10.4 三元一次方程组的解法 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.4 三元一次方程组的解法 一、知识要点 （一）三元一次方程及三元一次方程组的概念 1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 2、三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. （二）三元一次方程组的解法 1、解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 方法总结： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 二、典例分析 题型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 例1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）． A． B． C． D． 题型二、三元一次方程组的解法 例2.解三元一次方程组 例3.解方程组 例4.已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值． 例5.若 ，则x：y：z＝ . 题型三、三元一次方程组的应用 例6.甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周? 例7.某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套? 三、针对练习 1. 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）. A． B． C． D． 2. 已知方程，，有公共解，则的值为（ ）. A. 3 B.4 C.0 D.-1 3. 下列说法正确的是（ ）. A.方程有唯一一组解. B.若x、y、z是非负数，则三元一次方程3x+5y+2z＝0只有一组解. C. 方程4xy+y+2z＝7是三元一次方程. D.三元一次方程组有且只有一组解. 4．已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为（ ）. A．46 B．37 C．50 D．52 5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）. A．11支 B．9支 C．7支 D．5支 7. 若是一个三元一次方程，那么a＝_______，b＝________． 8．已知，则x+2y+z＝________． 9．当a＝________时，方程组的解x、y互为相反数． 10．已知，则x:y:z＝________． 11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱． 12. 方程x+2y+3z＝14 (x＜y＜z)的正整数解是 ． 13．解方程组： （1） （2） （3） （4） 14. 已知等式对于一切有理数都成立，求A，B的值． 15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元． （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? （2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 10.4 三元一次方程组的解法 一、知识要点 （一）三元一次方程及三元一次方程组的概念 1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 2、三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. （二）三元一次方程组的解法 1、解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 方法总结： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 二、典例分析 题型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 例1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）． A． B． C． D． 【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B． 题型二、三元一次方程组的解法 例2.解三元一次方程组 【解析】解法一：由①，设，则x＝3k+1，y＝4k+2，代入②，③得 ，解之，得．从而x＝7，y＝10．故原方程组的解为， 解法二：由③得，则y＝5k，z＝3k．代入①、②得：， 解得，故原方程组的解为． 例3.解方程组 【解析】解：由①，得3x＝2y，即， ④ 由②，得5y＝4z，即，⑤ 把④、⑤代入③，得．解得y＝12．⑥ 把⑥代入④，得x＝8，把⑥代入⑤，得z＝15．所以原方程组的解为 例4.已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值． 【解析】解法一： ②-①，得z-x＝2a ④；③+④，得2z＝6a，z＝3a 把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a． ∴ ．把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得． 解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a． 即x+y+z=6a ④ ④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．∴ ， 把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得． 例5.若 ，则x：y：z＝ . 【解析】 题型三、三元一次方程组的应用 例6.甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周? 【解析】解：设每公顷草地原有牧草akg，每周每公顷草地生长草bkg，每头牛每周吃草ckg，丙地24公顷地可供x头牛吃18周． 根据题意得由①②得代入③，得x＝36． 答：丙地24公顷可供36头牛吃18周． 例7.某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套? 【解析】解：设三种零件分别用x天、y天、z天． 根据题意，得，解这个方程组得． 答：三种零件的生产分别用了15天，30天，18天． 三、针对练习 1. 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）. A． B． C． D． 【解析】D； 2. 已知方程，，有公共解，则的值为（ ）. A. 3 B.4 C.0 D.-1 【解析】联立，，可得：，将其代入，得值．故选B. 3. 下列说法正确的是（ ）. A.方程有唯一一组解. B.若x、y、z是非负数，则三元一次方程3x+5y+2z＝0只有一组解. C. 方程4xy+y+2z＝7是三元一次方程. D.三元一次方程组有且只有一组解. 【解析】B； 4．已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为（ ）. A．46 B．37 C．50 D．52 【解析】由条件知，解得． 当x＝3时，．故选D. 5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】解：设夫妇现在的总年龄为M,子女现在总年龄m,设子女共k名,则有： 解三元一次方程组得：. 故选C； 6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）. A．11支 B．9支 C．7支 D．5支 【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得 ①×4-②×5得x-z＝0，所以x＝z，将z＝x代入①，得4x+5y+6x＝60．即y+2x＝12． ∵ y＞0，∴ x＜6，∴ x为小于6的正整数， 故选D； 7. 若是一个三元一次方程，那么a＝_______，b＝________． 【解析】由题意得，解得. 故答案为：-1，0； 8．已知，则x+2y+z＝________． 【解析】-10； 9．当a＝________时，方程组的解x、y互为相反数． 【解析】将a看作常数，解出x,y的值，再令x+y=0，便得a的值．故答案为：8； 10．已知，则x:y:z＝________． 【解析】原方程组化为，②－①得2x＝5z，．故． ∴ ． 故答案为：15:7:6； 11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱． 【解析】设甲种商品的单价为x元，乙种商品的单价为y元，丙种商品的单价为z元， 根据题意可得： 根据三元一次方程组中每一个三元一次方程中系数的特点和所求的结论可将方程①与方程②相加得：4(x+y+z)＝600，∴ x+y+z＝150． 故答案为：150； 12. 方程x+2y+3z＝14 (x＜y＜z)的正整数解是 ． 【解析】解：x＜y＜z，所以，，所以， 同理可得：，又因为均为正整数，经验证,满足条件的解只有一组，即答案． 故答案为：； 13．解方程组： （1） （2） （3） （4） 【解析】解：（1） 由①得：， ④ 由②得：， ⑤ 将④⑤代入③得：，解得：， ⑥ 将⑥代入④⑤得：，所以原方程组的解为 （2）①+③得： ，④ ②+③得： ，⑤ ④⑤联立得：，解得，代入③得， 所以原方程组的解为 解：（3） 由①得：， ④; 由②得：，⑤ 将④⑤代入③得：，解得：， ⑥ 将⑥代入④⑤得：，所以原方程组的解为 （4）①+③得：，④； ②+③得： ，⑤ ④⑤联立得：，解得，代入③得， 所以原方程组的解为 14. 已知等式对于一切有理数都成立，求A，B的值． 【解析】解：由题意可得：，解得： 15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元． （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? （2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 【解析】解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则，解得，∴ ．答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天． （2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则，解得．∵ 10a＝8750（元），15b＝8625（元）． 答：由乙队单独完成此工程花钱最少． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$