（十一大易错点+六大培优点）第二单元 因数和倍数-五年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第二单元 因数和倍数 思维导图 易错讲解 易错点1：因数和倍数的依存关系误解 因为 20÷4＝5，所以 20 是倍数，4 和 5 是因数，这种说法对吗？ 【错误解答】：对。 【错因分析】：因数和倍数相互依存，不能孤立表述，应说 20 是 4 和 5 的倍数，4 和 5 是 20 的因数。 【正确解答】：不对。 易错点2：找因数时遗漏成对关系 写出 16 的所有因数。 【错误解答】：1、2、4、8。 【错因分析】：遗漏了 16 本身，同时忽略了 16＝2×8，16＝4×4 这两组因数关系。 【正确解答】：1、2、4、8、16。 易错点3：在因数倍数问题中忽略特殊数 0 和 1 判断 “1 是所有非零自然数的因数，0 是所有非零自然数的倍数” 是否正确。 【错误解答】：正确。 【错因分析】：在研究因数和倍数时，一般不考虑 0，虽然 0 除以任何非零自然数都得 0，但为了方便，在小学阶段讨论因数和倍数时不包括 0。1 是所有非零自然数的因数，因为任何非零自然数除以 1 都等于它本身。前半句正确，后半句错误。 【正确解答】：错误。 易错点4：依据个位数字错误判断 3 的倍数 判断一个数是否为 3 的倍数，要看各个数位上数字之和是否为 3 的倍数，而非仅看个位。 判断：个位上是 3、6、9 的数都是 3 的倍数。（ ） 【错误解答】：√ 【错因分析】：没有掌握判断 3 的倍数的正确方法。 【正确解答】：×，例如 13、16、19 都不是 3 的倍数。 易错点5对奇数和偶数的运算性质理解不透彻 判断 “奇数 + 奇数 = 奇数，偶数 + 偶数 = 偶数” 是否正确。 【错误解答】：正确。 【错因分析】：没有记住奇数和偶数的运算性质，奇数 + 奇数 = 偶数，例如 3 + 5 = 8 是偶数；偶数 + 偶数 = 偶数，例如 2 + 4 = 6 是偶数。前半句错误，后半句正确。 【正确解答】：错误。 易错点6：倍数与因数大小关系的深度判断错误 一个数的因数一定小于它的倍数，对吗？ 【错误解答】：对。 【错因分析】：忽略了一个数的最小倍数和最大因数都是它本身，所以一个数的因数不一定小于它的倍数。 【正确解答】：不对。 易错点7：分解质因数的基本形式错误 把 24 分解质因数。 【错误解答】：24＝1×2×2×2×3。 【错因分析】：1 不是质数，分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式。 【正确解答】：24＝2×2×2×3。 易错点8：多个数倍数问题中余数的简单忽略 幼儿园老师给小朋友分苹果，每人分 3 个、4 个或 5 个都多 1 个，这些苹果至少有多少个？ 【错误解答】：3×4×5＝60 个。 【错因分析】：没有考虑到都多 1 个这个条件。 【正确解答】：3×4×5＋1＝61 个。 易错点9：认为偶数都不是质数 2 是唯一的偶质数，不能一概而论地认为偶数都不是质数。 判断：所有的偶数都不是质数。（ ） 【错误解答】：√ 【错因分析】：忽略了 2 这个特殊的偶数，它是质数。 【正确解答】：× ，2 是偶数也是质数。 易错点10：利用倍数关系解决复杂问题的错误 已知甲数和乙数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，甲数是 12，乙数是多少？ 【错误解答】：18 或 72（随意猜测）。 【错因分析】：没有利用最大公因数和最小公倍数与两数的关系来计算，两数积等于它们的最大公因数和最小公倍数的积。 【正确解答】：6×36÷12＝18。 易错点11：因数和倍数在复杂实际问题中的理解偏差 用长 12 厘米、宽 9 厘米的长方形纸片拼成一个大正方形，大正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少张这样的纸片？ 【错误解答】：边长最小是 12 厘米，需要 3 张纸片（错误理解为以长方形长为边长）。 【错因分析】：没有理解这是求 12 和 9 的最小公倍数作为正方形边长，再计算纸片数量。 【正确解答】：12 和 9 的最小公倍数是 36，所以正方形边长最小是 36 厘米；(36÷12)×(36÷9)＝12 张，至少需要 12 张长方形纸片。 重难点培优 2、3、5 的倍数特征综合问题 2 的倍数特征是个位是 0、2、4、6、8；3 的倍数特征是各个数位数字之和是 3 的倍数；5 的倍数特征是个位是 0 或 5 。掌握这些特征能快速判断倍数关系，解决数字组合等问题。 例题：在 624 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 3、4、5 的倍数，符合条件的六位数中，最小的一个数是多少？ 【答案】：624000 【解析】：是 5 的倍数个位是 0 或 5，是 4 的倍数末两位是 4 的倍数，所以个位是 0；6 + 2 + 4 = 12 是 3 的倍数，百位和十位最小是 0，所以这个数是 624000。 【总结】：根据 2、3、5 倍数特征逐步分析，先确定个位，再结合其他条件确定其他数位。 1：要使三位数 26□是 3 的倍数，□里可以填什么？要使这个数同时是 2、5 的倍数，□里可以填什么？ 【答案】：是 3 的倍数□里可填 1、4、7；同时是 2、5 的倍数□里填 0。 【解析】：2 + 6 = 8，8 + 1 = 9，8 + 4 = 12，8 + 7 = 15 是 3 的倍数；同时是 2、5 的倍数个位是 0。 2：从 0、4、5、7 四个数中选出三个，排成能同时是 2，3，5 的倍数的三位数，这样的三位数一共有几个？ 【答案】：4 个 【解析】：个位是 0，且数字和是 3 的倍数。可组成 450、540、570、750。 因数倍数的综合应用 综合运用因数和倍数的知识，解决生活实际问题和较复杂的数学问题，提升知识运用和解决问题的能力。 例题：一个数加 3 是 5 的倍数，减去 3 是 6 的倍数，这个数最小是多少？ 【答案】：27 【解析】：设这个数为 x，x + 3 = 5m（m 为整数），x - 3 = 6n（n 为整数），则 5m - 6n = 6 。通过列举，当 m = 6，n = 4 时成立，此时 x = 5×6 - 3 = 27 。 【总结】：通过设未知数，根据条件建立等式，利用列举法求解。 1：有 55 个橘子分给甲、乙、丙三人，甲得到的橘子数是乙的 2 倍，且甲、乙得到的橘子数都比丙多，丙得到的橘子数比 10 多，则甲、乙、丙三人各得多少个橘子？ 【答案】：甲 28 个，乙 14 个，丙 13 个 【解析】：设乙得到 x 个橘子，甲得到 2x 个，丙得到 y 个，2x + x + y = 55，3x + y = 55 ，y＞10 ，且 2x＞y ，x＞y 。通过列举，当 x = 14 时，y = 13，2x = 28 符合条件。 2：面包师要把 28 块面包用袋子进行包装，每袋面包的数量相等（袋数大于 1，但小于 28），一共有几种包装方法？ 【答案】：4 种 【解析】：28 的因数有 1、2、4、7、14、28 ，因为袋数大于 1 小于 28，所以可以每袋 2 个装 14 袋，每袋 4 个装 7 袋，每袋 7 个装 4 袋，每袋 14 个装 2 袋，共 4 种方法。 因数倍数在数字规律探索中的应用 例题：观察数列 1，4，9，16，25，…，它的第 12 项是多少？第 n 项是多少？如果一个数是 144，它是这个数列的第几项？ 【答案】：第 12 项是 144；第 n 项是 n×n ；144 是这个数列的第 12 项。 【解析】：通过观察可发现该数列的规律是每一项都是项数乘项数，也就是第 n 项为 n×n 。所以第 12 项就是 12×12 = 144；当这个数是 144 时，就想几乘几等于 144，因为 12×12 = 144，所以 144 是第 12 项。 【总结】：做这类找规律题目，重点是分析数字之间的关系，找到通用的算法。要是知道一个数，想求它在数列里是第几项，就通过计算找到符合规律的那个数。平时要多熟悉常见的数列规律，比如平方数列这种。 1：有一列数：2，6，12，20，30，…，按此规律，第 10 个数是多少？第 n 个数如何表示？ 【答案】：第 10 个数是 110；第 n 个数是 n×(n + 1)。 【解析】：观察这列数，2 = 1×2 ，6 = 2×3 ，12 = 3×4 ，20 = 4×5 ，30 = 5×6 ，可以发现规律是第 n 个数为 n 乘比 n 大 1 的数，也就是 n×(n + 1) 。那么第 10 个数就是 10×(10 + 1)=110 。 2：观察下面的数字：3，8，15，24，35，…，求第 8 个数以及该数列的规律。 【答案】：第 8 个数是 80；规律是第 n 个数为 (n + 1)×(n + 1) - 1 。 【解析】：分析这个数列，3 = 2×2 - 1 ，8 = 3×3 - 1 ，15 = 4×4 - 1 ，24 = 5×5 - 1 ，35 = 6×6 - 1 ，所以规律是第 n 个数为比 n 大 1 的数乘比 n 大 1 的数再减 1 ，也就是 (n + 1)×(n + 1) - 1 。当 n = 8 时，(8 + 1)×(8 + 1) - 1 = 81 - 1 = 80 。 质数合数的应用 质数是只有 1 和它本身两个因数的自然数，合数是除了 1 和它本身还有其他因数的自然数。掌握质数合数的判断方法以及在实际问题中的应用，能加深对自然数性质的理解。 例题：三个不同的质数的和是 18，这三个质数的乘积的最大值是多少？ 【答案】三个质数为 2、7、9 ，乘积最大值为 2×7×9 = 126。 【解析】质数中除了 2 是偶数，其余都是奇数。三个奇数的和是奇数，而 18 是偶数，所以这三个质数中必有一个是 2 ，那么另外两个质数的和为 18 - 2 = 16。从质数中找和为 16 的两个数，有 3 和 13、5 和 11 ，分别计算乘积：2×3×13 = 78 ，2×5×11 = 110 ，比较可得 2×5×11 的乘积最大。 【总结】该题主要考查对质数性质中奇偶性的运用，通过和的奇偶性确定其中一个质数，再找出其他满足条件的质数计算乘积。 1：如果 a、b 均为质数，且 3a＋7b＝41，则 a＋b＝______。 【答案】a + b = 7。 【解析】因为 41 是奇数，3a 和 7b 中必有一个是偶数。若 3a 是偶数，因为 3 是奇数，所以 a 只能是 2，此时 3×2 + 7b = 41，即 7b = 41 - 6 = 35，b = 5；若 7b 是偶数，因为 7 是奇数，所以 b 只能是 2，此时 3a + 7×2 = 41，3a = 41 - 14 = 27，a = 9，但 9 不是质数舍去。所以 a = 2，b = 5 ，a + b = 7。 2：甲数比乙数大 5，乙数比丙数大 5，三个数的乘积是 6384，求这三个数。 【答案】这三个数分别是 14、19、24。 【解析】设丙数为 x，则乙数为 x + 5，甲数为 x + 5 + 5 = x +10 ，那么 (x)(x + 5)(x + 10) = 6384。先将 6384 分解质因数，6384 = 2×2×2×2×3×7×19，通过凑数和尝试，可得 x = 14，进而得到乙数为 19，甲数为 24。 3：今有 17、23、31、41、53、67、79、83、101、103 共 10 个质数。如果把它们分成两组，使每一组 5 个数，并且每组的 5 个数之和相等，那么把含有 101 的这组数从小到大排列，第 2 个数是多少？ 【答案】含有 101 这组数从小到大排列第 2 个数是 31。 【解析】先计算这 10 个质数的总和为 17 + 23 + 31 + 41 + 53 + 67 + 79 + 83 + 101 + 103 = 598，那么每组数的和为 598÷2 = 299。从 10 个数中凑出和为 299 的一组数，经过多次尝试和组合，含有 101 的一组数为 17、31、67、83、101 ，从小到大排列后第 2 个数是 31。 分解质因数 例题：牛小顿去看电影，他买的票的排数与座位数的积是 391，而且排数比座位数大 6，牛小顿买的电影票是几排几座？ 【答案】23 排 17 座。 【解析】先对 391 分解质因数，，又因为排数比座位数大 6，23 - 17 = 6，所以排数是 23，座位数是 17。 【总结】通过分解质因数找到满足题目数量关系的两个数，关键在于准确分解质因数并结合条件判断。 1：三个连续的自然数相乘的结果是 1716，那么这三个自然数的和是多少？ 【答案】33。 【解析】对 1716 分解质因数，，这三个连续自然数是 11、12、13，它们的和为。 2：把 462 名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在 12 到 20 人之间，求每组人数及分成的组数。 【答案】每组 14 人，分成 33 组。 【解析】对 462 分解质因数，，在 12 到 20 之间的因数是 14，所以每组 14 人，组数为组。 奇数偶数和质数合数的综合应用 例题：一个两位数，是一个质数。个位数字与十位数字的积是18，这个两位数是多少？ 【答案】29 【解析】首先对18分解因数，，由此得到可能组成的两位数为29、92、36、63。然后根据质数的定义，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。92能被2整除，；36能被2整除， ，能被3整除， ，能被4整除， ，能被6整除， ，能被9整除，；63能被3整除， ，能被7整除， ，能被9整除，，所以92、36、63都不是质数。只有29除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，是质数。 【总结】解决此类问题，先根据条件找出所有可能的数字组合，再依据质数的定义进行筛选。要熟练掌握因数分解以及质数的概念，通过列举和排除的方法得出正确答案。 1.一个四位数，它千位上的数字既是偶数又是质数，百位上的数字既是奇数又是合数，十位上的数字既不是质数也不是合数，个位上的数字是最小的合数，这个四位数是多少？ 【答案】2914 【解析】既是偶数又是质数的数只有2，所以千位数字是2；既是奇数又是合数的一位数是9，所以百位数字是9；既不是质数也不是合数的数是1，所以十位数字是1；最小的合数是4，所以个位数字是4 ，按照数位顺序组合起来这个四位数就是2914。 2.有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，这两个质数分别是多少？ 【答案】2和83 【解析】小于100的17的倍数有17、34、51、68、85 。因为两个数的和是奇数，根据奇数 + 偶数 = 奇数，所以这两个质数一定是一个奇数一个偶数，而在所有质数中，只有2是偶数，所以其中一个质数是2。分别用这些倍数减去2，看结果是否为质数，，15不是质数，；，32不是质数，；，49不是质数，；，66不是质数，；，83是质数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。所以这两个质数是2和83。 【总结】本题综合考查质数、奇数、倍数的知识。解题的关键在于利用奇数与偶数的运算性质确定其中一个质数是2，再通过逐一计算和判断质数的定义来找出另一个质数。需要对相关概念灵活运用，并且有耐心地进行计算和筛选。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第二单元 因数和倍数 思维导图 易错讲解 易错点1：因数和倍数的依存关系误解 因为 20÷4＝5，所以 20 是倍数，4 和 5 是因数，这种说法对吗？ 【错误解答】：对。 【错因分析】：因数和倍数相互依存，不能孤立表述，应说 20 是 4 和 5 的倍数，4 和 5 是 20 的因数。 【正确解答】：不对。 易错点2：找因数时遗漏成对关系 写出 16 的所有因数。 【错误解答】：1、2、4、8。 【错因分析】：遗漏了 16 本身，同时忽略了 16＝2×8，16＝4×4 这两组因数关系。 【正确解答】：1、2、4、8、16。 易错点3：在因数倍数问题中忽略特殊数 0 和 1 判断 “1 是所有非零自然数的因数，0 是所有非零自然数的倍数” 是否正确。 【错误解答】：正确。 【错因分析】：在研究因数和倍数时，一般不考虑 0，虽然 0 除以任何非零自然数都得 0，但为了方便，在小学阶段讨论因数和倍数时不包括 0。1 是所有非零自然数的因数，因为任何非零自然数除以 1 都等于它本身。前半句正确，后半句错误。 【正确解答】：错误。 易错点4：依据个位数字错误判断 3 的倍数 判断一个数是否为 3 的倍数，要看各个数位上数字之和是否为 3 的倍数，而非仅看个位。 判断：个位上是 3、6、9 的数都是 3 的倍数。（ ） 【错误解答】：√ 【错因分析】：没有掌握判断 3 的倍数的正确方法。 【正确解答】：×，例如 13、16、19 都不是 3 的倍数。 易错点5对奇数和偶数的运算性质理解不透彻 判断 “奇数 + 奇数 = 奇数，偶数 + 偶数 = 偶数” 是否正确。 【错误解答】：正确。 【错因分析】：没有记住奇数和偶数的运算性质，奇数 + 奇数 = 偶数，例如 3 + 5 = 8 是偶数；偶数 + 偶数 = 偶数，例如 2 + 4 = 6 是偶数。前半句错误，后半句正确。 【正确解答】：错误。 易错点6：倍数与因数大小关系的深度判断错误 一个数的因数一定小于它的倍数，对吗？ 【错误解答】：对。 【错因分析】：忽略了一个数的最小倍数和最大因数都是它本身，所以一个数的因数不一定小于它的倍数。 【正确解答】：不对。 易错点7：分解质因数的基本形式错误 把 24 分解质因数。 【错误解答】：24＝1×2×2×2×3。 【错因分析】：1 不是质数，分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式。 【正确解答】：24＝2×2×2×3。 易错点8：多个数倍数问题中余数的简单忽略 幼儿园老师给小朋友分苹果，每人分 3 个、4 个或 5 个都多 1 个，这些苹果至少有多少个？ 【错误解答】：3×4×5＝60 个。 【错因分析】：没有考虑到都多 1 个这个条件。 【正确解答】：3×4×5＋1＝61 个。 易错点9：认为偶数都不是质数 2 是唯一的偶质数，不能一概而论地认为偶数都不是质数。 判断：所有的偶数都不是质数。（ ） 【错误解答】：√ 【错因分析】：忽略了 2 这个特殊的偶数，它是质数。 【正确解答】：× ，2 是偶数也是质数。 易错点10：利用倍数关系解决复杂问题的错误 已知甲数和乙数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，甲数是 12，乙数是多少？ 【错误解答】：18 或 72（随意猜测）。 【错因分析】：没有利用最大公因数和最小公倍数与两数的关系来计算，两数积等于它们的最大公因数和最小公倍数的积。 【正确解答】：6×36÷12＝18。 易错点11：因数和倍数在复杂实际问题中的理解偏差 用长 12 厘米、宽 9 厘米的长方形纸片拼成一个大正方形，大正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少张这样的纸片？ 【错误解答】：边长最小是 12 厘米，需要 3 张纸片（错误理解为以长方形长为边长）。 【错因分析】：没有理解这是求 12 和 9 的最小公倍数作为正方形边长，再计算纸片数量。 【正确解答】：12 和 9 的最小公倍数是 36，所以正方形边长最小是 36 厘米；(36÷12)×(36÷9)＝12 张，至少需要 12 张长方形纸片。 重难点培优 2、3、5 的倍数特征综合问题 2 的倍数特征是个位是 0、2、4、6、8；3 的倍数特征是各个数位数字之和是 3 的倍数；5 的倍数特征是个位是 0 或 5 。掌握这些特征能快速判断倍数关系，解决数字组合等问题。 例题：在 624 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 3、4、5 的倍数，符合条件的六位数中，最小的一个数是多少？ 【答案】：624000 【解析】：是 5 的倍数个位是 0 或 5，是 4 的倍数末两位是 4 的倍数，所以个位是 0；6 + 2 + 4 = 12 是 3 的倍数，百位和十位最小是 0，所以这个数是 624000。 【总结】：根据 2、3、5 倍数特征逐步分析，先确定个位，再结合其他条件确定其他数位。 1：要使三位数 26□是 3 的倍数，□里可以填什么？要使这个数同时是 2、5 的倍数，□里可以填什么？ 【答案】：是 3 的倍数□里可填 1、4、7；同时是 2、5 的倍数□里填 0。 【解析】：2 + 6 = 8，8 + 1 = 9，8 + 4 = 12，8 + 7 = 15 是 3 的倍数；同时是 2、5 的倍数个位是 0。 2：从 0、4、5、7 四个数中选出三个，排成能同时是 2，3，5 的倍数的三位数，这样的三位数一共有几个？ 【答案】：4 个 【解析】：个位是 0，且数字和是 3 的倍数。可组成 450、540、570、750。 因数倍数的综合应用 综合运用因数和倍数的知识，解决生活实际问题和较复杂的数学问题，提升知识运用和解决问题的能力。 例题：一个数加 3 是 5 的倍数，减去 3 是 6 的倍数，这个数最小是多少？ 【答案】：27 【解析】：设这个数为 x，x + 3 = 5m（m 为整数），x - 3 = 6n（n 为整数），则 5m - 6n = 6 。通过列举，当 m = 6，n = 4 时成立，此时 x = 5×6 - 3 = 27 。 【总结】：通过设未知数，根据条件建立等式，利用列举法求解。 1：有 55 个橘子分给甲、乙、丙三人，甲得到的橘子数是乙的 2 倍，且甲、乙得到的橘子数都比丙多，丙得到的橘子数比 10 多，则甲、乙、丙三人各得多少个橘子？ 【答案】：甲 28 个，乙 14 个，丙 13 个 【解析】：设乙得到 x 个橘子，甲得到 2x 个，丙得到 y 个，2x + x + y = 55，3x + y = 55 ，y＞10 ，且 2x＞y ，x＞y 。通过列举，当 x = 14 时，y = 13，2x = 28 符合条件。 2：面包师要把 28 块面包用袋子进行包装，每袋面包的数量相等（袋数大于 1，但小于 28），一共有几种包装方法？ 【答案】：4 种 【解析】：28 的因数有 1、2、4、7、14、28 ，因为袋数大于 1 小于 28，所以可以每袋 2 个装 14 袋，每袋 4 个装 7 袋，每袋 7 个装 4 袋，每袋 14 个装 2 袋，共 4 种方法。 因数倍数在数字规律探索中的应用 例题：观察数列 1，4，9，16，25，…，它的第 12 项是多少？第 n 项是多少？如果一个数是 144，它是这个数列的第几项？ 【答案】：第 12 项是 144；第 n 项是 n×n ；144 是这个数列的第 12 项。 【解析】：通过观察可发现该数列的规律是每一项都是项数乘项数，也就是第 n 项为 n×n 。所以第 12 项就是 12×12 = 144；当这个数是 144 时，就想几乘几等于 144，因为 12×12 = 144，所以 144 是第 12 项。 【总结】：做这类找规律题目，重点是分析数字之间的关系，找到通用的算法。要是知道一个数，想求它在数列里是第几项，就通过计算找到符合规律的那个数。平时要多熟悉常见的数列规律，比如平方数列这种。 1：有一列数：2，6，12，20，30，…，按此规律，第 10 个数是多少？第 n 个数如何表示？ 【答案】：第 10 个数是 110；第 n 个数是 n×(n + 1)。 【解析】：观察这列数，2 = 1×2 ，6 = 2×3 ，12 = 3×4 ，20 = 4×5 ，30 = 5×6 ，可以发现规律是第 n 个数为 n 乘比 n 大 1 的数，也就是 n×(n + 1) 。那么第 10 个数就是 10×(10 + 1)=110 。 2：观察下面的数字：3，8，15，24，35，…，求第 8 个数以及该数列的规律。 【答案】：第 8 个数是 80；规律是第 n 个数为 (n + 1)×(n + 1) - 1 。 【解析】：分析这个数列，3 = 2×2 - 1 ，8 = 3×3 - 1 ，15 = 4×4 - 1 ，24 = 5×5 - 1 ，35 = 6×6 - 1 ，所以规律是第 n 个数为比 n 大 1 的数乘比 n 大 1 的数再减 1 ，也就是 (n + 1)×(n + 1) - 1 。当 n = 8 时，(8 + 1)×(8 + 1) - 1 = 81 - 1 = 80 。 质数合数的应用 质数是只有 1 和它本身两个因数的自然数，合数是除了 1 和它本身还有其他因数的自然数。掌握质数合数的判断方法以及在实际问题中的应用，能加深对自然数性质的理解。 例题：三个不同的质数的和是 18，这三个质数的乘积的最大值是多少？ 【答案】三个质数为 2、7、9 ，乘积最大值为 2×7×9 = 126。 【解析】质数中除了 2 是偶数，其余都是奇数。三个奇数的和是奇数，而 18 是偶数，所以这三个质数中必有一个是 2 ，那么另外两个质数的和为 18 - 2 = 16。从质数中找和为 16 的两个数，有 3 和 13、5 和 11 ，分别计算乘积：2×3×13 = 78 ，2×5×11 = 110 ，比较可得 2×5×11 的乘积最大。 【总结】该题主要考查对质数性质中奇偶性的运用，通过和的奇偶性确定其中一个质数，再找出其他满足条件的质数计算乘积。 1：如果 a、b 均为质数，且 3a＋7b＝41，则 a＋b＝______。 【答案】a + b = 7。 【解析】因为 41 是奇数，3a 和 7b 中必有一个是偶数。若 3a 是偶数，因为 3 是奇数，所以 a 只能是 2，此时 3×2 + 7b = 41，即 7b = 41 - 6 = 35，b = 5；若 7b 是偶数，因为 7 是奇数，所以 b 只能是 2，此时 3a + 7×2 = 41，3a = 41 - 14 = 27，a = 9，但 9 不是质数舍去。所以 a = 2，b = 5 ，a + b = 7。 2：甲数比乙数大 5，乙数比丙数大 5，三个数的乘积是 6384，求这三个数。 【答案】这三个数分别是 14、19、24。 【解析】设丙数为 x，则乙数为 x + 5，甲数为 x + 5 + 5 = x +10 ，那么 (x)(x + 5)(x + 10) = 6384。先将 6384 分解质因数，6384 = 2×2×2×2×3×7×19，通过凑数和尝试，可得 x = 14，进而得到乙数为 19，甲数为 24。 3：今有 17、23、31、41、53、67、79、83、101、103 共 10 个质数。如果把它们分成两组，使每一组 5 个数，并且每组的 5 个数之和相等，那么把含有 101 的这组数从小到大排列，第 2 个数是多少？ 【答案】含有 101 这组数从小到大排列第 2 个数是 31。 【解析】先计算这 10 个质数的总和为 17 + 23 + 31 + 41 + 53 + 67 + 79 + 83 + 101 + 103 = 598，那么每组数的和为 598÷2 = 299。从 10 个数中凑出和为 299 的一组数，经过多次尝试和组合，含有 101 的一组数为 17、31、67、83、101 ，从小到大排列后第 2 个数是 31。 分解质因数 例题：牛小顿去看电影，他买的票的排数与座位数的积是 391，而且排数比座位数大 6，牛小顿买的电影票是几排几座？ 【答案】23 排 17 座。 【解析】先对 391 分解质因数，，又因为排数比座位数大 6，23 - 17 = 6，所以排数是 23，座位数是 17。 【总结】通过分解质因数找到满足题目数量关系的两个数，关键在于准确分解质因数并结合条件判断。 1：三个连续的自然数相乘的结果是 1716，那么这三个自然数的和是多少？ 【答案】33。 【解析】对 1716 分解质因数，，这三个连续自然数是 11、12、13，它们的和为。 2：把 462 名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在 12 到 20 人之间，求每组人数及分成的组数。 【答案】每组 14 人，分成 33 组。 【解析】对 462 分解质因数，，在 12 到 20 之间的因数是 14，所以每组 14 人，组数为组。 奇数偶数和质数合数的综合应用 例题：一个两位数，是一个质数。个位数字与十位数字的积是18，这个两位数是多少？ 【答案】29 【解析】首先对18分解因数，，由此得到可能组成的两位数为29、92、36、63。然后根据质数的定义，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。92能被2整除，；36能被2整除， ，能被3整除， ，能被4整除， ，能被6整除， ，能被9整除，；63能被3整除， ，能被7整除， ，能被9整除，，所以92、36、63都不是质数。只有29除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，是质数。 【总结】解决此类问题，先根据条件找出所有可能的数字组合，再依据质数的定义进行筛选。要熟练掌握因数分解以及质数的概念，通过列举和排除的方法得出正确答案。 1.一个四位数，它千位上的数字既是偶数又是质数，百位上的数字既是奇数又是合数，十位上的数字既不是质数也不是合数，个位上的数字是最小的合数，这个四位数是多少？ 【答案】2914 【解析】既是偶数又是质数的数只有2，所以千位数字是2；既是奇数又是合数的一位数是9，所以百位数字是9；既不是质数也不是合数的数是1，所以十位数字是1；最小的合数是4，所以个位数字是4 ，按照数位顺序组合起来这个四位数就是2914。 2.有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，这两个质数分别是多少？ 【答案】2和83 【解析】小于100的17的倍数有17、34、51、68、85 。因为两个数的和是奇数，根据奇数 + 偶数 = 奇数，所以这两个质数一定是一个奇数一个偶数，而在所有质数中，只有2是偶数，所以其中一个质数是2。分别用这些倍数减去2，看结果是否为质数，，15不是质数，；，32不是质数，；，49不是质数，；，66不是质数，；，83是质数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。所以这两个质数是2和83。 【总结】本题综合考查质数、奇数、倍数的知识。解题的关键在于利用奇数与偶数的运算性质确定其中一个质数是2，再通过逐一计算和判断质数的定义来找出另一个质数。需要对相关概念灵活运用，并且有耐心地进行计算和筛选。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$