专题01 平面直角坐标系与函数概念（分层训练）-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题01 平面直角坐标系与函数概念（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．下午放学后，小明站在校门口的公交车站等车，下列图象中能大致刻画等车这段时间离家的距离与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 3．五一假期正是踏青赏花的好时节，小米和小华相约去太原双塔公园赏花．如图为双塔公园中的牡丹园、双塔寺和文峰塔的位置．将其放在适当的平面直角坐标系中，若双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，则牡丹园的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P(﹣1，1)，Q(2，3)，则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A(3，1)，B(5，﹣3)，C(﹣1，﹣5)，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为(　　) A．(1，﹣2) B．(2，﹣1) C．(，﹣1) D．(3.0) 5．如图，、、、为的四等分点，若动点从点出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为，的度数为，则与之间函数关系的大致图象是（    ） A．B．C．D． 6．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．小涛家离报亭的距离是900m B．小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D．小涛在报亭看报用了15min 7．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点一定不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图，等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动(运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止)，过点、分别作边的垂线，与的其他边交于、两点.线段在运动的过程中，点、、、围成的图形的面积为平方厘米，运动的时间为秒.则大致反映与变化关系的图像是(    ) A． B． C． D． 11．某农科所利用大棚栽培技术培育一种优质瓜苗，这种瓜苗早期在农科所的温室中培养，生长到后移至大棚内，沿插杆继续向上生长到．研究表明：这种瓜苗生长的高度（）与生长的时间（天）之间的关系大致如图所示，已知瓜苗生长到时开始开花结果．下列结论不正确的是（   ）    A．这种瓜苗在温室中生长天 B．这种瓜苗在大棚内生长的平均速度为每天长高 C．这种瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多天 D．这种瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为天 12．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（3，2），点A在x轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧分别交边OA、OC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，恰好过点B，则点A的坐标为（　　） A．（ ，0） B．（，0） C．（ ，0） D．（2，0） 14．为了让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m2，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图像如图所示，下列说法错误的是（  ） A．注水2小时，游泳池的蓄水量为380m3 B．该游泳池内开始注水时已经蓄水100m3 C．注水2小时，还需注水100m3，可将游泳池注满 D．每小时可注水190m3 15．如图①，在中，，AD是BC边上的高，且．有一点P从点B出发，沿着的方向运动，到点C停止设点P的运动路程为x，的面积为s，s与x的函数图象如图②，则AD的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 二、填空题 16．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为 ． 17．设计师构思了一地标性建筑，如图，在平面直角坐标系中，有两反比例函数和，依次向上如图所示作一内角为的菱形，使顶点分别在y轴和函数图象上，请写出的坐标 ． 18．在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、 B(4,2),则其第四个顶点是 . 19．函数的取值范围为 ． 20．一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y（千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a= （小时）． 21．若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． 22．在如图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知，两点的坐标分别为，，将绕着坐标原点顺时针旋转后，点对应点的坐标为 ．    23．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 24．函数的定义域是 ． 25．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ． 三、解答题 26．甲、乙两车分别从相距的大连北站和大连广播电视中心同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距大连北站的路程y（单位：）与两车行驶时间x（单位：h）的图象如图所示．    (1)填空： ______； (2)求乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)求甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站的路程． 27．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．    已知小强家、书店、健身馆依次在同一条直线上，健身馆距小强家，书店距小强家．周末小强从健身馆运动后，匀速步行到达家门口时，突然想起忘记买书，于是立即赶往书店，匀速步行到达书店，停留了购书，又匀速步行后再次返回家中．给出的图象反映了这个过程中小强离家的距离y（）与离开健身馆后的时间x（）之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)填表： 离开健身馆的时间/ 10 20 25 28 32 离家的距离/ 0 1 (2)填空： ①书店到健身馆的距离为______； ②小强从家到书店的速度为______； ③小强从书店返回家的速度为______； ④当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为_____． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 28．周末，扎西和爸爸去南山公园露营，早上扎西徒步先行出发，爸爸带上露营物资骑自行车后出发，到达露营地扎营．因接到将要下雨的消息，爸爸就原路返回去接扎西，接到后骑车一起到露营地．行进过程中爸爸和扎西行驶速度均保持不变，两人行驶的路程和时间如图所示．请根据图象回答问题： (1)扎西的行驶速度是 　 　；爸爸的行驶速度是 　 ； (2)求爸爸接到扎西的时刻； (3)爸爸和扎西能否在下雨之前赶回露营地？请说明理由． 29．如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 30．将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，，点在边上（不与点重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，与交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)请直接写出折叠后重合部分面积的最大值． 31．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图， 列表：下表是与的几组对应值，其中　 　； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：　 　． (3)利用函数图象，解不等式． 32．对于和上的一点A，若平面内的点P满足：射线与交于点Q（点Q可以与点P重合，且，则点P称为点A关于的“阳光点”．已知点O为坐标原点，点． (1)若点P是点A关于的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ； (2)若点B是点A关于的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围； (3)直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段上存在点A关于的“阳光点”，，请直接写出b的取值范围是 ． 33．某水果超市欲购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为a元，如果一次购买超过40千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为26元/千克．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)a＝____ (2)求y与x之间的函数关系式； (3)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额W（元）最少？ 34．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，曲线． (1)求点D的坐标； (2)当曲线G经过的对角线的交点时，求k的值； (3)若曲线G刚好将边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k的取值范围是______． 35．如图，点是直径上一定点，点是直径上一动点，过点作交于点，作射线交于点，连接． 小亮根据学习函数的经验，对线段，，的长度之间的数量关系进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整；    (1)对于点在的不同位置，画图，测量，得到了，，线段的长度的几组对应值，如下表： 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 在，，的长度这三个量中，如果选择______ 的长度为自变量，那么______ 的长度和______ 的长度为关于这个自变量的函数． (2)在图的平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象． (3)结合图形和函数图象，解决下列问题： ①当时，线段的长度约为______ ；（结果保留一位小数） ②连接，当时，线段的长度为______ ． 【能力提升】 36．如图，已知中，，，点、分别是、的中点，点从点出发，沿折线，运动，到点后停止．连接，设点运动的路程为，的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出自变量取值范围； (2)根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质： ； (3)请结合图象直接写出当时，x的取值范围是 （保留一位小数，误差不超过0.2）． 37．在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． (2)点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 38．定义：在平面直角坐标系中，已知点，，可以得到的中点的坐标为；当时，将点向上平移个单位，得到；当时，将点向下平移个单位，得到，我们称点为关于的中心平移点．例如：，，的中点的坐标为，关于的中心平移点的坐标为． (1)已知，，，直接写出关于的中心平移点及关于的中心平移点的坐标； (2)已知，位于轴的同侧，关于的中心平移点为，若的面积比的面积大6，求的值； (3)已知， ，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，分别过点与作轴的平行线与．若点在线段上，且关于的中心平移点在与之间（不含，），直接写出的取值范围． 39．如图，直线与x轴、y轴分别交于点和点，直线与直线交于点，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴向右平移，到点时停止．直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，设与重叠部分的面积为（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）． (1)填空：_______，______； (2)填空：动点的坐标为（t，_____），______（用含t的代数式表示）； (3)当点落在轴上时，求的值． (4)求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； 40．如图1，点，，且满足 ． (1)直接写出点M、点N的坐标：M ，N ； (2)点P以每秒2个单位长度的速度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图1，当时，直线，交于第四象限的点D，已知点D的横坐标是3，求点 D的纵坐标； ②如图 2，当时，在线段 上任取一点E，连接，点 G 为的角平分线上一点，且满足 ．请将图补全，直接写出、、之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系与函数概念（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意； 所以正确的序号有①④， 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 2．下午放学后，小明站在校门口的公交车站等车，下列图象中能大致刻画等车这段时间离家的距离与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象识别 【分析】在校门口的公交车站等车，离家的距离不变，从而得出答案． 【详解】解：∵小明站在校门口的公交车站等车， ∴这段时间离家距离不会随时间的变化而变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 3．五一假期正是踏青赏花的好时节，小米和小华相约去太原双塔公园赏花．如图为双塔公园中的牡丹园、双塔寺和文峰塔的位置．将其放在适当的平面直角坐标系中，若双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，则牡丹园的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标与图形．根据双塔寺和文峰塔的坐标建立直角坐标系，即可得到牡丹园的坐标． 【详解】解：由双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，建立直角坐标系如下：   牡丹园的坐标为， 故选：D． 4．定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P(﹣1，1)，Q(2，3)，则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A(3，1)，B(5，﹣3)，C(﹣1，﹣5)，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为(　　) A．(1，﹣2) B．(2，﹣1) C．(，﹣1) D．(3.0) 【答案】A 【知识点】坐标与图形 【分析】若设M（x，y），构建方程组即可解决问题． 【详解】设M(x，y)，由“实际距离”的定义可知： 点M只能在ECFG区域内， ﹣1＜x＜5，﹣5＜y＜1， 又∵M到A，B，C距离相等， ∴|x﹣3|+|y﹣1|＝|x﹣5|+|y+3|＝|x+1|+|y+5|，① ∴|x﹣3|+1﹣y＝5﹣x+|y+3|＝x+1+y+5，② 要将|x﹣3|与|y+3|中绝对值去掉， 需要判断x在3的左侧和右侧，以及y在﹣3的上侧还是下侧， 将矩形ECFG分割为4部分，若要使M到A，B，C的距离相等， 由图可知M只能在矩形AENK中， 故x＜3，y＞﹣3， 则方程可变为：3﹣x+1﹣y＝y+5+x+1＝5﹣x+3+y， 解得，x＝1，y＝﹣2，则M(1，﹣2) 故选A． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键． 5．如图，、、、为的四等分点，若动点从点出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为，的度数为，则与之间函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、圆周角定理 【分析】根据题意，分P在CD、DO和OC三个阶段，分别分析变化趋势，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，分P在CD、DO和OC三个阶段， 当P在弧CD上时，由圆周角定理可得，，此时不变， 当P在线段DO上时，逐渐增大，到点O时，为90°， 当P在线段OC上时，逐渐减小，到点C时，为45°， 结合选项，只有C选项的函数图像符合， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数图像与几何变换，注意将过程分成几个阶段，依次分析各阶段的变化情况是解题的关键． 6．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．小涛家离报亭的距离是900m B．小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D．小涛在报亭看报用了15min 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【详解】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意； B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意； C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意； D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查函数的图象． 7．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，保证分母不为0是解题的关键． 根据分母不等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点一定不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据的取值范围，分类讨论，即可判断顶点所在的象限． 【详解】解：（1）∵， ∴顶点坐标为， ∴当时，，，顶点在第三象限； 当时，，，顶点在第二象限； 当时，，，顶点在第一象限； 综上所述，抛物线的顶点一定不在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的转化，坐标轴上点的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据点的坐标判断所在的象限即可． 【详解】解：点， 点位于第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，掌握如果点位于第四象限，则，是解题的关键． 10．如图，等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动(运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止)，过点、分别作边的垂线，与的其他边交于、两点.线段在运动的过程中，点、、、围成的图形的面积为平方厘米，运动的时间为秒.则大致反映与变化关系的图像是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】利用直角梯形的面积公式，由MN=1不变，可知四边形MNQP的面积随（PM+QN）的变化而变化，找到特殊点过点C作CG⊥AB，可分析得出四边形MNQP的面积变化情况． 【详解】解：过点C作CG⊥AB， ∵MN=1，四边形MNQP为直角梯形， ∴四边形MNQP的面积为S=MN×（PM+QN）， ∴N点从A到G点四边形MNQP的面积为S=MN×（PM+QN）中，PM，QN都在增大，所以面积也增大； 当QN=CG时，QN开始减小，但PM仍然增大，且PM+QN不变， ∴四边形MNQP的面积不发生变化， 当PM＜CG时，PM+QN开始减小， ∴四边形MNQP的面积减小， ∴符合要求的只有A． 故选A． 【点睛】此题主要考查了直角梯形的面积求法，以及动点函数的应用，由动点找特殊点，是解决问题的关键． 11．某农科所利用大棚栽培技术培育一种优质瓜苗，这种瓜苗早期在农科所的温室中培养，生长到后移至大棚内，沿插杆继续向上生长到．研究表明：这种瓜苗生长的高度（）与生长的时间（天）之间的关系大致如图所示，已知瓜苗生长到时开始开花结果．下列结论不正确的是（   ）    A．这种瓜苗在温室中生长天 B．这种瓜苗在大棚内生长的平均速度为每天长高 C．这种瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多天 D．这种瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为天 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象即可求解． 【详解】解：A：由图象可知，瓜苗在温室中生长天，故A正确； B：瓜苗在大棚内生长的平均速度为：，故B正确； C：瓜苗在大棚内生长时间为：（天），在温室中生长时间为天，故瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多天，故C正确； D：（天），故瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为天，故D错误． 故选：D 【点睛】本题考查函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 12．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】坐标与图形、等腰三角形的定义 【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与x轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与x轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与x轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个． 【详解】分二种情况进行讨论： ①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与x轴有两个交点，以A为圆心OA为半径的圆弧与x轴有一个交点； ②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与x轴有一个交点， ∴符合条件的点一共4个， 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形，解题关键是根据两腰相等，分情况进行讨论． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（3，2），点A在x轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧分别交边OA、OC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，恰好过点B，则点A的坐标为（　　） A．（ ，0） B．（，0） C．（ ，0） D．（2，0） 【答案】A 【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的性质求解 【分析】由作法得OB平分∠AOC，利用平行线的性质证明∠ABO＝∠AOB得到AO＝AB，设A（t，0），利用两点间的距离公式得到t2＝（3﹣t）2+22，然后解方程求出t即可得到A点坐标． 【详解】解：由作法得OB平分∠AOC， ∴∠AOB＝∠COB， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥OC， ∴∠COB＝∠ABO， ∴∠ABO＝∠AOB， ∴AO＝AB， 设A（t，0）， ∴t2＝（3﹣t）2+22，解得t＝， ∴A点坐标为（，0）． 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质． 14．为了让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m2，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图像如图所示，下列说法错误的是（  ） A．注水2小时，游泳池的蓄水量为380m3 B．该游泳池内开始注水时已经蓄水100m3 C．注水2小时，还需注水100m3，可将游泳池注满 D．每小时可注水190m3 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据图象中的数据逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由图可知，注水2小时，游泳池的蓄水量为380m3，正确，故选项A不符合题意； B、由图象可知，当t=0时，y=100，即该游泳池内开始注水时已经蓄水100m3，正确，故选项B不符合题意； C、由图象可知，480－380=100（m3），即注水2小时，还需注水100m3，可将游泳池注满，正确，故选项C不符合题意， D、由（380－100）÷2=140（m3），即每小时可注水140m3，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，能从图象中获取有效信息是解答的关键． 15．如图①，在中，，AD是BC边上的高，且．有一点P从点B出发，沿着的方向运动，到点C停止设点P的运动路程为x，的面积为s，s与x的函数图象如图②，则AD的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】由函数的图象可知，点P运动的路程为26，可得AB=13，的面积为30，根据三角形面积公式和勾股定理可得方程组，求解方程组结合条件进行取值即可． 【详解】解：由函数图象可知：， ∵， ∴， ∵， ∴①， 由函数图象知： ∴，即，② 由①可得：③ 由②③联立方程组得， 解得，，或， ∵， ∴， 故选：A 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当x=26时，此时△BDP的面积为0，说明点P与点C重合． 二、填空题 16．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为 ． 【答案】或/或 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，轴，从而可求得的长；再由点C的坐标及轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据，可得关于m的方程，解得m的值即可． 【详解】解：将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：    ∵点，点， ∴轴， ∴， ∵点，轴， ∴点D的横坐标为，设点D的纵坐标为m， ∵， ∴， ∴或7． ∴点D的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键． 17．设计师构思了一地标性建筑，如图，在平面直角坐标系中，有两反比例函数和，依次向上如图所示作一内角为的菱形，使顶点分别在y轴和函数图象上，请写出的坐标 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、反比例函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质和∠OB1A=60°，得出△OAB1是等边三角形，根据等边三角形的性质，设OC1=m,则B1C1=m，所以B1（m,m）,代入y=，求得m=1，所以A（0，2），同理，A1（0，2），A2（0，2），所以An(0,2)，即可求得An的坐标． 【详解】解：如图，过点B1作B1C1⊥y轴于C1，过点B2作B2C2⊥y轴于C2，过点B3作B3C3⊥y轴于C3， 由菱形可知：OB1=AB1， ∵∠OB1A=60°， ∴△OAB1是等边三角形， ∴OA=AB1=OB1， ∵B1C1⊥OA1， ∴OA=2OC1， 由勾股定理，得B1C1=OC1， 设OC1=m,则B1C1=m， ∴B1（m,m）,代入y=，得m=, 解得：m=1(负值舍去)， ∴OA=2m=2=2, ∴A（0，2）， 同理，设AC2=n，则B2C2=n， ∴B2(n,2+n)，代入y=，得2+n=, 解得：n=-1， ∴OA1=OA+AA1=2+2(-1)=2, ∴A1（0，2） 同理，A2（0，2）， ∴An(0,2) ∴A2022(0,2), 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查点的坐标规律，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，找出点坐标变换规律是解题的关键． 18．在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、 B(4,2),则其第四个顶点是 . 【答案】(1,2) 【知识点】坐标与图形 【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果． 【详解】解：∵O（0，0）、A（3，0）， ∴OA＝3， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA＝3， ∵B（4，2）， ∴点C的坐标为（4−3，2），即C（1，2）； 故答案为（1，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19．函数的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了求自变量取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可． 【详解】根据题意可知， 解得． 故答案为：． 20．一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y（千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a= （小时）． 【答案】5 【知识点】从函数的图象获取信息 【详解】解：由题意可知： 从甲地匀速驶往乙地，到达所用时间为3.2-0.5=2.7小时， 返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍， 返回用的时间为2.7÷1.5=1.8小时， 所以a=3.2+1.8=5小时． 故答案为：5． 21．若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 22．在如图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知，两点的坐标分别为，，将绕着坐标原点顺时针旋转后，点对应点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】坐标与图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，根据点和点的坐标，确定平面直角坐标系，再画出绕原点顺时针旋转后的图形即可解决问题．能根据题意确定平面直角坐标系并画出旋转后的三角形是解题的关键． 【详解】解：∵点，两点的坐标分别为，， ∴平面直角坐标系如图所示， ∴将绕原点顺时针旋转后的图形如图所示， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：．    23．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握一些常见式子有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：根据题意可得：且 即， 解得： 故答案为：． 24．函数的定义域是 ． 【答案】x≠﹣1 【知识点】求自变量的取值范围 【详解】由题意得：x+1≠0，解得：x≠1， 故答案为x≠1. 25．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】以A为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（12，0），C（6，4） 设y=a（x-h）2+k， ∵C为顶点， ∴y=a（x-6）2+4， 把A（0，0）代入上式， 36a+4=0， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键． 三、解答题 26．甲、乙两车分别从相距的大连北站和大连广播电视中心同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距大连北站的路程y（单位：）与两车行驶时间x（单位：h）的图象如图所示．    (1)填空： ______； (2)求乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)求甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站的路程． 【答案】(1) (2)，自变量的取值范围为 (3)甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意可得从到a之间，甲车停车两分钟，即可进行解答； （2）由图可知，乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数图象经过，用待定系数法求解即可； （3）先求出甲车停车前的速度，再根据甲乙两车相遇时，距离大连北站路程相等，列出方程求出相遇时间，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：． （2）解：设乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式为，由图知，自变量的取值范围为：； （3）解：甲车停车之前的速度为，则停车之后的速度为 ， ， 解得：， ∴甲车停车前速度为， 设经过x小时两车相遇， ， 解得：， 把代入得：， 答：甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，能够从函数图象获取需要数据． 27．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．    已知小强家、书店、健身馆依次在同一条直线上，健身馆距小强家，书店距小强家．周末小强从健身馆运动后，匀速步行到达家门口时，突然想起忘记买书，于是立即赶往书店，匀速步行到达书店，停留了购书，又匀速步行后再次返回家中．给出的图象反映了这个过程中小强离家的距离y（）与离开健身馆后的时间x（）之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)填表： 离开健身馆的时间/ 10 20 25 28 32 离家的距离/ 0 1 (2)填空： ①书店到健身馆的距离为______； ②小强从家到书店的速度为______； ③小强从书店返回家的速度为______； ④当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为_____． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2)①1；②0.125；③1；④12或26.4或36 (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由题意知，当，小强的速度为；即离开健身馆时，离家的距离为；当，小强的速度为；时，离家的距离为；时，离家的距离为；当，小强的速度为；填表即可； （2）①由题意知，书店到健身馆的距离为1；②由（1）可知，小强从家到书店的速度为0.125；③由（1）可知，小强从书店返回家的速度为1；④由题意知，当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为min；当，当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为min；当，当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为min； （3）当，待定系数法求得 ；当，；当，待定系数法求得；进而可得y关于x的函数解析式． 【详解】（1）解：由题意知，当，小强的速度为； ∴离开健身馆时，离家的距离为； 当，小强的速度为； 时，离家的距离为； 时，离家的距离为； 当，小强的速度为； 填表如下： 离开健身馆的时间/ 10 20 25 28 32 离家的距离/ 1 0 0.625 1 1 （2）①解：由题意知，书店到健身馆的距离为1； 故答案为：1； ②解：由（1）可知，小强从家到书店的速度为0.125； 故答案为：0.125； ③解：由（1）可知，小强从书店返回家的速度为1； 故答案为：1； ④解：由题意知，当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为min； 当，当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为min； 当，当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为min； ∴当小强离家的距离为时，他离开健身馆的时间为12或26.4或36； 故答案为：12或26.4或35； （3）解：当，设，将，代入得，，解得，即； 当，； 当，设，将，代入得，，解得，即； 综上，当时，y关于x的函数解析式为：； 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式等知识．解题的关键在于正确的理解题意． 28．周末，扎西和爸爸去南山公园露营，早上扎西徒步先行出发，爸爸带上露营物资骑自行车后出发，到达露营地扎营．因接到将要下雨的消息，爸爸就原路返回去接扎西，接到后骑车一起到露营地．行进过程中爸爸和扎西行驶速度均保持不变，两人行驶的路程和时间如图所示．请根据图象回答问题： (1)扎西的行驶速度是 　 　；爸爸的行驶速度是 　 ； (2)求爸爸接到扎西的时刻； (3)爸爸和扎西能否在下雨之前赶回露营地？请说明理由． 【答案】(1)， (2)爸爸接到扎西的时刻为扎西出发后65分钟 (3)爸爸和扎西能在下雨之前赶回露营地，详见解析 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据图象可得，扎西20分钟步行了千米，爸爸骑自行车20分钟走了6千米，计算即可得出答案； （2）设爸爸接到扎西的时间为扎西出发后x分钟，根据图象可得，爸爸在扎西出发后58分钟时出发接扎西，他们相遇时所走路程为6千米，根据题意列方程，计算即可得出答案； （3）根据题意可得，爸爸在接到扎西所用时间为7分钟，返回营地的时间为7分钟，则扎西到达营地所用时间为，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， 扎西的速度是（），爸爸的行驶速度是（）． 故答案为：，； （2）设爸爸接到扎西的时间为扎西出发后x分钟， 根据题意可得， ， 解得：， 答：爸爸接到扎西的时刻为扎西出发后65分钟； （3）根据题意可得， 爸爸在接到扎西后，返回营地的时间为7分钟， 则所用时间为（分钟）， 因为， 所以爸爸和扎西能在下雨之前赶回露营地． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，准确理解函数图象中的信息进行求解是解决本题的关键． 29．如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）结合图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ， ∴ ； 综上，关于的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：根据函数图象， 当，则，解得：， ； 当，则，解得：， ； 综上，时的取值范围为或． 【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象，矩形的性质，三角形面积，求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键． 30．将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，，点在边上（不与点重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，与交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)请直接写出折叠后重合部分面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】坐标与图形、含30度角的直角三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（）利用点的坐标可知的长度，再利用角的直角三角形求得即可解答； （）利用含角的直角三角形的性质解答就可得到结论，通过计算当点与点重合式的值即可解答； （3）利用分类讨论的方法分两种情况解答，分别计算出当时和当时折叠后重合部分的面积即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴由折叠的性质可知：，， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ， ∴， ∴点， （2）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 当点和点重合时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重合部分的四边形，的取值范围为． （3）解：①当时，折叠部分为， ∴， ∴折叠后重合部分的面积为， 当时，折叠后重合部分的面积最大，最大为； ②当时，折叠后重合部分为四边形， 过点作于点，如图， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴折叠后重合部分的面积为：， ∵， ∴当时，折叠后重合的部分面积有最大值为， ∵， ∴折叠后重合的部分的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平面直角坐标系，点的坐标特征，折叠的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 31．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图， 列表：下表是与的几组对应值，其中　 　； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：　 　． (3)利用函数图象，解不等式． 【答案】(1)，见解析 (2)图象关于轴对称 (3)或 【知识点】公式法解一元二次方程、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）代入求值即可；经历描点、连线形成图象； （2）依据函数的图象关于轴对称； （3）先解方程求的交点坐标的横坐标，进而根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入得，， 函数图象如图， 故答案为：； （2）观察图形得出函数的性质：图象关于轴对称； 故答案为：图象关于轴对称； （3）作出直线， 当时，则令 ，整理得， 解得 或， 当时，则令 ，整理得， 解得 ， 观察图象可知，当或 时，直线在函数的图象的下方， 故不等式的解集为或 ． 32．对于和上的一点A，若平面内的点P满足：射线与交于点Q（点Q可以与点P重合，且，则点P称为点A关于的“阳光点”．已知点O为坐标原点，点． (1)若点P是点A关于的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ； (2)若点B是点A关于的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围； (3)直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段上存在点A关于的“阳光点”，，请直接写出b的取值范围是 ． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据“阳光点”的定义即可解决问题（答案不唯一）； （2）如图，在x轴上方作射线，与交于M，并在射线上取点N，使，则，将关于x轴对称，得．则由题意，上的点是满足条件的点B，分别确定点N与点D的横坐标即可； （3）Q是上异于点A的任意一点，延长到P，使得，易知点P的运动轨迹是以为圆心2为半径的圆，求出直线与相切时b的值，再求出直线经过时b的值，即可判断，再根据对称性可得时的取值范围． 【详解】（1）解：如图，设与交于点Q， 当点P的坐标为时，则， ∴， ∴， ∴， 根据“阳光点”定义可知，点P的坐标为时符合题意， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：，理由如下： 如图，在x轴上方作射线与交于M，并在射线上取点N，使，则， 由对称性，将关于轴对称得， 则由题意，上的点是满足条件的点B， 设 交x轴于点D， ∴， ∵的半径为1，点． ∴， ∴， 作轴于H，连接， ∵， ∵是圆O的直径，圆O的半径为1， ∴， 则， ∴，即， ∴， ∴， ∵上的点是满足条件的点B， 即点B的横坐标在H、D的横坐标之间， 故点B的横坐标范围t为：； （3）解：如图，Q是上异于点A的任意一点，延长到P，使得， ∵直线与轴交于点M，且与y轴交于点N， 当时，， 当时，， 则，． ∴， ∴，即直线与x轴的夹角为， 连接，则， ∵ ∴， ∵Q是上异于点A的任意一点， ∴Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆， ∴点P的运动轨迹是以为圆心，2为半径的圆，当直线与相切于点R时，连接， 在中，， ∵直线与x轴夹角为， ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 当直线经过时，满足条件，此时， 观察图象可知：当直线在的下方时，当时，线段上存在点A关于的“阴光点”， 当直线在的上方时，同理可得当时，也满足条件， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合题、锐角三角图数、直线与圆的位置关系、新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题． 33．某水果超市欲购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为a元，如果一次购买超过40千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为26元/千克．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)a＝____ (2)求y与x之间的函数关系式； (3)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额W（元）最少？ 【答案】(1)30 (2) (3)甲购进30千克，乙购进50千克时付款总额最少 【知识点】从函数的图象获取信息、分配方案问题(一次函数的实际应用)、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据购买40千克甲水果，付款1200元求解即可； （2）分0≤x≤40和4x＞40两种情况写出函数解析式， （3）先根据甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克求出x的取值范围，在分30≤x≤40和40＜x≤50两种情况写出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：30； （2）解：当时，， 当时，， ∴； （3）解：设购买甲种水果m千克，则购买乙种水果千克， 由题意得： ， 当时， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当m=30时，W有最小值2200元， 当时， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当m=50时，W有最小值2220元， ∵2200<2220， ∴当购买甲种水果30千克，乙种水果50千克时，付款总额最少， 答：购买甲种水果30千克，乙种水果50千克时，付款总额最少． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息和一次函数的应用，解题的关键在于能够正确读懂函数图像． 34．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，曲线． (1)求点D的坐标； (2)当曲线G经过的对角线的交点时，求k的值； (3)若曲线G刚好将边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k的取值范围是______． 【答案】(1)点D的坐标为． (2)． (3)． 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）因为A(1，2)，B(4，2)，C(7，5)，AB//CD可求点D的坐标； （2）由( 1 )得，用中点公式可求k； （3） 数形结合，从▱ABCD的中心上下移动曲线，线上方有7个整点，当y=kx经过点E时，可求k，下方有8个整点，经过F时，可求k，曲线上方有8个整点，下方有6个整点，可得到k的取值范围． 【详解】（1）∵，， ∴． 又∵，， ∴点D的坐标为． （2）∵点， ∴的中心坐标为，， ∴． （3）从的中心上下移动曲线，如图1所示， 当经过点时，，曲线上方有7个整点，下方有8个整点． 如图2所示， 当经过点时，，曲线上方有8个整点，下方有6个整点． ∴综上所述，当时，曲线刚好将边上及其内部的“整点”分成数量相等的两部分． 【点睛】本题主要考查反比例函数，平面直角坐标系性质，关键是熟练使用二者的性质来求解问题． 35．如图，点是直径上一定点，点是直径上一动点，过点作交于点，作射线交于点，连接． 小亮根据学习函数的经验，对线段，，的长度之间的数量关系进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整；    (1)对于点在的不同位置，画图，测量，得到了，，线段的长度的几组对应值，如下表： 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 在，，的长度这三个量中，如果选择______ 的长度为自变量，那么______ 的长度和______ 的长度为关于这个自变量的函数． (2)在图的平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象． (3)结合图形和函数图象，解决下列问题： ①当时，线段的长度约为______ ；（结果保留一位小数） ②连接，当时，线段的长度为______ ． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)①；② 【知识点】动点问题的函数图象、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据函数的定义解决问题即可（答案不唯一）； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）①利用两个函数的图象判断出交点的横坐标即可解决问题； ②由表中数据可知直径，根据直角三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如果选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数答案不唯一． 故答案为：，，； （2）解：描点、连线，函数图象如图所示：   ； （3）解：①观察图象可知两个函数的图象的交点的横坐标约为， 与的值相等时，的值约为， 故答案为：； ②连接，    ∵， ∴，则， 由表中数据可知直径， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握函数的图象，描点法画函数图象等知识是解题的关键． 【能力提升】 36．如图，已知中，，，点、分别是、的中点，点从点出发，沿折线，运动，到点后停止．连接，设点运动的路程为，的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出自变量取值范围； (2)根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质： ； (3)请结合图象直接写出当时，x的取值范围是 （保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)函数关于对称（答案不唯一） (3) 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题为三角形综合题，考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的图象、三角形相似等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）当点在上运动时，由，求出，进而求解；当点在上运动时，同理可解； （2）通过取点描点连线绘制图象即可，再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解； 【详解】（1）当点在上运动时， 点、分别是、的中点，则，， 则， 分别过点、作的垂线，垂足分别为：、，则， 在中，，，则， ，则， ，即， 解得：； 则； 当点在上运动时， 同理可得：， 即； （2）当时，，当时，，当时，， 将上述3个点描点连线绘制图象如下： 从图象看，函数关于对称， 故答案为：函数关于对称（答案不唯一）； （3）从图象看，当时，， 故答案为：． 37．在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． (2)点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 【答案】(1) ；； ； (2)． 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标、点到直线的距离 【分析】（1）线段平移得到线段，可得，，进一步得到的坐标和的面积．设点坐标，作垂线构造直角三角形，将大直角三角形的面积转化成两个小三角形面积相加，列出方程，再求点的坐标． （2）根据平移的性质，，，可得，，把，，，，的坐标用表示出来，轴，， ．利用不同象限内点的坐标特征求出的取值范围，就可得出面积的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 如图，作 轴，连接，设点坐标为． ， ∴，，， 可得 ， 解得， ∴． 故答案为： ；． ． （2）根据题意得 解得：． ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为． ∵点，在轴正半轴上， ∴， ∵点是第四象限上的一个动点，垂直轴于点，点到直线的距离为． ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴点，的横坐标相同， ∴轴，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了图形平移的性质，面积法求坐标．解题的关键在利用平移的性质得出，，的转化关系，利用不同象限点的坐标特征求出的取值范围． 38．定义：在平面直角坐标系中，已知点，，可以得到的中点的坐标为；当时，将点向上平移个单位，得到；当时，将点向下平移个单位，得到，我们称点为关于的中心平移点．例如：，，的中点的坐标为，关于的中心平移点的坐标为． (1)已知，，，直接写出关于的中心平移点及关于的中心平移点的坐标； (2)已知，位于轴的同侧，关于的中心平移点为，若的面积比的面积大6，求的值； (3)已知， ，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，分别过点与作轴的平行线与．若点在线段上，且关于的中心平移点在与之间（不含，），直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】求不等式组的解集、坐标与图形、根据三角形中线求面积、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据中心平移点的定义，即可求解； （2）取的中点P，连接，则，可得的中点坐标为，根据点P为的中点，可得，然后根据的面积比的面积大6，可得，即可求解； （3）根据题意可得点，，设点V的坐标为，可得，从而得到关于的中心平移点的坐标为，进而得到，再由关于的中心平移点在与之间（不含，），可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点和的中点坐标为， ∴关于的中心平移点的坐标为， ∵点和， ∴的中点坐标为， ∴关于的中心平移点的坐标为； （2）解：如图，取的中点P，连接，则， ∵，， ∴的中点坐标为，即， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大6， ∴， ∴， ∴， 解得：或4； （3）解：∵ ，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到， ∴点，， 设点V的坐标为， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴关于的中心平移点的坐标为， ∴，即， ∵关于的中心平移点在与之间（不含，）， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，三角形的中线，坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 39．如图，直线与x轴、y轴分别交于点和点，直线与直线交于点，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴向右平移，到点时停止．直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，设与重叠部分的面积为（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）． (1)填空：_______，______； (2)填空：动点的坐标为（t，_____），______（用含t的代数式表示）； (3)当点落在轴上时，求的值． (4)求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； 【答案】(1)8； (2)； (3)2 (4) 【知识点】函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）分别令、求出、的长度，再根据等腰直角三角形的性质求出的度数； （2）根据等腰直角三角形的性质可得动点E的坐标，进而求出的长度； （3）当点在轴上时，四边形为正方形，进而求出的值； （4）点的位置有三种可能：①点在轴的左侧；②点在轴上；③点在轴右侧，求出S与t的关系式． 【详解】（1）与轴交于A点，与轴交于B点， ∵当时，；当时，， ∴， ∴， 故答案为：8；． （2）∵直线与直线交于点C， ∴联立，得， 解得，， ∴，， 则，即，， ∵且直线m平行于y轴，垂直于x轴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：；． （3）当点落在轴上时， ， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∴，即， ∴， ∴，即， 故答案为：2． （4）由题意可知：直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰， 所以点的位置有三种情况： ①由（3）可知，当时，点在轴上， 此时和重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形为正方形， ； ②当时，点 在轴左侧， 此时与重叠部分为梯形， 如图，的两直角边与轴有两交点P、Q，分别过两个交点作x轴的平行线，交于M、N两点， ； ③当时，点在轴右侧， 此时和重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形为正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据一次函数解析式求点的坐标，以及三角形的面积的计算，正确表示出的长是关键． 40．如图1，点，，且满足 ． (1)直接写出点M、点N的坐标：M ，N ； (2)点P以每秒2个单位长度的速度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图1，当时，直线，交于第四象限的点D，已知点D的横坐标是3，求点 D的纵坐标； ②如图 2，当时，在线段 上任取一点E，连接，点 G 为的角平分线上一点，且满足 ．请将图补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①；②或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由非负数的性质可得，解方程组即得答案； （2）①证明即可得到点D的纵坐标； ②分点G在上方和下方两种情况补全图形，过点G作，过点O作，设，，根据平行线的性质分别求出，，的度数，即可求得答案． 【详解】（1）， ， 解得， 所以点M、点N的坐标：，； 故答案为：；； （2）① 过点D作轴于点H， 则， ， ， ， ， ， 点 D的纵坐标为； ②补全图形有两种可能，具体如下（图a和图b）   或． 理由如下： 如图a，当点G在上方时， 点 G 为的角平分线上一点， 设， ， 设，则， ， ， 过点G作， ， ，， 过点O作， ， ， ，， ， 而， ， ； 如图b，当点G在下方时， 点 G 为的角平分线上一点， 设， ， 设，则， ， ， 过点G作， ， ，， ， 过点O作， ， ， ，， ， ， ． 综上说述，、、之间的数量关系是或． 【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，坐标与图形，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组,作出合适的辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$