黄金卷03（江苏无锡专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金 卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．B． 2．A． 3．D． 4．B． 5．C． 6．D． 7．D． 8．C． 9．D． 10．B． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．2（a+3）（a﹣3）． 12．5.103×108． 13．4． 14．假． 15．y＝﹣x+1（答案不唯一）． 16．3 17．（，）． 18．． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）计算 （1）． （2）x2﹣2y2． 20.（8分） （1）． （2）x＞8． 21．（8分） （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，BC＝AD， ∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF， ∴BC＝CF． （2）解：由（1）知BC＝CF， ∵BC＝AB＝2， ∴BF＝2BC＝4， ∵AE⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴AF2， ∴△ABF的面积AB•AF＝2． 22．（9分） 解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中刚好抽到《新世纪福音战士》的结果有1种， ∴刚好抽到《新世纪福音战士》的概率为． 故答案为：． （2）将4部作品《新世纪福音战士》《东方幻想万华镜》《凉宫春日的忧郁》《葬送的芙莉莲》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中同学观看到《东方幻想万华镜》和《凉宫春日的忧郁》的结果有：（B，C），（C，B），共2种， ∴同学观看到《东方幻想万华镜》和《凉宫春日的忧郁》的概率为． 23．（12分） 解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴a＝9， ∵八年级A等级人数最多， ∴b＝10， 故答案为：9，10； 七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： （2）七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好． （3）1200＝720（人）， 答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人． 24．（9分） 解：（1）如图，⊙O即为所求； （2）∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，OB＝OC， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∵BC＝3， ∴OB＝OC＝3． 25．（9分） （1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴AC∥OD， ∴∠C＝∠ODB， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC． （2）解：连接AD、FD，则∠F＝∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝∠C， ∴∠ADE＝∠F， ∵∠AED＝∠DEF， ∴△AED∽△DEF， ∴， ∵AE，DE＝2， ∴EF4， ∴AF＝EF﹣AE＝43， ∴AF的长是3． 26．（10分） 解：（1）由题意得，每天的销售量为千克 （2）设每千克的售价降低x元， 由题意得（3﹣x﹣2）（400x+200）＝224， 整理得：50x2﹣25x+3＝0， ∴（10x﹣3）（5x﹣1）＝0， 解得x＝0.3或x＝0.2， ∵要使销售量较大， ∴x＝0.3， ∴每千克的售价降低0.3元． 27．（10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE； （2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若，且，，求AE与CP的长． （1）证明：四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝AD． 又∵AE＝DF， ∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）， ∴∠BAE＝∠ADF， ∵∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠ADF＝90° ∴DF⊥AE； （2）解：如图，过点G作GN⊥AB于点N，过点P向BC作垂线，交BC的延长线于点M． ∵四边形ABCD是矩形， ∴GN＝AD， ∵， ∴， 由折叠可知，AF＝EF，∠AFG＝∠EFG． ∴AE⊥FG． ∴∠BAE+∠NFG＝90°， ∠BAE+∠AEB＝90°． ∴∠NFG＝∠AEB． 又∵∠GNF＝∠ABE＝90°， ∴△ABE∽△GNF． ∴， ∵GF， ∴． ∵∠FEP＝∠BAD＝∠BCD＝∠EPG＝90°， ∴∠BFE＝∠CEP＝∠CGP， ∴． ∴BE：BF：EF＝4：3：5． 设 EF＝AF＝5x，则 BE＝4x，BF＝3x． ∴BE：AB＝4x：8x＝1：2． ∴在Rt△ABE 中， ． ∴x＝1． ∴AB＝8． ∵ ∴AD＝BC＝EP＝6． ∵∠BFE＝∠PEM，∠B＝∠M， ∴△EPM∽△FEB． ∴． ∴EM，PM， 又∵EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2， ∴CM＝EM﹣EC． ∴． ∴，． 28．（13分） 解：（1）令yx+2＝0，得x＝﹣4， 令x＝0，得y＝2， ∴A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线yx2+bx+c经过A．C两点， ∴， 解得：， ∴yx2x+2； （2）如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N， 令yx2x+2＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN， 设D（a，a2a+2）， ∴M（a，a+2）， ∵B（1，0）， ∴N（1，）， ∴DM：BN＝（a2﹣2a）：（a+2）2； ∴当a＝﹣2时，的最大值是； （3）∵yx2x+2， ∴对称轴为直线x， 设D（t，t2t+2），F（，s）， ①若四边形为平行四边形BCDF， 则， ∴， 解得：t，t2t+2， ∴D的坐标为（，）； ②若四边形为平行四边形BCFD， 则， ∴， 解得：t，t2t+2， ∴D的坐标为（，）； ③若四边形为平行四边形BDCF， 则， ∴， 解得：t，t2t+2， ∴D的坐标为（，）； 综上，D的坐标为（，）或（，）或（，）． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金 卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）﹣2025的倒数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 2．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣3 3．（3分）方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝﹣1 C．x＝3或﹣1 D．无解 4．（3分）某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，并进行了统计，结果如表： 时间/h 1 2 3 4 5 人数 12 20 10 5 3 则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（　　） A．20，20 B．2，2 C．20，10 D．2.5，2 5．（3分）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．9π B．6π C．3π D．2π 6．（3分）小华用数学软件画出了下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折x只红嘴鸥，那么列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD，当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　） A．60° B．70° C．40° D．50° 9．（3分）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则cos∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 10．（3分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1）， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”； ②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4； 其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）将2a2﹣18因式分解后的结果为 　 　． 12．（3分）一年一度的铁路春运自2025年1月14日开始至2月22日结束，全国铁路发送旅客估计有5.103亿人次，则数510300000用科学记数法表示为　 　． 13．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 　 　． 14．（3分）命题“如果x2≥1，那么x≥1”是 　 　命题．（选填“真”或“假”） 15．（3分）写一个函数表达式，使其图象经过第二象限，且函数值随自变量的增大而减小：　 　． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，，点F是AD上的动点，连接点E与BF的中点G．则EG的最大值是　 　． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为 　 　． 18．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝20，BC边上的高为12，且∠B是锐角．E是BC边上的动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，EF与AD边交于点F，则经过点D，E，F的⊙O的半径最小值为 　 　． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）计算： （1）（3.14﹣π）0|． （2）（x+3y）（x﹣2y）﹣y（x﹣4y）． 20．（8分） （1）解一元二次方程：2（2x﹣1）﹣x（1﹣2x）＝0． （2）解一元一次不等式组． 21．（8分）如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：BC＝CF； （2）若AB＝2，AE⊥AB，求△ABF的面积． 22．（9分）动漫一直闻名于世，其内容蕴含着制作者想要表达给人们的无限深意，其中有4部作品《新世纪福音战士》《东方幻想万华镜》《凉宫春日的忧郁》《葬送的芙莉莲》将被同学观看．请你回答以下问题： （1）老师随机抽取一部动漫，则刚好抽到《新世纪福音战士》的概率为　 　． （2）若今天一共可以播放两部不同的动漫，那么同学观看到《东方幻想万华镜》和《凉宫春日的忧郁》的概率是多少？（用列表或画树状图的方法表示） 23．（12分）某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：a＝　 　，b＝　 　，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 24．（9分）作图题 如图，在△ABC中，已知AB＝AC． （1）尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）． （2）连结OB，OC，若∠A＝45°，BC＝3，求OB的长． 25．（9分）如图△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F． （1）求证：AB＝AC； （2）若，，求AF的长． 26．（10分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是多少千克（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？ 27．（10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE； （2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若，且，，求AE与CP的长． 28．（13分）如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； （3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/20 15:26:44；用户：19902929970；邮箱：19902929970； ( 1 / 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金 卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）﹣2025的倒数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：﹣2025的倒数是． 故选：B． 2．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣3 【分析】根据题意得出x+3≥0且x+3≠0，求解即可． 【解答】解：由题意得，x+3≥0且x+3≠0， 解得x＞﹣3， 故选：A． 3．（3分）方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝﹣1 C．x＝3或﹣1 D．无解 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， 则x＝3是分式方程的增根， 故原方程无解， 故选：D． 4．（3分）某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，并进行了统计，结果如表： 时间/h 1 2 3 4 5 人数 12 20 10 5 3 则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（　　） A．20，20 B．2，2 C．20，10 D．2.5，2 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【解答】解：由表格知，阅读时间为2小时的有20人，人数最多， 所以这些学生阅读时间的众数是2； 因为共有12+20+10+5+3＝50人， 所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即2， 故选：B． 5．（3分）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．9π B．6π C．3π D．2π 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：S扇形3π． 故选：C． 6．（3分）小华用数学软件画出了下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：A．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项符合题意． 故选：D． 7．（3分）2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折x只红嘴鸥，那么列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设小丽每小时折x只红嘴鸥，则小红每小时折（x+6）只红嘴鸥，根据小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，列出分式方程即可． 【解答】解：设小丽每小时折x只红嘴鸥，则小红每小时折（x+6）只红嘴鸥， 由题意得：， 故选：D． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD，当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　） A．60° B．70° C．40° D．50° 【分析】由旋转得，∠EDC＝∠BAC＝110°，AC＝DC，则∠ADC＝∠DAC．由题意得∠ADC＝180°﹣∠EDC＝70°，则∠DAC＝70°，再根据∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可得答案． 【解答】解：由旋转得，∠EDC＝∠BAC＝110°，AC＝DC， ∴∠ADC＝∠DAC． ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC＝180°﹣∠EDC＝70°， ∴∠DAC＝70°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝40°． 故选：C． 9．（3分）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则cos∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DN⊥GE，交GE的延长线于点N，设AF＝BG＝CH＝DE＝a，DF＝AG＝BH＝CE＝b，再根据已知可设正方形ABCD的边长为x，则正方形EFGH的边长为x，然后利用勾股定理以及线段的和差关系可得，从而可得AG＝DE＝b＝2x，AF＝a＝x，进而可得AG＝2AF，再利用线段的垂直平分线的性质可得AD＝DGx，再利用等腰直角三角形的性质可得EGx，∠FEG＝∠FGE＝45°，从而可得∠NED＝∠FEG＝45°，最后在Rt△END中，利用锐角三角函数的定义求出EN的长，从而求出NG的长，再在Rt△DNG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DN⊥GE，交GE的延长线于点N， 设AF＝BG＝CH＝DE＝a，DF＝AG＝BH＝CE＝b， ∵正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1， ∴设正方形ABCD的边长为x，则正方形EFGH的边长为x， ∵AF2+DF2＝AD2，DF﹣DE＝EF， ∴， 解得：， ∴AG＝DE＝b＝2x，AF＝a＝x， ∴AG＝2AF， ∵∠AFD＝90°， ∴DF是AG的垂直平分线， ∴AD＝DGx， ∵∠EFG＝90°，EF＝FG＝x， ∴EGx，∠FEG＝∠FGE＝45°， ∴∠NED＝∠FEG＝45°， 在Rt△END中，NE＝DE•cos45°x， ∴GN＝EG+NExxx， 在Rt△DNG中，cos∠DGE， 故选：D． 10．（3分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1）， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”； ②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4； 其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3，求出x、y的值即可判断①；令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，求出x、y的两对值，再结合勾股定理求出这两点之间的距离，即可判断②；把（2，﹣2）代入y＝ax2+3x+c，求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合Δ＝b2﹣4ac求出a、c的值，得出y＝﹣x2+3x﹣4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y＝﹣8时，求出x的值即可判断③． 【解答】解：①令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3， 解得，x， ∴y，即点（，）在直线y＝﹣5x+3上， 故①正确； ②令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴当x＝﹣3，时y＝3；当x＝1，时y＝﹣1 ∴抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”为（﹣3，3），（1，﹣1）， ∴点（﹣3，3）与（1，﹣1）之间的距离4； 故②正确； ③∵点（2，﹣2）是二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的“方形点”． ∴﹣2＝4a+6+c， ∴c＝﹣4a﹣8， ∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”． ∴ax2+3x+c＝﹣x（即ax2+4x+c＝0）有且只有一个根， ∴Δ＝16﹣4ac＝0， ∴16﹣4a（﹣4a﹣8）＝0， 解得，a＝﹣1， c＝﹣4×（﹣1）﹣8＝﹣4 ∴y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2， 二次函数图象的对称轴为直线x，函数的最大值为， 当y＝﹣8时，﹣x2+3x﹣4＝﹣8， 解得，x1＝﹣1，x2＝4， 当m≤4时，函数的最大值为，最小值为﹣8． 故③不正确， 故选：B． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）将2a2﹣18因式分解后的结果为 　2（a+3）（a﹣3）．　． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2a2﹣2×9 ＝2（a2﹣9） ＝2（a2﹣32） ＝2（a+3）（a﹣3）， 故答案为：2（a+3）（a﹣3）． 12．（3分）一年一度的铁路春运自2025年1月14日开始至2月22日结束，全国铁路发送旅客估计有5.103亿人次，则数510300000用科学记数法表示为　5.103×108　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：510300000＝5.103×108． 故答案为：5.103×108． 13．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 　4　． 【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可． 【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得， （n﹣2）•180°＝360°， 解得n＝4． 故答案为：4． 14．（3分）命题“如果x2≥1，那么x≥1”是 　假　命题．（选填“真”或“假”） 【分析】利用举反例的方法判断即可． 【解答】解：当x＝﹣2时，x2≥1，但是x＜1， ∴如果x2≥1，那么x≥1”是假命题， 故答案为：假． 15．（3分）写一个函数表达式，使其图象经过第二象限，且函数值随自变量的增大而减小：　y＝﹣x+1（答案不唯一）　． 【分析】根据一次函数的性质，函数值随自变量的增大而减小，则k＜0，据此求解即可． 【解答】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为y＝﹣x+1， 故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，，点F是AD上的动点，连接点E与BF的中点G．则EG的最大值是　3　． 【分析】连接AC，FC，利用三角形中位线定理得到，当点 F运动到点A时，即CF与AC重合，CF最大，则EG最大，利用等边三角形性质，∠ABC＝∠AEB＝60°，再利用三角形外角定理得到∠ECA＝30°，进而得到∠BAC＝90°，利用勾股定理得到，即可解题． 【解答】解：连接AC，FC， ∵点 E 是BC的中点，BF的中点为 G． ∴，BE＝CE， ∵点 F 是AD上的动点， 当点 F运动到点A时，即CF与AC重合，CF最大，则EG最大， ∵， ∴∠ABC＝∠AEB＝60°，， ∴， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ECA＝90°， ∴， ∴EG的最大值是， 故答案为：3 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为 　（，）　． 【分析】利用△BQM≌△OQN（AAS），得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到（）2，求出k的值，设AM＝a，则BM＝3a＝OM，求得OA＝2a，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得OC′＝BC＝OA，ON＝BN＝OM，根据三角形面积求得C′G，再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标． 【解答】解：如图，连接OB，交MN于点Q， ∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN， ∴QB＝QO，MB＝MO， ∵AB∥CO， ∴∠ABQ＝∠NOQ， ∵∠MQB＝∠NQO， 而OQ＝BQ， ∴△BQM≌△OQN（AAS） ∴QM＝QN，即点Q是MN的中点， 过点Q作QH⊥OC于点H，则QH是△OBC的中位线， 则Rt△OHQ∽Rt△OCB， 则（）2， 而S△OBCS矩形AOCB， 则S△OHQ， 解得k， ∵点M是反比例函数上的点， 则S△AOMk， 而S△ABOS矩形AOCB4S△AOM， 故AMAB， 设AM＝a，则BM＝3a＝OM， 则OA2a， 则S△AOM•AM•AOa•2a， 解得a，（负值已舍去）， 则AB＝4AM＝2，AM＝a， 连接BN，作C′G⊥ON于G， ∵QO＝BQ，QM＝NQ， ∴四边形MONB是平行四边形， ∴ON＝BN＝OM， ∵OC′＝BC＝OA， ∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON（HL）， ∴S△C′ON＝S△AOM，ON＝OM，OC′＝OAa， ∴ON•C′G， ∴C′G， ∴C′G， ∴OG， ∴C′为（，）， 故答案为：（，）． 18．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝20，BC边上的高为12，且∠B是锐角．E是BC边上的动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，EF与AD边交于点F，则经过点D，E，F的⊙O的半径最小值为 　　． 【分析】作△DEF的外接圆⊙O，由圆周角定理可得∠FOD＝2∠DEF＝2α，所以∠FOH＝α＝∠B，再作AG⊥BC于点G，可证△ABG∽△FOH，进而可得OHr，再利用垂线段最短和三边关系即可得解． 【解答】解：如图，作△DEF的外接圆⊙O，连接OE、OF、OD，过O作OH⊥AD于点H， 设∠DEF＝∠B＝α， ∴∠FOD＝2∠DEF＝2α， ∴∠FOH＝α＝∠B， 过A作AG⊥BC于点G，过E作EI⊥AD于点I，则AG＝EI＝12， ∵AB＝13， ∴BG5， ∵∠AGB＝∠OHF＝90°，∠FOH＝∠B， ∴△ABG∽△FOH， ∴，即， ∴OHr， ∵OH+OE≥EI， 即r+r≥12， 解得r， ∴⊙O的半径最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）计算 （1）（3.14﹣π）0|． （2）（x+3y）（x﹣2y）﹣y（x﹣4y）． 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值的性质化简，再根据实数的混合运算法则计算即可． （2）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，把原式展开，再按整式的加减运算，进行化简，即可得到结果． 【解答】（1）解：（3.14﹣π）0| ． （2）解：（x+3y）（x﹣2y）﹣y（x﹣4y） ＝x2﹣2xy+3xy﹣6y2﹣xy+4y2 ＝x2﹣2y2． 20． （8分） （1） 解一元二次方程：2（2x﹣1）﹣x（1﹣2x）＝0． （2）解一元一次不等式组． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）分别解出不等式的解集，再根据找一元一次不等式组的解集的规律即可求解。 【解答】（1）解：2（2x﹣1）﹣x（1﹣2x）＝0， 2（2x﹣1）+x（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（2+x）＝0， 则2x﹣1＝0或2+x＝0， 所以． （2）解：， 解不等式①得：x， 解不等式②得：x＞8， ∴原不等式组的解集为x＞8． 21．（8分）如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：BC＝CF； （2）若AB＝2，AE⊥AB，求△ABF的面积． 【分析】（1）由菱形的性质推出AD∥BC，BC＝AD，得到∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，而DE＝CE，由AAS判定△ADE≌△FCE，推出AD＝CF，即可证明BC＝CF． （2）由勾股定理求出AF2，即可得到△ABF的面积AB•AF＝2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，BC＝AD， ∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF， ∴BC＝CF． （2）解：由（1）知BC＝CF， ∵BC＝AB＝2， ∴BF＝2BC＝4， ∵AE⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴AF2， ∴△ABF的面积AB•AF＝2． 22．（9分）动漫一直闻名于世，其内容蕴含着制作者想要表达给人们的无限深意，其中有4部作品《新世纪福音战士》《东方幻想万华镜》《凉宫春日的忧郁》《葬送的芙莉莲》将被同学观看．请你回答以下问题： （1）老师随机抽取一部动漫，则刚好抽到《新世纪福音战士》的概率为　　． （2）若今天一共可以播放两部不同的动漫，那么同学观看到《东方幻想万华镜》和《凉宫春日的忧郁》的概率是多少？（用列表或画树状图的方法表示） 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中刚好抽到《新世纪福音战士》的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及同学观看到《东方幻想万华镜》和《凉宫春日的忧郁》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中刚好抽到《新世纪福音战士》的结果有1种， ∴刚好抽到《新世纪福音战士》的概率为． 故答案为：． （2）将4部作品《新世纪福音战士》《东方幻想万华镜》《凉宫春日的忧郁》《葬送的芙莉莲》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中同学观看到《东方幻想万华镜》和《凉宫春日的忧郁》的结果有：（B，C），（C，B），共2种， ∴同学观看到《东方幻想万华镜》和《凉宫春日的忧郁》的概率为． 23．（12分）某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：a＝　9　，b＝　10　，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【分析】（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可； （2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可； （3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以800即可作出估计． 【解答】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴a＝9， ∵八年级A等级人数最多， ∴b＝10， 故答案为：9，10； 七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： （2）七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好． （3）1200＝720（人）， 答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人． 24．（9分）作图题 如图，在△ABC中，已知AB＝AC． （1）尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）． （2）连结OB，OC，若∠A＝45°，BC＝3，求OB的长． 【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可． （2）证明△OBC是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求； （2）∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，OB＝OC， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∵BC＝3， ∴OB＝OC＝3． 25．（9分）如图△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F． （1）求证：AB＝AC； （2）若，，求AF的长． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠B＝∠ODB，由切线的性质得DE⊥OD，而DE⊥AC，所以AC∥OD，则∠C＝∠ODB，所以∠C＝∠B，则AB＝AC； （2）连接AD、FD，则∠F＝∠B，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝∠ADC＝90°，可证明∠ADE＝∠F，进而证明△AED∽△DEF，得，因为AE，DE＝2，所以EF4，则AF＝EF﹣AE＝3． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴AC∥OD， ∴∠C＝∠ODB， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC． （2）解：连接AD、FD，则∠F＝∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝∠C， ∴∠ADE＝∠F， ∵∠AED＝∠DEF， ∴△AED∽△DEF， ∴， ∵AE，DE＝2， ∴EF4， ∴AF＝EF﹣AE＝43， ∴AF的长是3． 26．（10分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是多少千克（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？ 【分析】（1）根据这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克列出式子即可； （2）设每千克的售价降低x元，根据利润＝（售价﹣进价）×数量列出方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，每天的销售量为千克 （2）设每千克的售价降低x元， 由题意得（3﹣x﹣2）（400x+200）＝224， 整理得：50x2﹣25x+3＝0， ∴（10x﹣3）（5x﹣1）＝0， 解得x＝0.3或x＝0.2， ∵要使销售量较大， ∴x＝0.3， ∴每千克的售价降低0.3元． 27．（10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE； （2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若，且，，求AE与CP的长． 【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DAF，得到∠BAE＝∠ADF，即可推出DF⊥AE； （2）过点G作GN⊥AB于点N，过点P向BC作垂线，交BC的延长线于点M．证明△ABE∽△GNF，利用对应边成比例可求出AE；由，可得BE：BF：EF＝4：3：5，设 EF＝AF＝5x，则 BE＝4x，BF＝3x，在Rt△ABE 中，利用勾股定理列方程可求出x，从而求出BE，BF，EF的长，证明△EPM∽△FEB，利用对应边成比例可求出EM，PM，最后由勾股定理可求出CP． 【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝AD． 又∵AE＝DF， ∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）， ∴∠BAE＝∠ADF， ∵∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠ADF＝90° ∴DF⊥AE； （2）解：如图，过点G作GN⊥AB于点N，过点P向BC作垂线，交BC的延长线于点M． ∵四边形ABCD是矩形， ∴GN＝AD， ∵， ∴， 由折叠可知，AF＝EF，∠AFG＝∠EFG． ∴AE⊥FG． ∴∠BAE+∠NFG＝90°， ∠BAE+∠AEB＝90°． ∴∠NFG＝∠AEB． 又∵∠GNF＝∠ABE＝90°， ∴△ABE∽△GNF． ∴， ∵GF， ∴． ∵∠FEP＝∠BAD＝∠BCD＝∠EPG＝90°， ∴∠BFE＝∠CEP＝∠CGP， ∴． ∴BE：BF：EF＝4：3：5． 设 EF＝AF＝5x，则 BE＝4x，BF＝3x． ∴BE：AB＝4x：8x＝1：2． ∴在Rt△ABE 中， ． ∴x＝1． ∴AB＝8． ∵ ∴AD＝BC＝EP＝6． ∵∠BFE＝∠PEM，∠B＝∠M， ∴△EPM∽△FEB． ∴． ∴EM，PM， 又∵EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2， ∴CM＝EM﹣EC． ∴． ∴，． 28．（13分）如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； （3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一次函数得到A（﹣4，0），C（0，2）代入yx2+bx+c，于是得到结论； （2）令y＝0，解方程得到x1＝﹣4，x2＝1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据BC为边和BC为对角线，由平行四边形的性质即可得到点D的坐标． 【解答】解：（1）令yx+2＝0，得x＝﹣4， 令x＝0，得y＝2， ∴A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线yx2+bx+c经过A．C两点， ∴， 解得：， ∴yx2x+2； （2）如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N， 令yx2x+2＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN， 设D（a，a2a+2）， ∴M（a，a+2）， ∵B（1，0）， ∴N（1，）， ∴DM：BN＝（a2﹣2a）：（a+2）2； ∴当a＝﹣2时，的最大值是； （3）∵yx2x+2， ∴对称轴为直线x， 设D（t，t2t+2），F（，s）， ①若四边形为平行四边形BCDF， 则， ∴， 解得：t，t2t+2， ∴D的坐标为（，）； ②若四边形为平行四边形BCFD， 则， ∴， 解得：t，t2t+2， ∴D的坐标为（，）； ③若四边形为平行四边形BDCF， 则， ∴， 解得：t，t2t+2， ∴D的坐标为（，）； 综上，D的坐标为（，）或（，）或（，）． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$