微专题03 含30°角直角三角形通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题03 含30°角直角三角形通关专练 一、单选题 1．如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】先根据等边三角形性质得到∠ADC = 90°，∠CAD= 30°，再设CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理计算即可． 【详解】∵等边△ABC中，AD⊥BC， ∴∠ADC= 90° ∠CAD=∠BAD= 60°÷2= 30° ， AB= AC， 设CD=x，则AC= 2x， 在Rt△ACD中， 解得：x=±1(舍负)， ∴AB= AC= 2． 故选C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟练应用等边三角形的性质． 2．如图，直角中，，，且，，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解题关键．根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 3．如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】根据含有角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 这棵树在折断前的高度为（米）． 故选D． 【点睛】本题考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．如图，在中，，，求作的三等分线． 阅读以下作图步骤： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线交于点F，交于点H，画射线； （2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交于点M，交于点N； （3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点G，画射线，则射线即为所求． 下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．为等边三角形 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】由垂直平分线段可判断A，由30度角的性质可判断B，由等边三角形的判定可判断D，由三线合一可判断C． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知垂直平分线段， ∴，故选项A正确， ∴， ∵， ∴，故选项B错误， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故选项D正确， 由作图可知平分， ∴，故选项C正确， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 5．如图所示折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30，则AC的长是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】由三角形的内角和可得，由折叠可得，，继而求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】， ， 由折叠可得，， ， 在中， ， ， 由勾股定理得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．5.5 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】过P作于Q，利用三线合一得到Q为中点，求出的长，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由求出的长即可． 【详解】解：过P作于Q， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 7．如图，在中，，，，绕点A顺时针旋转，得到，点B，E之间的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】连接，根据含30度的直角三角形的性质可得，根据旋转得到，，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， 由旋转可知：，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是由旋转得到，． 8．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，若ED=3，则AC的长为（　　　） A． B．9 C．12 D．6 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC=DB，DE⊥BC，求出BD=DC=2DE=6，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC=DB，DE⊥BC， ∵∠C=30°， ∴BD=DC=2DE=6， ∴∠DBC=∠C=30°， 在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°， ∴∠ABD=60°-30°=30°， ∴AD=BD=3， ∴AC=DC+AD=9， 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 9．如图，在Rt中，D为BC上一点，，且，若，，则(   )    A． B．9 C． D．9.5 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】根据线段垂直平分线的性质得则可得，由三角形外角的性质可得再证由“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”，即可求出的长． 【详解】 ∴是的垂直平分线， ， ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质和“直角三角形中角 所对的边等于斜边的一半”的性质，熟练掌握以上知识，求出的度数是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转30°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是（    ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．逐渐变大 D．不变 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、含30度角的直角三角形 【分析】在AB上取一点D，使DE=AC，再根据“SAS”证明△ACF≌△DEC，进而得出，然后作CG⊥DE，求出CG，即可求出固定的值． 【详解】在AB上取一点，使DE=AC=4， ∵∠CED是△ACE的外角， ∴∠CED=∠ACE+∠BAC=∠ACE+30°． ∵∠ACF=∠ACE+∠ECF=∠ACE+30°， ∴∠CED=∠ACF． ∵AC=DE，CE=CF， ∴△ACF≌△DEC， ∴． 作CG⊥DE，交AD于点G， 在Rt△ACG中，AC=4，∠CAG=30°， 则， ∴， 所以△AFC的面积不变． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定和直角三角形的性质，构造两个全等三角形是解题的关键． 11．如图1，在等边中，点D是边的中点，点P为边上的一个动点，设，图1中线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边的周长为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】先由图2得出y的最小值，然后结合图1分析可知，当P点运动到DP⊥AB时，DP为最小值，从而求出BD，根据D为BC的中点，即可求出BC，即可求出答案． 【详解】解：由图2可得y最小值＝， ∵△ABC为等边三角形，分析图1可知，当P点运动到DP⊥AB时，DP长为最小值， ∴此时DP＝， ∵DP⊥AB， ∴， ∵△ABC为等边三角形， ∵∠B＝60°，AB=BC=AC， ∴， ∴BD=2BP， 根据勾股定理可知，， ∴， ∴或（舍去），， ∵D为BC的中点， ∴BC＝4， ∴AB=BC=AC=4， ∴等边△ABC的周长为12． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质，勾股定理，正确理解P点运动到何处时DP最小及求出BD的长，是解题的关键． 12．如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ①当点E为的中点时，如图，    ∴， ②当点E为的四等分点时，如图所示：    ∴， 综上所述：或2； 故选D． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键． 13．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、．则以下与的数量关系正确的是　　    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】首先连接，由在中，，，可求得的度数，又由的垂直平分线交于点，交于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，然后由含角的直角三角形的性质，证得． 【详解】解：连接，    是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， 故选：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 14．如图，在中，，，．将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】由勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点与点的距离是． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理．掌握旋转的性质是解题的关键． 15．如图，在边长为4的等边中，D 是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接，当最小时，的长度为（     ）． A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】连接，证得，通过全等的性质，再利用点到线的距离垂线段最短以及勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：连接 等边边长为4，D 是的中点，， ，，， 在和中， ， ，， 当最小时，， 此时， 在中， 故选：C 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，以及直角三角形角的性质和勾股定理，牢固掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题 16．如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键.先根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，再根据等边三角形的性质进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是中点， ， 等边三角形， 周长， 故答案为：． 17．在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，AD是角平分线，CD=3cm，点P在边AB上运动（不与端点A，B重合），则线段DP的长度范围为 ． 【答案】3≤DP＜6 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝2CD＝6，过D作DP⊥AB于P，PD＝AD＝3，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵∠CAB＝60°，AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵∠ACB＝90°，CD＝3， ∴AD＝2CD＝6， 过D作DP⊥AB于P， ∴∠APD＝90°， ∴PD＝AD＝3， ∴线段DP的长度范围为3≤DP＜6， 故答案为：3≤DP＜6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．如图，在中，，，，将绕点B逆时针旋转至，连接，则线段 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】过点D作于点F，连接，根据旋转的性质可得，从而得到是等边三角形，进而得到，根据直角三角形的性质可得，再由求出的长，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F，连接， ∵将绕点B逆时针旋转至， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握图形的旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 19．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PCOA，PD⊥OA，若PC=4，则∠COP= ，PD= ． 【答案】 15° 2 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】∠COP直接由图可知，过点P作PE⊥OB交OB于点E，首先利用平行线的性质及三角形外角的性质得出，进而求出PE，最后利用角平分线的性质即可得出答案． 【详解】如图，过点P作PE⊥OB交OB于点E， ∵∠BOP=15°， ∴∠COP=∠BOP=15°． ∵PCOA， ， ． ， ． ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB， ， 故答案为：15°，2． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质及含30°的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质是关键． 20．如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】先根据含角的直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 由旋转的性质得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 21．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，恰好落在上，则点与点B之间的距离为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质． 连接，则长度即为所求，根据直角三角形角所对直角边等于斜边的一半，求出的值，再利用勾股定理求出的值，然后根据旋转的性质证明是等边三角形，再证，证得是等边三角形即可得出答案．利用勾股定理求出的值，掌握等边三角形判定“有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形是解本题关键． 【详解】解：如图，连接，    在中，，，， ， ， ， 是由绕点C按逆时针方向旋转所得， ，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ． 22．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .      【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的运动路径的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 23．如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 ．    【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、三角形角平分线的定义 【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积． 【详解】解：延长交于， ∵垂直的平分线于， ∴， 又知，， ∴， ∴，， ∴和等底同高， ∴， ∴ ， 故答案为    【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 24．如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时，的值最小，由直角三角形的性质求得，由，得到，即可得到答案． 【详解】是等边三角形， ，， 作点关于直线的对称点，过作于，交于， 则此时，的值最小， ，， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为： 【点睛】此题考查轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、角直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键． 25．如图，在中，，则面积是 ;若以为边向外作等边，连，则长为 ．    【答案】 14 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式可得出答案；以为边作等边三角形，连接，过点作，交的延长线于，证明，得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】解：过点作于，   ，， ， ， ， ； 以为边作等边三角形，连接，过点作，交的延长线于， 与都为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， 在中，，， ，，， ， ． 故答案为：，14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 26．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且和相交于点于．    （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，则______． 【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）7． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】（1）结合等边三角形的性质，利用SAS可证明，由全等三角形对应边相等的性质可得结论； （2）由全等三角形对应角相等可得，再由三角形外角的性质可得的度数； （3）结合（2）可得，由直角三角形30度角的性质可得BM长，易知BE，由（1）可知AD长. 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴． 在和中， ∴． ∴． （2）如图    ∵， ∴． ∴． （3） 由（2）得， 由（1）得 【点睛】本题是三角形的综合题，涉及的知识点有全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，三角形外角的性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用全等三角形的性质是解题的关键. 27．如图，在中，，．于点E，平分． （1）求证； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的性质可得，再由等量代换及等角对等边即可证明； （2）根据三角形外角的性质可得，再由垂直的性质得出，利用三角形内角和求解即可得． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握运用各个性质定理是解题关键． 28．在中，，D为内一点，连接，CD．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，延长交于点E，P为上一动点，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据等边等对角以及三角形内角和求出即可． （2）过点B作，交延长线于点E，则，根据角度关系证明，求得，根据证明，得到，最后求得即可． （3）过点D作，垂足为F，G，通过证明得到，过点P作，垂足为H，则，当点E，P，H在一条直线上时，此时，最小，即最小，最小值为的长，最后根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：过点B作，交延长线于点E，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作，垂足为F，G    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 过点P作，垂足为H，则， ∴当点E，P，H在一条直线上时，此时，最小， 即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AC边上的一点． (1)求作点D，使DB=DA．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在满足（1）的条件下，若BC=3，求AD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）直线EF垂直平分AB交AC于点D，则点D即为所求； （2）根据AD=BD，可得∠ABD=∠A=30°，从而得到∠CBD=30°，进而得到BD=2CD，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； 理由：∵EF垂直平分AB， ∴AD=BD； （2）解：∵AD=BD，∠A=30°， ∴∠ABD=∠A=30°， ∵∠C=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠CBD=30°， ∴BD=2CD， ∵BC=3，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作垂线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 30．新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图是某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心到地面的距离．在荡秋千过程中（秋千的长度始终保持不变），当秋千摆动到最高点时，测得点到地面的距离，；当从处摆动到处时，有． (1)求荡秋到地面的最小距离； (2)求到的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质 ，准确识图，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）先在中求出，即可求出，然后求出即可； （2）过作于M，先求出，然后利用含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 又， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴ 即荡秋到地面的最小距离为； （2）解：过作于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即到的距离为． 31．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由为边的中点，可得，证明即可； （2）由，可得是等边三角形，则，然后求的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， D为边的中点， ， ， ， 在与中 ， ； （2）在中，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 32．综合与实践： 操作发现：如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起，使点，，在同一直线上，连接． （1）如图1，若，求证：； （2）如图1，，求的度数； 拓广探索： （3）如图2，若，，于点F，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明，利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）同法可证，推出，由，推出即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵， ∴， ，， ， ∴； （2）解：如图1中，设交于． ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：设交于点，如图2中， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 33．如图，在中，，，，点C和点D关于直线对称． (1)求作点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)连接，过点C作交的延长线于点E，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了作图，平行线的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图以及平行线的性质是解题的关键 （1）在的上方作，在射线上截取，使，点D即为所求； （2）过 A 作 于 H，设交直线于 G，分别求出，可得结论 【详解】（1）如图所示 （2）过 A 作 于 H，设交直线于 G， ，， ，， 由， ， 解得 ， ， 点C和点D关于直线对称， ， ， ， ， ， 是线段的垂直平分线， 在中，，， ， ， 34．如图，在中，是锐角，，于点D．将沿着翻折，点D的对应点为点E． (1)用尺规作出点E，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)连结交于点F，过点E作交的延长线于点H，补充图形．探究线段与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析，，过程见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、画轴对称图形、折叠问题 【分析】（1）分别以点A和点C为圆心，，为半径画弧，交于点E，连接，即可； （2）先求出，根据折叠得到相应结论，求出，，证明是等边三角形，得到，可得，从而化简可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵，， ∴， 由折叠可知：，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴，化简得：． 【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是灵活运用图形中的线段关系求出结果． 35．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，． (1)【特例体验】 如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ； (2)【类比探究】 如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC； (3)【拓展迁移】 如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）． 【答案】(1)60° (2)证明见解析； (3) ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）在BD上取点E，使BE= CD，证明△ABE≌△ACD(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CAD， AE= AD，由等边三角形的性质可得出答案； （2）在DC的延长线上取一点H，使BD= BH，证明△ABD≌△CBH (SAS)，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）延长DC至H，使CH = AC，连接BH，证明△ABC≌△HBC(SAS)，由全等三角形的性质得出AB= BH，，证出△BDH为等边三角形，在Rt△CED中，设ED = m，则CE=2m，由等边三角形的性质得出DH=BH=AB=km+2m，则可得出答案． 【详解】（1）解：在BD上取点E，使BE= CD，如图1所示： ∵，， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB= AC， ∵∠BAC =∠BDC，∠AOB=∠COD， ∴∠ABE=∠ACD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴△AED是等边三角形， ∴∠ADB=60°； 故答案为：60°； （2）证明：在DC的延长线上取一点H，使，如图2所示： ∴ ， ∵，， ∴， ∵AB＝BC，， ∴， 又∵， 即， ∴， 在△ABD和△CDH中， ∴(SAS)， ∴ ， ∴； （3）解：延长DC至H，使CH = AC，连接BH，如图3所示： 图3 ∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°， ∴∠ACB=∠BCH， ∵AC = CH，BC= BC， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴△BDH为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，能够准确作出辅助线构造出全等三角形以及等边三角形性质的运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 含30°角直角三角形通关专练 一、单选题 1．如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，直角中，，，且，，则（   ） A．6 B． C． D． 3．如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在中，，，求作的三等分线． 阅读以下作图步骤： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线交于点F，交于点H，画射线； （2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交于点M，交于点N； （3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点G，画射线，则射线即为所求． 下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．为等边三角形 5．如图所示折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30，则AC的长是（   ） A．1 B．2 C． D． 6．如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．5.5 7．如图，在中，，，，绕点A顺时针旋转，得到，点B，E之间的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 8．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，若ED=3，则AC的长为（　　　） A． B．9 C．12 D．6 9．如图，在Rt中，D为BC上一点，，且，若，，则(   )    A． B．9 C． D．9.5 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转30°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是（    ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．逐渐变大 D．不变 11．如图1，在等边中，点D是边的中点，点P为边上的一个动点，设，图1中线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边的周长为（    ） A．4 B． C．12 D． 12．如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 13．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、．则以下与的数量关系正确的是　　    A． B． C． D． 14．如图，在中，，，．将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在边长为4的等边中，D 是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接，当最小时，的长度为（     ）． A． B．2 C． D．3 二、填空题 16．如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ． 17．在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，AD是角平分线，CD=3cm，点P在边AB上运动（不与端点A，B重合），则线段DP的长度范围为 ． 18．如图，在中，，，，将绕点B逆时针旋转至，连接，则线段 ． 19．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PCOA，PD⊥OA，若PC=4，则∠COP= ，PD= ． 20．如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 21．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，恰好落在上，则点与点B之间的距离为 ．    22．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .      23．如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 ．    24．如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 25．如图，在中，，则面积是 ;若以为边向外作等边，连，则长为 ．    三、解答题 26．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且和相交于点于．    （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，则______． 27．如图，在中，，．于点E，平分． （1）求证； （2）求的度数． 28．在中，，D为内一点，连接，CD．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，延长交于点E，P为上一动点，连接，若，，求的最小值． 29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AC边上的一点． (1)求作点D，使DB=DA．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在满足（1）的条件下，若BC=3，求AD的长． 30．新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图是某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心到地面的距离．在荡秋千过程中（秋千的长度始终保持不变），当秋千摆动到最高点时，测得点到地面的距离，；当从处摆动到处时，有． (1)求荡秋到地面的最小距离； (2)求到的距离． 31．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 32．综合与实践： 操作发现：如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起，使点，，在同一直线上，连接． （1）如图1，若，求证：； （2）如图1，，求的度数； 拓广探索： （3）如图2，若，，于点F，求的长度． 33．如图，在中，，，，点C和点D关于直线对称． (1)求作点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)连接，过点C作交的延长线于点E，求的长度． 34．如图，在中，是锐角，，于点D．将沿着翻折，点D的对应点为点E． (1)用尺规作出点E，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)连结交于点F，过点E作交的延长线于点H，补充图形．探究线段与的数量关系． 35．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，． (1)【特例体验】 如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ； (2)【类比探究】 如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC； (3)【拓展迁移】 如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$