（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第二单元 因数和倍数-五年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册同步精讲 第二单元 因数和倍数 内容导航 · 思维导图 2 · 知识梳理 3 · 考点精讲 5 · 考点一：因数和倍数的概念 5 · 考点二：找一个数因数的方法 6 · 考点三：根据因数的特征解决问题 6 · 考点四：找一个数倍数的方法 7 · 考点五：根据倍数的特征解决问题 8 · 考点六：因数和倍数的综合应用 9 · 考点七：2的倍数的特征 10 · 考点八：5的倍数的特征 11 · 考点九：同时是2、5的倍数的特征 11 · 考点十：2、5的倍数特征的实际应用 12 · 考点十一：3的倍数的特征 13 · 考点十二：3的倍数特征的实际应用 13 · 考点十三：同时是2、3、5的倍数的特征 14 · 考点十四：奇数和偶数的定义 15 · 考点十五：奇数和偶数的运算性质 15 · 考点十六：奇数和偶数的实际应用 16 · 考点十七：质数和合数 18 · 考点十八：1的特殊性 19 · 考点十九：分解质因数 19 · 考点二十：质数的相关拆分与组合 20 · 考点二十一：因数和倍数的实际应用 21 · 考点二十二：因数和倍数、质数和合数的综合应用 22 思维导图 知识梳理 1.因数和倍数 （1）概念： 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，12÷2 = 6，12 是 2 和 6 的倍数，2 和 6 是 12 的因数 。 （2）因数和倍数的关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 （3）找因数的方法： ①列除法算式，用这个数分别除以 1、2、3……，如果商是整数且没有余数，除数和商就是这个数的因数。 ②列乘法算式，一对一对地找，如 18 = 1×18 = 2×9 = 3×6，所以 1、2、3、6、9、18 都是 18 的因数。 （4）找倍数的方法： 用这个数分别乘 1、2、3……，所得的积就是这个数的倍数。例如，3 的倍数有 3×1 = 3，3×2 = 6，3×3 = 9…… （5）一个数的因数和倍数的表示方法：①列举法；②集合法 （6）因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 （7）倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 2.2、5、3 的倍数的特征 （1）2 的倍数的特征： 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。例如，24、36、58 等都是 2 的倍数。 （2）5 的倍数的特征： 个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。如 15、20、35 等。 （3）既是 2 又是 5 的倍数的特征： 个位上是 0 的数，既是 2 的倍数又是 5 的倍数。像 10、30、50 等。 （4）3 的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。例如，123 各位数字之和为 1 + 2 + 3 = 6，6 是 3 的倍数，所以 123 是 3 的倍数。 3.奇数和偶数 （1）奇数：在整数中，不是 2 的倍数的数叫做奇数，个位上是 1、3、5、7、9。如 11、13、15 等。 （2）偶数：在整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，个位上是 0、2、4、6、8 。如 12、14、16 等。 （3）奇数和偶数的运算性质： 奇数 + 奇数 = 偶数，例如 3 + 5 = 8；奇数 + 偶数 = 奇数，例如 3 + 4 = 7； 偶数 + 偶数 = 偶数，例如 4 + 6 = 10；奇数 - 奇数 = 偶数，例如 7 - 3 = 4； 奇数 - 偶数 = 奇数，例如 7 - 4 = 3；偶数 - 偶数 = 偶数，例如 8 - 4 = 4； 奇数 × 奇数 = 奇数，例如 3×5 = 15；奇数 × 偶数 = 偶数，例如 3×4 = 12； 偶数 × 偶数 = 偶数，例如 4×6 = 24。 4.质数和合数 （1）质数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数） 。例如，2、3、5、7 等。最小的质数是 2。 （2）合数：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如，4、6、8、9 等。最小的合数是 4。 （3）1 的特殊性：1 既不是质数也不是合数。 （4）质数和合数的判断方法： 根据因数的个数来判断，只有两个因数的是质数，有三个或三个以上因数的是合数。 考点精讲 考点一：因数和倍数的概念 如果一个数能被另一个数整除（除数不为 0），比如 a÷b = c（a、b、c 都是不为 0 的自然数） ，那么除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。 例题 1：因为 42÷6 = 7，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 【答案】：42；6；7；6；7；42 【解析】：依据因数和倍数的定义，42 能被 6 整除得到商 7，所以 42 是 6 和 7 的倍数，6 和 7 是 42 的因数。 即时练习 1-1：因为 36÷4 = 9，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 例题 2（判断一个数的因数）：判断 7 是不是 49 的因数？ 解：因为 49÷7 = 7，商是整数且没有余数，所以 7 是 49 的因数。 【答案】：是 【解析】：依据因数判断方法，通过除法运算，49 能被 7 整除，所以 7 是 49 的因数。 即时练习 2-1判断 5 是不是 32 的因数？ 即时练习 2-2（2022 年天津市河西区小学数学期中真题）：判断下面说法是否正确：12 是 6 的因数。（ ） 例题 3（判断一个数的倍数）：判断 72 是不是 8 的倍数？ 解：因为 72÷8 = 9，商是整数且没有余数，所以 72 是 8 的倍数。 【答案】：是 【解析】：依据倍数判断方法，通过除法运算，72 能被 8 整除，所以 72 是 8 的倍数。 即时练习 3-1：判断 56 是不是 9 的倍数？ 即时练习 3-2：判断下面说法是否正确：45 是 5 的倍数。（ ） 考点二：找一个数因数的方法 用除法算式找，用这个数分别除以 1、2、3…… ，能除尽的除数和商就是这个数的因数； 用乘法算式找，把这个数写成两个整数相乘的形式，乘数就是这个数的因数。 例题：24 的因数有（ ）。 解：24÷1 = 24，24÷2 = 12，24÷3 = 8，24÷4 = 6；1×24 = 24，2×12 = 24，3×8 = 24，4×6 = 24 ，所以 24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24。 【答案】：1、2、3、4、6、8、12、24 【解析】：通过除法和乘法算式，找出所有能得到 24 的整数组合，这些组合中的数就是 24 的因数。 【总结】：一个数因数的个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身。 即时练习 1：36 的因数有（ ）。 即时练习 2：一个数最大的因数是 15，这个数的因数有（ ）。 考点三： 根据因数的特征解决问题 例题：学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【答案】3种；方法见详解 【解析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 即时练习 1：妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 即时练习 2： 端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 考点四：找一个数倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3…… ，乘得的积就是这个数的倍数。 例题：5 的倍数有（ ）（写 5 个）。 解：5×1 = 5，5×2 = 10，5×3 = 15，5×4 = 20，5×5 = 25 ，所以 5 的倍数有 5、10、15、20、25。 【答案】：5、10、15、20、25 【解析】：根据找倍数的方法，让 5 分别与 1 到 5 相乘得到这 5 个倍数。 【总结】：一个数倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 即时练习 1：8 的倍数有（ ）（写 4 个）。 即时练习 2：一个数最小倍数是 12，写出它的 3 个倍数（ ）。 考点五：根据倍数的特征解决问题 例题：五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 【答案】42、49棵 【解析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 即时练习 1：水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 即时练习 2：4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 考点六：因数和倍数的综合应用 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 例题：小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 即时练习 1：阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 即时练习 2： 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 考点七：2 的倍数特征 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 例题：下面哪些数是 2 的倍数？ 31、44、57、62、79 解：44 个位是 4，62 个位是 2，所以 44、62 是 2 的倍数。 【答案】：44、62 【解析】：依据 2 的倍数特征，看这些数的个位数字是否符合。 【总结】：判断一个数是否为 2 的倍数，只看个位数字就行。 即时练习 1：判断 53、68、71、86 中哪些是 2 的倍数？ 即时练习 2：□里填什么数字，7□是 2 的倍数？ 考点八： 5 的倍数特征 个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。 例题：下面哪些数是 5 的倍数？ 27、35、42、50、63 解：35 个位是 5，50 个位是 0，所以 35、50 是 5 的倍数。 【答案】：35、50 【解析】：按照 5 的倍数特征，观察数的个位判断。 【总结】：判断 5 的倍数，关键就看个位。 即时练习 1：判断 40、54、65、77 中哪些是 5 的倍数？ 即时练习 2：□里填什么数字，9□是 5 的倍数？ 考点九： 同时是 2 和 5 的倍数特征 个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。 例题：下面哪些数同时是 2 和 5 的倍数？ 15、20、38、45、50 解：20、50 个位是 0，所以 20、50 同时是 2 和 5 的倍数。 【答案】：20、50 【解析】：根据同时是 2 和 5 的倍数特征，看个位是否为 0 。 【总结】：判断时，个位为 0 是关键。 即时练习 1：判断 35、40、55、60 中哪些同时是 2 和 5 的倍数？ 即时练习 2：一个数同时是 2 和 5 的倍数，这个数最小是（ ）。 考点十：2、5的倍数特征的实际应用 2 的倍数特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数是 2 的倍数，也叫偶数。 5 的倍数特征：个位数字是 0 或 5 的整数是 5 的倍数。像 15、30、45 等。 既是 2 又是 5 的倍数特征：个位数字是 0 的整数，既是 2 的倍数又是 5 的倍数 。 例题：学校组织五年级学生参加环保活动，分组时发现，若每组 2 人，则多出 1 人；若每组 5 人，同样多出 1 人。已知五年级学生人数在 40 - 50 人之间，问五年级参加环保活动的学生一共有多少人？ 解：从 2 的倍数特征看，总人数减 1 后个位是 0、2、4、6、8；从 5 的倍数特征看，总人数减 1 后个位是 0 或 5。综合两者，总人数减 1 后个位只能是 0 。在 40 - 50 之间个位是 0 的数是 40，所以总人数是 40 + 1 = 41 人。 【答案】：41 人。 【解析】：通过分别分析 2 和 5 的倍数特征对总人数减 1 后的个位数字的限定，找出同时满足两个条件的数，进而得到总人数。 【总结】：解决这类问题，要分别依据 2 和 5 的倍数特征对所求数量进行分析，找到共同满足的条件来确定答案。 即时练习1：幼儿园老师给小朋友们分糖果，若每 2 颗装一袋，最后剩 1 颗；若每 5 颗装一袋，最后也剩 1 颗。已知糖果总数不到 30 颗，问最多有多少颗糖果？ 即时练习2：有一堆棋子，5 个 5 个地数，多 4 个；若把这些棋子 2 个 2 个地数，最后会怎样？ 考点十一：3 的倍数特征 一个数各个数位上的数字加起来的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 例题：判断 345 是否是 3 的倍数？ 解：3 + 4 + 5 = 12，12 是 3 的倍数，所以 345 是 3 的倍数。 【答案】：是 【解析】：先把 345 各位数字相加得到和 12，再判断 12 是 3 的倍数，得出 345 是 3 的倍数。 【总结】：通过计算各位数字之和来判断是否为 3 的倍数。 即时练习 1：判断 456 是否是 3 的倍数？ 即时练习 2：□里填什么数字，5□1 是 3 的倍数？ 考点十二：3的倍数特征的实际应用 例题1：红色教育润童心，红色基因共传承。五（1）班同学在班主任老师的带领下去参观红色教育基地，为了安全，要把全班同学进行分组。如果6人一组，会剩下3人；如果3人一组，人数会正好吗？ 【答案】会正好 【分析】根据题意可设一共分x组，则全班人数有6x＋3人，变换式子可得6x＋3＝3×（2x＋1），根据3的倍数关系，即可解答。 【解析】设一共分x组，则全班有6x＋3人。 6x＋3＝3×（2x＋1） 全班人数是3的倍数。 所以如果3人一组，人数会正好。 答：人数会正好。 即时练习1：现在有22名学生分组玩游戏，至少再来几名学生就可以正好3人一组？ 即时练习2：王老师要买一些笔奖励给班里积极上进的同学，每支笔3元，结账时售货员告诉王老师一共付37元，王老师立刻判断不对。你能解释这是为什么吗？ 考点十三：同时是 2、3、5 的倍数特征 个位上是 0，而且各个数位上数字的和是 3 的倍数 。 例题：下面哪些数同时是 2、3、5 的倍数？ 50、70、90、105 解：90 个位是 0，9 + 0 = 9 是 3 的倍数，所以 90 同时是 2、3、5 的倍数。 【答案】：90 【解析】：先看个位是否为 0，再计算各位数字之和是否为 3 的倍数。 【总结】：要同时满足个位是 0 和各位数字和是 3 的倍数这两个条件。 即时练习 1：判断 120、135、140 中哪些同时是 2、3、5 的倍数？ 即时练习 2：要使三位数 4□0 同时是 2、3、5 的倍数，□里可以填什么数字？ 考点十四：奇数和偶数的定义 整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是 2 的倍数的数叫做奇数。 例题：在 23、30、47、56、69 这几个数中，偶数有（ ），奇数有（ ）。 解：30 和 56 是 2 的倍数，所以是偶数；23、47、69 不是 2 的倍数，所以是奇数。 【答案】：偶数有 30、56；奇数有 23、47、69 【解析】：依据奇数和偶数的定义，判断这些数是否为 2 的倍数，从而区分出奇数和偶数。 【总结】：判断一个整数是奇数还是偶数，依据就是看它是不是 2 的倍数。 即时练习 1：在 19、32、45、58、71 中，偶数有（ ），奇数有（ ）。 即时练习 2：最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。 考点十五：奇数和偶数的运算性质 奇数 + 奇数 = 偶数；偶数 + 偶数 = 偶数；奇数 + 偶数 = 奇数； 奇数 × 奇数 = 奇数；偶数 × 偶数 = 偶数；奇数 × 偶数 = 偶数。 例题：判断下面算式结果的奇偶性：3 + 9，4 + 10，7×9，8×10 。 解：3 和 9 是奇数，3 + 9 = 12，所以 3 + 9 的结果是偶数；4 和 10 是偶数，4 + 10 = 14， 所以 4 + 10 的结果是偶数；7 和 9 是奇数，7×9 = 63，所以 7×9 的结果是奇数； 8 和 10 是偶数，8×10 = 80，所以 8×10 的结果是偶数。 （也可以直接计算出结果，然后判断奇偶数） 【答案】：3 + 9 结果是偶数；4 + 10 结果是偶数；7×9 结果是奇数；8×10 结果是偶数 【解析】：依据奇数和偶数的运算性质，判断每个算式中数的奇偶性，进而得出结果的奇偶性。 【总结】：牢记运算性质，能快速判断两个数运算结果的奇偶性。 即时练习 1：判断 7 + 8，13×15，12 + 18，17×20 的结果的奇偶性。 即时练习 2：两个连续奇数的和是奇数还是偶数？ 考点十六：奇数与偶数的实际应用 偶数：能被2整除的数就叫偶数(俗称双数),习惯用2n表示。 奇数：不能被2整除的数就叫奇数(俗称单数),习惯用2n-1表示。 例题：围棋起源于中国，属琴棋书画四艺之一。一共有361枚棋子，把这些棋子分装在甲、乙两个棋盒里。如果甲盒装的棋子为偶数枚，那么乙盒装的棋子是偶数枚还是奇数枚？如果甲盒装的棋子为奇数枚呢？请说明理由。 【答案】见解析 【分析】根据奇偶数的运算性质：奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数；解答即可。 【解析】由分析可得：361是奇数，放进两个棋和就是将361分成两部分，即分成两个数。 如果一个数是偶数，那么另一个数一定是奇数； 如果一个数是奇数，那么另一个数一定是偶数。 答：如果甲盒装的棋子数为偶数，那么乙盒装的棋子数是奇数，如果甲盒装的棋子数为奇数那么乙盒装的棋子数是偶数。 即时练习1：有2020个烟花，如果每次燃放奇数个，想在15次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？ 即时练习2：6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。    即时练习3：周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 考点十七：质数与合数 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 例题1：下面哪些数是质数？ 2、5、9、13、19 解：2 的因数只有 1 和 2；5 的因数只有 1 和 5；13 的因数只有 1 和 13；19 的因数只有 1 和 19，所以 2、5、13、19 是质数；9 的因数有 1、3、9，所以 9 不是质数。 【答案】：2、5、13、19 【解析】：根据质数的定义，判断每个数因数的个数和具体因数，只有 1 和它本身两个因数的数才是质数。 【总结】：判断一个数是否为质数，关键看因数个数和具体因数。 例题2：下面哪些数是合数？ 6、9、10、17、19 解：6 的因数有 1、2、3、6；9 的因数有 1、3、9；10 的因数有 1、2、5、10，所以 6、9、10 是合数；17 的因数只有 1 和 17；19 的因数只有 1 和 19，所以 17 和 19 不是合数。 【答案】：6、9、10 【解析】：依据合数的定义，判断每个数因数情况，除了 1 和它本身还有其他因数的数就是合数。 【总结】：与质数相对，合数的因数个数大于 2 个。 即时练习 1：判断 3、8、11、16、29 中哪些是质数？ 即时练习 2：判断 7、12、14、19、21 中哪些是合数？ 即时练习 3：最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。 考点十八： 1 的特殊性 1 既不是质数，也不是合数。因为 1 只有 1 个因数，不符合质数有 2 个因数的定义，也不符合合数有多于 2 个因数的定义。 例题：在 1、3、5、7、9 中，既不是质数也不是合数的是（ ）。 【答案】：1 【解析】：3、5、7 是质数，9 是合数，1 不符合质数与合数定义，所以是 1。 【总结】：1 是一个特殊的数，在讨论质数与合数时要单独考虑。 即时练习 ：最小的自然数，最小的质数，最小的合数，既不是质数也不是合数的数，它们的积是（ ）。 考点十九：分解质因数 1.相乘法（适合简单数）：直接写出质数相乘的形式，适用于较小的数。 2.短除法（最常用）步骤： （1）选择最小质数：从最小的质数2开始试除。 （2）逐步试除：若能被当前质数整除，则记录该质数，并用商继续重复步骤。 若不能整除，则换下一个质数（3、5、7…）。 （3）终止条件：当商为质数时停止，最终将所有质因数按从小到大的顺序排列。 例题：把40分解质因数是( )。 【答案】40＝2×2×2×5 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，就是分解质因数，据此解答。 【解析】由分析可知： 40分解质因数是：40＝2×2×2×5 【点评】本题主要考查分解质因数的方法，熟练掌握它的方法并灵活运用。 即时练习1．把下面各数的分解质因数． 49        57         91          96 即时练习2．把下面的数分解质因数。（从上到下，从左到右填写） 即时练习3．在3、4、5和60中( )和( )都是( )的质因数。 考点二十： 质数的相关拆分与组合 例题：在括号里填上合适的质数。 15＝( )＋( ) 110＝( )×( )×( ) 【答案】 2 13 2 5 11 【分析】（1）明确质数是指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。因为15是一个奇数，两个数相加为奇数时，必然是一个奇数加一个偶数。而既是质数又是偶数的数只有2，所以先尝试15＝2＋（），则15－2＝13，13也是一个质数，据此解答。 （2）用短除法先找出110的因数，因数有2、5、11，110＝2×5×11，2、5、11都是质数，据此解答。 【解析】（1）15－2＝13。13为质数，所以15＝2＋13； （2），2、5、11都是质数，所以110＝2×5×11 即时练习1：请在括号里填上不同的质数。 26＝( )＋( )        56＝( )＋( )         32＝( )＋( )        55＝( )＋( ) 即时练习2：在括号里填上不同的质数。 17＝( )＋( )＋( )＋( )； 28＝( )＋( )＝( )＋( )。 即时练习3：在括号里填上合适的质数。 30＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )×( )×( ) 考点二十一： 质数与合数的实际应用 例题：要把18块饼干分成两份，并且每份的个数都是质数，这两份饼干可能各是多少块？ 【答案】5块，13块或7块，11块 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数。18以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17，据此解答。 【解析】7＋11＝18（块） 5＋13＝18（块） 答：这两份饼干可能是5块和13块，也可能是7块和11块。 即时练习：用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 考点二十二：因数和倍数、质数和合数的综合应用 例题：平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【答案】4210958 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【解析】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 即时练习1：妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 即时练习2：猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册同步精讲 第二单元 因数和倍数 内容导航 · 思维导图 2 · 知识梳理 3 · 考点精讲 5 · 考点一：因数和倍数的概念 5 · 考点二：找一个数因数的方法 6 · 考点三：根据因数的特征解决问题 7 · 考点四：找一个数倍数的方法 8 · 考点五：根据倍数的特征解决问题 9 · 考点六：因数和倍数的综合应用 10 · 考点七：2的倍数的特征 11 · 考点八：5的倍数的特征 12 · 考点九：同时是2、5的倍数的特征 13 · 考点十：2、5的倍数特征的实际应用 13 · 考点十一：3的倍数的特征 15 · 考点十二：3的倍数特征的实际应用 15 · 考点十三：同时是2、3、5的倍数的特征 16 · 考点十四：奇数和偶数的定义 17 · 考点十五：奇数和偶数的运算性质 18 · 考点十六：奇数和偶数的实际应用 19 · 考点十七：质数和合数 20 · 考点十八：1的特殊性 22 · 考点十九：分解质因数 22 · 考点二十：质数的相关拆分与组合 24 · 考点二十一：因数和倍数的实际应用 25 · 考点二十二：因数和倍数、质数和合数的综合应用 26 思维导图 知识梳理 1.因数和倍数 （1）概念： 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，12÷2 = 6，12 是 2 和 6 的倍数，2 和 6 是 12 的因数 。 （2）因数和倍数的关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 （3）找因数的方法： ①列除法算式，用这个数分别除以 1、2、3……，如果商是整数且没有余数，除数和商就是这个数的因数。 ②列乘法算式，一对一对地找，如 18 = 1×18 = 2×9 = 3×6，所以 1、2、3、6、9、18 都是 18 的因数。 （4）找倍数的方法： 用这个数分别乘 1、2、3……，所得的积就是这个数的倍数。例如，3 的倍数有 3×1 = 3，3×2 = 6，3×3 = 9…… （5）一个数的因数和倍数的表示方法：①列举法；②集合法 （6）因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 （7）倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 2.2、5、3 的倍数的特征 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。例如，24、36、58 等都是 2 的倍数。 （2）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。如 15、20、35 等。 （3）既是 2 又是 5 的倍数的特征：个位上是 0 的数，既是 2 的倍数又是 5 的倍数。像 10、30、50 等。 （4）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。例如，123 各位数字之和为 1 + 2 + 3 = 6，6 是 3 的倍数，所以 123 是 3 的倍数。 3.奇数和偶数 （1）奇数：在整数中，不是 2 的倍数的数叫做奇数，个位上是 1、3、5、7、9。如 11、13、15 等。 （2）偶数：在整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，个位上是 0、2、4、6、8 。如 12、14、16 等。 （3）奇数和偶数的运算性质： 奇数 + 奇数 = 偶数，例如 3 + 5 = 8；奇数 + 偶数 = 奇数，例如 3 + 4 = 7； 偶数 + 偶数 = 偶数，例如 4 + 6 = 10；奇数 - 奇数 = 偶数，例如 7 - 3 = 4； 奇数 - 偶数 = 奇数，例如 7 - 4 = 3；偶数 - 偶数 = 偶数，例如 8 - 4 = 4； 奇数 × 奇数 = 奇数，例如 3×5 = 15；奇数 × 偶数 = 偶数，例如 3×4 = 12； 偶数 × 偶数 = 偶数，例如 4×6 = 24。 4.质数和合数 （1）质数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数） 。例如，2、3、5、7 等。最小的质数是 2。 （2）合数：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如，4、6、8、9 等。最小的合数是 4。 （3）1 的特殊性：1 既不是质数也不是合数。 （4）质数和合数的判断方法：：根据因数的个数来判断，只有两个因数的是质数，有三个或三个以上因数的是合数。 （5）质因数：质因数（质因子）是指一个数的因数中属于质数的部分。例如，12的因数有1、2、3、4、6、12，其中2和3是质数，因此2和3是12的质因数。 分解质因数是将一个合数表示为多个质数相乘的形式。 考点精讲 考点一：因数和倍数的概念 如果一个数能被另一个数整除（除数不为 0），比如 a÷b = c（a、b、c 都是不为 0 的自然数） ，那么除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。 例题 1：因为 42÷6 = 7，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 【答案】：42；6；7；6；7；42 【解析】：依据因数和倍数的定义，42 能被 6 整除得到商 7，所以 42 是 6 和 7 的倍数，6 和 7 是 42 的因数。 即时练习 1-1：因为 36÷4 = 9，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 【答案】：36；4；9；4；9；36 【解析】：按照因数和倍数定义，36 能被 4 整除得到 9。 例题 2（判断一个数的因数）：判断 7 是不是 49 的因数？ 解：因为 49÷7 = 7，商是整数且没有余数，所以 7 是 49 的因数。 【答案】：是 【解析】：依据因数判断方法，通过除法运算，49 能被 7 整除，所以 7 是 49 的因数。 即时练习 2-1判断 5 是不是 32 的因数？ 【答案】：不是 【解析】：32÷5 = 6……2，有余数，不符合因数定义，所以 5 不是 32 的因数。 即时练习 2-2：判断下面说法是否正确：12 是 6 的因数。（ ） 【答案】：× 【解析】：因为 6÷12 = 0.5，商不是整数，根据因数定义，12 不是 6 的因数。 例题 3（判断一个数的倍数）：判断 72 是不是 8 的倍数？ 解：因为 72÷8 = 9，商是整数且没有余数，所以 72 是 8 的倍数。 【答案】：是 【解析】：依据倍数判断方法，通过除法运算，72 能被 8 整除，所以 72 是 8 的倍数。 即时练习 3-1：判断 56 是不是 9 的倍数？ 【答案】：不是 【解析】：56÷9 = 6……2，有余数，不满足倍数定义，所以 56 不是 9 的倍数。 即时练习 3-2：判断下面说法是否正确：45 是 5 的倍数。（ ） 【答案】：√ 【解析】：因为 45÷5 = 9，商是整数，符合倍数定义，所以 45 是 5 的倍数。 考点二：找一个数因数的方法 用除法算式找，用这个数分别除以 1、2、3…… ，能除尽的除数和商就是这个数的因数； 用乘法算式找，把这个数写成两个整数相乘的形式，乘数就是这个数的因数。 例题：24 的因数有（ ）。 解：24÷1 = 24，24÷2 = 12，24÷3 = 8，24÷4 = 6；1×24 = 24，2×12 = 24，3×8 = 24，4×6 = 24 ，所以 24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24。 【答案】：1、2、3、4、6、8、12、24 【解析】：通过除法和乘法算式，找出所有能得到 24 的整数组合，这些组合中的数就是 24 的因数。 【总结】：一个数因数的个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身。 即时练习 1：36 的因数有（ ）。 【答案】：1、2、3、4、6、9、12、18、36 【解析】：36÷1 = 36，36÷2 = 18，36÷3 = 12，36÷4 = 9，36÷6 = 6；1×36 = 36，2×18 = 36，3×12 = 36，4×9 = 36，6×6 = 36 ，从而得出 36 的因数。 即时练习 2：一个数最大的因数是 15，这个数的因数有（ ）。 【答案】：1、3、5、15 【解析】：一个数最大因数是它本身，所以这个数是 15，再找出 15 的因数。 考点三： 根据因数的特征解决问题 例题：学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【答案】3种；方法见详解 【解析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 即时练习 1：妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【解析】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 即时练习 2： 端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ 【答案】（1）2种 【解析】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 【解析】（2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 考点四：找一个数倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3…… ，乘得的积就是这个数的倍数。 例题：5 的倍数有（ ）（写 5 个）。 解：5×1 = 5，5×2 = 10，5×3 = 15，5×4 = 20，5×5 = 25 ，所以 5 的倍数有 5、10、15、20、25。 【答案】：5、10、15、20、25 【解析】：根据找倍数的方法，让 5 分别与 1 到 5 相乘得到这 5 个倍数。 【总结】：一个数倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 即时练习 1：8 的倍数有（ ）（写 4 个）。 【答案】：8、16、24、32 【解析】：8×1 = 8，8×2 = 16，8×3 = 24，8×4 = 32 ，得出这 4 个 8 的倍数。 即时练习 2：一个数最小倍数是 12，写出它的 3 个倍数（ ）。 【答案】：12、24、36 【解析】：因为最小倍数是它本身，所以这个数是 12，12×1 = 12，12×2 = 24，12×3 = 36 。 考点五：根据倍数的特征解决问题 例题：五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 【答案】42、49棵 【解析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 即时练习 1：水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【解析】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 即时练习 2：4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【解析】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 考点六：因数和倍数的综合应用 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 例题：小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 即时练习 1：阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】24元 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 【解析】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 即时练习 2： 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【解析】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 考点七：2 的倍数特征 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 例题：下面哪些数是 2 的倍数？ 31、44、57、62、79 解：44 个位是 4，62 个位是 2，所以 44、62 是 2 的倍数。 【答案】：44、62 【解析】：依据 2 的倍数特征，看这些数的个位数字是否符合。 【总结】：判断一个数是否为 2 的倍数，只看个位数字就行。 即时练习 1：判断 53、68、71、86 中哪些是 2 的倍数？ 【答案】：68、86 【解析】：68 个位是 8，86 个位是 6，符合 2 的倍数特征。 即时练习 2：□里填什么数字，7□是 2 的倍数？ 【答案】：0、2、4、6、8 【解析】：要使 7□是 2 的倍数，根据特征，□里可填 0、2、4、6、8。 考点八： 5 的倍数特征 个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。 例题：下面哪些数是 5 的倍数？ 27、35、42、50、63 解：35 个位是 5，50 个位是 0，所以 35、50 是 5 的倍数。 【答案】：35、50 【解析】：按照 5 的倍数特征，观察数的个位判断。 【总结】：判断 5 的倍数，关键就看个位。 即时练习 1：判断 40、54、65、77 中哪些是 5 的倍数？ 【答案】：40、65 【解析】：40 个位是 0，65 个位是 5，符合 5 的倍数特征。 即时练习 2：□里填什么数字，9□是 5 的倍数？ 【答案】：0 或 5 【解析】：依据 5 的倍数特征，□里只能填 0 或 5。 考点九： 同时是 2 和 5 的倍数特征 个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。 例题：下面哪些数同时是 2 和 5 的倍数？ 15、20、38、45、50 解：20、50 个位是 0，所以 20、50 同时是 2 和 5 的倍数。 【答案】：20、50 【解析】：根据同时是 2 和 5 的倍数特征，看个位是否为 0 。 【总结】：判断时，个位为 0 是关键。 即时练习 1：判断 35、40、55、60 中哪些同时是 2 和 5 的倍数？ 【答案】：40、60 【解析】：40 和 60 个位是 0，符合特征。 即时练习 2：一个数同时是 2 和 5 的倍数，这个数最小是（ ）。 【答案】：10 【解析】：个位是 0，最小的数就是 10。 考点十：2、5的倍数特征的实际应用 2 的倍数特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数是 2 的倍数，也叫偶数。比如 24、36、58 等。 5 的倍数特征：个位数字是 0 或 5 的整数是 5 的倍数。像 15、30、45 等。 既是 2 又是 5 的倍数特征：个位数字是 0 的整数，既是 2 的倍数又是 5 的倍数 ，例如 10、20、30 。 例题：学校组织五年级学生参加环保活动，分组时发现，若每组 2 人，则多出 1 人；若每组 5 人，同样多出 1 人。已知五年级学生人数在 40 - 50 人之间，问五年级参加环保活动的学生一共有多少人？ 解：从 2 的倍数特征看，总人数减 1 后个位是 0、2、4、6、8；从 5 的倍数特征看，总人数减 1 后个位是 0 或 5。综合两者，总人数减 1 后个位只能是 0 。在 40 - 50 之间个位是 0 的数是 40，所以总人数是 40 + 1 = 41 人。 【答案】：41 人。 【解析】：通过分别分析 2 和 5 的倍数特征对总人数减 1 后的个位数字的限定，找出同时满足两个条件的数，进而得到总人数。 【总结】：解决这类问题，要分别依据 2 和 5 的倍数特征对所求数量进行分析，找到共同满足的条件来确定答案。 即时练习1：幼儿园老师给小朋友们分糖果，若每 2 颗装一袋，最后剩 1 颗；若每 5 颗装一袋，最后也剩 1 颗。已知糖果总数不到 30 颗，问最多有多少颗糖果？ 【答案】：21 颗。 【解析】：根据 2 的倍数特征，总数减 1 后个位是 0、2、4、6、8；根据 5 的倍数特征，总数减 1 后个位是 0 或 5，所以总数减 1 后个位是 0。小于 30 且个位是 0 的最大数是 20，那么糖果最多有 20 + 1 = 21 颗。 即时练习2：有一堆棋子，5 个 5 个地数，多 4 个；若把这些棋子 2 个 2 个地数，最后会怎样？ 【答案】：多 1 个。 【解析】：5 个 5 个地数多 4 个，说明棋子数个位是 4 或 9。当个位是 4 时，是 2 的倍数余 0，多出来的 4 个再 2 个 2 个分刚好分完，但原本还多 1 个；当个位是 9 时，9 除以 2 余 1 ，所以不管哪种情况，2 个 2 个地数都多 1 个。: 考点十一：3 的倍数特征 一个数各个数位上的数字加起来的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 例题：判断 345 是否是 3 的倍数？ 解：3 + 4 + 5 = 12，12 是 3 的倍数，所以 345 是 3 的倍数。 【答案】：是 【解析】：先把 345 各位数字相加得到和 12，再判断 12 是 3 的倍数，得出 345 是 3 的倍数。 【总结】：通过计算各位数字之和来判断是否为 3 的倍数。 即时练习 1：判断 456 是否是 3 的倍数？ 【答案】：是 【解析】：4 + 5 + 6 = 15，15 是 3 的倍数，所以 456 是 3 的倍数。 即时练习 2：□里填什么数字，5□1 是 3 的倍数？ 【答案】：0、3、6、9 【解析】：5 + 1 = 6，要使 5□1 各位数字之和是 3 的倍数，□可填 0、3、6、9 。 考点十二：3的倍数特征的实际应用 例题1：红色教育润童心，红色基因共传承。五（1）班同学在班主任老师的带领下去参观红色教育基地，为了安全，要把全班同学进行分组。如果6人一组，会剩下3人；如果3人一组，人数会正好吗？ 【答案】会正好 【分析】根据题意可设一共分x组，则全班人数有6x＋3人，变换式子可得6x＋3＝3×（2x＋1），根据3的倍数关系，即可解答。 【解析】设一共分x组，则全班有6x＋3人。 6x＋3＝3×（2x＋1） 全班人数是3的倍数。 所以如果3人一组，人数会正好。 答：人数会正好。 即时练习1：现在有22名学生分组玩游戏，至少再来几名学生就可以正好3人一组？ 【答案】2名 【分析】正好3人一组，就是学生的人数能被3整除。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是2的倍数。2＋2＝4，至少就加上2等于6，这个数就能被3整除。 【解析】22＋2＝24（名） 24是3的倍数 答：至少再来2名学生就可以正好3人一组。 即时练习2：王老师要买一些笔奖励给班里积极上进的同学，每支笔3元，结账时售货员告诉王老师一共付37元，王老师立刻判断不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见解析 【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除，每支笔的价格是3元，即王老师付款的钱数一定是3的倍数，据此解答。 【解析】3＋7＝10 10不是3的倍数，所以37不是3的倍数。 答：37不是3的倍数，所以售货员计算的钱数不对。 考点十三：同时是 2、3、5 的倍数特征 个位上是 0，而且各个数位上数字的和是 3 的倍数 。 例题：下面哪些数同时是 2、3、5 的倍数？ 50、70、90、105 解：90 个位是 0，9 + 0 = 9 是 3 的倍数，所以 90 同时是 2、3、5 的倍数。 【答案】：90 【解析】：先看个位是否为 0，再计算各位数字之和是否为 3 的倍数。 【总结】：要同时满足个位是 0 和各位数字和是 3 的倍数这两个条件。 即时练习 1：判断 120、135、140 中哪些同时是 2、3、5 的倍数？ 【答案】：120 【解析】：120 个位是 0，1 + 2 + 0 = 3 是 3 的倍数，所以 120 符合。 即时练习 2：要使三位数 4□0 同时是 2、3、5 的倍数，□里可以填什么数字？ 【答案】：2、5、8 【解析】：个位是 0 已满足 2 和 5 的倍数特征，4 + 0 = 4，要使各位数字和是 3 的倍数，4 再分别加上 2、5、8 得到 6、9、12，都是 3 的倍数，所以□里可以填 2、5、8。 考点十四：奇数和偶数的定义 整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是 2 的倍数的数叫做奇数。 例题：在 23、30、47、56、69 这几个数中，偶数有（ ），奇数有（ ）。 解：30 和 56 是 2 的倍数，所以是偶数；23、47、69 不是 2 的倍数，所以是奇数。 【答案】：偶数有 30、56；奇数有 23、47、69 【解析】：依据奇数和偶数的定义，判断这些数是否为 2 的倍数，从而区分出奇数和偶数。 【总结】：判断一个整数是奇数还是偶数，依据就是看它是不是 2 的倍数。 即时练习 1：在 19、32、45、58、71 中，偶数有（ ），奇数有（ ）。 【答案】：偶数有 32、58；奇数有 19、45、71 【解析】：32 和 58 是 2 的倍数，所以是偶数；19、45、71 不是 2 的倍数，所以是奇数。 即时练习 2：最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。 【答案】：最小的奇数是 1，最小的偶数是 0 【解析】：根据定义，在整数范围内，1 是最小的不是 2 的倍数的数，0 是最小的 2 的倍数的数。 考点十五：奇数和偶数的运算性质 奇数 + 奇数 = 偶数；偶数 + 偶数 = 偶数；奇数 + 偶数 = 奇数； 奇数 × 奇数 = 奇数；偶数 × 偶数 = 偶数；奇数 × 偶数 = 偶数。 例题：判断下面算式结果的奇偶性：3 + 9，4 + 10，7×9，8×10 。 解：3 和 9 是奇数，3 + 9 = 12，所以 3 + 9 的结果是偶数；4 和 10 是偶数，4 + 10 = 14，所以 4 + 10 的结果是偶数；7 和 9 是奇数，7×9 = 63，所以 7×9 的结果是奇数；8 和 10 是偶数，8×10 = 80，所以 8×10 的结果是偶数。 （也可以直接计算出结果，然后判断奇偶数） 【答案】：3 + 9 结果是偶数；4 + 10 结果是偶数；7×9 结果是奇数；8×10 结果是偶数 【解析】：依据奇数和偶数的运算性质，判断每个算式中数的奇偶性，进而得出结果的奇偶性。 【总结】：牢记运算性质，能快速判断两个数运算结果的奇偶性。 即时练习 1：判断 7 + 8，13×15，12 + 18，17×20 的结果的奇偶性。 【答案】：7 + 8 结果是奇数；13×15 结果是奇数；12 + 18 结果是偶数；17×20 结果是偶数 【解析】：7 是奇数，8 是偶数，所以 7 + 8 是奇数；13 和 15 是奇数，所以 13×15 是奇数；12 和 18 是偶数，所以 12 + 18 是偶数；17 是奇数，20 是偶数，所以 17×20 是偶数。 即时练习 2：两个连续奇数的和是奇数还是偶数？ 【答案】：偶数 【解析】：两个连续奇数，设为2n - 1和2n + 1（n为整数），(2n - 1)+(2n + 1)=4n，4n是 2 的倍数，所以和是偶数 。 考点十六：奇数与偶数的实际应用 偶数：能被2整除的数就叫偶数(俗称双数),习惯用2n表示。 奇数：不能被2整除的数就叫奇数(俗称单数),习惯用2n-1表示。 例题：围棋起源于中国，属琴棋书画四艺之一。一共有361枚棋子，把这些棋子分装在甲、乙两个棋盒里。如果甲盒装的棋子为偶数枚，那么乙盒装的棋子是偶数枚还是奇数枚？如果甲盒装的棋子为奇数枚呢？请说明理由。 【答案】见解析 【分析】根据奇偶数的运算性质：奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数；解答即可。 【解析】由分析可得：361是奇数，放进两个棋和就是将361分成两部分，即分成两个数。 如果一个数是偶数，那么另一个数一定是奇数； 如果一个数是奇数，那么另一个数一定是偶数。 答：如果甲盒装的棋子数为偶数，那么乙盒装的棋子数是奇数，如果甲盒装的棋子数为奇数那么乙盒装的棋子数是偶数。 即时练习1：有2020个烟花，如果每次燃放奇数个，想在15次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？ 【答案】不能；见解析 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。 【解析】每次燃放烟花的个数×燃放次数＝烟花的总数 已知每次燃放烟花的个数是奇数，燃放15次也是奇数，根据奇数×奇数＝奇数，可知烟花总数应是奇数，而2020是偶数，所以不能做到15次后恰好全部放完。 即时练习2：6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。    【答案】不对；理由见解析（理由合理即可）。 【分析】康乃馨每枝8元，郁金香每枝4元，8和4都是偶数。因为偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以买康乃馨的钱数是偶数，买郁金香的钱数也是偶数。又因为偶数＋偶数＝偶数，所以买康乃馨和郁金香的总钱数是偶数。根据奇数、偶数的运算性质解答即可。 【解析】售货员说的不对。 理由：8和4都是偶数，偶数的倍数一定是偶数，所以无论各买几枝康乃馨和郁金香，积都是偶数；两个偶数积相加还是偶数，不可能出现奇数，而63是奇数，所以售货员说的不对。（理由合理即可） :即时练习3：周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 【答案】不对，理由见解析 【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【解析】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 考点十七：质数与合数 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 例题1：下面哪些数是质数？ 2、5、9、13、19 解：2 的因数只有 1 和 2；5 的因数只有 1 和 5；13 的因数只有 1 和 13；19 的因数只有 1 和 19，所以 2、5、13、19 是质数；9 的因数有 1、3、9，所以 9 不是质数。 【答案】：2、5、13、19 【解析】：根据质数的定义，判断每个数因数的个数和具体因数，只有 1 和它本身两个因数的数才是质数。 【总结】：判断一个数是否为质数，关键看因数个数和具体因数。 例题2：下面哪些数是合数？ 6、9、10、17、19 解：6 的因数有 1、2、3、6；9 的因数有 1、3、9；10 的因数有 1、2、5、10，所以 6、9、10 是合数；17 的因数只有 1 和 17；19 的因数只有 1 和 19，所以 17 和 19 不是合数。 【答案】：6、9、10 【解析】：依据合数的定义，判断每个数因数情况，除了 1 和它本身还有其他因数的数就是合数。 【总结】：与质数相对，合数的因数个数大于 2 个。 即时练习 1：判断 3、8、11、16、29 中哪些是质数？ 【答案】：3、11、29 【解析】：3 的因数只有 1 和 3；11 的因数只有 1 和 11；29 的因数只有 1 和 29，所以 3、11、29 是质数；8 的因数有 1、2、4、8；16 的因数有 1、2、4、8、16，所以 8 和 16 不是质数。 即时练习 2：判断 7、12、14、19、21 中哪些是合数？ 【答案】：12、14、21 【解析】：12 的因数有 1、2、3、4、6、12；14 的因数有 1、2、7、14；21 的因数有 1、3、7、21，所以 12、14、21 是合数；7 的因数只有 1 和 7；19 的因数只有 1 和 19，所以 7 和 19 不是合数。 即时练习 3：最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。 【答案】：2 ， 4 【解析】：2 是满足质数定义且最小的数。4 是满足合数定义且最小的数。 考点十八： 1 的特殊性 1 既不是质数，也不是合数。因为 1 只有 1 个因数，不符合质数有 2 个因数的定义，也不符合合数有多于 2 个因数的定义。 例题：在 1、3、5、7、9 中，既不是质数也不是合数的是（ ）。 【答案】：1 【解析】：3、5、7 是质数，9 是合数，1 不符合质数与合数定义，所以是 1。 【总结】：1 是一个特殊的数，在讨论质数与合数时要单独考虑。 即时练习 ：最小的自然数，最小的质数，最小的合数，既不是质数也不是合数的数，它们的积是（ ）。 【答案】：0 【解析】：最小自然数是 0，最小质数是 2，最小合数是 4，既不是质数也不是合数的数是 1，0×2×4×1 = 0。 考点十九：分解质因数 1.相乘法（适合简单数）：直接写出质数相乘的形式，适用于较小的数。 2.短除法（最常用）步骤： （1）选择最小质数：从最小的质数2开始试除。 （2）逐步试除：若能被当前质数整除，则记录该质数，并用商继续重复步骤。 若不能整除，则换下一个质数（3、5、7…）。 （3）终止条件：当商为质数时停止，最终将所有质因数按从小到大的顺序排列。 例题：把40分解质因数是( )。 【答案】40＝2×2×2×5 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，就是分解质因数，据此解答。 【解析】由分析可知： 40分解质因数是：40＝2×2×2×5 【点评】本题主要考查分解质因数的方法，熟练掌握它的方法并灵活运用。 即时练习1．把下面各数的分解质因数． 49        57         91          96 【答案】49=7×7； 57=3×19； 91=7×13； 96=2×2×2×2×2×3； 即时练习2．把下面的数分解质因数。（从上到下，从左到右填写） 【答案】15；3；5或 15；5；3 【分析】分解质因数时先从最小的质数2开始试除，直到除得的结果是质数为止，这些质数都是这个数的质因数，据此求解。 【解析】45＝3×15＝3×3×5； 故答案为：15；3；5 或 15；5；3 即时练习3．在3、4、5和60中( )和( )都是( )的质因数。 【答案】 3 5 60 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，用短除法把60分解质因数，据此解答。 【解析】 则60＝2×2×3×5，所以在3、4、5和60中3和5都是60的质因数。 考点二十： 质数的相关拆分与组合 例题：在括号里填上合适的质数。 15＝( )＋( ) 110＝( )×( )×( ) 【答案】 2 13 2 5 11 【分析】（1）明确质数是指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。因为15是一个奇数，两个数相加为奇数时，必然是一个奇数加一个偶数。而既是质数又是偶数的数只有2，所以先尝试15＝2＋（），则15－2＝13，13也是一个质数，据此解答。 （2）用短除法先找出110的因数，因数有2、5、11，110＝2×5×11，2、5、11都是质数，据此解答。 【解析】（1）15－2＝13。13为质数，所以15＝2＋13； （2），2、5、11都是质数，所以110＝2×5×11 即时练习1：请在括号里填上不同的质数。 26＝( )＋( )        56＝( )＋( )         32＝( )＋( )        55＝( )＋( ) 【答案】 3 23 3 53 3 29 2 53 【分析】56以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53，据此找出合适的两个质数进行解答即可。 【解析】26（答案不唯一）；（答案不唯一） （答案不唯一）； 即时练习2：在括号里填上不同的质数。 17＝( )＋( )＋( )＋( )； 28＝( )＋( )＝( )＋( )。 【答案】 2 3 5 7 11 17 23 5 【分析】因数只有1和本身的数，是质数。 17以内的质数有：2、3、5、7、11、13，其中只有2＋3＋5＋7＝17； 28以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23，通过尝试发现11＋17＝28，5＋23＝28，据此填空。 【解析】在括号里填上不同的质数。 17＝2＋3＋5＋7； 28＝11＋17＝23＋5。 即时练习3：在括号里填上合适的质数。 30＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )×( )×( ) 【答案】 13 17 11 19 2 3 5 【分析】因数只有1和本身的数是质数，据此先找出30以内的所有质数，再通过尝试找出其中相加能等于30的两个质数，并找出有几组这样的质数。同时将30分解质因数，即可填空。 【解析】30以内的所有质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中7＋23＝30，11＋19＝30，13＋17＝30； 将30分解质因数，30＝2×3×5； 那么30＝13＋17＝11＋19＝2×3×5。 （或者30＝7＋23＝11＋19＝2×3×5，30＝7＋23＝13＋17＝2×3×5。） 考点二十一： 质数和合数的实际应用 例题：要把18块饼干分成两份，并且每份的个数都是质数，这两份饼干可能各是多少块？ 【答案】5块，13块或7块，11块 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数。18以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17，据此解答。 【解析】7＋11＝18（块） 5＋13＝18（块） 答：这两份饼干可能是5块和13块，也可能是7块和11块。 即时练习：用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 【答案】99平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式，可得长＋宽＝40÷2＝20厘米，再根据质数和合数的定义，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。找出符合要求的质数和合数，最后利用长方形的面积公式即可得解。 【解析】40÷2＝20（厘米） 长和宽的米数是由一个质数和一个合数组成的。 20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 2×18＝36（平方厘米） 5×15＝75（平方厘米） 9×11＝99（平方厘米） 36＜75＜99 答：它的面积最大是99平方厘米。 考点二十二：因数和倍数、质数和合数的综合应用 例题：平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【答案】4210958 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【解析】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 即时练习1：妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【解析】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 即时练习2：猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 【答案】2304809或2314809 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；0和1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【解析】最小的质数的质数是2，因数只有1和3的数是3，既不是合数也不是质数是0或1，最小的合数是4，最大的因数是8的数是8，最小的自然数0，既是奇数又是合数的数是9。 所以小红家的电话号码是2304809或2314809。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$