10.4 三元一次方程组的解法 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册
一、知识要点
（一）三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
2、三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
（二）三元一次方程组的解法
1、解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
方法总结：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
二、典例分析
题型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
例1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型二、三元一次方程组的解法
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例2.解三元一次方程组
例3.解方程组
例4.已知方程组
的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．
例5.若 
，则x：y：z＝ .
题型三、三元一次方程组的应用
例6.甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地
公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?
例7.某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套?
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三、针对练习
1. 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
2. 已知方程
，
，
有公共解，则
的值为（ ）.
A. 3 B.4 C.0 D.-1
3. 下列说法正确的是（ ）.
A.方程
有唯一一组解.
B.若x、y、z是非负数，则三元一次方程3x+5y+2z＝0只有一组解.
C. 方程4xy+y+2z＝7是三元一次方程. D.三元一次方程组有且只有一组解.
4．已知代数式
，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为（ ）.
A．46 B．37 C．50 D．52
5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）.
A．11支 B．9支 C．7支 D．5支
7. 若
是一个三元一次方程，那么a＝_______，b＝________．
8．已知
，则x+2y+z＝________．
9．当a＝________时，方程组
的解x、y互为相反数．
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