第02讲 认识概率（4个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科 版）

第02讲 认识概率 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01事件的分类.......................................................................................................................................................................3 题型02判断事件发生的可能性的大小.......................................................................................................................................5 题型03求某事件的频率...............................................................................................................................................................6 题型04由频率估计概率...............................................................................................................................................................8 题型05用频率估计概率的综合应用..........................................................................................................................................11 分层练习........................................................................................................................................................................................13 夯实基础........................................................................................................................................................................................13 能力提升........................................................................................................................................................................................29 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型01事件的分类 1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列词语描述的事件为随机事件的是（   ） A．冬去春来 B．水中捞月 C．缘木求鱼 D．不期而遇 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 3．（八年级下·江苏盐城·期中）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校从3名男生（含小强）和5名女生中选4名学生参加全区比赛，规定其中女生选n名． （1）当n为何值时，“男生小强参加”是必然事件？ （2）当n为何值时，“男生小强参加”是随机事件？ 题型02判断事件发生的可能性的大小 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列事件，发生的可能性最大的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．抛出的石子会下落 C．购买一张双色球彩票会中奖 D．抛一枚硬币，正面朝上 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）一个袋中装有3个红球，5个黄球，4个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大． 6．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）有甲、乙、丙三个不透明的布袋，在甲袋中放有8个红球，在乙袋中放有4个红球，4个黄球，在丙袋中放有8个黄球，这些球除颜色外，其它都相同，从三个袋中任意摸出一球，哪一个可以使“摸到红球”是必然发生的？哪一个可以使“摸到红球”是不可能发生的？哪一个可以使“摸到红球”是随机发生的？ 题型03求某事件的频率 7．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在整数中，数字“”出现的频率是 ． 9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 ． 题型04由频率估计概率 10．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）下表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为（    ） 抛掷次数 100 300 500 800 1000 钉尖不着地的频数 64 180 310 488 310 钉尖不着地的频率 0.64 0.60 0.62 0.61 0.61 A．0.59 B．0.61 C．0.63 D．0.64 11．（八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601 （1）请将表中的数据补充完整， （2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是　 　．（精确到0.1） 12．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示： 抽取球数 优等品数 优等品频率 (1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）； (2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由． 题型05用频率估计概率的综合应用 13．（八年级下·江苏连云港·期中）某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中黄球的个数约为 ． 14．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 夯实基础 一、单选题 1．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．钝角三角形的内角和大于 B．雨后会出现彩虹 C．在只放红、白小球的盒子中摸出黄球 D．妹妹的年龄比姐姐的年龄小 2．下列事件中是必然事件是（ ） A．明天太阳从西边升起 B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中 C．实心铁球投入水中会沉入水底 D．抛出一枚硬币，落地后正面向上 3．掷两个普通的正方体骰子，把两个点数相加．则下列事件中发生的机会最大的是(    ) A．和为11 B．和为8 C．和为3 D．和为2 4．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（    ） A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6 C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6 5．小红把一枚硬币抛掷10次，结果有4次正面朝上，那么（ ） A．正面朝上的频数是0.4 B．反面朝上的频数是6 C．正面朝上的频率是4 D．反面朝上的频率是6 6．在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（    ）. A．男、女生做代表的可能性一样大 B．男生做代表的可能性较大 C．女生做代表的可能性较大 D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定 7．下列事件上是随机事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数小于0 B．水加热到100时就沸腾 C．明天太阳从东方升起 D．购买1张彩票，中奖 8．下列4个对事件的判断中，所有正确结论的序号是（　　） ①“哥哥的年龄比弟弟的年龄大”是必然事件；②“书柜里有6本大小相同，厚度差不多的书，从中随机摸出一本是小说”是随机事件；③在1万次试验中，每次都不发生的事件是不可能事件；④在1万次试验中，每次都发生的事件是必然事件. A．① B．①② C．①③④ D．①②③④ 9．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.93 0.89 0.92 0.91 0.90 0.92 0.92 0.92 0.92 A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 10．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是的倍数；③向上一面的点数不小于．其中发生的可能性最大的事件是 ．（填写你认为正确的序号即可） 12．我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 13．“2016扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：“半程马拉松”“10公里”“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． (1)小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ； (2)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手做如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 0.420 0.450 0.395 0.400 0.401 估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率约为 (精确到0.1)． 14．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下： 抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ． 15．某水果公司以22元/千克的成本价购进1000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，随机抽取若干进行统计，部分结果如下表： 草果总质量n（kg） 100 200 300 400 500 1000 损坏苹果质量m（kg） 10.60 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10 苹果损坏的频率 （结果保留小数点后三位） 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 根据此表估计这批苹果损坏的概率（精确到0.1），从而计算该公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 16．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2． 17．将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 三、解答题 18．有人说“买彩票中奖的可能性是，买1000注彩票最多只能有2注中奖”．这种说法对吗，为什么？ 19．某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，由于柑橘在运输中会有些损坏，并且柑橘损坏的概率为0.1，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 20．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 21．一个在不透明的盒子中装有除颜色外其他都一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经被搅匀了，下列三种事件是必然事件、随机事件，还是不可能事件、 （1）从盒子中任取4个球，全是蓝球． （2）从盒子中任取3个球，只有蓝球和白球，没有红球． （3）从盒子中任取9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有． 22．试验题：请某班所有同学拿出课前准备好的一元硬币，各抛100次，填写下表，并回答问题. 抛掷次数 40 60 80 100 出现正面的频数 出现正面的频率 (1)同桌的两同学比较一下试验的结果.对应的各阶段的频率相同吗？如果不同，把对应的各    阶段(指试验次数相同时)的频率差分别计算出来，观察频率差的绝对值与试验次数的增加之间有何关系； (2)计算全班同学做此试验出现正面的频率，并将这个频率与每个人单独试验的频率进行比较，你认为哪个频率更趋于稳定？ 23．为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）．           图1                               图2                 （1）根据以上信息可知参加捐款总人数为______，______，捐款金额中位数为______，请补全条形统计图； （2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于元的人的概率； （3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款． 提升能力 一、单选题 24．下列属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其内角和是360° B．2020年春节这一天是晴天 C．任意写出一个偶数，一定是2的倍数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 25．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖次．经过统计得“凸面向上”的频率约为，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 26．一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是 ． 27．某公司有50名职工，现有6张会议入场券，经理决定任意地分配给6名职工，他们将50名职工按l～50进行编号，用计算器随机产生 ~ 之间的整数，随机产生的 个整数所对应的编号的人就去参加会议． 三、解答题 28．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b (1)表格中a＝　　；b＝　　；（精确到0.01） (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 　　；（精确到0.1） (3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？ 29．如图，广宇购物中心设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物满20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 200 400 500 1000 落在“牙膏”区域的次数m 32 58 121 149 300 落在“牙膏”区域的频率 0.3025 (1)计算并完成上面的表格； (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得牙膏的概率是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 认识概率 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01事件的分类.......................................................................................................................................................................3 题型02判断事件发生的可能性的大小.......................................................................................................................................5 题型03求某事件的频率...............................................................................................................................................................6 题型04由频率估计概率...............................................................................................................................................................8 题型05用频率估计概率的综合应用..........................................................................................................................................11 分层练习........................................................................................................................................................................................13 夯实基础........................................................................................................................................................................................13 能力提升........................................................................................................................................................................................29 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型01事件的分类 1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列词语描述的事件为随机事件的是（   ） A．冬去春来 B．水中捞月 C．缘木求鱼 D．不期而遇 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：A、冬去春来是必然事件，故不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； C、缘木求鱼是不可能事件，故不符合题意； D、不期而遇是随机事件，故符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 【答案】2 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件的概念即可得出答案． 【详解】∵事件为随机事件． ∴“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵， ∴m的值是2； 故答案为：2． 3．（八年级下·江苏盐城·期中）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校从3名男生（含小强）和5名女生中选4名学生参加全区比赛，规定其中女生选n名． （1）当n为何值时，“男生小强参加”是必然事件？ （2）当n为何值时，“男生小强参加”是随机事件？ 【答案】（1）n=1；（2）n=2或n=3； 【知识点】事件的分类 【分析】（1）根据必然事件的定义及理解，所有男生必须全部参加，即可得女生参加人数； （2）“男生小强参加”是随机事件，则不是所有男生都参加，男生参加人数可能是1名或2名，可得女生参加人数． 【详解】（1）“男生小强参加”是必然事件，则所有男生3名必须全部参加， ∵一共选4名参加，男生3名， ∴； （2）使“男生小强参加”是随机事件，则所有男生不是必须全部参加， ∴男生人数可能是1或2名， ∴或． 【点睛】题目主要考查对必然事件和随机事件定义的理解，对题意及定义理解是解题关键． 题型02判断事件发生的可能性的大小 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列事件，发生的可能性最大的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．抛出的石子会下落 C．购买一张双色球彩票会中奖 D．抛一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小．分别计算各选项中事件的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：A、没有水分，种子发芽的可能性为0； B、抛出的石子会下落发生的可能性为1； C、购买一张双色球彩票会中奖发生的可能性小于1； D、抛一枚硬币，正面朝上的可能性为． 故选：B． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）一个袋中装有3个红球，5个黄球，4个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大． 【答案】黄 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查等可能事件发生的可能性大小，根据不同颜色的球的个数进行判断即可． 【详解】解：∵每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一球的可能性相同， ∵， ∴摸到黄球的可能性最大； 故答案为：黄． 6．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）有甲、乙、丙三个不透明的布袋，在甲袋中放有8个红球，在乙袋中放有4个红球，4个黄球，在丙袋中放有8个黄球，这些球除颜色外，其它都相同，从三个袋中任意摸出一球，哪一个可以使“摸到红球”是必然发生的？哪一个可以使“摸到红球”是不可能发生的？哪一个可以使“摸到红球”是随机发生的？ 【答案】甲，丙，乙 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】根据随机事件，必然事件和不可能事件的概念，求解即可，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件，有可能发生有可能不发生的事件叫随机事件，不可能发生的事件叫不可能事件． 【详解】解：由题意可得：甲袋中只有红球，“摸到红球”事件是必然事件， 乙袋中既有红球又有黄球，“摸到红球”事件可能发生，也可能不发生，为随机事件， 丙袋中没有红球，“摸到红球”事件不可能发生，为不可能事件， 则甲可以使“摸到红球”是必然发生的，丙可以使“摸到红球”是不可能发生的，乙可以使“摸到红球”是随机发生的 【点睛】此题考查了随机事件，必然事件和不可能事件的判断，解题的关键是理解随机事件，必然事件和不可能事件的概念． 题型03求某事件的频率 7．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求某事件的频率 【分析】根据频率的计算公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意知，数字“2”出现的频率是：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，解题的关键在于熟练掌握频率的计算方法． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在整数中，数字“”出现的频率是 ． 【答案】/ 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 根据整数可知共有8种等可能结果，出现0的有两种，根据频率等于可能出现的结果除以总的结果即可求解． 【详解】解：整数中有8位数字，共有8种等可能结果，出现0的结果有2中， ∴0出现的频率为， 故答案为： ． 9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率的知识．利用频率估计概率，然后计算得出结论即可． 【详解】解：， 即黑色部分的面积约为， 故答案为：． 题型04由频率估计概率 10．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）下表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为（    ） 抛掷次数 100 300 500 800 1000 钉尖不着地的频数 64 180 310 488 310 钉尖不着地的频率 0.64 0.60 0.62 0.61 0.61 A．0.59 B．0.61 C．0.63 D．0.64 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.61附近， 所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.61， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 11．（八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601 （1）请将表中的数据补充完整， （2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是　 　．（精确到0.1） 【答案】（1）0.58，0.59；（2）0.6. 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6． 【详解】解：（1）填表如下： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 故答案为0.58，0.59； （2）当n很大时，摸到白球的概率约是0.6， 故答案为0.6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示： 抽取球数 优等品数 优等品频率 (1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）； (2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由． 【答案】(1)、、 (2) 【知识点】根据数据描述求频率、由频率估计概率 【分析】（1）用优等品数除以抽取球数即可得出答案； （2）根据随着抽取球数的增加，频率稳定于0.90可得答案． 【详解】（1）解：完成表格如下： 抽取球数 优等品数 优等品频率 故答案为：、、． （2）估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是， 由表知，随着抽取球数的增加，频率稳定于， 所以估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 题型05用频率估计概率的综合应用 13．（八年级下·江苏连云港·期中）某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中黄球的个数约为 ． 【答案】28 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用黄球的频率乘以总球数求解． 【详解】解：根据题意得： 40×（1﹣30%）＝28（个） 答：口袋中黄球的个数约为28个． 故答案为：28． 【点晴】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 14．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，0.951 (2) (3) 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可； （2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； （3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树=幼苗棵树×概率可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：，， 故答案为：，． （2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； ∴这种种子在此条件下发芽的概率约为． （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗棵，需要准备（粒）种子进行发芽培育． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 夯实基础 一、单选题 1．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．钝角三角形的内角和大于 B．雨后会出现彩虹 C．在只放红、白小球的盒子中摸出黄球 D．妹妹的年龄比姐姐的年龄小 【答案】B 【分析】根据随机事件的定义：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中就有某种规律性的事件，逐一判定即可． 【详解】A.钝角三角形的内角和大于，是不可能事件，不符合题意； B.雨后会出现彩虹，是随机事件，符合题意； C.在只放红、白小球的盒子中摸出黄球，是不可能事件，不符合题意； D.妹妹的年龄比姐姐的年龄小，是必然事件，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了随机事件的定义，比较简单． 2．下列事件中是必然事件是（ ） A．明天太阳从西边升起 B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中 C．实心铁球投入水中会沉入水底 D．抛出一枚硬币，落地后正面向上 【答案】C 【分析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可解决． 【详解】解：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意； B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意； C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意； D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意． 故选C． 3．掷两个普通的正方体骰子，把两个点数相加．则下列事件中发生的机会最大的是(    ) A．和为11 B．和为8 C．和为3 D．和为2 【答案】B 【分析】求出和为11，8，3，2各有几种可能即可解答． 【详解】解：，两种可能； 五种可能； 两种可能； ，一种可能； 故选B． 4．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（    ） A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6 C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6 【答案】B 【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解． 【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2， 选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误； 选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确； 选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误； 选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键． 5．小红把一枚硬币抛掷10次，结果有4次正面朝上，那么（ ） A．正面朝上的频数是0.4 B．反面朝上的频数是6 C．正面朝上的频率是4 D．反面朝上的频率是6 【答案】B 【详解】小红做抛硬币的实验，共抛了10次，4次正面朝上，6次反面朝上，则正面朝上的频数是4，反面朝上的频数是6. 故选B. 6．在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（    ）. A．男、女生做代表的可能性一样大 B．男生做代表的可能性较大 C．女生做代表的可能性较大 D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定 【答案】B 【分析】根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】∵某班有25名男生和24名女生， ∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为=， 女生当选的可能性为=， ∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性． 故选B． 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 7．下列事件上是随机事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数小于0 B．水加热到100时就沸腾 C．明天太阳从东方升起 D．购买1张彩票，中奖 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数小于0，是不可能事件，不符合题意； B、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，不符合题意； C、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D、购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8．下列4个对事件的判断中，所有正确结论的序号是（　　） ①“哥哥的年龄比弟弟的年龄大”是必然事件；②“书柜里有6本大小相同，厚度差不多的书，从中随机摸出一本是小说”是随机事件；③在1万次试验中，每次都不发生的事件是不可能事件；④在1万次试验中，每次都发生的事件是必然事件. A．① B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】“哥哥的年龄比弟弟的年龄大”是必然事件，①正确； “书柜里有6本大小相同，厚度差不多的书，从中随机摸出一本是小说”，无法确定事件类型，②错误； 在1万次试验中，每次都不发生的事件不一定是不可能事件，③错误； 在1万次试验中，每次都发生的事件不一定是必然事件，④错误； 故选A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 9．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.93 0.89 0.92 0.91 0.90 0.92 0.92 0.92 0.92 A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．直接根据利用频率估计概率求解即可得． 【详解】解：由表格可知，经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数的比值稳定在附近， 所以该区初中生体质健康合格的概率为， 故选：C． 10．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 二、填空题 11．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是的倍数；③向上一面的点数不小于．其中发生的可能性最大的事件是 ．（填写你认为正确的序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查概率，掌握公式是关键． 根据其发生的概率即可比较出事件发生的可能性的大小． 【详解】①“向上一面的点数是奇数”的概率为， ②“向上一面的点数是3的倍数”的概率为， ③“向上一面的点数不小于”的概率为，故其中发生的可能性最大的事件是③， 故答案为：③． 12．我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 【答案】0.2/ 【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 13．“2016扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：“半程马拉松”“10公里”“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． (1)小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ； (2)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手做如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 0.420 0.450 0.395 0.400 0.401 估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率约为 (精确到0.1)． 【答案】 0.4 【分析】（1）一共有三种赛事，小明被分配到其中一种赛事的概率为  （2）观察表格事参加“迷你马拉松”人数的频率在0.4左右波动，所以其概率为0.4 【详解】（1）赛事共有三项：“半程马拉松”“10公里”“迷你马拉松”．小明分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 （2）观察表格事参加“迷你马拉松”人数的频率在0.4左右波动，所以其概率为0.4 故填，0.4 【点睛】本题考查概率的计算以及用频率估计概率，解题关键在于基础知识扎实 14．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下： 抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ． 【答案】0.84 【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可． 【详解】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84， ∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84． 故答案为：0.84． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是熟练运用频率估计概率解决问题． 15．某水果公司以22元/千克的成本价购进1000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，随机抽取若干进行统计，部分结果如下表： 草果总质量n（kg） 100 200 300 400 500 1000 损坏苹果质量m（kg） 10.60 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10 苹果损坏的频率 （结果保留小数点后三位） 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 根据此表估计这批苹果损坏的概率（精确到0.1），从而计算该公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 【答案】50 【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计苹果的损坏概率为0.1；根据概率计算出在1000kg苹果中完好苹果的质量为：1000×0.9=900(kg)，设每千克苹果的销售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 所以苹果的损坏概率为0.1． 根据估计的概率可以知道，在1000kg苹果中完好苹果的质量为：1000×0.9＝900(kg)． 设每千克苹果的销售价为x元，则应有900x＝22×1000+23000， 解得x＝50． 答：出售苹果时每千克大约定价为50元可获利润23000元． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率列出方程是解决的关键． 16．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2． 【答案】2.8 【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可． 【详解】∵正方形二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为4cm2， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%， ∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8， 故答案为：2.8． 【点睛】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可． 17．将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 【答案】(1)④⑥ (2)①③⑤ (3)②④⑥ 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 三、解答题 18．有人说“买彩票中奖的可能性是，买1000注彩票最多只能有2注中奖”．这种说法对吗，为什么？ 【答案】这种说法不对，见解析 【分析】概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，所以买彩票中奖的可能性是2%，买1000注彩票不一定能中奖． 【详解】解：这种说法不对， 因为概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，所以买彩票中奖的可能性是，买1000注彩票不一定能中奖． 【点睛】本题考查了概率的意义，关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量．随机事件可能发生，也可能不发生． 19．某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，由于柑橘在运输中会有些损坏，并且柑橘损坏的概率为0.1，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【答案】出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元． 【分析】根据概率，计算出完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答． 【详解】解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克． 设每千克柑橘的销售价为x元，则应有： 9000x=2×10000+5000， 解得x． 答：出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解题的关键． 20．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 21．一个在不透明的盒子中装有除颜色外其他都一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经被搅匀了，下列三种事件是必然事件、随机事件，还是不可能事件、 （1）从盒子中任取4个球，全是蓝球． （2）从盒子中任取3个球，只有蓝球和白球，没有红球． （3）从盒子中任取9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有． 【答案】（1）不可能事件；（2）随机事件；（3）必然事件 【详解】分别根据必然事件、随机事件，不可能事件的定义进行解答即可． 解：（1）∵盒子中只有3个蓝球， ∴从盒子中任取4个球，全是蓝球是不可能的， ∴是不可能事件； （2）∵盒子中3个蓝球和2个白球， ∴从盒子中任取3个球，只有蓝球和白球，没有红球是可能的， ∴是随机事件； （3）∵盒子中一共有5个红球，3个蓝球和2个白球， ∴从盒子中任取9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有是一定的， ∴是必然事件. 故答案为不可能事件；随机事件；必然事件. 22．试验题：请某班所有同学拿出课前准备好的一元硬币，各抛100次，填写下表，并回答问题. 抛掷次数 40 60 80 100 出现正面的频数 出现正面的频率 (1)同桌的两同学比较一下试验的结果.对应的各阶段的频率相同吗？如果不同，把对应的各    阶段(指试验次数相同时)的频率差分别计算出来，观察频率差的绝对值与试验次数的增加之间有何关系； (2)计算全班同学做此试验出现正面的频率，并将这个频率与每个人单独试验的频率进行比较，你认为哪个频率更趋于稳定？ 【答案】填表(略).因为每个人试验都是随机的，所以只要是自己动手试验的数据都可以. (1)同桌间的两同学试验的各阶段的频率不一定相同，但随着试验次数的增加，频率差的绝对值有变小的趋势. (2)当全班同学各抛完100次时，频率=，可以发现，这个结果更趋近于，更为稳定. 【详解】填表(略). (1)同桌间的两同学试验的各阶段的频率不一定相同，但随着试验次数的增加，频率差的绝对值有变小的趋势. (2)当全班同学各抛完100次时，频率=，通过计算可以发现，这个结果更趋近于，这个频率比个人单独试验所得的频率更为稳定. 23．为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）．           图1                               图2                 （1）根据以上信息可知参加捐款总人数为______，______，捐款金额中位数为______，请补全条形统计图； （2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于元的人的概率； （3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款． 【答案】（1）50，32，150，条形统计图见解析；（2）；（3）4人． 【分析】（1）用捐款150元频数除以频率，求出捐款总人数为50，用总人数减去已知四组频数，再除以总人数，即可求出m，根据各项数据，补全条形统计图，求出第25、26个数据，即可求出中位数； （2）求出捐款不低于元人数的频率，用频率估计概率即可； （3）结合统计图，现众数为16，故至少要4人参与捐款，且捐款数均为150元，才能改变众数． 【详解】解：（1）捐款总人数为； 捐款为100元人数为所占百分比为， ∴m=32； 本次捐款共50人参加，按捐款数从低到高排序，第25、26个数为150,150， 故中位数为， 补全条形统计图如下： ； （2）； （3）至少人参与捐款． 原数据众数为元， 若至少增加人，每人捐款元， 则新众数为元和元， 至少增加人． 【点睛】本题考查了条形图与扇形图，中位数，用频率估计概率等知识，综合性较强，根据条形图和扇形图提供的公共信息求出调查的总人数是解题关键． 提升能力 一、单选题 24．下列属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其内角和是360° B．2020年春节这一天是晴天 C．任意写出一个偶数，一定是2的倍数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】A.任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，不符合题意； B.2020年春节这一天是晴天, 是随机事件，不符合题意； C.任意写出一个偶数，一定是2的倍数，是必然事件，符合题意； D.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了必然事件，解题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 25．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖次．经过统计得“凸面向上”的频率约为，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，因此抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为. 二、填空题 26．一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是 ． 【答案】m+n＝10． 【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案． 【详解】∵一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， ∴m与n的关系是：m+n＝10． 故答案为m+n＝10． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键． 27．某公司有50名职工，现有6张会议入场券，经理决定任意地分配给6名职工，他们将50名职工按l～50进行编号，用计算器随机产生 ~ 之间的整数，随机产生的 个整数所对应的编号的人就去参加会议． 【答案】 1 50 6 【详解】因为共有50名同学,每一张参观券分给的同学都有50种可能,所以分6次实验,每次实验都要产生1-50之间的整数,用计算机随机产生1-50之间的整数,随机产生的6个整数所对应的编号的同学就领取参观券,故答案为:1,50,6. 三、解答题 28．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b (1)表格中a＝　　；b＝　　；（精确到0.01） (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 　　；（精确到0.1） (3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？ 【答案】(1)a=0.71，b=0.70； (2)0.7； (3)黄球的个数为5个，摸到黄球的概率为． 【分析】（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率； （2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率； （3）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）a=571÷800≈0.71； b=702÷800≈0.70； 故答案为：0.71，0.70； （2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近， 所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7； 故答案为：0.7； （3）设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个， 根据题意得0.7（x+14）=14， 解得：x=6， ∴黄色球有6-1=5个， ∴摸到黄色球的概率为． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 29．如图，广宇购物中心设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物满20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 200 400 500 1000 落在“牙膏”区域的次数m 32 58 121 149 300 落在“牙膏”区域的频率 0.3025 (1)计算并完成上面的表格； (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得牙膏的概率是多少？ 【答案】见解析 【详解】分析：（1）先根据题目中指针落在牙膏上的频率=所求情况总数与实验总情况数之比求出后，填表即可； （2）根据表格数据估算即可； （3）根据估算的结果回答即可.. 详解：(1)0.32,0.29,0.298,0.3；　 (2)当n很大时，频率接近0.3；　 (3)获得牙膏的概率是0.3. 点睛：本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.频率=所求情况总数与实验总情况数之比. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$