3.1  因数与倍数（3个知识点+6类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（苏教版）

3.1 因数与倍数 学习重难点 学习目标 1、理解因数和倍数的意义。(重点) 2、掌握找一个数的因数和倍数的方法。(难点) 3、能用不同的方法找一个数的因数和倍数。(难点) 1、理解因数与倍数的意义，能根据乘法(或除法)算式判断两个数之间的因数与倍数关系。 2、掌握找一个数的因数与倍数的方法，体会因数个数的有限性和倍数个数的无限性。 3、培养观察、分析和抽象概括的能力，体会数学知识的趣味性。 知识点一因数与倍数的意义 1、在axb=c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2、一个数的倍数大于或等于这个数，一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数的因数。 知识点二找一个数的因数 1、找一个数的因数的方法：①列乘法算式。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中每个整数都是该数的因数。②列除法算式。用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。 2、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。 知识点三找一个数的倍数 1、找一个数的倍数的方法：列乘法算式。用这个数依次和整数(0除外)相乘，积是哪个数，哪个数就是这个数的倍数。 2、一个数的倍数的表示方法：①列举法；②集合法。 题型一因数和倍数的认识 1．在9×6＝54中，9和6都是54的( )，54是9的( )，也是6的( )。 【分析】因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【解答】在9×6＝54中，9和6都是54的因数，54是9的倍数，也是6的倍数。 2．在18÷6＝3中，( )和( )是( )的因数；在4×9＝36中，( )是( )和( )的倍数。 【分析】因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此进行解答即可。 【解答】在18÷6＝3中，6和3是18的因数； 在4×9＝36中，36÷4＝9，所以36是4和9的倍数。 3．在5×4＝20中，( )是4的倍数，( )和( )是20的因数；在中（b不等于0），( )是( )和( )的倍数。 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。例如：12÷3＝4（或4×3＝12），3和4都是12的因数，12是4的倍数，12也是3的倍数。 【解答】结合分析中因数和倍数定义知：5×4＝20，20是4的倍数，5和4是20的因数，在中（b不等于0），a是b和7的倍数。 题型二找一个数的因数及因数的特征 4．一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数是27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有9，27。 5．16的所有因数有( )，100以内16的倍数有( )。 【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此求出16的因数及100以内16的倍数即可。 【解答】16＝1×16＝2×8＝4×4 16的所有因数有：1、2、4、8、16。 16×1＝16 16×2＝32 16×3＝48 16×4＝64 16×5＝80 16×6＝96 100以内16的倍数有：16、32、48、64、80、96。 16的所有因数有1、2、4、8、16，100以内16的倍数有16、32、48、64、80、96。 6．一个数既是9的倍数，又是27的因数，这个数可能是( )，也可能是( )。 【分析】先列举出9的倍数、27的因数，再从中找出既是9的倍数，又是27的因数的数即可。 【解答】9的倍数：9、18、27、36…； 27的因数有：1、3、9、27； 所以，一个数既是9的倍数，又是27的因数，这个数可能是9，也可能是27。 题型三根据因数的特征解决问题 7．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 【分析】把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。 【解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 3×24＝72（本） 每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。 8．用24个面积为1平方厘米的小正方形拼成一个长方形，一共有( )种拼法。 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，找出长和宽的积等于24的所有整数即可，每组算式中较大的因数就是长，较小的因数是宽，一一列举即可。 【解答】1×24＝24（平方厘米），长为24厘米，宽为1厘米； 2×12＝24（平方厘米），长为12厘米，宽为2厘米； 3×8＝24（平方厘米），长为8厘米，宽为3厘米； 4×6＝24（平方厘米），长为6厘米，宽为4厘米； 所以一共有4种拼法。 9．小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 【分析】由于小明只带了100元出去购物，并且在六家店里花的钱相同，因此，小明在每个商店内所花的钱不能超过16元。在小于等于16的自然数中，只有12可以分解成有6个因数的积，因此，小明在每个商店所花的钱都是12元，进而求得剩下的钱数。 【解答】（元）……4（元） 小明在每个商店内所花的钱不能超过16元，且这个数有6个不同的因数。 在小于16的数中，只有12有6个不同的因数。 ＝ ＝28（元） 最后他剩（28）元。 【点评】先明确小明在每个商店内所花的钱的最高金额、以及找到12的因数，是解答题的关键。 题型四找一个数的倍数及倍数的特征 10．一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【分析】根据题意，分别找出24的因数和24以内6的倍数，用6分别乘1、2、3……找出24以内6的倍数，把24写成两个非0的整数的积的形式，其中的因数都是24的因数；据此即可判断这个数的最大值及最小值。 【解答】6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，其中24以内6的倍数的有6、12、24，所以一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数最大是24，最小是6。 11．在下面的圈里填合适的数。 30的因数 4的倍数 50以内7的倍数 【分析】求一个数的因数，用这个数分别除以非零的自然数，如果所得的商是整数且没有余数，那么这些除数和商都是这个数的因数。需要注意不重复、不遗漏，并且从1开始，一直除到被除数的商与除数重复出现即可，据此求出30的因数。找一个数的倍数，从它本身开始去乘1、2、3、…，就可以得到这个数的1倍、2倍、3倍……据此解答即可。 【解答】30÷1＝30  30÷2＝15  30÷3＝10  30÷5＝6  30÷6＝5  30÷10＝3  30÷15＝2  30÷30＝1 所以30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 4×1＝4  4×2＝8  4×3＝12 …… 7×1＝7  7×2＝14  7×3＝21  7×4＝28  7×5＝35  7×6＝42  7×7＝49 12．30以内9的倍数有( )；12的因数一共有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )，它最小的倍数是( )。 【分析】列乘法算式找9的倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出9与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是9的倍数；列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的最小倍数也是它本身，据此即可填空。 【解答】9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数是1、2、3、4、6、12。 所以30以内9的倍数有：9、18、27；12的因数一共有6个，其中最小的因数是1，最大的因数是12，它最小的倍数是12。 题型五根据倍数的特征解决问题 13．一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；据此可知：这个数的最小因数是1，用16减去1求出这个数的最大因数，也就是这个数本身，一个数的最小倍数是它本身。 【解答】16－1＝15 所以这个数的最小倍数是15。 14．爱心人士带香蕉到养老院看望老人。香蕉数量在70根到80根之间，分给13位老人，每人分得同样多，一共有( )根香蕉。 【分析】根据题意，每人分得同样多，说明香蕉的总数是13的倍数，先求出70到80之间13的倍数，即可求出一共有多少根香蕉。 【解答】13×5＝65（根） 13×6＝78（根） 13×7＝91（根） 65＜70＜78＜80＜91 爱心人士带香蕉到养老院看望老人。香蕉数量在70根到80根之间，分给13位老人，每人分得同样多，一共有78根香蕉。 15．学校新购买了一些绘本，比30本多，比40本少，平均分给二年级的7个班还多2本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【分析】由题意可知，这些绘本的本数减去2就是7的倍数，再根据求一个数的倍数的方法，再结合绘本的本数在30~40之间，据此解答即可。 【解答】7的倍数且在30~40之间的数是35 35＋2＝37（本） 37÷7＝5（本）⋯⋯2（本） 则平均每班分得5本，一共购买了37本。 【点评】本题考查倍数，明确求一个数的倍数的方法是解题的关键。 题型六倍数和因数的综合应用 16．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    【分析】先写出40的所有因数，再从中找出5的倍数的数，最后找出在15～30之间的数，即是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【解答】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有20人。 【点评】本题考查找一个数的因数以及5的倍数特征的应用。 17．一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是( )，这个数的因数有( )个。 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 列举出18的因数，再数出因数的个数即可。 【解答】18的因数：1、2、3、6、9、18；共有6个。 一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是18，这个数的因数有6个。 【点评】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数是它本身。 18．猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－( )。 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。 【解答】8的最小倍数是8；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；6的因数有1、2、3、6；3的因数有1、3；只有1个因数的是1。所以这个电话号码是0871－8054631。 【点评】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 一、选择题 1．山西省第十六届运动会将在2023年8月8日在大同体育中心开幕。五年级张君同学想制作手绘书签（书签规格如图），送给朋友做纪念。下面4种规格的纸中，裁剪时需要做到没有剩余，你认为他选用（    ）最合适。 A．40cm×35cm B．12cm×20cm C．24cm×36cm D．30cm×20cm 2．一个数既是25的因数，又是5的倍数，这个数是（    ）。 A．5 B．25 C．5或25 3．小明有若干张2元和5元的纸币，这两种纸币张数相同，那么小明可能有（    ）元钱。 A．20 B．50 C．91 D．100 4．红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．6 D．8 5．五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 二、填空题 6．一个数最大的因数是36，它最小的倍数是( )。写出36的全部因数( )。 7．《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 8．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了( )后面的( )。 9．小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 10．五（1）班进行体操表演。若每行10人，则少2人；若每行8人，则正好排整行。已知这个班的学生人数在40到50之间，这个班有学生( )人。 三、解答题 11．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 12．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 13．学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？ 14．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 15．3月12日是植树节，五年级有48名同学参加植树活动。 （1）把人数分成相等的若干小组，要使组数大于2小于10，可以分成几组？ （2）有6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到30棵，他们发现每人浇水的棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 参考答案 1．【分析】要做到没有剩余，则长应是8或6的倍数，长是8的倍数时宽应是6的倍数，长是6的倍数时宽应是8的倍数。逐项分析判断即可。 【解答】A.  40cm×35cm，35不是6的倍数，故A错误。 B． 12cm×20cm，20不是8的倍数，故B错误。 C． 24cm×36cm，因为24是8的倍数，36是6的倍数，所以用24cm×36cm这种规格的纸剪的时候没有剩余，故C正确。 D． 30cm×20cm，20不是8的倍数，故C错误。 故答案为：C 2．【分析】一个数能整除另一个数，则前一个数是后一个数的因数，后一个数就是前一个数的倍数。据此可先将25、5分别分解因数，再找出相同数字，即可得出答案。 【解答】25的因数有：1、5、25，5的倍数在小于等于25范围内有：5、10、15、20、25，其中相同的数有5和25，即5、25既是25的因数，又是5的倍数。 故答案为：C 3．【分析】先求出1张2元和5元的共有多少钱，再从选项中找出这个数的倍数即可。 【解答】2＋5＝7（元） A．20÷7＝2……6，20不是7的倍数，不符合要求。 B．50÷7＝7……1，50不是7的倍数，不符合要求。 C．91÷7＝13，91是7的倍数，符合要求。 D．100÷7＝14……2，100不是7的倍数，不符合要求。 故答案为：C 【点评】本题先求出各一张的总钱数，只要是这个钱数的整数倍的数就符合要求。 4．【分析】因为m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），所以m的因数有：1、m、a、b、c，还有三个质数两两相乘的积，即a×b、a×c、b×c，共有8个因数。 【解答】据分析可知，红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有8个因数。 故答案为：D 5．【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【解答】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 6．【分析】一个数最大因数是它本身，最小倍数是它本身，据此求出36的最小倍数；再根据求一个数的因数的方法，求出36的全部因数。 【解答】一个数最大的因数是36，它最小的倍数是36。 36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 一个数最大的因数是36，它最小的倍数是36。36的全部因数1，2，3，4，6，9，12，18，36。 7．【分析】找一个数的因数，可以应用列举法、列乘法算式法。一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【解答】，， 所以81的因数有1、3、9、27、81；81的最小倍数是81。 8．【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。 题目中淘气的排列方法是按照从小到大排列，找出24的因数之后，按照从小到大的顺序排列，即可找出漏写的数。据此即可解答。 【解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 所以淘气漏写了6后面的8。 9．【分析】由于小明只带了100元出去购物，并且在六家店里花的钱相同，因此，小明在每个商店内所花的钱不能超过16元。在小于等于16的自然数中，只有12可以分解成有6个因数的积，因此，小明在每个商店所花的钱都是12元，进而求得剩下的钱数。 【解答】（元）……4（元） 小明在每个商店内所花的钱不能超过16元，且这个数有6个不同的因数。 在小于16的数中，只有12有6个不同的因数。 ＝ ＝28（元） 最后他剩（28）元。 【点评】先明确小明在每个商店内所花的钱的最高金额、以及找到12的因数，是解答题的关键。 10．【分析】每行8人刚好排整行，总人数是8的倍数，每行10人，则少2人，总人数加上2应该是10的倍数；在40到50之间的8的倍数有40和48，40＋2＝42不是10的倍数排除，48＋2＝50，刚好是10的倍数，符合题意。 【解答】根据分析可知，这个班的人数有48人。 【点评】此题考查一个数的倍数的求法，解决问题的关键在于明确倍数的取值范围。 11．【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【解答】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【点评】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 12．【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 13．【分析】根据题意，这些故事书平均分给16个班，正好分完，说明故事书的本数是16的倍数；找到50～100之间16的倍数，就是李阿姨可能买回的故事书的本数。 【解答】16×4＝64（本） 16×5＝80（本） 16×6＝96（本） 答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。 【点评】掌握求一个数的倍数的方法是解题的关键。 14．【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 【解答】3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 15．【分析】（1）根据题意可知，先求出48的因数，然后根据条件“分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10”可知，2＜组数＜10，据此找出合适的分组方法。 （2）根据求一个数的倍数，求出6的倍数，又因为准备的小树苗不到30棵，结合题意即可找到这批小树苗可能有多少棵。 【解答】（1）48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8， 因为组数大于2，小于10，一共有4种分法，①分成3组，每组16人，②分成4组，每组12人，③分成6组，每组8人，④分成8组，每组6人。 答：可以分成3、4、6、8组。 （2）因为30以内6的倍数有：6、12、18、24，所以可能有6、12、18、24棵。 答：这批小树苗可能有6、12、18、24棵。 【点评】本题考查求一个数的倍数和因数，明确组数的范围以及小树苗不到30棵是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$