10.3 实际问题与二元一次方程组（一） 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下去

10.3 实际问题与二元一次方程组（一） 10.3.1古代数学问题 一、知识要点 1、实际问题与二元一次方程组 （1）列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. （2）列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 方法总结：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 二、典例分析 例1.《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？” 例2.古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 例3．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中： ①；②；③3x+（100﹣x）＝100；④（100﹣y）+3y＝100 正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 三、针对练习 1．明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．用一块A型钢板可制成2块C型钢板、3块D型钢板；用一块B型钢板可制成1块C型钢板、4块D型钢板．某工厂现需14块C型钢板、36块D型钢板，设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，根据题意，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．我国民间流传着这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两多7两，每人半斤少半斤，有x人、y两银（古代1斤等于16两），则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 6.《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是“今有木，不如长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　 　． 8. 有大小两种盛米的桶，已经知道5个大桶加上一个小桶可以盛3斛米，1个大桶加上5个小桶可以盛2斛米，问1个大桶、1个小桶分别可以盛多少斛米？ 10.3.2 产品配套问题 一、知识要点 解这类问题的关键点是找对配套的两类物体的数量关系；基本等量关系是：加工总量成比例. 二、典例分析 例1．某车间有56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 例2．某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则有（　　） A． B． C． D． 例3.某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？ 三、针对练习 1．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余．若设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 2．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 3.某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个A种零件和5个B种零件凑巧配套已知车间每天能生产A种零件450个或B种零件300个，现在要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？ 4.一张学生桌是由一个桌面和四条腿组成。若1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有15立方米木材，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿恰好配套？ 10.3.3 经济问题 一、知识要点 1、增收节支问题： （1）增长（递减）率公式： 原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量； （2）利润公式： 利润=总收入-总支出 ； 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 ； 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)  （3）银行利率公式： 利息=本金×利率×期数. 利息＝贷款金额×利息率； 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12； 月利率＝年利率×. 二、典例分析 例1.在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生得优分率为60％，女生得优分率为40％，全校得优分率为49.6％；乙校男生得优分率为57％，女生得优分率为37％． 男(女)生得优分率＝，全校得优分率＝) （1）求甲校参加测试的男、女生人数各是多少? （2）从已知数据中不难发现甲校男、女生得优分率都相应高于乙校男、女生得优分率，但最终的统计结果却显示，甲校的全校得优分率比乙校的全校得优分率低，请举例说明原因． 例2.已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？ 例3.甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%．若设甲、乙商品原来的单价分别为x元、y元，则下面根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 例4. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年需付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？ 例5.甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？ 三、针对练习 1．某校去年有学生1000名，今年比去年增加4.4%，其中住宿生增加6%，走读生减少2%，若设该校去年有住宿学生有x名，走读学生有y名，则根据题意可得方程组（　　） A． B． C． D． 2．为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某研究所随机地抽查了1000人．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这1000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3. 某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（　　） A． B． C． D． 4．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%． （1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台? （2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 5. 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售． （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由． 6. 某超市在春季期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分八折优惠 （1）李老师一次性购物600元，应付    元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款    元，当x大于或等于500元时，他实际付款    元；（用含x的代数式表示） （3）若王老师两次购物货款合计820元，实际付款共728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的货款，求王老师两次购物各多少元？ 10.3.4 工程问题 一、知识要点 工作量＝工作效率×工作时间 各部分劳动量之和＝总量. 方法总结：（1）两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量． （2）在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 二、典例分析 例1.一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成．现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务．问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？ 例2.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？ 三、针对练习 1.我市为了打造旅游风光带，将一段长为360m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成共用时20天.已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求在整个施工期间，甲、乙两工程队分别整治了多长的河道？ 2.有一批零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天完成；如果乙先做2天后甲加入合作，那么再做3天完成，则甲，乙两人单独完成这批零件，各需多少天？ 3.为打造阜宁老大桥西侧射阳河风光带，现有一段长为350米的河边道路整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示 ，y表示 ； 乙：x表示 ，y表示 ； （2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？ 4.一项200千米的引水工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天。甲乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成。问:甲、乙两队原计划每天各修多少千米？ 10.3 实际问题与二元一次方程组（一） 10.3.1古代数学问题 一、知识要点 1、实际问题与二元一次方程组 （1）列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. （2）列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 方法总结：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 二、典例分析 例1.《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？” 【解析】设每只雀、燕的重量各为两，两，由题意得： 解方程组得： 答：每只雀、燕的重量各为两和两. 例2.古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组， 依题意，得：．故选：D． 例3．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中： ①；②；③3x+（100﹣x）＝100；④（100﹣y）+3y＝100 正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解析】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意，得：， ∴y＝100﹣x，∴3x+（100﹣x）＝100．∴②③正确．故选：C． 三、针对练习 1．明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：依题意，得：． 故选：B． 2．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设这个队胜x场，负y场，根据题意，得．故选：A． 3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组，故选：D． 4．用一块A型钢板可制成2块C型钢板、3块D型钢板；用一块B型钢板可制成1块C型钢板、4块D型钢板．某工厂现需14块C型钢板、36块D型钢板，设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，根据题意，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块， 根据题意，“用一块A型钢板可制成2块C型钢板、3块D型钢板；一块B型钢板可制成1块C型钢板、4块D型钢板及A、B型钢板的总数”，得：，故选：A． 5．我国民间流传着这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两多7两，每人半斤少半斤，有x人、y两银（古代1斤等于16两），则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设有x人，y两银子．根据题意，得：，故选：B． 6.《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是“今有木，不如长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】A； 7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　 　． 【解析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．解：根据题意得：. 8. 有大小两种盛米的桶，已经知道5个大桶加上一个小桶可以盛3斛米，1个大桶加上5个小桶可以盛2斛米，问1个大桶、1个小桶分别可以盛多少斛米？ 【解析】解：设大桶盛米量为x斛，小桶盛米量为y斛，根据题意得： ，解得 答：1个大桶、1个小桶分别可以盛、斛米． 10.3.2 产品配套问题 一、知识要点 解这类问题的关键点是找对配套的两类物体的数量关系；基本等量关系是：加工总量成比例. 二、典例分析 例1．某车间有56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：根据生产螺栓人数+生产螺母人数＝56人，得方程x+y＝56； 根据螺栓数量的2倍＝螺母数量，得方程2×16x＝24y．列方程组为，故选：C． 例2．某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则有（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天， 依题意，得：．故选：C． 例3.某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？ 【解析】解：设女生人，男生人，由题意得： 解得： 答：这个班的男生有32人，女生有21人. 三、针对练习 1．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余．若设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子， 由题意得，即．故选：A． 2．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意得，故选：C． 3.某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个A种零件和5个B种零件凑巧配套已知车间每天能生产A种零件450个或B种零件300个，现在要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？ 【解析】解：设x天生产甲种零件，y天生产乙种零件使所生产的零件全部配套。 解得： 4.一张学生桌是由一个桌面和四条腿组成。若1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有15立方米木材，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿恰好配套？ 【解析】解：设桌面、桌腿分别用x立方米木料，y立方米木料； 解得： 10.3.3 经济问题 一、知识要点 1、增收节支问题： （1）增长（递减）率公式： 原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量； （2）利润公式： 利润=总收入-总支出 ； 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 ； 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)  （3）银行利率公式： 利息=本金×利率×期数. 利息＝贷款金额×利息率； 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12； 月利率＝年利率×. 二、典例分析 例1.在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生得优分率为60％，女生得优分率为40％，全校得优分率为49.6％；乙校男生得优分率为57％，女生得优分率为37％． 男(女)生得优分率＝，全校得优分率＝) （1）求甲校参加测试的男、女生人数各是多少? （2）从已知数据中不难发现甲校男、女生得优分率都相应高于乙校男、女生得优分率，但最终的统计结果却显示，甲校的全校得优分率比乙校的全校得优分率低，请举例说明原因． 【解析】解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人． 由题意可列方程组：，解得：． 答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人． （2）由于甲校男、女生得优分率相应高于乙校的男、女生得优分率，要使乙校的全校得优分率比甲校的全校得优分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校得优分率． 如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校得优分率为 ．51％＞49.6％ (说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生得优分率合适，即可得全分．) 例2.已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？ 【解析】解：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得： ，解得：， 答：A服装成本为300元，B服装成本200元． 例3.甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%．若设甲、乙商品原来的单价分别为x元、y元，则下面根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由题意可得，，故选：B． 例4. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年需付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？ 【解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得： ，解得： 答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元． 例5.甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？ 【解析】解：设甲、乙两件服装的成本分别为元和元，由题意： ，解得： 答：甲、乙两件服装的成本分别为300元和200元 三、针对练习 1．某校去年有学生1000名，今年比去年增加4.4%，其中住宿生增加6%，走读生减少2%，若设该校去年有住宿学生有x名，走读学生有y名，则根据题意可得方程组（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设该校去年有住宿学生有x名，走读学生有y名， 由题意得．故选：A． 2．为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某研究所随机地抽查了1000人．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这1000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由题意可得，，故选：A． 3. 某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由题意可得，，故选：D． 4．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%． （1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台? （2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 【解析】解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x辆，自动型汽车为y辆， 由题意可得：， 解得：． 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆． （2）[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元) 答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元． 5. 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售． （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由． 【解析】解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元， 根据题意得：，解得： 答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元. （2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元 则m=20×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）=1.6a+8 如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元． 则n=a×2×90%=1.8a，于是n﹣m=1.8a﹣（1.6a+8）=0.2a﹣8 ∵a＞40，∴0.2a＞8，∴n﹣m＞0，可见，当a＞40时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多． 答：用原来的方法购买花钱少． 6. 某超市在春季期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分八折优惠 （1）李老师一次性购物600元，应付    元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款    元，当x大于或等于500元时，他实际付款    元；（用含x的代数式表示） （3）若王老师两次购物货款合计820元，实际付款共728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的货款，求王老师两次购物各多少元？ 【解析】（1）由题意，得500×90%+100×80%=530元．故答案为：530元； （2）由题意，得200≤x＜500时，实际付款为：0.9x元， 当x≥500时，实际付款为：500×90%+（x-500）×80%=50+0.8x．故答案为： 0.9x，50+0.8x． （3）王老师第一次购物x元，第二次购物y元，由题意，得 ①； ②； ③ 解①，得； 解②，得原方程组无解； 解③，得 答：王老师第一次购物110元，第二次购物710元或第一次购物220元，第二次购物600元． 10.3.4 工程问题 一、知识要点 工作量＝工作效率×工作时间 各部分劳动量之和＝总量. 方法总结：（1）两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量． （2）在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 二、典例分析 例1.一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成．现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务．问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？ 【解析】解：设甲、乙两队先合做了x天，丙队加入后又做了y天，则 ，解得． 答：甲、乙两队合做了4天，丙队加入后又做了2天． 例2.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？ 【解析】解：设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生． 由题意，得， 解得． 答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l道侧门可通过80名学生． 三、针对练习 1.我市为了打造旅游风光带，将一段长为360m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成共用时20天.已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求在整个施工期间，甲、乙两工程队分别整治了多长的河道？ 【解析】解：设甲工程队整治了xm河道，乙工程队整治了ym河道，则由题意可得： 解得： 答：甲工程队整治了120m河道，乙工程队整治了240m河道. 方法二：解：设甲工程队整治了x天，乙工程队整治了y天，则由题意可得： 解得：； 所以，甲工程队整治了米河道， 乙工程队整治了米河道. 2.有一批零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天完成；如果乙先做2天后甲加入合作，那么再做3天完成，则甲，乙两人单独完成这批零件，各需多少天？ 【解析】分析：题目所反映的两个等量关系： （1）甲2天的工作量＋甲、乙合作2天的工作量＝420； （2）乙2天的工作量＋甲、乙合作3天的工作量＝420. 解：设甲每天可做零件x个，乙每天可做零件y个，则由题意可得： 解得： 所以，甲单独完成这批零件需天，乙单独完成这批零件需天. 3.为打造阜宁老大桥西侧射阳河风光带，现有一段长为350米的河边道路整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示 ，y表示 ； 乙：x表示 ，y表示 ； （2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【解析】解:(1)甲：； 乙：； 甲:x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数； 乙:x表示A工程队整治的河道长度，y表示B工程队整治的河道长度； （2）若解甲的方程组，得: ； ∴； 答:A、B两工程队分别整治河道150米和200米. 4.一项200千米的引水工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天。甲乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成。问:甲、乙两队原计划每天各修多少千米？ 【解析】解:设甲原计划每天修x千米,乙每天修y千米. ；解这个方程组，得 答:甲原计划每天修2.4km,乙每天修1.6km 2 学科网（北京）股份有限公司 $$