10.3 实际问题与二元一次方程组（二） 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（二） 10.3.5 等积变形问题 一、知识要点 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式： （1）长方形的周长公式：(长+宽)×2； 面积公式：长×宽； （2）正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 （3）长方体的体积公式：长×宽×高； 正方体体积公式：边长×边长×边长 （4）圆的周长公式：C=；面积公式：； （5）圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高 二、典例分析 例1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 例2.某纸品厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形的两种纸片，其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等，现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这两种小盒（不计连接部分），可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ （1）设可做成甲种小盒x个，乙种小盒y个，如何列方程组求解？ （2）设做甲种小盒要用去x张长方形纸片，做乙种小盒要用去y张正方形纸片，如何列方程组求解？ 三、针对练习 1.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积． 2.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是多少厘米？ 3.用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 4.小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含x、y的代数式表示地面总面积； （2）已知地面总面积是卫生间面积的15倍，且客厅面积比卫生间面积多21m2．如果铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 10.3.6 行程问题 一、知识要点 1.相遇问题:总路程=速度和×相遇时间 2.追及问题     （1）两人同地不同时,同向而行,两人所走路程相等;     （2）两人同时不同地,同向而行,两人所走路程差等于已知两地距离(时间相等); （3）两人不同时也不同地,同向而行,两人所走路程差等于已知两地距离(时间不相等) 3.流水行船问题     顺水速度=静水速度+水流速度; 逆水速度=静水速度-水流速度； 二、典例分析 例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离. 例2.网约车越来越受到大众的欢迎．某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算（总费用不足10元按10元计价）．李明、王刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其行驶里程数、耗时以及打车总费用如表： 里程数s（千米） 耗时t（分钟） 车费（元） 李明 8 8 12 王刚 10 12 16 （1）求p，q的值； （2）若张华也用该打车方式出行，平均车速为50千米/时，行驶了15千米，那么张华的打车总费用为多少？ 例3.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3km，平路每小时走4km，下坡路每小时走5km，那么从甲地到乙地需40min，从乙地到甲地需30min，甲地到乙地的全程是多少？ 例4.甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 例5.甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地间，顺流用18小时，逆流用24小时，求轮船在静水中的速度和水流速度，设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 三、针对练习 1.假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费． 小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．” 小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．” 问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？ （2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？ 2．一列快车长306m，一列慢车长344m，两车相向而行，从相遇到离开需要13s，如果同向而行，快车从追及到超过慢车需要65s，求快车、慢车各自的速度．若设快车速度为x m/s，慢车速度为y m/s，那么，由题意列出的方程为（　　） A． B． C． D． 3．通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟．假设通讯员到达某地的路程是x千米，规定的时间为y小时，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 4．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少km？ 5．两地相距280千米的水路，轮船顺水航行用了14小时，逆水航行用20小时，求轮船速度和水流的速度．设轮船的水流速度是x千米/时，静水速度是y千米/时，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 10.3.7 方案选择与设计问题 一、知识要点 在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。 二、典例分析 例1.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．) （1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； （2）求本次奖金发放的具体方案． 例2.某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费． 三、针对练习 1.联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由. 2. 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元． （1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ （3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱的购买服装方案． 3．北京奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等 级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． （1）若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ （2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为　 　 张．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 10.3.8 数字问题 一、知识要点 1.多位数的表示： （1）两位数=十位数字×10+个位数字，例如：一个两位数，十位数字为b，个位数字为a，则这个数表示为10b+a； （2）三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字； 2.数位变换后多位数的表示： （1）两位数x放在两位数y的左边,组成一个四位数,这时,x的个位就变成了百位,十位就变成了千位,因此这个四位数里含有x个100,而两位数y在四位数中数位没有变化,因此这个四位数中还含有y个1.因此用x,y表示这个四位数为100x+y.同理,如果将x放在y的右边,得到一个新的四位数为100y+x. （2）一个两位数,个位上的数是m,十位上的数是n,如果在它们之间添上一个0,十位上的n便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100,0个10,m个1组成的,用代数式表示这个三位数为100n+m. 二、典例分析 例1.一辆汽车在公路上行驶，看到里程表上是一个两位数，1小时后其里程表还是一个两位数，且刚好它的十位数字与个位数字与第一次看到的两位数的十位数字与个位数字颠倒了位置，又过了1小时后看到里程表是一个三位数，它是第一次看到的两位数中间加一个0，则汽车的速度是（　　）千米/小时． A．35 B．40 C．45 D．50 例2.一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？ 三、针对练习 1.小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到路边里程碑上的数时，发现它是一个两位数且它的两个数字之和为9，刚好过一个小时，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，又过3小时，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多个0，你知道小明爸爸骑摩托车的速度是多少吗？ 2．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数． 10.3 实际问题与二元一次方程组（二） 10.3.5 等积变形问题 一、知识要点 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式： （1）长方形的周长公式：(长+宽)×2； 面积公式：长×宽； （2）正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 （3）长方体的体积公式：长×宽×高； 正方体体积公式：边长×边长×边长 （4）圆的周长公式：C=；面积公式：； （5）圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高 二、典例分析 例1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，根据图示可得长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y＝75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程，故选：D． 例2.某纸品厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形的两种纸片，其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等，现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这两种小盒（不计连接部分），可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ （1）设可做成甲种小盒x个，乙种小盒y个，如何列方程组求解？ （2）设做甲种小盒要用去x张长方形纸片，做乙种小盒要用去y张正方形纸片，如何列方程组求解？ 【解析】解:(1)设可做成甲种小盒x个，乙种小盒y个，由题意得: ；解得； （2）， 解得 ； 从而； 答:做甲种小盒30个，做乙种小盒60个 三、针对练习 1.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积． 【解析】解:设每个长方形的长为x厘米，宽为y厘米，由题意得： ，解得： 答:每个长方形的长为10cm，宽为6cm. 2.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是多少厘米？ 【解析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm.由题意得： ，解得：，因此木桶中水的深度为 (cm). 答：木桶中水的深度是80厘米. 3.用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 【解析】设做第一种x个，第二种y个,由题意得， ，解得： 答:做第一种200个，第二种400个. 4.小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含x、y的代数式表示地面总面积； （2）已知地面总面积是卫生间面积的15倍，且客厅面积比卫生间面积多21m2．如果铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【解析】解:(1)设客厅的宽是x，卫生间的宽是y， 地面的总面积为:3×4+2y+2×3+6x=6x+2y+18； (2)由题意得，整理得：，解得：； ∴地面总面积为:S(总)=6x+2y+18=45(m2)，∴铺地砖的总费用为:45x80=3600(元) 答:那么铺地砖的总费用为3600元. 10.3.6 行程问题 一、知识要点 1.相遇问题:总路程=速度和×相遇时间 2.追及问题     （1）两人同地不同时,同向而行,两人所走路程相等;     （2）两人同时不同地,同向而行,两人所走路程差等于已知两地距离(时间相等); （3）两人不同时也不同地,同向而行,两人所走路程差等于已知两地距离(时间不相等) 3.流水行船问题     顺水速度=静水速度+水流速度; 逆水速度=静水速度-水流速度； 二、典例分析 例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离. 【解析】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得： 解得： 答：甲乙两地间的距离为140千米. 例2.网约车越来越受到大众的欢迎．某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算（总费用不足10元按10元计价）．李明、王刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其行驶里程数、耗时以及打车总费用如表： 里程数s（千米） 耗时t（分钟） 车费（元） 李明 8 8 12 王刚 10 12 16 （1）求p，q的值； （2）若张华也用该打车方式出行，平均车速为50千米/时，行驶了15千米，那么张华的打车总费用为多少？ 【解析】解：（1）小明的里程数是8km，时间为8min；小刚的里程数为10km，时间为12min． 由题意得，解得； （2）张华的里程数是15km，时间为18min．则总费用是：15p+18q＝24（元）． 答：总费用是24元． 例3.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3km，平路每小时走4km，下坡路每小时走5km，那么从甲地到乙地需40min，从乙地到甲地需30min，甲地到乙地的全程是多少？ 【解析】解：设从甲地到乙地的上坡路有xkm，平路有ykm， 根据题意得：，解得：，∴x+y1． 答：甲地到乙地的全程是km． 例4.甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由题意可得，，故选：B． 例5.甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地间，顺流用18小时，逆流用24小时，求轮船在静水中的速度和水流速度，设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意得： ．故选：B． 三、针对练习 1.假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费． 小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．” 小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．” 问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？ （2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？ 【解析】解：（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元． 依题意得，，解得． 答：出租车的起步价是 元，超过1.5千米后每千米收费2元； （2）+（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）． 答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元． 2．一列快车长306m，一列慢车长344m，两车相向而行，从相遇到离开需要13s，如果同向而行，快车从追及到超过慢车需要65s，求快车、慢车各自的速度．若设快车速度为x m/s，慢车速度为y m/s，那么，由题意列出的方程为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设快车速度为x m/s，慢车速度为y m/s，由题意得，．故选：B． 3．通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟．假设通讯员到达某地的路程是x千米，规定的时间为y小时，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设通讯员到达某地的路程是x千米，规定的时间为y小时，由题意得： ，故选：B． 4．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少km？ 【解析】解：设甲地到乙地的上坡路长xkm，平路长ykm， 根据题意得：，解得：，∴x+y． 答：甲地到乙地全程是km． 5．两地相距280千米的水路，轮船顺水航行用了14小时，逆水航行用20小时，求轮船速度和水流的速度．设轮船的水流速度是x千米/时，静水速度是y千米/时，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设轮船的水流速度是x千米/时，静水速度是y千米/时， 根据题意得：．故选：D． 10.3.7 方案选择与设计问题 一、知识要点 在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。 二、典例分析 例1.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．) （1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； （2）求本次奖金发放的具体方案． 【解析】解：（1）设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人． 根据题意，得，解得． 即该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人． （2）由(1)，可得10A+5B＝20000． 因为A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍， 所以当B＝800时，A＝1600； 当B＝900时，A＝1550(A不是100的整数倍，舍去)； 当B＝1000时，A＝1500； 当B＝1100时，A＝1450(A不是100的整数倍，舍去)； 当B＝1200时，A＝1400； 当B＝1300时，A＝1350(A不足100的整数倍，舍去)； 当B＝1400时，A＝1300(A＜B，舍去)； 因此再取下去都不符合题意． 所以本次奖金发放的具体方案有三种： 方案1：技术员工每人1600元，辅助员工每人800元； 方案2：技术员工每人1500元，辅助员工每人1000元； 方案3：技术员工每人1400元，辅助员工每人1200元． 例2.某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费． 【解析】(1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨,根据题意得 ，解得． 故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨. (2)根据题意可得3a+4b=31,, ∵a,b均为非负整数，∴或或； ∴共有三种租车方案：①租A型车1辆,B型车7辆；②租A型车5辆,B型车4辆；③租A型车9辆,B型车1辆. (3)设车费为ω元,则ω=100a+120b, 方案①花费为100×1+120×7=940(元); 方案②花费为100×5+120×4=980(元); 方案③花费为100×9+120×1=1020(元). ∵940<980<1020,故方案①最省钱,即租用A型车1辆,B型车7辆,最少租车费为940元. 三、针对练习 1.联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由. 【解析】解：设从该公司购进A型电脑台， B型电脑台， C型电脑z台，则可分3种情况考虑： ①只购进A型电脑和B型电脑， ，解得 不符合题意，舍去，此方案不可取. ②只购进A型电脑和C型电脑，， 解得： 符合题意，此方案可取. ③只购进B型电脑和C型电脑，， 解得： 符合题意，此方案可取. 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台. 2. 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元． （1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ （3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱的购买服装方案． 【解析】：解：（1）由题意，得：5000-92×40=1320（元）． 即两所学校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1320元． （2）设甲、乙两所学校各有x名、y名学生准备参加演出．由题意，得： ，解得． 答：甲、乙各有52名、40名学生准备参加演出． （3）∵甲校有10人不能参加演出，∴甲校有52-10=42（人）参加演出． 若两校联合购买服装，则需要50×（42+40）=4100（元）， 此时比各自购买服装可以节约（42+40）×60-4100=820（元）， 但如果两校联合购买91套服装，只需40×91=3640（元）， 此时又比联合购买每套50元可节约4100-3640=460（元）， 因此，最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购9套）． 3．北京奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等 级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． （1）若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ （2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为　 　 张．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 【解析】解：（1）设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，根据题意，购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元，可得： ，解得：， 故500+7×300＝2600（元）， 答：小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元； （2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为8或9或10张． 故答案为：8或9或10． 10.3.8 数字问题 一、知识要点 1.多位数的表示： （1）两位数=十位数字×10+个位数字，例如：一个两位数，十位数字为b，个位数字为a，则这个数表示为10b+a； （2）三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字； 2.数位变换后多位数的表示： （1）两位数x放在两位数y的左边,组成一个四位数,这时,x的个位就变成了百位,十位就变成了千位,因此这个四位数里含有x个100,而两位数y在四位数中数位没有变化,因此这个四位数中还含有y个1.因此用x,y表示这个四位数为100x+y.同理,如果将x放在y的右边,得到一个新的四位数为100y+x. （2）一个两位数,个位上的数是m,十位上的数是n,如果在它们之间添上一个0,十位上的n便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100,0个10,m个1组成的,用代数式表示这个三位数为100n+m. 二、典例分析 例1.一辆汽车在公路上行驶，看到里程表上是一个两位数，1小时后其里程表还是一个两位数，且刚好它的十位数字与个位数字与第一次看到的两位数的十位数字与个位数字颠倒了位置，又过了1小时后看到里程表是一个三位数，它是第一次看到的两位数中间加一个0，则汽车的速度是（　　）千米/小时． A．35 B．40 C．45 D．50 【解析】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得： ，解得：x＝6y，∵x、y为1﹣9内的自然数，∴； 即两位数为16． 即：第一次看到的两位数是16．第二次看到的两位数是61．第三次看到的三位数是106． 则汽车的速度是：＝45（千米/小时）．故选：C． 例2.一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？ 【解析】解：设两位数是x，三位数是y,根据题意得:， 解得:．答：两位数、三位数各是37、185． 三、针对练习 1.小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到路边里程碑上的数时，发现它是一个两位数且它的两个数字之和为9，刚好过一个小时，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，又过3小时，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多个0，你知道小明爸爸骑摩托车的速度是多少吗？ 【解析】解：小明第一次注意到路边里程碑上的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得 解得， 即小明第一次注意到路边里程碑上的数字为27，1小时后小明看到的程碑上的数字为72，72﹣27=45（千米/小时）， 答：小明爸爸骑摩托车的速度是45千米/小时． 2．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数． 【解析】解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y， 由题意得，，解得：， 则这个三位数为439． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$