专题02 概率（四大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题02 概率（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1：事件类型】 【题型2：可能性大小】 【题型3：频率估计概率】 【题型4：用频率估计概率的应用】 【题型1：事件类型】 1．下列事件属于必然事件的是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件，此选项不符合题意； 、三角形的外心到三边的距离相等是随机事件，此选项不符合题意； 、抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，此选项不符合题意； 、直径所对圆周角是直角是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 2．在下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，根据相关概念判断即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故此选项不符合题意； B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意； C、通常情况下，自来水在结冰，是必然事件，故此选项不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故此选项符合题意， 故选：D． 3．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．四边形的内角和为 B．太阳从西边落下 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．一个数的绝对值为负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟记定义是解题关键．根据四边形的内角和、绝对值的性质、随机事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、四边形的内角和为，是必然事件，则此项不符合题意； B、太阳从西边落下，是必然事件，则此项不符合题意； C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，则此项符合题意； D、一个数的绝对值为负数，是不可能事件，则此项不符合题意； 故选：C． 4．下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机正在播放广告 B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次 C．任意一个一元二次方程都有实数根 D．在平面上任意画一个三角形都有一外接圆，也有一个内切圆 【答案】D 【分析】 本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解决此题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：A、打开电视机正在播放广告是随机事件，A不正确，不符合题意； B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，B不正确，不符合题意； C、任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，C不正确，不符合题意； D、在平面上任意画一个三角形都有一外接圆，也有一个内切圆是必然事件，D正确，符合题意； 故选：D． 【题型2：可能性大小】 5．把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的可能性，卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数，据此可得答案． 【详解】解：∵一共有8张卡片，其中写有4的卡片最多，且每张卡片被摸到的可能性相同， ∴摸到可能性最大的数是4， 故选：B． 6．盒子中有黄球个，白球个，前次摸到球的情况为：黄、白、白、黄、白、白、黄、白、白，问第次摸到球的颜色（    ）． A．一定是黄色 B．一定是白色 C．可能是黄色，可能是白色 D．是绿色 【答案】C 【分析】本题考查了可能性，解答的关键是根据可能性的大小和事件发生的确定性和不确定性进行解答．摸第次是一个独立事件，和前面次摸的没有关系，因为盒子中有两种颜色的球，所以摸出一个黄、白三种颜色皆有可能． 【详解】解：盒子中有黄球个，白球个，且摸球没有规律， 第次摸到的球的颜色可能是黄色，可能是白色， 故选：C． 7．袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 【答案】B 【分析】本题考查的是判断可能性大小的方法，掌握判断可能性大小的方法是解题的关键，根据判断可能性大小的方法解答． 【详解】解： A、奇思不一定记录错了，摸出黄球次数可能比白球少；原题说法错误； B、虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多；原题说法正确； C、6位同学中有5人都是摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误； D、因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，但是总体来说摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误． 故选：B． 8．把正面分别写有7，4，5，7，5，5的6张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数字是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了事件的可能性，卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数，据此可得答案． 【详解】解：∵一共有6张卡片，每张卡片被摸到的可能性相同，其中写有5的卡片最多， ∴摸到可能性最大的数是5， 故答案为：5． 9．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”） 【答案】黄 【分析】本题考查的知识点是可能性的大小，根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵遇到红灯的概率＝＝； 遇到绿灯的概率＝＝； 遇到黄灯的概率＝＝， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 10．转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 【答案】蓝 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据转盘中红、黄、蓝区域的个数求解即可． 【详解】解：由题意得，黄色区域占转盘总面积的，红色区域占转盘总面积的，蓝色区域占转盘总面积的，所以指针落在蓝色区域的可能性最大． 故答案为：蓝． 11．在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 个黑球． 【答案】7 【分析】本题考查可能性的大小，先根据绿球可能性的大小得到球的总数．进而可求解． 【详解】解：∵8个绿球，绿球的可能性小于， 球的总数大于24， 至少有个黑球． 故答案为：7． 【题型3：频率估计概率】 12．小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 【答案】D 【分析】本题考查频率与概率，掌握大量重复实验下的频率即为概率是解题的关键． 【详解】A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率约为，不符合题意； B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率为，不符合题意； C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率为，不符合题意； D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率约为，符合题意； 故选D． 13．在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．分析表格频率特点是关键． 根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，对表格进行分析即可解答． 【详解】观察发现，随着试验次数的增多，钉尖朝上的频率逐渐稳定到常数， 抛一枚这样的图钉落地后钉尖朝上的概率约为． 故答案为：． 14．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数n 20 40 100 200 400 100015 优等品数m 15 33 78 158 321 801 优等品率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率是 （精确到0.1）． 【答案】0.8 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．由表中数据可判断频率在0.8左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为0.8． 【详解】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.8附近， 则这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.8， 故答案为：0.8． 15．如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是 ．（精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，解题的关键是明确概率的定义．根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近， “凸面向上”的概率为， 故答案为：． 16．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40 所有合理推断的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用频率估计概率对各个推断进行分析判断即可得到结论． 【详解】解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理； ②推断合理； ③20×0.35=7，故推断合理； ④摸到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合理． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型4：用频率估计概率的应用】 17．近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可． 【详解】解：， 即估计此二维码黑色阴影部分的面积为； 故答案为：． 18．为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（    ） 组别（cm） x≤160 160<x≤170 170<x≤180 x>180 人数 15 42 38 5 A．28500 B．17100 C．10800 D．1500 【答案】A 【分析】先计算出样本中身高不高于的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 【详解】解：样本中身高不高于的频率， 则全市3万名男生的身高不高于180cm的人数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟悉相关性质是解题的关键． 19．在一个不透明的袋子里装有白球、红球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A．16 B．24 C．4 D．8 【答案】A 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.4左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意得：， 解得：， ∴袋子中红球的个数最有可能是16个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 20．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是（    ） A．6个 B．14个 C．20个 D．40个 【答案】C 【分析】根据题意先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%， ∴摸到白球的频率为1-15%-35%=50%， 故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20（个）． 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比． 21．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中44次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　） A．20个 B．28个 C．36个 D．无法估计 【答案】B 【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】解：设盒子里有白球x个， 根据黑球个数：小球总数=摸到黑球次数：摸球的总次数得： =，解得：．     经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球28个． 故选B． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根． 22．在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解． 【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1﹣0.26﹣0.44＝0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50＝15． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 23．在一个不透明的盒子里装有若干个大小、材质都相同的小球(黑白两色)，把盒子里的小球搅匀，从中随机摸出一个小球并记下颜色，再放回盒子中，不断重复上述操作，整理数据，制作出“摸出黑球的频率”与“摸球总次数”的关系图象如图所示，可以推断，这个盒子中黑球的数量约占小球总数量的 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估算概率．掌握概率是频率的稳定值是解题的关键． 利用频率估算概率即可． 【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为， ∴这个盒子中黑球的数量约占小球总数量的， 故答案为：． 24．《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 【答案】240 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 25．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出 40 条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出 200 条鱼，其中有记号的鱼有 4条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 【答案】2000 【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数． 【详解】解：设鱼的总数为x条， 捞出有记号的鱼的频率近似等于4：200=40：x 解得x=2000． 故答案为：2000． 【点睛】本题主要考查了频率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系，难度适中． 26．沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这批花卉成活18000棵：②估计还需要移植280000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9； （2）解：①估计这批花卉成活的棵数为： （棵）； ②估计还需要移植：（棵）． 27．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【答案】(1)298；0.601 (2)0.60 (3)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率： （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：298；0.601； （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60． （3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60， 摸到红球的概率的估计值是0.40， 袋中有红球2个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 28．下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，0.951 (2) (3) 【分析】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可； （2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； （3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树=幼苗棵树×概率可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：，， 故答案为：，． （2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； ∴这种种子在此条件下发芽的概率约为． （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗棵，需要准备（粒）种子进行发芽培育． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 29．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近________； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个；（3）15 【分析】（1）根据摸到白球的频率，可得“摸到白色球”的概率； （2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）∵摸到白球的频率为0.25，∴“摸到白色球”的概率=0.25． （2）∵60×0.25＝15，60﹣15＝45，∴盒子里白球为15个，黑球45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得： 解得：x＝15． 答：需要往盒子里再放入15个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 概率（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1：事件类型】 【题型2：可能性大小】 【题型3：频率估计概率】 【题型4：用频率估计概率的应用】 【题型1：事件类型】 1．下列事件属于必然事件的是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．直径所对圆周角是直角 2．在下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3 3．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．四边形的内角和为 B．太阳从西边落下 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．一个数的绝对值为负数 4．下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机正在播放广告 B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次 C．任意一个一元二次方程都有实数根 D．在平面上任意画一个三角形都有一外接圆，也有一个内切圆 【题型2：可能性大小】 5．把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 6．盒子中有黄球个，白球个，前次摸到球的情况为：黄、白、白、黄、白、白、黄、白、白，问第次摸到球的颜色（    ）． A．一定是黄色 B．一定是白色 C．可能是黄色，可能是白色 D．是绿色 7．袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 8．把正面分别写有7，4，5，7，5，5的6张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数字是 ． 9．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”） 10．转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 11．在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 个黑球． 【题型3：频率估计概率】 12．小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 13．在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 14．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数n 20 40 100 200 400 100015 优等品数m 15 33 78 158 321 801 优等品率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率是 （精确到0.1）． 15．如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是 ．（精确到0.01） 16．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40 所有合理推断的序号是 ． 【题型4：用频率估计概率的应用】 17．近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 18．为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（    ） 组别（cm） x≤160 160<x≤170 170<x≤180 x>180 人数 15 42 38 5 A．28500 B．17100 C．10800 D．1500 19．在一个不透明的袋子里装有白球、红球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A．16 B．24 C．4 D．8 20．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是（    ） A．6个 B．14个 C．20个 D．40个 21．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中44次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　） A．20个 B．28个 C．36个 D．无法估计 22．在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 23．在一个不透明的盒子里装有若干个大小、材质都相同的小球(黑白两色)，把盒子里的小球搅匀，从中随机摸出一个小球并记下颜色，再放回盒子中，不断重复上述操作，整理数据，制作出“摸出黑球的频率”与“摸球总次数”的关系图象如图所示，可以推断，这个盒子中黑球的数量约占小球总数量的 ． 24．《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 25．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出 40 条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出 200 条鱼，其中有记号的鱼有 4条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 26．沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 27．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 28．下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 29．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近________； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$