倍数 内容导航 · 思维导图 2 · 重点知识总结 3 · 易错题练习 4 · 高频考点练习 8 · 考点一：因数和倍数的定义 8 · 考点二：因数的性质 8 · 考点三：倍数的性质 8 · 考点四：2、3、5 的倍数特征 9 · 考点五：奇数和偶数 9 · 考点六：质数、合数的定义 10 · 考点七：20以内的质数 10 · 考点八：100以内找质数、合数的技巧 11 · 考点九：分解质因数 12 · 考点十：奇数和偶数的运算规律拓展 13 · 真题练习 14 思维导图 重点知识总结 1. 基本概念 因数与倍数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12是2的倍数，2是12的因数。也可从乘法角度理解，若（、、都是非的自然数），那么和就是的因数，就是和的倍数。 整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。在研究因数和倍数时，所说的数是自然数（一般不包括）。 2. 因数的特点 个数有限：一个数的因数的个数是有限的。 最小与最大：最小的因数是，最大的因数是它本身。例如的因数有、、、。 3. 倍数的特点 个数无限：一个数的倍数的个数是无限的。 最小倍数：最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。如的倍数有、、、 4. 特殊数的倍数特征 2的倍数：个位上是、、、、的数，是偶数，如、等；不是的倍数的数是奇数，个位上是、、、、，如、等。 5的倍数：个位上是或的数，如、。 3的倍数：一个数各位上的数的和是的倍数，这个数就是的倍数，如，，是的倍数，所以是的倍数。 9的倍数：各个数位上的数的和是的倍数，这个数就是的倍数。 4（或25）的倍数：一个数末位是（或）的倍数的数，如、。 8（或125）的倍数：一个数末位是（或）的倍数，如、。 5. 质数与合数 质数：一个数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），如、、、等，最小的质数是。 合数：一个数，如果除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如、、、等，最小的合数是。 特殊数“1”：既不是质数，也不是合数，因为它只有个因数。 6. 奇数和偶数的运算性质 加法：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 乘法：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。 易错题练习 一、因数和倍数概念理解易错点题目 1.判断题：28÷7 ＝4，故28是倍数，7和4是因数。（ ） 【答案】× 【解析】因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数，某个数是因数，应该说28是7和4的倍数，7和4是28的因数。所以该说法错误。 2.判断题：1.5×4 ＝6，故1.5是6的因数。（ ） 【答案】× 【解析】因数和倍数是在非0自然数的范围内讨论的，1.5是小数，不符合因数的定义，所以1.5不是6的因数，该说法错误。 3.判断题：3×11 ＝33 ，故11和3都是33的倍数。（ ） 【答案】× 【解析】根据因数和倍数的定义，在乘法算式中，两个因数相乘得到积，这两个因数是积的因数，积是这两个因数的倍数。所以3和11是33的因数，33是3和11的倍数，该说法错误。 4.一个数的最小倍数除以它的最大因数的商是（ ），一个数的最小倍数减去它的最大因数的差是（ ）。 【答案】1；0 【解析】一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身。所以一个数的最小倍数除以它的最大因数，即这个数除以它本身，商是1；一个数的最小倍数减去它的最大因数，即这个数减去它本身，差是0。 二、2、3、5的倍数特征易错点题目 1.要使三位数4□6是3的倍数，□里可以有（ ）种填法。 【答案】3 【解析】一个数是3的倍数，那么这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。4 + 6 = 10，再分别加上2、5、8后得到12、15、18，都是3的倍数，所以□里可以填2、5、8，共3种填法。 2.一个四位数“523□”，如果它能被3整除，那么“□”里最小是（ ）；如果它能被2和5同时整除，那么“□”里一定是（ ）。 【答案】2；0 【解析】能被3整除的数，其各个数位上的数字之和是3的倍数。5 + 2 + 3 = 10，再加上2得到12是3的倍数，所以“□”里最小是2。能同时被2和5整除的数的个位数字一定是0，所以如果它能被2和5同时整除，“□”里一定是0。 3.134至少减去（ ）是3的倍数，至少加上（ ）能被5整除，至少减去（ ）能被2，3和5同时整除。 【答案】2；1；14 【解析】134各个数位上数字之和为1 + 3 + 4 = 8，比8小且是3的倍数的最大数是6，8 - 6 = 2，所以134至少减去2是3的倍数。能被5整除的数个位是0或5，134至少加上1个位变为5，能被5整除。能同时被2、3、5整除的数个位是0且各个数位上数字之和是3的倍数，134至少减去14得到120，120个位是0且1 + 2 + 0 = 3是3的倍数，所以134至少减去14能被2，3和5同时整除。 4、如果275□4能被3整除，那么□里最小能填（ ），最大能填（ ）。 【答案】0；9 【解析】2 + 7 + 5 + 4 = 18，18是3的倍数，所以□里可以填0、3、6、9，那么□里最小能填0，最大能填9。 三、质数、合数相关易错点题目 1.判断题：自然数不是质数就是合数。（ ） 【答案】× 【解析】1是自然数，但1既不是质数也不是合数，所以“自然数不是质数就是合数”这种说法错误。 2.判断题：所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。（ ） 【答案】× 【解析】2是质数，但2是偶数不是奇数；9是合数，但9是奇数不是偶数，所以“所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数”这种说法错误。 3.把28分解质因数是28 = 4×7。（ ） 【答案】× 【解析】分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，4不是质数，28分解质因数应该是28 = 2×2×7，所以该说法错误。 4.一个三位数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数是10以内的最大质数，个位上的数是最小的合数，这个数是（ ）。 【答案】974 【解析】10以内既是奇数又是合数的数是9，所以百位上是9；10以内的最大质数是7，所以十位上是7；最小的合数是4，所以个位上是4，这个三位数是974。 四、数的整除特性易错 1. 一个三位数，要使它能被整除，里可以填（ ）。 【答案】、、 【解析】能被整除的数的特征是这个数各个数位上的数字之和能被整除。已知这个三位数的百位是，个位是，。再分别加上得到，；加上得到，；加上得到，，、、都能被整除，所以里可以填、、。 2. 下列各数中，哪个数既是的倍数，又是的倍数？（ ） A. B. C. D. 【答案】A、D 【解析】 A选项：，，说明能被整除，也能被整除，所以既是的倍数，又是的倍数。 B选项：，不能被整除，所以不是的倍数，该选项错误。 C选项：，不能被整除，所以不是的倍数，该选项错误。 D选项：，，说明能被整除，也能被整除，所以既是的倍数，又是的倍数。 3. 幼儿园老师给小朋友分苹果，若每人分个，则多个；若每人分个，则少个。问一共有多少个苹果？（利用整除特性求解） 【答案】个 【解析】设小朋友的人数为人。每人分个苹果时，苹果总数为个；每人分个苹果时，苹果总数为个。因为苹果总数不变，所以。 移项可得，即，解得。 则苹果总数为（个）。 从整除特性角度分析，两次分配苹果情况，每人多分个苹果，而苹果总数的差异是个，所以小朋友的人数是人，进而可算出苹果总数为个。 高频考点练习 高频考点一：因数和倍数的定义 1：已知算式 5×8＝40，（ ）是 5 和 8 的倍数，（ ）是 40 的因数。 2：根据算式 25×4=100，（ ）是（ ）的因数，（ ）也是（ ）的因数；（ ）是（ ）的倍数，（ ）也是（ ）的倍数。 3：一个数的 3 倍是 15，这个数是多少？一个数的 4 倍是 20，这个数是多少？ 高频考点二：因数的性质 1：请写出 24 的所有因数。 2：35 的因数有（ ）。 3：15 的最大因数是（ ）。 4：一个数的因数一定小于等于它本身，对吗？ 高频考点三：倍数的性质 1：找出 6 和 8 的最小公倍数。 2：8 的倍数有（ ）（写 5 个）。 3：自然数中，凡是 17 的倍数（ ）。A、都是偶数 B、有偶数有奇数 C、都是奇数 高频考点四：2、3、5 的倍数特征 1：在 18、29、45、30、17、72、58、43、75、100 中，2 的倍数有（ ）；3 的倍数有（ ）；5 的倍数有 ( )，既是 2 的倍数又是 5 的倍数有（ ），既是 3 的倍数又是 5 的倍数有（ ）。 2：1024 至少减去 （ ） 就是 3 的倍数，1708 至少加上 （ ） 就是 5 的倍数。 3：自然数 375□，当□里填（ ）时，它就是 2 的倍数也是 5 的倍数。 高频考点五：奇数和偶数 奇数和偶数的定义：整数中，能够被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数。通常偶数用（为整数）表示，奇数用（为整数）表示。 奇数和偶数的基本性质： 奇数 ± 奇数＝偶数 奇数 ± 偶数＝奇数 偶数 ± 偶数＝偶数 奇数个奇数相加的和是奇数， 偶数个奇数相加的和是偶数， 任意个偶数相加的和是偶数。 1.在 56，80，95，130，135，789 中，哪些是奇数？哪些是偶数？ 2. 判断：奇数与奇数的差一定是偶数，奇数与偶数的差一定是奇数。 3. 三个连续奇数的和是 45，这三个奇数分别是多少？ 高频考点六：质数、合数的定义 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。1既不是质数也不是合数。 1. 在自然数1～20中，哪些数是质数？哪些数是合数？ 2. 判断下列数哪些是质数，哪些是合数：13、25、41、51、91。 3. 20以内不是偶数的合数有哪些？不是奇数的质数有哪些？ 高频考点七：20以内的质数 20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，利用这些质数的性质来解决相关的数学问题，如根据和、积等条件找出对应的质数。 1. 两个质数的和是22，积是57，它们分别是多少？ 2. 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 高频考点八：100以内找质数、合数的技巧 找100以内质数、合数可以通过判断一个数的因数个数来确定，也可以利用一些数的倍数特征（如2、3、5的倍数特征）辅助判断。还可以从质数的定义出发，依次检查每个数是否能被小于它的质数整除。 1. 将1、13、25、41、51、19、91、52、83、61、89、71、87、49、24、282这些数分别填入质数和合数的方框里。 2. 判断113是否为质数。 3. 在小于100的自然数中，找出所有既是3的倍数又是合数的数。 4. 筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法（提示：可利用找因数判断质数合数的方法）？ 高频考点九：特殊数的分解质因数 分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般从最小的质数开始除起，一直除到结果为质数为止。 1. 把48分解质因数。 2. 分解28、56的质因数。 3. 写出2015、2016的分解质因数形式。 4. 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 高频考点十：奇数和偶数的运算规律拓展 运用奇数和偶数的运算性质解决复杂数字组合问题，如多个数相加判断和的奇偶性，需要分析其中奇数和偶数的个数。 在实际问题中，通过将实际情况转化为数学中的奇偶性问题来求解，例如杯子翻转问题，可将杯口朝上设为一种状态（如），杯口朝下设为另一种状态（如） ，利用翻转次数的奇偶性来分析最终状态。 1.判断偶数个偶数相加以及奇数个奇数相加的结果的奇偶性。 2.的和是奇数还是偶数？ 3.桌子上放有 20 个茶杯，口向上按编号从①到⑳在桌子上排成一行。第一次，贝贝将编号是偶数的杯子翻一次；第二次，丽丽将编号是 3 的倍数的杯子翻一次；第三次，甜甜将编号是 5 的倍数的杯子翻一次。现在口向上的杯子有几个？ 4.桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时 “翻转”，请说明：无论经过多少次这样的 “翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。 真题练习 一、填空题 1．在35÷7＝5中， 是 的倍数， 是 的因数。 2．一个数既是8的倍数，又是48的因数，这个数可能是( )。 3．“46□”是一个三位数，如果它是3的倍数，□里最大能填( )；如果它被15除没有余数，□里能填( )。 4．在1，2，9三个数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既不是质数也不是合数。这三个数能组成( )个不同的三位数，其中有( )这些数能被2，3整除。（不能重复） 5．7□8□这个四位数能同时被2、3、5整除，个位上能填( )，百位上最大能填( )。 6．红红的学号是五位数ABCDE组成的，其中A是最小的质数，B既是奇数也是合数，C既不是质数也不是合数，D有因数2和3，E最小倍数是8。红红的学号是( )。 7．园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有 人． 8．今年，爷爷的年龄是小明的6倍，过几年后爷爷的年龄是小明年龄的5倍，再过几年后，爷爷的年龄是小明的4倍。爷爷今年( )岁。 二、判断题 9．一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 10．若x＋3的和是奇数，则x一定是奇数。( ) 11．5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。( ) 12．用4、2、6三个数字组成的三位数中，只能组成2的倍数，不能组成3的倍数。( ) 13．一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽都是质数，那么这个长方形的面积是11平方厘米。( ) 三、选择题 14．一个合数至少有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．2 D．1 15．如果m表示任意一个自然数，那么下列说法错误的是（    ）。 A．2m是偶数 B．2m＋1是奇数 C．3m＝m3 D．2m可能等于m2 16．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是，像6这样的数叫做完全数。下面几个数中，是完全数的是（    ）。 A．28 B．9 C．15 D．48 17．用3，5，8，2四张数字卡片摆出的所有四位数（    ）。 A．一定是2的倍数 B．一定是3的倍数 C．一定是5的倍数 D．一定是2，3，5的倍数 四、解答题 18．学校要把43根跳绳发给六年级正在上体育课的三个班，一班有64人，二班有56人，三班有52人，如果按人数分配发放，三个班各应领到多少跳绳？ 19．30个鸡蛋，其中有一个双黄蛋，检测员给鸡蛋排序号，把单数鸡蛋全都拿走，但是没有一个是双黄蛋．检测员再把剩下的鸡蛋排序，再把单数鸡蛋拿走，可是，还是没有双黄蛋，以此类推，最后一个是双黄蛋．请问：双黄蛋第一次的序号是多少？ 20．某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？ 21．老师买回一些学习用品（数量相同）。老师付给营业员100元，找回28元，请问找回的钱对不对，你是怎么判断出来的？ 22．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31．如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由） — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册单元复习讲与练 第二单元 因数和倍数 内容导航 · 思维导图 2 · 重点知识总结 3 · 易错题练习 4 · 高频考点练习 8 · 考点一：因数和倍数的定义 8 · 考点二：因数的性质 8 · 考点三：倍数的性质 9 · 考点四：2、3、5 的倍数特征 9 · 考点五：奇数和偶数 10 · 考点六：质数、合数的定义 11 · 考点七：20以内的质数 12 · 考点八：100以内找质数、合数的技巧 12 · 考点九：分解质因数 13 · 考点十：奇数和偶数的运算规律拓展 14 · 考点十一：20以内的质数 17 · 真题练习 15 思维导图 重点知识总结 1. 基本概念 因数与倍数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12是2的倍数，2是12的因数。也可从乘法角度理解，若（、、都是非的自然数），那么和就是的因数，就是和的倍数。 整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。在研究因数和倍数时，所说的数是自然数（一般不包括）。 2. 因数的特点 个数有限：一个数的因数的个数是有限的。 最小与最大：最小的因数是，最大的因数是它本身。例如的因数有、、、。 3. 倍数的特点 个数无限：一个数的倍数的个数是无限的。 最小倍数：最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。如的倍数有、、、 4. 特殊数的倍数特征 2的倍数：个位上是、、、、的数，是偶数，如、等；不是的倍数的数是奇数，个位上是、、、、，如、等。 5的倍数：个位上是或的数，如、。 3的倍数：一个数各位上的数的和是的倍数，这个数就是的倍数，如，，是的倍数，所以是的倍数。 9的倍数：各个数位上的数的和是的倍数，这个数就是的倍数。 4（或25）的倍数：一个数末位是（或）的倍数的数，如、。 8（或125）的倍数：一个数末位是（或）的倍数，如、。 5. 质数与合数 质数：一个数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），如、、、等，最小的质数是。 合数：一个数，如果除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如、、、等，最小的合数是。 特殊数“1”：既不是质数，也不是合数，因为它只有个因数。 6. 奇数和偶数的运算性质 加法：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 乘法：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。 易错题练习 一、因数和倍数概念理解易错点题目 1.判断题：28÷7 ＝4，故28是倍数，7和4是因数。（ ） 【答案】× 【解析】因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数，某个数是因数，应该说28是7和4的倍数，7和4是28的因数。所以该说法错误。 2.判断题：1.5×4 ＝6，故1.5是6的因数。（ ） 【答案】× 【解析】因数和倍数是在非0自然数的范围内讨论的，1.5是小数，不符合因数的定义，所以1.5不是6的因数，该说法错误。 3.判断题：3×11 ＝33 ，故11和3都是33的倍数。（ ） 【答案】× 【解析】根据因数和倍数的定义，在乘法算式中，两个因数相乘得到积，这两个因数是积的因数，积是这两个因数的倍数。所以3和11是33的因数，33是3和11的倍数，该说法错误。 4.一个数的最小倍数除以它的最大因数的商是（ ），一个数的最小倍数减去它的最大因数的差是（ ）。 【答案】1；0 【解析】一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身。所以一个数的最小倍数除以它的最大因数，即这个数除以它本身，商是1；一个数的最小倍数减去它的最大因数，即这个数减去它本身，差是0。 二、2、3、5的倍数特征易错点题目 1.要使三位数4□6是3的倍数，□里可以有（ ）种填法。 【答案】3 【解析】一个数是3的倍数，那么这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。4 + 6 = 10，再分别加上2、5、8后得到12、15、18，都是3的倍数，所以□里可以填2、5、8，共3种填法。 2.一个四位数“523□”，如果它能被3整除，那么“□”里最小是（ ）；如果它能被2和5同时整除，那么“□”里一定是（ ）。 【答案】2；0 【解析】能被3整除的数，其各个数位上的数字之和是3的倍数。5 + 2 + 3 = 10，再加上2得到12是3的倍数，所以“□”里最小是2。能同时被2和5整除的数的个位数字一定是0，所以如果它能被2和5同时整除，“□”里一定是0。 3.134至少减去（ ）是3的倍数，至少加上（ ）能被5整除，至少减去（ ）能被2，3和5同时整除。 【答案】2；1；14 【解析】134各个数位上数字之和为1 + 3 + 4 = 8，比8小且是3的倍数的最大数是6，8 - 6 = 2，所以134至少减去2是3的倍数。能被5整除的数个位是0或5，134至少加上1个位变为5，能被5整除。能同时被2、3、5整除的数个位是0且各个数位上数字之和是3的倍数，134至少减去14得到120，120个位是0且1 + 2 + 0 = 3是3的倍数，所以134至少减去14能被2，3和5同时整除。 4、如果275□4能被3整除，那么□里最小能填（ ），最大能填（ ）。 【答案】0；9 【解析】2 + 7 + 5 + 4 = 18，18是3的倍数，所以□里可以填0、3、6、9，那么□里最小能填0，最大能填9。 三、质数、合数相关易错点题目 1.判断题：自然数不是质数就是合数。（ ） 【答案】× 【解析】1是自然数，但1既不是质数也不是合数，所以“自然数不是质数就是合数”这种说法错误。 2.判断题：所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。（ ） 【答案】× 【解析】2是质数，但2是偶数不是奇数；9是合数，但9是奇数不是偶数，所以“所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数”这种说法错误。 3.把28分解质因数是28 = 4×7。（ ） 【答案】× 【解析】分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，4不是质数，28分解质因数应该是28 = 2×2×7，所以该说法错误。 4.一个三位数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数是10以内的最大质数，个位上的数是最小的合数，这个数是（ ）。 【答案】974 【解析】10以内既是奇数又是合数的数是9，所以百位上是9；10以内的最大质数是7，所以十位上是7；最小的合数是4，所以个位上是4，这个三位数是974。 四、数的整除特性易错 1. 一个三位数，要使它能被整除，里可以填（ ）。 【答案】、、 【解析】能被整除的数的特征是这个数各个数位上的数字之和能被整除。已知这个三位数的百位是，个位是，。再分别加上得到，；加上得到，；加上得到，，、、都能被整除，所以里可以填、、。 2. 下列各数中，哪个数既是的倍数，又是的倍数？（ ） A. B. C. D. 【答案】A、D 【解析】 A选项：，，说明能被整除，也能被整除，所以既是的倍数，又是的倍数。 B选项：，不能被整除，所以不是的倍数，该选项错误。 C选项：，不能被整除，所以不是的倍数，该选项错误。 D选项：，，说明能被整除，也能被整除，所以既是的倍数，又是的倍数。 3. 幼儿园老师给小朋友分苹果，若每人分个，则多个；若每人分个，则少个。问一共有多少个苹果？（利用整除特性求解） 【答案】个 【解析】设小朋友的人数为人。每人分个苹果时，苹果总数为个；每人分个苹果时，苹果总数为个。因为苹果总数不变，所以。 移项可得，即，解得。 则苹果总数为（个）。 从整除特性角度分析，两次分配苹果情况，每人多分个苹果，而苹果总数的差异是个，所以小朋友的人数是人，进而可算出苹果总数为个。 高频考点练习 高频考点一：因数和倍数的定义 1：已知算式 5×8＝40，（ ）是 5 和 8 的倍数，（ ）是 40 的因数。 【答案】40；5 和 8 【解析】根据因数和倍数的定义，如果 a×b=c（a、b、c 都是非 0 的自然数）那么 c 就是 a 和 b 的倍数，a 和 b 就是 c 的因数，所以 40 是 5 和 8 的倍数，5 和 8 是 40 的因数。 2：根据算式 25×4=100，（ ）是（ ）的因数，（ ）也是（ ）的因数；（ ）是（ ）的倍数，（ ）也是（ ）的倍数。 【答案】25；100；4；100；100；25；100；4 【解析】由因数和倍数的定义可知，在乘法算式 25×4 = 100 中，25 和 4 是 100 的因数，100 是 25 和 4 的倍数。 3：一个数的 3 倍是 15，这个数是多少？一个数的 4 倍是 20，这个数是多少？ 【答案】5；5 【解析】已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算。15÷3 = 5，所以一个数的 3 倍是 15，这个数是 5；20÷4 = 5，所以一个数的 4 倍是 20，这个数是 5。 高频考点二：因数的性质 1：请写出 24 的所有因数。 【答案】1、2、3、4、6、8、12、24 【解析】因为 1×24 = 24，2×12 = 24，3×8 = 24，4×6 = 24，所以 24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24。 2：35 的因数有（________）。 【答案】1、5、7、35 【解析】1×35 = 35，5×7 = 35，所以 35 的因数有 1、5、7、35。 3：15 的最大因数是（ ）。 【答案】15 【解析】一个数的最大因数是它本身，所以 15 的最大因数是 15。 4：一个数的因数一定小于等于它本身，对吗？ 【答案】对 【解析】一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身，所以一个数的因数一定小于等于它本身，这种说法是正确的。 高频考点三：倍数的性质 1：找出 6 和 8 的最小公倍数。 【答案】24 【解析】6 的倍数有 6、12、18、24、30……，8 的倍数有 8、16、24、32……，所以 6 和 8 的最小公倍数是 24。 2：8 的倍数有（________）（写 5 个）。 【答案】8、16、24、32、40 【解析】用 8 分别乘以 1、2、3、4、5 可得 8×1 = 8，8×2 = 16，8×3 = 24，8×4 = 32，8×5 = 40，所以 8 的倍数可以写 8、16、24、32、40 。 3：自然数中，凡是 17 的倍数（ ）。A、都是偶数 B、有偶数有奇数 C、都是奇数 【答案】B 【解析】17×1 = 17 是奇数，17×2 = 34 是偶数，所以自然数中，凡是 17 的倍数有偶数有奇数，答案选 B。 高频考点四：2、3、5 的倍数特征 1：在 18、29、45、30、17、72、58、43、75、100 中，2 的倍数有（ ）；3 的倍数有（ ）；5 的倍数有 ( )，既是 2 的倍数又是 5 的倍数有（ ），既是 3 的倍数又是 5 的倍数有（ ）。 【答案】2 的倍数有 18、30、72、58、100；3 的倍数有 18、45、30、72、75；5 的倍数有 45、30、75、100；既是 2 的倍数又是 5 的倍数有 30、100；既是 3 的倍数又是 5 的倍数有 45、30、75。 2：1024 至少减去 （ ） 就是 3 的倍数，1708 至少加上 （ ） 就是 5 的倍数。 【答案】1；2 【解析】1024 各位数字之和 1 + 0 + 2 + 4 = 7，比 7 小且是 3 的倍数的最大数是 6，7 - 6 = 1，所以 1024 至少减去 1 就是 3 的倍数；1708 个位是 8，5 的倍数个位是 0 或 5，比 8 大且是 5 的倍数的最小数是 10，10 - 8 = 2，所以 1708 至少加上 2 就是 5 的倍数。 3：自然数 375□，当□里填（ ）时，它就是 2 的倍数也是 5 的倍数。 【答案】0 【解析】既是 2 的倍数又是 5 的倍数的数个位上一定是 0，所以自然数 375□，当□里填 0 时，它就是 2 的倍数也是 5 的倍数。 高频考点五：奇数和偶数 奇数和偶数的定义：整数中，能够被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数。通常偶数用（为整数）表示，奇数用（为整数）表示。 奇数和偶数的基本性质： 奇数 ± 奇数＝偶数 奇数 ± 偶数＝奇数 偶数 ± 偶数＝偶数 奇数个奇数相加的和是奇数， 偶数个奇数相加的和是偶数， 任意个偶数相加的和是偶数。 1.在 56，80，95，130，135，789 中，哪些是奇数？哪些是偶数？ 【答案】奇数：95、135、789；偶数：56、80、130 【解析】根据奇数和偶数的定义，个位上是 0、2、4、6、8 的数是偶数，个位上是 1、3、5、7、9 的数是奇数。所以 56、80、130 是偶数，95、135、789 是奇数。 2.判断：奇数与奇数的差一定是偶数，奇数与偶数的差一定是奇数。 【答案】正确 【解析】设奇数为，另一个奇数为（、为整数），它们的差为，能被 2 整除，所以是偶数；设奇数为，偶数为（、为整数），它们的差为，不能被 2 整除，所以是奇数。 3.三个连续奇数的和是 45，这三个奇数分别是多少？ 【答案】13、15、17 【解析】设中间的奇数为，则前一个奇数为，后一个奇数为。根据题意可得方程，即，解得。那么前一个奇数为，后一个奇数为。 高频考点六：质数、合数的定义 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。1既不是质数也不是合数。 1. 在自然数1～20中，哪些数是质数？哪些数是合数？ 【答案】质数：2、3、5、7、11、13、17、19；合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。 2. 判断下列数哪些是质数，哪些是合数：13、25、41、51、91。 【答案】质数：13、41；合数：25、51、91。 【解析】13只能被1和13整除，所以是质数；25能被1、5、25整除，所以是合数；41只能被1和41整除，所以是质数；51能被1、3、17、51整除，所以是合数；91能被1、7、13、91整除，所以是合数。 3. 20以内不是偶数的合数有哪些？不是奇数的质数有哪些？ 【答案】20以内不是偶数的合数：9、15；不是奇数的质数：2。 【解析】20以内的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，其中不是偶数（即奇数）的是9、15；20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中不是奇数（即偶数）的只有2，因为其他偶数都至少有1、2和它本身这三个因数，不满足质数定义，而2只能被1和2整除，是唯一的偶质数。 高频考点七：20以内的质数 20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，利用这些质数的性质来解决相关的数学问题，如根据和、积等条件找出对应的质数。 1. 两个质数的和是22，积是57，它们分别是多少？ 【答案】3和19。 【解析】设这两个质数分别为和，则，。对57分解因数可得，其中1不是质数，在3和19中，3只能被1和3整除，19只能被1和19整除，它们都是质数，且，满足条件，所以这两个数是3和19。 2. 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 【答案】74。 【解析】因为39是奇数，根据奇数+偶数=奇数，20以内的质数中只有2是偶数，所以其中一个质数是2。则另一个质数为，37也只能被1和37整除，是质数。那么这两个质数的乘积为。 高频考点八：100以内找质数、合数的技巧 找100以内质数、合数可以通过判断一个数的因数个数来确定，也可以利用一些数的倍数特征（如2、3、5的倍数特征）辅助判断。还可以从质数的定义出发，依次检查每个数是否能被小于它的质数整除。 1. 将1、13、25、41、51、19、91、52、83、61、89、71、87、49、24、282这些数分别填入质数和合数的方框里。 【答案】质数：13、41、19、83、61、89、71； 合数：25、51、91、52、87、49、24、282； 1既不是质数也不是合数。 2. 判断113是否为质数。 【答案】113是质数。 【解析】要判断113是否为质数，只需检查它能否被小于的质数整除即可。小于10.6的质数有2、3、5、7。113不能被2整除（因为113是奇数）；113各位数字之和为，不能被3整除；113个位不是0或5，不能被5整除；，不能被7整除。所以113除了1和它本身外，没有其他因数，113是质数。 3. 在小于100的自然数中，找出所有既是3的倍数又是合数的数。 【答案】6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99。 【解析】先找出小于100的3的倍数，有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99。其中3只能被1和3整除，是质数，不符合要求。而6能被1、2、3、6整除，是合数；9能被1、3、9整除，是合数；12能被1、2、3、4、6、12整除，是合数；以此类推，其余这些数除了能被1和本身整除外，还能被其他数整除，所以既是3的倍数又是合数的数是6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99。 4. 筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法（提示：可利用找因数判断质数合数的方法）？ 【答案】16种。 【解析】先找出300的所有因数，，所以300的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、25、30、50、60、75、100、150、300。因为不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，所以去掉1和300这两个因数，剩下的因数有2、3、4、5、6、10、12、15、20、25、30、50、60、75、100、150，共16个，即共有16种不同的拿法。 高频考点九：分解质因数 分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般从最小的质数开始除起，一直除到结果为质数为止。 1. 把48分解质因数。 【答案】。 【解析】从最小的质数2开始除，，，，，3是质数，除到此为止。所以。 2. 分解28、56的质因数。 【答案】；。 【解析】对于28，从2开始除，，，7是质数，所以；对于56，，，，7是质数，所以。 3. 写出2015、2016的分解质因数形式。 【答案】；。 【解析】对于2015，从最小质数开始尝试，，，31是质数，所以；对于2016，，，，，，，，7是质数，所以。 4. 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 【答案】5、6、7。 【解析】先把210分解质因数，，因为是三个连续自然数，通过对质因数组合可得，所以这三个连续自然数是5、6、7。 高频考点十：奇数和偶数的运算规律拓展 运用奇数和偶数的运算性质解决复杂数字组合问题，如多个数相加判断和的奇偶性，需要分析其中奇数和偶数的个数。 在实际问题中，通过将实际情况转化为数学中的奇偶性问题来求解，例如杯子翻转问题，可将杯口朝上设为一种状态（如），杯口朝下设为另一种状态（如） ，利用翻转次数的奇偶性来分析最终状态。 1.判断偶数个偶数相加以及奇数个奇数相加的结果的奇偶性。 【答案】偶数个偶数相加结果是偶数，奇数个奇数相加结果是奇数 【解析】设偶数为，，…，（为正整数），它们的和为，能被 2 整除，所以偶数个偶数相加结果是偶数；设奇数为，，…，（为非负整数），它们的和为，是偶数，是奇数，偶数 + 奇数 = 奇数，所以奇数个奇数相加结果是奇数。 2.的和是奇数还是偶数？ 【答案】奇数 【解析】从 1 到 1993 中，有 997 个奇数，996 个偶数。因为偶数相加的和是偶数，所以 996 个偶数的和是偶数；又因为奇数个奇数相加的和是奇数，997 是奇数，所以 997 个奇数的和是奇数。偶数 + 奇数 = 奇数，所以的和是奇数。 3.桌子上放有 20 个茶杯，口向上按编号从①到⑳在桌子上排成一行。第一次，贝贝将编号是偶数的杯子翻一次；第二次，丽丽将编号是 3 的倍数的杯子翻一次；第三次，甜甜将编号是 5 的倍数的杯子翻一次。现在口向上的杯子有几个？ 【答案】12 个 【解析】第一次，贝贝将编号是偶数的杯子翻一次，此时编号为偶数的 10 个杯子口朝下，编号为奇数的 10 个杯子口朝上。第二次，丽丽将编号是 3 的倍数的杯子翻一次，20 以内 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18，其中 6、12、18 是偶数，这 3 个杯子由口朝下变为口朝上；3、9、15 是奇数，这 3 个杯子由口朝上变为口朝下。此时口朝上的杯子有 10 - 3 + 3 = 10 个。第三次，甜甜将编号是 5 的倍数的杯子翻一次，20 以内 5 的倍数有 5、10、15、20，其中 10、20 是偶数，这 2 个杯子由口朝下变为口朝上；5、15 是奇数，5 之前是口朝上，翻一次变为口朝下，15 之前是口朝下，翻一次变为口朝上。所以现在口向上的杯子有 10 + 2 - 1 + 1 = 12 个。 4.桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时 “翻转”，请说明：无论经过多少次这样的 “翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。 【答案】该结论正确 【解析】用表示杯口朝上，表示杯口朝下。初始时 9 只杯子口朝上，所以这 9 个数的乘积为。一只杯子从口朝上变为口朝下，需要翻转奇数次。每次翻转 6 只杯子，设经过次翻转。那么这 9 个数乘积的符号取决于翻转次数中奇数的个数。因为每次翻转 6 只杯子，所以次翻转的总次数为，是偶数。而要使 9 只杯子全部口朝下，这 9 个数的乘积应为，由于每次翻转的总次数是偶数，所以无论经过多少次翻转，这 9 个数乘积的符号始终为正，不可能变为，即无论经过多少次这样的 “翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。 真题练习 一、填空题 1．在35÷7＝5中， 是 的倍数， 是 的因数。 【答案】 35 5、7 5、7 35 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解析】在35÷7＝5中，35是5和7的倍数，5和7是35的因数。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 2．一个数既是8的倍数，又是48的因数，这个数可能是( )。 【答案】8、16、24、48 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。又因为48是8的倍数，据此解答即可。 【解析】一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是：8、16、24、48。 【点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3．“46□”是一个三位数，如果它是3的倍数，□里最大能填( )；如果它被15除没有余数，□里能填( )。 【答案】 8 5 【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，可知46□中最大填8；如果它被15除没有余数，也就是说它是3和5的倍数，再根据5的倍数特征：个位数是0或5，据此解答即可。 【解析】4＋6＝10 12－10＝2 15－10＝5 18－10＝8 所以根据3的倍数特征，如果“46□”是3的倍数，□里最大能填8；如果“46□”被15除没有余数，也就是说它是3和5的倍数，则□里只能填0或5，因为460不是3的倍数，465是3的倍数，所以如果“46□”被15除没有余数，□里能填5。 【点评】本题考查了3的倍数及3和5的倍数的特征，根据题意解答即可。 4．在1，2，9三个数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既不是质数也不是合数。这三个数能组成( )个不同的三位数，其中有( )这些数能被2，3整除。（不能重复） 【答案】 2 9 1 6 192、912 【分析】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数；一个数的个位数字是0、2、4、6、8的数就是2的倍数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解析】在1，2，9三个数中，2既是质数又是偶数，9既是合数又是奇数，1既不是质数也不是合数。这三个数能组成6个不同的三位数，其中192、912这些数能被2，3整除。 【点评】本题考查奇数、偶数、质数和合数，明确它们的定义是解题的关键。 5．7□8□这个四位数能同时被2、3、5整除，个位上能填( )，百位上最大能填( )。 【答案】 0 9 【分析】被2整除的特征：偶数，个位上的数是0、2、4、6、8的数； 被3整除的数的特征：每一位上数字之和能被3整除； 被5整除的数的特征：个位上是0、5的数。 据此进行填写。 【解析】根据2、5的倍数特征，可得它的个位只能填0，因为7＋8＋0＝15，15是3的倍数，所以百位上最大能填9。 【点评】本题考查的是2、3、5的倍数特征，关键先考虑2和5的倍数特征，因为他们的倍数有共性。 6．红红的学号是五位数ABCDE组成的，其中A是最小的质数，B既是奇数也是合数，C既不是质数也不是合数，D有因数2和3，E最小倍数是8。红红的学号是( )。 【答案】29168 【分析】A是最小的质数是2；B是一位数，且既是奇数也是合数，所以是9；C既不是质数也不是合数，所以是1；D有因数2和3，且是一位数，所以是6；E最小倍数是8，所以是8。据此解答即可。 【解析】由分析可知： 红红的学号是29168。 【点评】本题考查质数、合数、奇数，明确它们的定义是解题的关键。 7．园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有 人． 【答案】61 8．今年，爷爷的年龄是小明的6倍，过几年后爷爷的年龄是小明年龄的5倍，再过几年后，爷爷的年龄是小明的4倍。爷爷今年( )岁。 【答案】72 【分析】由于爷爷与小明的年龄差是一定的，今年二者的年龄差是小明年龄的6－1＝5倍，以后是5－1＝4倍，4－1＝3倍，这说明年龄差是5，4，3的倍数，能被5，4，3整除，其最小公倍数是60，则这个数是60的倍数，显然120和180是不可能的，所以只能是60，因此今年小明的年龄是60÷5＝12（岁），则祖父的年龄是12×6＝72岁，据此解答即可。 【解析】根据题意可知，二者的年龄差是5，4，3的倍数，5，4，3最小公倍数是60； 这个数是60的倍数，显然120和180是不可能的，所以只能是60； 因此今年小明的年龄是60÷5＝12（岁）； 则祖父的年龄是12×6＝72（岁）。 【点评】抓住祖父和小明的年龄差是一定的这个潜在条件进行分析是完成本题的关键。 二、判断题 9．一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答即可。 【解析】比如6的最大因数是6，6的最小倍数是6，所以一个数的倍数一定比它的因数大的说法是错误的。 故答案为：× 10．若x＋3的和是奇数，则x一定是奇数。( ) 【答案】× 【分析】由奇数和偶数的运算性质可知，偶数与偶数的和一定是偶数，奇数与奇数的和一定是偶数，奇数与偶数的和一定是奇数，据此解答。 【解析】分析可知，3是奇数，如果x＋3的和是奇数，那么x一定是偶数，如：当x＝2时，x＋3＝2＋3＝5，5是奇数。 故答案为：× 【点评】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。 11．5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。( ) 【答案】√ 【分析】由于5个连续的偶数和是m，由于相邻的两个偶数的和相差2，可知5个连续偶数的和其实相当于5个中间数的和，即用和除以5即可求出中间的数，由于最大的数比中间的数大4，用据此即可列式。 【解析】由分析可知： 5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。原题说法正确。 故答案为：√ 12．用4、2、6三个数字组成的三位数中，只能组成2的倍数，不能组成3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】被2和3整除特征：每一位上数字之和能被3整除的偶数。 【解析】4＋2＋6＝12 12÷3＝4，12可以被3整除；4、2和6都是偶数，因此4、2、6组成的任何一个三位数都是2和3的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 【点评】此题主要根据能同时被2、3整除的数的特征解决问题。 13．一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽都是质数，那么这个长方形的面积是11平方厘米。( ) 【答案】× 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长÷2，即12厘米；然后考虑哪两个数相加的和是12厘米，且这两个数都是质数，即可找出长方形的长与宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出这个长方形的面积，据此判断。 【解析】24÷2＝12（厘米） 12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5 其中7和5是质数，所以这个长方形的长是7厘米，宽是5厘米； 长方形的面积：7×5＝35（平方厘米） 原题说法错误。 故答案为：× 【点评】掌握质数的定义、长方形的周长、面积公式是解题的关键。 三、选择题 14．一个合数至少有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数，所以一个合数至少有3个因数。 【解析】由分析可得：合数至少有3个因数，比如4有因数1、2、4，所以4是合数； 9有因数1、3、9，所以9是合数。综上所述：一个合数至少有3个因数。 故答案为：A 15．如果m表示任意一个自然数，那么下列说法错误的是（    ）。 A．2m是偶数 B．2m＋1是奇数 C．3m＝m3 D．2m可能等于m2 【答案】C 【分析】2乘任何一个数的得数都是偶数，2乘任何一个数再加1的得数都是奇数，据此作答。 【解析】A．根据2乘任何一个数的得数都是偶数，2m是偶数，说法正确； B．根据2乘任何一个数再加1的得数都是奇数，2m＋1是奇数，说法正确； C．当m等于1时，3m＝3×1＝3，m3＝1×1×1＝1，则3m≠m3，说法错误； D．当m等于2时，2×2＝22，2m可能等于m2，说法正确。 故答案为：C 【点评】此题考查2乘任何一个数的得数都是偶数，2乘任何一个数再加1的得数都是奇数。 16．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是，像6这样的数叫做完全数。下面几个数中，是完全数的是（    ）。 A．28 B．9 C．15 D．48 【答案】A 【分析】根据题干中对完全数的定义，一一判断出选项中的数是否是完全数即可。 【解析】A．28的因数有1、2、4、7、14、28，其中1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数； B．9的因数有1、3、9，其中1＋3＝4，所以9不是完全数； C．15的因数有1、3、5、15，其中1＋3＋5＝9，所以15不是完全数； D．48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋16＋24＝76，所以48不是完全数。 故答案为：A 【点评】本题考查了因数的求法，会求一个数的因数是解题的关键。 17．用3，5，8，2四张数字卡片摆出的所有四位数（    ）。 A．一定是2的倍数 B．一定是3的倍数 C．一定是5的倍数 D．一定是2，3，5的倍数 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数； 3的倍数特征：各个数位上数字之和能被3整除； 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【解析】由分析可得：用3，5，8，2四张数字卡片摆出的所有四位数中有的数个位不是2、8、5，所以摆出的数字不一定是2、5的倍数；因为3＋5＋8＋2＝18、18是3的倍数，所以3，5，8，2四张数字卡片不管怎么摆一定都是3的倍数。 故答案为：B 【点评】此题需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征，并灵活运用。 四、解答题 18．学校要把43根跳绳发给六年级正在上体育课的三个班，一班有64人，二班有56人，三班有52人，如果按人数分配发放，三个班各应领到多少跳绳？ 【答案】一班分到16根，二班分到14根，三班分到13根． 【解析】试题分析：首先求得三个班的总份数，再求得三个班各占总数的几分之几，最后求得三个班各应领到的跳绳，列式解答即可． 解：64+56+52=172（人） 43×=16（根） 43×=14（根） 43×=13（根）； 答：一班分到16根，二班分到14根，三班分到13根． 【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答． 19．30个鸡蛋，其中有一个双黄蛋，检测员给鸡蛋排序号，把单数鸡蛋全都拿走，但是没有一个是双黄蛋．检测员再把剩下的鸡蛋排序，再把单数鸡蛋拿走，可是，还是没有双黄蛋，以此类推，最后一个是双黄蛋．请问：双黄蛋第一次的序号是多少？ 【答案】16 【解析】本题考查的是有关倍数的问题．2的倍数特征是：个位上是0、2、4、6、8的自然数． 以10个数为例： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 第一次拿走奇数：1，3，5，7，9，剩下2的倍数． 第二次拿走：2，6，10，剩下4的倍数． 第三次拿走：4，剩下8的倍数． 所以在1～30中最后剩下的数为，因为<30，所以= 16． 20．某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？ 【答案】所求的四位数是1409或1979 【解析】试题分析：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答． 解答：解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9， 又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9， 再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1， 设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996， 可得26≤m≤53， 因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7， 在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52， 又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数， 19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1， 所以m=37或52， 所以38×37+3=1409，38×52+3=1979， 经检验正好满足题意， 答：所求的四位数是1409或1979． 点评：根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答． 21．老师买回一些学习用品（数量相同）。老师付给营业员100元，找回28元，请问找回的钱对不对，你是怎么判断出来的？ 【答案】对 【分析】根据题意可知，花了100﹣28＝72元，因为学习用品的数量都相同，所以花的钱数应是10＋5＋3＝18的倍数，所以判断72是否是18的倍数即可。本题主要考查求一个数的倍数是方法。找出花的钱数是否是18的倍数是解答本题的关键。 【解析】花了：100﹣28＝72（元）， 因为学习用品的数量都相同，所以花的钱数应是10＋5＋3＝18的倍数， 72是18的4倍，即买回的一些学习用品的数量都是4， 所以，找回的钱对。 答：找回的钱对。 【点评】本题主要考查了对倍数的应用，能正确判断72是18的倍数是本题的关键。 22．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31．如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由） 【答案】不可能 【解析】因为1+9+15+31=56，56÷4=14，14是个偶数；1和3都为奇数，根据数和的奇偶性可知，每操作一次改变一次奇偶性，即： ① 第奇次操作后每堆数量是偶数，第偶次操作后每堆数量是奇数，所以需要奇数次操作后才有可能每堆数量相等； ② 又它们除以3的余数分别是1，0，0，1，结果是2；而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果，所以要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作． ③ 在本题中，4堆都要改变，所以需要偶数次操作矛盾，所以结果是不可能的． 答：不可能． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$