10.3 实际问题与二元一次方程组（二） 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（二）

10.3.5 等积变形问题

一、知识要点

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.

常用的面积、体积公式：

（1）长方形的周长公式：(长+宽)×2；    面积公式：长×宽；

（2）正方形的周长公式：边长×4；       面积公式：边长×边长

（3）长方体的体积公式：长×宽×高；    正方体体积公式：边长×边长×边长

（4）圆的周长公式：C=；面积公式：；

（5）圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高

 

二、典例分析

例1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　）

  

 A．  B．  C．  D．

例2.某纸品厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形的两种纸片，其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等，现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这两种小盒（不计连接部分），可以做成甲、乙两种小盒各多少个？

（1）设可做成甲种小盒x个，乙种小盒y个，如何列方程组求解？

（2）设做甲种小盒要用去x张长方形纸片，做乙种小盒要用去y张正方形纸片，如何列方程组求解？

  

 

 

三、针对练习

1.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积．

 

 

2.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是多少厘米？

 

3.用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

 

 

4.小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：

（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；

（2）已知地面总面积是卫生间面积的15倍，且客厅面积比卫生间面积多21m2．如果铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

 

 

 

 

10.3.6 行程问题

一、知识要点

1.相遇问题:总路程=速度和×相遇时间

2.追及问题    

 （1）两人同地不同时,同向而行,两人所走路程相等;    

 （2）两人同时不同地,同向而行,两人所走路程差等于已知两地距离(时间相等);

 （3）两人不同时也不同地,同向而行,两人所走路程差等于已知两地距离(时间不相等)

3.流水行船问题    

 顺水速度=静水速度+水流速度;    逆水速度=静水速度-水流速度；

 

二、典例分析

例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.

 

 

 

 

例2.网约车越来越受到大众的欢迎．某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算（总费用不足10元按10元计价）．李明、王刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其行驶里程数、耗时以及打车总费用如表：