3.5  公倍数和最小公倍数（2个知识点+3类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（苏教版）

3.5 公倍数和最小公倍数 学习重难点 学习目标 1、理解公倍数和最小公倍数的意义。(重点) 2、会求两个数的公倍数和最小公倍数。(难点) 3、掌握求两个数的最小公倍数的方法。(难点) 1、理解公倍数与最小公倍数的含义，并掌握找两个数的公倍数与最小公倍数的方法。 2、会用集合的形式表示出两个数的公倍数，并能用公倍数的知识解决一些实际问题。 知识点一公倍数的意义 1、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。 知识点二求两个数的公倍数及最小公倍数 1、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。 2、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。 （1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 （2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 题型一公倍数及最小公倍数 1．有M，N两个数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，M是18，N是( )。 【分析】M和N全部共有的质因数相乘的积就是它们的最大公因数；M和N全部共有的质因数乘各自独立的质因数就是它们的最小公倍数；因此M和N的最大公因数与最小公倍数的乘积等于M×N，用M和N的最大公因数乘最小公倍数，所得积除以18，所得结果即为N的值；据此解答。 【解答】6×90÷18 ＝540÷18 ＝30 因此N是30。 2．把两个非零自然数A、B分解质因数：A＝2×3×m，B＝3×m×7。已知A、B的最大公因数是15，那么m＝( )，A、B的最小公倍数是( )。 【分析】已知A＝2×3×m，B＝3×m×7，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数即3m；已知A、B的最大公因数是15，也就是3m＝15，据此求出m的值； 把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数即2×3×m×7＝42m，再把m的值代入式子中，计算出结果即可。 【解答】A＝2×3×m B＝3×m×7 A、B的最大公因数是3×m ＝3m； A、B的最小公倍数是2×3×m×7＝42m； 3m ＝15 m＝15÷3 m＝5 当m＝5时，42m＝42×5＝210。 填空如下： 已知A、B的最大公因数是15，那么m＝（5），A、B的最小公倍数是（210）。 3．一个三位数同时是3和5的倍数，这个三位数最小是( )，把这个数分解质因数为( )。 【分析】3和5的最小公倍数是15，用15分别乘2，3，4……，直到得出的积是三位数即可得出这个数；分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。据此解答。 【解答】3和5的最小公倍数是15 15×2＝30 15×3＝45 15×4＝60 15×5＝75 15×6＝90 15×7＝105，则这个三位数最小是105； 则把这个数分解质因数为105＝3×5×7。 题型二求最小公倍数 4．直接写出下面每组数的最小公倍数。 7和10    4和9    8和24    27和3 【分析】如果两个数是互质数，则最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；如果两个数有公因数关系，则最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；据此解答。 【解答】7和10是互质数，最小公倍数是7×10＝70； 4和9是互质数，最小公倍数是4×9＝36； 24是8的倍数，最小公倍数是24； 27是3的倍数，最小公倍数是27。 5．找出下面每组数的最小公倍数。 7和9            15和20            14和28 【分析】求两个数的最小公倍数，两个数的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；如果两个数是互为质数关系，这两个数的最小公倍数为这两个数的乘积；如果两个数是倍数关系的两个数，较大数是它们的最小公倍数；据此解答。 【解答】7和9 7和9是互质数，最小公倍数是：7×9＝63。 15和20 15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最小公倍数是：2×2×3×5＝60。 14和28 14和28是倍数关系，最小公倍数是28。 6．写出下面各组数的最小公倍数。 10和25         9和11         7和91 【分析】求两个数的最小公倍数，两个数的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；如果两个数是互为质数关系，这两个数的最小公倍数为这两个数的乘积；如果两个数是倍数关系的两个数，较大数是它们的最小公倍数；据此解答。 【解答】10和25 10＝2×5 25＝5×5 10和25的最小公倍数是2×5×5＝50。 9和11 9和11是互质数。最小公倍数是9×11＝99。 7和91 7和91是倍数关系，最小公倍数是91。 题型三用最小公倍数解决实际问题 7．五年级二班同学去参观科技馆，小宇说：“我们班这次去的不到50人。”小恒说：“如果6个人坐一辆车，多3个人。”园园说：“如果8个人坐一辆车，空3个座位。”这次最多有多少人去参观科技馆？ 【分析】由“如果6个人坐一辆车，多3个人，如果8个人坐一辆车，空3个座位”可知，如果添加3人，参观的人数刚好既是6的倍数又是8的倍数。根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；据此先求出6与8的最小公倍数，要使人数最多，只要在6与8的最小公倍数上乘整倍数，但要保证人数不超过50，最后减去3即可得到参观的人数。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24 24×2－3 ＝48－3 ＝45（人） 答：这次最多有45人去参观科技馆。 8．食品店有一些松花蛋，差不多100个。如果装进4个一排的蛋托中，正好装完；如果装进6个一排的蛋托中，也正好装完。一共有多少个松花蛋？ 【分析】由装进4个一排的蛋托中，正好装完，如果装进6个一排的蛋托中，也正好装完，可知这些松花蛋的个数是4和6的公倍数，因为是差不多100个松花蛋，所以这些松花蛋的个数是4和6的公倍数中最接近100的数；据此先求出4和6的最小公倍数，然后乘自然数1、2、3、4……从中找出4和6的公倍数中最接近100的数即可。 【解答】因为4＝2×2，6＝2×3，所以4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12； 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 12×5＝60 12×6＝72 12×7＝84 12×8＝96 100以内4和6的公倍数有：12，24，36，48，60，72，84，96； 100以内4和6的公倍数中最接近100的是96。 答：一共有96个松花蛋。 9．纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月10日，有38支来自各县区的代表队在市区古黄河金鹰段举办2024宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有21个浮漂（首尾各有一个），每两个浮漂之间距离是15米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂有多少个？ 【分析】赛道上原来有21个浮漂，首尾各有一个，所以赛道总长是（21－1）个15米，即300米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂就是15和20的公倍数，15和20的最小公倍数是60，所以不需要重新替换的浮漂有（300÷60＋1）个。 【解答】21－1＝20（个） 20×15＝300（米） 15＝3×5 20＝2×2×5 所以15和20的最小公倍数是：5×3×2×2＝60 300÷60＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 答：不需要重新替换的浮漂有6个。 一、选择题 1．a÷2＝b（a，b为非零自然数），a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．3 D．ab 2．两个自然数都是合数，且只有一个公因数，它们的最小公倍数是120。这两个数是（    ）。 A．10和12 B．24和5 C．60和2 D．8和15 3．学校运动会即将召开，为了营造气氛，要在长60米的跑道的两边插彩旗。原来跑道两边各从一端起每隔3米插一面彩旗（原来跑道一边插彩旗如下图），现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。不需要重新插的彩旗共有（    ）面。 A．6 B．8 C．12 D．16 4．一个音乐闹钟，每15分钟就闪烁彩光，每20分钟就发出铃声。上午8：00刚好同时闪烁彩光和发出铃声，下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在（    ）。 A．8：20 B．8：30 C．8：40 D．9：00 5．在扬州举办的灯光烟火秀上，每6秒出现一次星星图案的礼花，每8秒出现一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少要过（    ）秒才可以同时再次看到这两种礼花。 A．14 B．18 C．24 D．48 二、填空题 6．一个三位数同时是3和5的倍数，这个三位数最小是( )，把这个数分解质因数为( )。 7．妈妈端来一盘糖果，平均分给6个人，正好分完；平均分给10个人，也正好分完。这盘糖果最少有( )个。 8．甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月12日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时去图书馆借书是( )月( )日。 9．东方小学五年级学生参加植树活动。五（1）班每6人一组或8人一组都刚好分完而无剩余，已知这个班的人数在40～60之间，那么五（1）班有学生( )人；五（2）班学生每组10人或每组8人都剩1人，那么五（2）班最少有( )名学生。 10．下面是一串字母的若干次变换。                  A  B  C  D  E  F  G  H  I  J 第一次变换后为   B  C  D  A  F  G  H  I  J  E 第二次变换后为   C  D  A  B  G  H  I  J  E  F 第三次变换后为   D  A  B  C  H  I  J  E  F  G 第四次变换后为   A  B  C  D  I  J  E  F  G  H     ……                     …… 至少经过 次变换后才会再次出现“A，B，C，D，E，F，G，H，I，J”。 三、计算题 11．直接写出下面每组数的最小公倍数。 7和10    4和9    8和24    27和3 四、解答题 12．五年级二班有一些学生参加“中国梦·我的梦”文艺演出。若每排4人，则多3人；若每排5人，则多4人。五年级二班至少有多少人参加文艺演出？ 13．在“美丽中国行，我是行动者”生态环保主题绘画比赛中，实验小学五（1）班大部分同学热情参与、踊跃投稿。把他们的绘画作品平均分成6组或10组，都多5幅（每人限投一幅作品）。五（1）班至少有多少人参与投稿？ 14．剪纸社团的同学们各自用灵巧的双手在长20厘米、宽15厘米的红纸上剪出了漂亮的图案，张老师要把这些作品密铺做成展板，至少用多少张这样的剪纸作品才能贴成一个正方形？ 15．火车站是1路和3路公共汽车的始发站，1路车每5分钟发车一次，3路车每7分钟发车一次。 （1）在下表中写出1路车和3路车同时发车后各班次经过的时间。 班次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1路车经过的时间（分） 0 5 3路车经过的时间（分） 0 7 （2）这两路公共汽车同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？ 参考答案 1．【分析】理解题意题目给出a÷2＝b，其中 a 和 b 是非0自然数。这意味着 a 是 b 的2倍，对于成倍数的两个数，较大的那个数就是最小公倍数，较小的那个数就是最大公因数。因为 a 是 b 的倍数，所以 a 和 b 的最小公倍数就是 a。 【解答】a÷2＝b（a，b均为非零自然数），说明a是b的2倍，所以a和b的最小公倍数是a。 故答案为：A 2．【分析】一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。公因数只有1的两个数互质；如果这两个数互质，则这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；所以这两个自然数的乘积是120，据此将120拆分成2个合数相乘，且这两个合数互质即可。 【解答】根据分析可知，10和12、60和2不互质，5是质数；8和15互质，且都是合数；只有8和15符合题意，所以这两个数是8和15。 故答案为：D 3．【分析】在长60米的跑道上插彩旗，原来从一端起每隔3米插一面彩旗，共60÷3＋1＝21面，改成每隔4米插一面，共有60÷4＋1＝16面，要求彩旗不需要重新插上的位置，只要求出在60里的4和3的公倍数即可解答，即3米和4米公倍数的米数是不动的，据此解答。 【解答】3和4的最小公倍数是3×4＝12。 60÷12＋1 ＝5＋1 ＝6（面） 学校运动会即将召开，为了营造气氛，要在长60米的跑道的两边插彩旗。原来跑道两边各从一端起每隔3米插一面彩旗（原来跑道一边插彩旗如下图），现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。不需要重新插的彩旗共有6面。 故答案为：A 4．【分析】同时闪烁彩光和发出铃声的间隔时间是闪烁彩光间隔时间和发出铃声间隔时间的最小公倍数，求出两个间隔时间的最小公倍数，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同时闪烁彩光和发出铃声的时刻即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】15＝3×5 20＝2×2×5 2×2×3×5＝60（分钟） 8：00＋60分钟＝9：00 下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在9：00。 故答案为：D 5．【分析】下一次同时看到这两种礼花经过的时间应该是6和8的公倍数，又要时间最少，那么就是求6和8的最小公倍数。求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24 至少要过24秒才可以再次同时看到这两种礼花。 故答案为：C 6．【分析】3和5的最小公倍数是15，用15分别乘2，3，4……，直到得出的积是三位数即可得出这个数；分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。据此解答。 【解答】3和5的最小公倍数是15 15×2＝30 15×3＝45 15×4＝60 15×5＝75 15×6＝90 15×7＝105，则这个三位数最小是105； 则把这个数分解质因数为105＝3×5×7。 7．【分析】根据题意，糖果的个数能同时被6和10整除，想要得出这盘糖果的最少的个数就是找出6和10的最小公倍数。 【解答】 [6，10]＝2×3×5＝30 这盘糖果最少有30个。 8．【分析】求两个数的最小公倍数，如果这两个数互质，则这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；根据题意，先求出4和5的最小公倍数，已知7月12日他们两人在图书馆相遇，所以7月12日再加上4和5的最小公倍数，算出来即为两人下次同时去了图书馆的时间，已知7月份有31天，据此推断出具体时间，据此解答。 【解答】4和5的最小公倍数：4×5＝20 12＋20＝32（天） 32－31＝1（天） 他们下一次同时去图书馆借书是8月1日。 9．【分析】已知五（1）班每6人一组或8人一组都刚好分完而无剩余，说明五（1）班总人数是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，再翻倍求出40～60之间的6和8的公倍数；已知五（2）班学生每组10人或每组8人都剩1人，说明五（2）班学生的总人数比10和8的公倍数多1，求五（2）班最少有多少人，就是求10和8的最小公倍数多1；求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 24×2＝48 40＜48＜60 五（1）班有学生48人； 10＝2×5 10和8的最小公倍数：2×2×2×5＝40 40＋1＝41（名） 五（2）班最少有41名学生。 10．【分析】通过观察可知，前面四个字母每4次变换才可以出现“A，B，C，D”，后面六个字母每6次变换才可以出现“E，F，G，H，I，J”，要求至少变换多少次才会同时出现“A，B，C，D，E，F，G，H，I，J”，就是求4和6的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法，如果这两个数既不是倍数关系，也不互质，则先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12 至少经过12次变换后才会再次出现“A，B，C，D，E，F，G，H，I，J”。 【点评】本题考查了周期问题和最小公倍数的灵活应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 11．【分析】如果两个数是互质数，则最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；如果两个数有公因数关系，则最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；据此解答。 【解答】7和10是互质数，最小公倍数是7×10＝70； 4和9是互质数，最小公倍数是4×9＝36； 24是8的倍数，最小公倍数是24； 27是3的倍数，最小公倍数是27。 12．【分析】根据题意，每排4人，则多3人，每排5人，则多4人，可以理解为每排4人，则少1人，每排5人，则少1人，求出4和5的最小公倍数，因为4和5是互质数，所以它们的最小公倍数是它们的积，用最小公倍数再减去1，即可求出结果。 【解答】4和5的最小公倍数是4×5＝20。 20－1＝19（人） 答：五（2）班至少有19人参加文艺演出。 13．【分析】他们的绘画作品平均分成6组或10组，都多5幅，由此可知，他们的作品的总数量减去5就是6和10的公倍数，由于每人限投一幅作品，则五（1）班至少人数是6和10的最小公倍数，再加上5，根据求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数连乘积，就是最小公倍数，如果两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数，如果两个数为互质数，则最小公倍数为两个数的乘积，据此解答。 【解答】6＝2×3 10＝2×5 6和10的最小公倍数是2×3×5＝30 30＋5＝35（人） 答：五（1）班至少有35人参与投稿。 14．【分析】把长方形的剪纸密铺成一个正方形，那么正方形的边长是长方形长和宽的最小公倍数，即是20和15的最小公倍数。先把20和15分解质因数后，把公有的相同质因数与独有质因数乘起来就是20和15的最小公倍数。根据长方形的面积＝长×宽、正方形的面积＝边长×边长，求出一张剪纸的面积以及正方形的面积，用正方形的面积除以一张剪纸的面积，即可求出至少用多少张这样的剪纸作品才能贴成一个正方形，据此解答。 【解答】20＝2×2×5 15＝3×5 20和15的最小公倍数：2×2×5×3＝60。 （60×60）÷（20×15） ＝3600÷300 ＝12（张） 答：至少用12张这样的剪纸作品才能贴成一个正方形。 15．（1）表见详解； （2）35分钟 【分析】（1）1路车是5分钟发车一次，分别用5×2，5×3，…，求出各班次经过的时间； 3路车是7分钟发车一次，分别用7×2，7×3，…，求出各班次经过的时间，再填统计表。 （2）根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，如果两个数是倍数关系，较大的数为最小公倍数，如果两个数为互质数，最小公倍数为两数的乘积，据此求出5和7的最小公倍数，就是再过多少分钟又同时发车。 【解答】（1）5×2＝10 5×3＝15 5×4＝20 5×5＝25 5×6＝30 5×7＝35 5×8＝40 5×9＝45 7×2＝14 7×3＝21 7×4＝28 7×5＝35 7×6＝42 7×7＝49 7×8＝56 7×9＝63 表如下： 班次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1路车经过的时间（分） 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 3路车经过的时间（分） 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 （2）5和7是互质数； 5和7的最小公倍数是5×7＝35；至少再过35分钟又同时发车。 答：至少再过35分钟又同时发车。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$