第09讲 离散型随机变量及其分布列（5大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第09讲 离散型随机变量及其分布列 目录 题型归纳 1 题型01 写出简单离散型随机变量分布列 3 题型02 利用随机变量分布列的性质解题 6 题型03 由随机变量的分布列求概率 9 题型04 两点分布 12 题型05 求离散型随机变量的均值 14 题型06 由离散型随机变量的均值求参数 17 题型07 离散型随机变量的方差与标准差 20 分层练习 24 夯实基础 24 能力提升 34 知识点01随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 知识点02离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1. 知识点03离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．　　 知识点04离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 知识点05均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 题型01写出简单离散型随机变量分布列 【例1】（22-23高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P D．    X 0 1 2 P 【答案】C 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）在射击试验中，令如果射中的概率是0.9，则随机变量的分布列为 ． 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【详解】由题可知：得分布列为 0 1 0.1 0.9 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用7局4胜制.用表示需要比赛的局数，则“”表示的比赛过程有 种. 【答案】20 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题意，首先确定甲乙两人中其中一人在前五局中必须赢的局数且最后一局一定赢，然后结合组合即可求解. 【详解】“”表示甲队员（或乙队员）前5局中胜3局，且第6局一定获胜， 所以“”表示的比赛过程有(种). 故答案为：20. 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据题意，由条件可得新生获得社团选修课学分分数的可能取值为，然后分别计算其对应概率，代入计算，即可得到结果. 【详解】设“该新生获得社团选修课学分分数”为，则的可能取值为． 所以； ； ；． 所以的分布列为： 0 0.5 1 1.5 0.12 0.28 0.18 0.42 题型02 利用随机变量分布列的性质解题 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为1列式求解即可. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·甘肃张掖·期中）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】先应用分布列性质求参，再分别写出分布列即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 所以的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 题型03 由随机变量的分布列求概率 【例3】（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】由分布列性质计算即可. 【详解】由分布列的性质，得，解得． 故选:D. 【变式1】（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列性质结合已知条件求得，再求解概率； 【详解】根据分布列可得，解得， 则. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 . ξ 1 2 3 P 【答案】或 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】由求解. 【详解】解：由题可得， ∴或，经检验适合题意. 故答案为：或 【变式3】（22-23高二下·重庆南岸·期中）彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列； （2）根据已知条件及随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】（1）由题意可知，的可能取值为，则 , , . 所以的分布列为 （2）该同学能及格，表示他能背诵篇或篇， 由（1）知，该同学能及格的概率为 题型04 两点分布 【例4】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 【变式1】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质，列式计算即得. 【详解】由服从两点分布，，得. 故选：B 【变式2】（22-23高二下·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【答案】/0.5 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、两点分布 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求的值． 【答案】 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的概率分布，列式计算，即得答案. 【详解】由题知此试验服从两点分布，因此可列下表： X 0 1 P p 因为试验的成功率是失败率的2倍，所以， 解得，， 因此. 题型05 求离散型随机变量的均值 【例5】（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A 【变式1】（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，得， 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则 ． 【答案】/ 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】的可能取值为，分别求出相应的概率，再求. 【详解】依题意的可能取值为， 当时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有种选法； 则， ， ， 所以． 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·辽宁·期末）现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. (1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； (2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算条件概率、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”,根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，则，，， 则.. （2）合为一袋后，有7个红球和3个白球，则X的取值范围为， ； ； ； . 则分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 题型06 由离散型随机变量的均值求参数 【例6】（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、求离散型随机变量的均值 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 【变式1】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可. 【详解】因为取所有的值是等可能的， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·北京顺义·期末）已知随机变量取所有值是等可能的，且，则 . 【答案】3 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可. 【详解】由题意可得， 所以， 解得. 故答案为：3. 【变式3】（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）求出X的所有可能取值，然后利用古典概型概率公式求解概率，再利用期望公式即可得到答案； （2）由题意求出Y的所有可能取值，利用独立事件乘法概率公式求出对应的概率，即可求出分布列. 【详解】（1）该试验为不放回抓取红包两次，从事件数考虑作答，由题意，总事件数， 由题意，所以，， ，， 所以，解得. （2）易知该用户前4天的红包金额之和为（元）， 由题意， 则， ，，，，，， 所以的分布列为 10 11 13 15 16 21 28 题型07 离散型随机变量的方差与标准差 【例7】（24-25高二上·河南南阳·期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】分析的所有可能取值并计算对应的概率，根据公式计算的期望进而计算. 【详解】由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知离散型随机变量的分布列如下，则 ． 2 3 6 【答案】2 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列性质求出，再由方差公式求解即可. 【详解】由分布列性质可知，，解得， 所以， . 故答案为：2 【变式3】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列及方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，方差为 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由题意可得，可求； （2）由，求解即可； （3）的所有可能值为，由（1）可求的分布列，进而可求，. 【详解】（1）由题意得随机变量的分布列如下表所示． 1 由分布列的性质得，解得． （2）． （3）的所有可能值为， ∴，， 所以的分布列为： 所以， . 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知随机变量X的分布列如下，则（   ） x 1 2 3 P m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列性质求出，然后由期望公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量分布列的性质和数学期望的定义列出方程组，计算即得. 【详解】由题意，①，②， 联立① ② ，解得：. 故选：A. 3．（21-22高二下·河南南阳·期末）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（    ） A．36元 B．37元 C．38元 D．39元 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解. 【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元） 故选：B 4．（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【详解】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故. 所以. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二下·山西临汾·期中）已知随机变量 X 的分布列为 x 0 1 2 P a b c 0.25 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．可能等于0.1 【答案】ABD 【分析】利用分布列的性质，结合已知求出，利用方差的性质判断A；利用互斥事件的概率计算判断B；利用期望的性质计算判断C；举例说明判断D. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则， 解得或，C错误； 对于D，当时，，D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为： 0 1 2 且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质以及期望公式可得，即可根据期望的性质以及方差的性质求解. 【详解】由题意可得，解得，故AB正确， ,，故,故C错误，D正确， 故选：ABD 三、填空题 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列，则 ． 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质概率之和为可求. 【详解】已知（）， 则由分布列的性质可得 ， 解得， 故答案为：. 8．（23-24高二下·山西长治·期中）一箱零件共有个，其中有个型，从中随机抽取两个零件，则抽取的这两个零件中型个数的期望是 . 【答案】/ 【分析】设抽取的这两个零件中型个数为，则的所有可能取值为，，，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可． 【详解】设抽取的这两个零件中型个数为，则的所有可能取值为，，， 则，，， 所以． 故答案为：． 四、解答题 9．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）盒子中装有4个红球，2个白球. (1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率； (2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为，求的分布列及均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）分析出第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，从而求出概率； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望值. 【详解】（1）设“第一次取到红球”，“第二次取到白球"， 第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球， 则； （2）的可能取值为. 所以，， 故分布列为 0 1 2 . 10．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·期中）一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的期望和方差． 【答案】(1)见解析 (2)期望为，方差为. 【分析】(1)先写出随机变量的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量的分布列； (2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量的期望和方差． 【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 （2）由(1)的分布列得， ． 11．（22-23高二下·河南开封·期末）某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会． (1)记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列； (2)按照三轮中奖概率由小到大分别发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望． 【答案】(1)的分布列为： 1 2 3 (2)100元 【分析】（1）（2）综合应用离散型随机变量的分布列和数学期望的知识即可求得结果. 【详解】（1）依题意，的取值可能为1，2，3，则 ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 （2）记甲抽取代金券的金额为随机变量，的取值可能为200，500，1500，0，则 ， ， ， ， 所以，所以甲抽取代金券金额的期望为100元． 12．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛. (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）X的可能值为1,2,3 由于；；. 故的分布列是 数学期望. （2）由（1）的结果及全概率公式知所求概率 . 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. 2．（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【答案】B 【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【详解】根据题意知，， ， ， 故选：B 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质、期望和方差公式，结合基本不等式和二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意，a， 对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 对于B，一方面，另一方面，所以，所以B正确； 对于C，，所以C错误； 对于D，由得，满足条件的a，b存在，所以D正确． 故选：C. 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质及期望公式即可求解. 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为， 所以，即， 联立方程，解得， 所以. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二下·广东清远·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示: 0 1 2 则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确， 对于选项C，，所以选项C正确， 对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：BCD. 6．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）随机变量X满足，则随机变量X的期望 ． 【答案】 【分析】分别求出，解出的值，列出的分布列，求出数学期望即可. 【详解】因为， 所以，，； 所以， 所以的分布列为： 所以 故答案为：. 8．（23-24高二下·广东广州·期中）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量的所有可能取值有 ，的数学期望为 ． 【答案】 、、 【分析】作出图形，分析可知随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值. 【详解】在棱长为的正方体中，如下图所示： 当两条棱相交时，，与每条棱相交的棱有条，即； 当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为或， 其中，与棱平行且距离为的棱为、，与棱平行且距离为的棱为； 当两条棱异面时，，与棱异面的棱为、、、. 所以，， 因此. 故答案为：、、；. 四、解答题 9．（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用全概率公式即可得到答案； （2）首先分析出X的可能取值有0，1，2，再按步骤写出分布列即可. 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 10．（23-24高二下·山东济宁·期中）某公司员工小新每天早上按时上班的出行方式有三种：自驾、坐公交车和骑共享单车，假设他选择这三种出行方式的概率都相等，且选择自驾、坐公交车和骑共享单车迟到的概率分别为．根据以往小新上班迟到的统计数据可知：小新选择自驾上班会迟到10分钟，选择坐公交车上班会迟到6分钟，选择骑共享单车上班会迟到3分钟． (1)求小新每天早上上班迟到的概率； (2)某一天小新上班迟到了，他打算从第二天早上开始提前几分钟上班．若当小新提前上班的时间（单位：分钟）大于小新上班迟到时间（单位：分钟）的数学期望时，对解决小新早上上班迟到问题有帮助，求小新至少提前几分钟（取整数）上班，才有助于改善小新早上上班迟到问题？ 【答案】(1) (2)小新每天至少提前7分钟出家门，才有助于小新早上上班 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式求出小新每天早上上班迟到的概率； （2）求出的所有可能取值和对应的概率，求出分布列和数学期望为，由于，故小新每天至少提前7分钟出家门，才有助于小新早上上班 【详解】（1）设事件“小新每天早上上班迟到”，“小新驾车上班”，“小新坐公交车上班”，“小新骑共享单车上班”，则两两互斥， 根据题意：， ， ； （2）由题意知：的所有可能的取值为 ， ， ， 随机变量的分布列为 10 6 3 ， 由于，故小新每天至少提前7分钟出家门，才有助于小新早上上班 11．（23-24高二下·江苏常州·期中）某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据． (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； (2)现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买． 【答案】(1)可以购买 (2)①分布列见解析，；②不可以购买 【分析】（1）求出在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望，再与比较，即可得出结论； （2）①写出的所有取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可； ②先利用条件概率公式分别在求出两种箱子抽取的概率，再求出正品价格的期望，再与比较，即可得出结论. 【详解】（1）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为： ， 所以不开箱检验的情况下，可以购买； （2）①由题意，可取， 则， 所以的分布列为： 所以； ②设事件：发现在抽取抽取检查的盏产品中，其中恰有盏是废品， 则， 设事件：抽取的是废品为盏的一箱， 则， 事件：抽取的是废品为盏的一箱， 则， 设正品价格的期望为，则可取， 则， 所以， 所以在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，此箱不可以购买． 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解． （2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解； （3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解． 12．（22-23高二下·江苏常州·期中）从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求. 【答案】(1)分布列见解析 (2)①，，；②； 【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求 再由数列知识，由递推公式求得通项公式. 【详解】（1）可能取值为， ；； 所以随机变量的分布列为 1 2 3 （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为， 则有 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即， 所以，且 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 离散型随机变量及其分布列 目录 题型归纳 1 题型01 写出简单离散型随机变量分布列 3 题型02 利用随机变量分布列的性质解题 5 题型03 由随机变量的分布列求概率 5 题型04 两点分布 7 题型05 求离散型随机变量的均值 7 题型06 由离散型随机变量的均值求参数 9 题型07 离散型随机变量的方差与标准差 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 14 知识点01随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 知识点02离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1. 知识点03离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．　　 知识点04离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 知识点05均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 题型01写出简单离散型随机变量分布列 【例1】（22-23高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P D．    X 0 1 2 P 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）在射击试验中，令如果射中的概率是0.9，则随机变量的分布列为 ． 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用7局4胜制.用表示需要比赛的局数，则“”表示的比赛过程有 种. 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 题型02 利用随机变量分布列的性质解题 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【变式3】（23-24高二下·甘肃张掖·期中）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 题型03 由随机变量的分布列求概率 【例3】（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 . ξ 1 2 3 P 【变式3】（22-23高二下·重庆南岸·期中）彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 题型04 两点分布 【例4】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【变式2】（22-23高二下·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求的值． 题型05 求离散型随机变量的均值 【例5】（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则 ． 【变式3】（24-25高二上·辽宁·期末）现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. (1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； (2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. 题型06 由离散型随机变量的均值求参数 【例6】（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·北京顺义·期末）已知随机变量取所有值是等可能的，且，则 . 【变式3】（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 题型07 离散型随机变量的方差与标准差 【例7】（24-25高二上·河南南阳·期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知离散型随机变量的分布列如下，则 ． 2 3 6 【变式3】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列及方差． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知随机变量X的分布列如下，则（   ） x 1 2 3 P m A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二下·河南南阳·期末）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（    ） A．36元 B．37元 C．38元 D．39元 4．（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·山西临汾·期中）已知随机变量 X 的分布列为 x 0 1 2 P a b c 0.25 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．可能等于0.1 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为： 0 1 2 且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列，则 ． 8．（23-24高二下·山西长治·期中）一箱零件共有个，其中有个型，从中随机抽取两个零件，则抽取的这两个零件中型个数的期望是 . 四、解答题 9．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）盒子中装有4个红球，2个白球. (1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率； (2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为，求的分布列及均值. 10．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·期中）一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的期望和方差． 11．（22-23高二下·河南开封·期末）某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会． (1)记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列； (2)按照三轮中奖概率由小到大分别发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望． 12．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛. (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·广东清远·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示: 0 1 2 则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）随机变量X满足，则随机变量X的期望 ． 8．（23-24高二下·广东广州·期中）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量的所有可能取值有 ，的数学期望为 ． 四、解答题 9．（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 10．（23-24高二下·山东济宁·期中）某公司员工小新每天早上按时上班的出行方式有三种：自驾、坐公交车和骑共享单车，假设他选择这三种出行方式的概率都相等，且选择自驾、坐公交车和骑共享单车迟到的概率分别为．根据以往小新上班迟到的统计数据可知：小新选择自驾上班会迟到10分钟，选择坐公交车上班会迟到6分钟，选择骑共享单车上班会迟到3分钟． (1)求小新每天早上上班迟到的概率； (2)某一天小新上班迟到了，他打算从第二天早上开始提前几分钟上班．若当小新提前上班的时间（单位：分钟）大于小新上班迟到时间（单位：分钟）的数学期望时，对解决小新早上上班迟到问题有帮助，求小新至少提前几分钟（取整数）上班，才有助于改善小新早上上班迟到问题？ 11．（23-24高二下·江苏常州·期中）某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据． (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； (2)现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买． 12．（22-23高二下·江苏常州·期中）从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$