专题02 整式乘除法重难点题型归纳（十大类型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题02整式乘除法重难点题型归纳（十大类型） 【题型1 单项式乘单项式】 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【题型3 单项式乘多项式】 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【题型5 利用多项式乘法求字母或代数式的值】 【题型6 多项式乘多项式】 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 【题型8 多项式的化简求值】 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的的值】 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 【题型1 单项式乘单项式】 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，灵活应用单项式的乘法则是解题的关键． 根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选C． 2．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算； （1）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，熟记它们的运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，利用同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 6．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 7．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 8．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 9．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 10．已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 【题型3 单项式乘多项式】 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键．先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到答案． 【详解】解：； ； 故答案为：； 13．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先计算积的乘方及同底数幂的乘法，然后对括号内的部分合并同类项，得出结果后再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，单项式乘多项式等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求出答案； （2）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可求出答案； （3）先计算乘方，再根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求出答案； （4）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可求出答案； （5）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键．先计算单项式乘多项式、然后合并同类项进行化简． 【详解】解： ． 16．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则化简即可． 【详解】解：原式 ． 17．计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以多项式是把单项式与多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加，解决本题的关键是根据单项式乘以多项式的法则进行计算． 【详解】解： ． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 18．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算．由题意得，小芳卧室的面积为，再根据整式的混合运算法则整理即可． 【详解】解：由题意得，小芳卧室的面积 ． 故答案为：． 19．为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． (3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】（1）由花坛的面积等于大长方形面积减去小长方形面积表示出S即可； （2）利用非负数的性质求出m与n的值，代入S中计算即可得到结果； （3）用单价×面积×单个人工费用进行计算求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即该花坛的面积为． （3）解：（元） 答：为该广场铺满这款地砖一共要花费元． 【点睛】此题考查整式的加减——化简求值，解题关键是熟练掌握运算法则． 20．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 21．如图，学校准备扩建劳动基地，总共用48米长的围栏再搭建一个长方形的劳动基地，其中一边靠足够长的墙，并用围栏将花草种植区与蔬菜种植区分割．设长方形劳动基地的宽为x米． (1)求劳动基地的面积； (2)如果宽为8米时，求劳动基地的面积． 【答案】(1)平方米； (2)劳动基地的面积为192平方米． 【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到长方形花圃的长是解题的关键． （1）长方形劳动基地的宽为米，可得劳动基地的长为米，根据长方形的面积公式计算，即可； （2）把代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解：设劳动基地的宽为米，则劳动基地的长为米； 根据题意得：劳动基地的面积为平方米； （2）解：当时，． 答：劳动基地的面积为192平方米． 22．如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 【答案】(1)平方米 (2)4平方米 【详解】解：（1）由图可知：厨房长为米，宽为米，这块土地的总面积为： 平方米， 答：这块土地的总面积是平方米． （2）当米，米时，厨房用地面积为： （平方米）． 答：厨房的用地面积为4平方米． 23．（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积； （2）根据题目中的图形，可得这块长方形地块的长为，宽为，利用面积公式计算即可． 【详解】解：（1）纸片的面积是：， 小正方形的面积是：， 则折成无盖盒子所用硬纸片的面积是． （2）长方形地的长为，宽为， 这块地的面积为． 24．小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【答案】(1)（平方分米） (2)360元 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （平方分米） ∴盒子的外表面积为平方分米； （2）解：当，时， （平方分米） 则喷漆的费用为（元）． 答：喷漆共需要360元． 【题型5 利用多项式乘法求字母或代数式的值】 25．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 26．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 27．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 28．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 【题型6 多项式乘多项式】 29．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式得运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式运算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可； （3）利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则求解即可； （4）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握单项式和多项式的运算法则是解决本题的关键． （1）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （2）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （3）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （4）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算法则是解题关键． （1）利用多项式乘以多项式计算，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 35．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． (1)根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． (3)小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①B类纸片有7张，；②B类纸片有13张，；③B类纸片有8张， 【分析】此题考查了多项式乘法与几何图形． （1）根据图形，可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的图形； （3）根据多项式乘法即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，大长方形的面积可表示或， 即 （2）解：如图，即为所求， （3）由题意可得，①B类纸片有7张，； ②B类纸片有13张，； ③B类纸片有8张，． 36．今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长m米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积：（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查整式运算的实际应用： （1）直接利用长方形的面积公式进行计算即可； （2）用大长方形的面积减去小长方形的面积求出器材场地的面积，再用器材场地的面积减去绿地的面积即可． 【详解】（1）解：平方米， 答：长方形绿地的面积为平方米； （2）器材场地的面积为：米2， 平方米． 答：器材场地比绿地的面积大平方米． 37．我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1) (2)45 (3)9 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形的面积的和等于即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解；， ， ，，， ． 38．如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． (1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； (2)若，，求该长方形商业街区的总面积． 【答案】(1) (2)1500平方米 【分析】本题考查整式的运算以及代数式求值知识点， （1）先求出长方形商业街的长和宽，再根据长方形面积公式列出式子，并化简； （2）将，代入（1）所求的面积的式子进行计算求值。 【详解】（1）长方形区域的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的总面积为： ． （2）当，时， （平方米）． 当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米． 【题型8 多项式的化简求值】 39．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，合并同类项法则进行计算，是解题的关键． 根据多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，最后x=7代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 40．先化简，再求值：，其中． 【答案】；24 【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及求解，原式第一项利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式 41．化简求值：当，时，代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，化简求值，先计算多项式的乘法，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 42．先化简再求值：，其中； 【答案】， 【分析】本题考查整数运算中的化简求值，先进行乘法运算，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据多项式的乘法运算展开，进而合并同类项化简，最后将字母的值代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 44．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解： ， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的的值】 45．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 46．要使的展开式不含x的四次项，则a应等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式与多项式相乘的运算．先依据单项式与多项式相乘的运算法则计算，展开式后，因为不含项，所以项的系数为 0 ，再求的值 【详解】， ， 的展开式中不含x的四次项， ， 解得． 故选：D． 47．若多项式不含x的一次项，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ， 解得． 故选：B． 48．已知展开式中不含的一次项，则的取值为 . 【答案】4 【分析】本题考查了整式的混合运算无关项问题，掌握整式的混合运算，无关项的系数为0是解题的关键． 运用多项式乘以多项，再合并同类项，由无关项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵不含的一次项， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 49．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 50．已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则展开合并同类项后，不含项，且常数项是，据此进行解答即可； （2）按照多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项，常数项是， ，， ，； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 51．（为非负整数）当0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：观察这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 由“杨辉三角”得到：（n为非负整数）展开式的项系数和为，进而求解即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， … 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 52．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第八行的数得出的各项系数，即可求解． 【详解】解：依题意，第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 即的各项系数为： 其中第四项为：， ∴的展开式中的系数是， 故选：C． 53．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1  1 各项系数和为 第三行 1  2  1 各项系数和为 第四行 1  3  3  1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…，请完成下列问题： ①计算； ②计算； 【答案】(1)6，5，32 (2)①21；② 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项，即可求解； 【详解】（1）解：根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， … 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有6项，第二项的系数为，各项系数和为32； 故答案为：6，5，32． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴； ②由题意得：、、 ∴ ∴ ． 54．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)图中第6行的第4个数是 ； (2)若（m，n是常数），则 ， ； (3)已知，则 ； (4)若，求的值． 【答案】(1)10 (2)4，2 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的规律探究，理解系数及次数的变化规律是解答本题的关键． （1）由第5行写出第6行的所有数字即可求解； （2）写出的结果即可求解； （3）根据的结果即可求解； （4）当时，，当时，，进而得出答案； 【详解】（1）解：由第5行得到第6行的结果为 ∴图中第6行的第4个数是． 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：4，2； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式乘除法重难点题型归纳（十大类型） 【题型1 单项式乘单项式】 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【题型3 单项式乘多项式】 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【题型5 利用多项式乘法求字母或代数式的值】 【题型6 多项式乘多项式】 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 【题型8 多项式的化简求值】 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的的值】 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 【题型1 单项式乘单项式】 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： （1） ； （2） ． 3．计算： ． 4．计算 ． 5．计算： ． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 6．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 7．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 8．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 10．已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【题型3 单项式乘多项式】 11．计算： ． 12．计算：（1） ；（2） ． 13．计算的结果是 ． 14．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)． 15．计算：． 16．化简：． 17．计算． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 18．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 19．为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． (3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？ 20．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 21．如图，学校准备扩建劳动基地，总共用48米长的围栏再搭建一个长方形的劳动基地，其中一边靠足够长的墙，并用围栏将花草种植区与蔬菜种植区分割．设长方形劳动基地的宽为x米． (1)求劳动基地的面积； (2)如果宽为8米时，求劳动基地的面积． 22．如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 23．（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 24．小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【题型5 利用多项式乘法求字母或代数式的值】 25．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 26．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 27．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 28．若，则 ． 【题型6 多项式乘多项式】 29．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 31．计算： (1)； (2)． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．计算： (1)； (2)． 34．计算： (1)． (2)． 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 35．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． (1)根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． (3)小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 36．今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长m米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积：（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 37．我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 38．如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． (1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； (2)若，，求该长方形商业街区的总面积． 【题型8 多项式的化简求值】 39．先化简，再求值：，其中． 40．先化简，再求值：，其中． 41．化简求值：当，时，代数式的值． 42．先化简再求值：，其中； 43．先化简，再求值：，其中． 44．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解： ， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的的值】 45．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 46．要使的展开式不含x的四次项，则a应等于（   ） A． B． C． D．0 47．若多项式不含x的一次项，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 48．已知展开式中不含的一次项，则的取值为 . 49．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 50．已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 51．（为非负整数）当0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：观察这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 52．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 53．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1  1 各项系数和为 第三行 1  2  1 各项系数和为 第四行 1  3  3  1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…， 请完成下列问题： ①计算； ②计算； 54．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)图中第6行的第4个数是 ； (2)若（m，n是常数），则 ， ； (3)已知，则 ； (4)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$