专题03 旋转重难点模型（五大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题03旋转重难点模型（五大题型） 重难点题型归纳 【题型1 手拉手模型】 【题型2 “半角”模型】 【题型3 构造旋转模型解题 】 【题型4 奔驰模型】 【题型5 费马点模型】 模型一：“手拉手”模型 模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。 模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。 如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE 如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC 模型二： “半角”模型 模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角” 模型说明： （1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF （2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN² （3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。 模型三： 构造旋转模型解题 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形. 常见图形旋转： （1）“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决． 模型四：奔驰模型 模型五：费马点模型 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′ 【题型1 手拉手模型】 【典例1】如图，在中，于，，是上一点，且，连接，． (1)判断与的关系（直接写结果）； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，与的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； (3)如图，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求与夹角中锐角的度数． = 【变式1】如图，中，，，点、分别在、上，且． (1)直接写出和的数量关系； (2)将△绕点逆时针旋转，连接、，如图，第（）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (3)如图，连接，若，，，求的度数及点到的距离． 【题型2 “半角”模型】 【典例2】问题：如图①，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为______． (2)【类比引申】 如图②，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有（1）中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路、上分别有景点、，且与垂直，米，现要在、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【变式2-1】阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【变式2-2】【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． (1)【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． (2)【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． (3)【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【题型3 构造旋转模型解题 】 【典例3】（1）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． 如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数． 解：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ， ． 为①______三角形，②______°． 的度数为③______． （2）类比延伸： 如图②，在正方形内部有一点，若，试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【变式3-2】“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【题型4 奔驰模型】 【典例4】【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 【变式4-1】【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 【题型5 费马点模型】 【典例5】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件集中，从而解决问题． (1)阅读填空：如图，中，，，点，为边上的点，且，把绕点逆时针旋转至，_____度，，连接易证_____，则，，之间的数量关系为_____． (2)拓展研究：请利用第题中的思想方法，解决下面的问题： 如图，等边内有一点，，请判断，，之间的数量关系并证明； 如图，在中，，，，在内部有一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【变式5-1】如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【变式5-2】如图所示，中，，，，点为内一动点，若，则的最小值为 ． 【变式5-3】如图，在中，，，，P为内部一点，连接、、，则的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03旋转重难点模型（五大题型） 重难点题型归纳 【题型1 手拉手模型】 【题型2 “半角”模型】 【题型3 构造旋转模型解题 】 【题型4 奔驰模型】 【题型5 费马点模型】 模型一：“手拉手”模型 模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。 模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。 如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE 如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC 模型二： “半角”模型 模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角” 模型说明： （1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF （2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN² （3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。 模型三： 构造旋转模型解题 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形. 常见图形旋转： （1）“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决． 模型四：奔驰模型 模型五：费马点模型 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′ 【题型1 手拉手模型】 【典例1】如图，在中，于，，是上一点，且，连接，． (1)判断与的关系（直接写结果）； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，与的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； (3)如图，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求与夹角中锐角的度数． 【答案】(1)， (2)与的位置关系和数量关系没有发生变化，证明见解析 (3)与的夹角度数为 【分析】（1）先判断出，再判定再判断 （2）先判断出，再得到； （3）先判断出再判断出 最后计算即可. 【详解】（1）解：与的位置关系是： ， 数量关系是， 理由如下： 延长交于点， ∵于， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：与的位置关系和数量关系没有发生变化， 如图， ∵， ∴，即， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴； （3）∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 设交于点， 则 ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断 ． 【变式1】如图，中，，，点、分别在、上，且． (1)直接写出和的数量关系； (2)将△绕点逆时针旋转，连接、，如图，第（）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (3)如图，连接，若，，，求的度数及点到的距离． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)的度数为，点到的距离为 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得，由平行线的性质得，则，最后由线段和差即可求解； （）由旋转性质可知，证明即可； （）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，则，，由旋转性质可知，又，，即把绕点逆时针旋转可得到，则，由勾股定理逆定理证明为直角三角形，，则，由勾股定理求出，通过得出，又，则，设点到的距离为，求出的值即可； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由， 由（）得：， ∵将△绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵绕点逆时针旋转， ∴， 又∵，， ∴把绕点逆时针旋转可得到， ∴， 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作于，如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点到的距离为， 则， 解得， ∴的度数为，点到的距离为． 【题型2 “半角”模型】 【典例2】问题：如图①，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为______． (2)【类比引申】 如图②，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有（1）中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路、上分别有景点、，且与垂直，米，现要在、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)这条道路的长约为． 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识． （1）将绕点A逆时针旋转得到，证明，得到．则，即可得到； （2）将绕点逆时针旋转的度数至，由旋转可得，，，．证明，，三点共线．．由证明．又 ，，则，得到．即可证明结论； （3）证明是等边三角形，则．如图乙，连接，过点作于点．求出，．，则．证明 ．类比（1）（2）的结论可得． 【详解】（1）证明：将绕点A逆时针旋转得到， 由旋转可得，，， ， ，，三点共线． ，且， ． 又 ， ，即， 又，， ， ． ， ； （2）解：． 理由如下：如图甲，将绕点逆时针旋转的度数至，由旋转可得，，，． ， ，，三点共线． ， ． ， ． 又 ，， ， ． ， ； （3）解： ，， ． 又 ， 是等边三角形， ． 如图乙，连接，过点作于点． 在中，，， ，． ， ． 在中，， ，， ， ． 类比（1）（2）的结论可得， 即这条道路的长约为109m． 【变式2-1】阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，，，， 为等边三角形， ， 即， ， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：在中，，，， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在中， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式2-2】【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． (1)【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． (2)【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． (3)【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定求解即可； （2）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，由旋转可知，，，判定，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，由旋转可知，，，，判定，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ， ， 即点，，共线， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：；； （2）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， 则，又， , 即，，，三点共线， ，， ， 由旋转可知，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ； （3）解：， ∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接， 由旋转可知，，，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， ． 【题型3 构造旋转模型解题 】 【典例3】（1）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． 如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数． 解：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ， ． 为①______三角形，②______°． 的度数为③______． （2）类比延伸： 如图②，在正方形内部有一点，若，试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）直角，，；（2）．理由见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形，由等边三角形的性质可知，，，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，即可获得答案； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，，，即可确定是等腰直角三角形，则有，，然后确定，在中，由勾股定理得，即可确定线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ， ． 为①直角三角形，． 的度数为． 故答案为：直角，，； （2）．理由如下： 如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接． 则，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线、综合运用相关知识是解题关键． 【变式3-1】（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 【变式3-2】“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【答案】【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【详解】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 【题型4 奔驰模型】 【典例4】【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转性质得，，，，，则可求得，是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，，，， 为等边三角形 ， 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， ， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）如图３，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，，，，， ，是等边三角形， ，， ∵， 、、、四点共线， 过作交延长线于H，则， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【变式4-1】【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边， 由勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解； （3类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边，， ∴， ∵， ∴． ∴ ． （2）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： （3）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用旋转构建直角三角形． 【题型5 费马点模型】 【典例5】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件集中，从而解决问题． (1)阅读填空：如图，中，，，点，为边上的点，且，把绕点逆时针旋转至，_____度，，连接易证_____，则，，之间的数量关系为_____． (2)拓展研究：请利用第题中的思想方法，解决下面的问题： 如图，等边内有一点，，请判断，，之间的数量关系并证明； 如图，在中，，，，在内部有一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)；，； (2) ，证明见解析 ． 【分析】根据旋转的性质可知，所以可得、、，利用可证，从而可得、，利用勾股定理可得； 由旋转的性质可知，所以可得是等边三角形，可知，所以可得，利用勾股定理可得， 将绕点逆时针旋转得到，连接、，根据旋转的性质可知，，所以可得是等边三角形，所以可得，，，所以可证，，利用勾股定理求出的长度即可得的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示， 中，，， ， 由旋转可知， ， ； ， ， 由旋转可知，， ， ， ， 在和中， ； ， ， 由旋转可知， 又， ， 在中，， ； 故答案为：，，； （2）解： ， 证明：如下图所示，把绕点逆时针旋转，连接 则， ，，，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ； 如下图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接、， 由旋转可知，， 是等边三角形，，， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是通过旋转构造直角三角形，再利用勾股定理解决问题． 【变式5-1】如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，     ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵， ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式5-2】如图所示，中，，，，点为内一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，连接，，利用旋转的性质证明是等边三角形，可得，当四点、、、共线时，其和最小，由此可解． 【详解】解：如图，绕点顺时针旋转至，连接，， 则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当四点、、、共线时，其和最小， 过点作交延长线于，连接， 又∵中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴最小取值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 【变式5-3】如图，在中，，，，P为内部一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 将绕点A逆时针旋转得到，连接连接，，易证，因为，推出当P，F在直线上时，的值最小，求出的长即可解决问题． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，． 由旋转的性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当P，F在直线上时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$