10.2 消元——解二元一次方程组 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 一、知识要点 1、消元法 （1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. （2）消元的基本思路：未知数由多变少. （3）消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 2、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 要点诠释： （1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． （4）用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”． 二、典例分析 题型一、用代入法解二元一次方程组 例1．用代入法解方程组： （1） （2） 例2.m 取什么数值时，方程组的解 （1）是正数；（2）是正整数？并求它的所有正整数解. 例3.“整体代入”解方程组： 例4.解方程组（1） （2） 题型二、方程组解的应用 例5.已知关于x，y的方程组的解满足方程3x+2y＝19，求m的值． 例6.已知和方程组的解相同，求的值． 例7.小明和小华同时解方程组，小明看错了m，解得小华看错了n，解得，你能知道原方程组正确的解吗？请求出来． 三、针对练习 1．解方程组的最好方法是（ ）. A．由①得再代入② B．由②得再代入① C．由①得再代入② D．由②得再代入① 2.若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x-3xy 的值是（ ）. A．14 B．-4 C．-12 D．12 3．关于x，y的方程，k比b大1，且当时，，则k，b的值分别是（ ）. A．， B．2，1 C．-2，1 D．-1，0 4．已知和都是方程y＝ax+b的解，则（ ）. A． B． C． D． 5．如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a的值是（ ）. A．3 B．2 C．7 D．6 6．已知，用含的式子表示，其结果是_______． 7．在方程组中，若把x+y看作一个整体，把①代入②，解得y＝________，所以x＝_______． 8．x，y满足方程组，那么3ax+y的值是________. 9．若与是同类项，则x＝ ________，y＝ ________． 10.已知方程组的解也是方程 的解，则a＝ _____，b＝ ____ ． 11.关于的二元一次方程组中，与方程组的解中的相等，则的值为 . 12．用代入法解方程组： （1） （2） 13．关于x，y的方程组，甲正确地解出，乙因把c看错了，解得求a、b、c的值． 14.已知关于x，y的二元一次方程组 当a为何整数值时，方程组的解均为整数？ 10.2.2 加减消元法 一、知识要点 1、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 方法总结：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 2、选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选法，快速消元． 二、典例分析 题型一、加减法解二元一次方程组 例1. 用加减消元法解方程组 （1） （2） 例2.已知关于x、y的方程组的解为，求关于x、y的方程组的解． 例3.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ． 题型二、用适当方法解二元一次方程组 例4. 解方程组. （1） （2） 例5. 试求方程组的解． 例6.已知方程组与同解，求a、b. 三、针对练习 1．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（ ）. A． B． C． D． 2．已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（ ）. A．1或-1 B．1 C．5 D．-5 3.如果的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）.        A．a<2 B. C. D.  4．小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果．后来发现、处被墨水污损了，请你帮他计算出、处的值分别是（ ）. A．1、1 B．2、1 C．1、2 D．2、2 5. 已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于（ ）.   A．a=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14 6．若是二元一次方程，则a＝________，b＝________． 7．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长________，底边长________． 8．已知是关于x、y的二元一次方程，则m＝________，n＝________；在自然数范围内，该方程的解是________． 9．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y＝________． 10．对于实数x和y，定义一种新的运算“△”：x△y＝ax+by，其中a、b是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，已知3△5＝25，4△7＝38，那么1△5＝________． 11．若方程组的解是一个直角三角形的两条直角边，则这个直角三角形的面积为________． 12．解下列方程组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 13.已知 （1）求x:z的值；（2）求x:y:z的值；（3）求的值． 14．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1．③ ③×16，得16x+16y＝16 ④， ②－④，得x＝-1，从而y＝2．所以原方程组的解是． 请你用上述方法解方程组，并猜测关于x、y的方程组 的解是什么？并加以验证． 10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 一、知识要点 1、消元法 （1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. （2）消元的基本思路：未知数由多变少. （3）消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 2、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 要点诠释： （1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． （4）用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”． 二、典例分析 题型一、用代入法解二元一次方程组 例1．用代入法解方程组：（1） （2） 【解答】解：由①得 ③， 将③代入② ，解得． 将代入③，得x＝3，所以原方程组的解为． 解：（2），①②得：，即， 把代入①得：，则方程组的解为． 例2.m 取什么数值时，方程组的解 （1）是正数；（2）是正整数？并求它的所有正整数解. 【解答】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数； （2）m=-3，-2，0，. 例3.“整体代入”解方程组： 【解答】解：，由①，得③. 将③代入②，得，解得.把代入③，得.所以原方程组的解为． 例4.解方程组（1） （2） 【解答】解： ，将①代入②：，得 y=4； 将y=4代入①：2x－12=2，得 x=7； ∴原方程组的解是. （2）解：由②，设x=4，y=3，代入①：4－4·3=5，4－12=5，－8=5，； ∴，，∴原方程组的解为. 题型二、方程组解的应用 例5.已知关于x，y的方程组的解满足方程3x+2y＝19，求m的值． 【解答】解：由②得： ③；将③代入①，解得 ④； 将④代入③，解得 ⑤； 所以原方程组的解为 把方程组的解代入方程3x+2y＝19中，得3×7m+2×(-m)＝19，所以m＝1． 例6.已知和方程组的解相同，求的值． 【解答】解：依题意联立方程组，①+③得5x＝10，解得x＝2． 把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以， 又联立方程组，则有，解得． 所以(2a+b)2011＝-1． 例7.小明和小华同时解方程组，小明看错了m，解得小华看错了n，解得，你能知道原方程组正确的解吗？请求出来． 【解答】解：把代入方程2x-ny＝13中，得n＝3．把代入方程mx+y＝5中， 得m＝4．所以原方程组为，解方程组，得原方程组的解为． 三、针对练习 1．解方程组的最好方法是（ ）. A．由①得再代入② B．由②得再代入① C．由①得再代入② D．由②得再代入① 【解答】C； 2.若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x-3xy 的值是（ ）. A．14 B．-4 C．-12 D．12 【解答】联立方程组，解得，代入2x2-3xy＝﹣4. 故选B； 3．关于x，y的方程，k比b大1，且当时，，则k，b的值分别是（ ）. A．， B．2，1 C．-2，1 D．-1，0 【解答】将时，代入得 ①，再由k比b大1得②，①②联立解得，.故选A； 4．已知和都是方程y＝ax+b的解，则（ ）. A． B． C． D． 【解答】将和分别代入方程y＝ax+b得二元一次方程组：，解得.故选B； 5．如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a的值是（ ）. A．3 B．2 C．7 D．6 【解答】由方程组可得，代入方程，即可求得.故选B； 6．已知，用含的式子表示，其结果是_______． 【解答】； 7．在方程组中，若把x+y看作一个整体，把①代入②，解得y＝________，所以x＝_______． 【解答】，； 8．x，y满足方程组，那么3ax+y的值是________. 【解答】令3ax＝u，则原方程组课变为，解得，所以3ax+y＝u+y＝21-3=18. 9．若与是同类项，则x＝ ________，y＝ ________． 【解答】2， -1； 10.已知方程组的解也是方程 的解，则a＝ _____，b＝ ____ ． 【解答】由题意得：，解得，代入 ，得关于a、b的方程组，解得；故答案为3， 1； 11.关于的二元一次方程组中，与方程组的解中的相等，则的值为 . 【解答】解：解关于的方程组得，当时，；当时，. 故答案为； 12．用代入法解方程组： （1） （2） 【解答】解：（1），将②代入①得，，得， 将代入①得，，所以原方程组的解是 . （2） 把3x+2y看作整体，直接将①代入②得，，解得， 将代入①得，，所以原方程组的解是． 13．关于x，y的方程组，甲正确地解出，乙因把c看错了，解得求a、b、c的值． 【解答】解：由题意得x＝3，y＝-2代入方程组中得 把代入中，得2a-2b＝-2 ②， 由①和②组成方程组，解得，∴ a＝4，b＝5，c＝-2． 14.已知关于x，y的二元一次方程组 当a为何整数值时，方程组的解均为整数？ 【解答】解：由①得 x＝ay ③，将③代入②，得2ay-3y＝6，所以． 因为y为整数，所以2a-3为6的约数．所以2a-3＝±1，±2，±3，±6． 当2a-3＝1时，a＝2；当2a-3＝-1时，a＝1； 当2a-3＝2时，；当2a-3＝-2时，； 当2a-3＝3时，a＝3；当2a-3＝-3时，a＝0； 当2a-3＝6时，；当2a-3＝-6时，． 因为a为整数，所以a为0，1，2，3． 10.2.2 加减消元法 一、知识要点 1、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 方法总结：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 2、选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选法，快速消元． 二、典例分析 题型一、加减法解二元一次方程组 例1. 用加减消元法解方程组 （1） （2） 【解答】（1）解：此式可化为： 由①：3x+4y=18①； 由②：6x+5y=27②；①×2：6x+8y=36③； ③－②：3y=9，解得y=3； 代入①：3x+12=18，解得 x=2，所以原方程组的解为 （2） 例2.已知关于x、y的方程组的解为，求关于x、y的方程组的解． 【解答】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(x-y)与(x+y)分别看成一个整体当作未知数，可得 解得： 例3.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ． 【解答】解：由方程组的解是，得， 上式可写成，与比较，可得：． 题型二、用适当方法解二元一次方程组 例4. 解方程组. （1） （2） 【解答】（1）解：设，则原方程组可化为 解得，即 ，所以，解得，所以原方程组的解为． （2）解：去分母，整理化简得，，②×3－①×2得，，即， 将代入①得，，即，所以原方程组的解为. 例5. 试求方程组的解． 【解答】解： ，①－②，整理得③； ∵，∴13－y≥0，即y≤13， 当时，③可化为，解得； 当时，③可化为，无解. 将代入②，得，解得. 综上可得，原方程组的解为：或. 例6.已知方程组与同解，求a、b. 【解答】解：由，解得， 将代入，得， 解得. 答：的值为，的值为. 三、针对练习 1．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（ ）. A． B． C． D． 【解答】由解得：，将其代入2x+3y＝6，得，即.故选B； 2．已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（ ）. A．1或-1 B．1 C．5 D．-5 【解答】解方程组得解为，因为x、y的值相等，所以，解得.故选B； 3.如果的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）.        A．a<2 B. C. D.  【解答】C； 4．小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果．后来发现、处被墨水污损了，请你帮他计算出、处的值分别是（ ）. A．1、1 B．2、1 C．1、2 D．2、2 【解答】将代入得，解之得.故选B； 5. 已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于（ ）.   A．a=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14 【解答】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例. 故选A； 6．若是二元一次方程，则a＝________，b＝________． 【解答】 由二元一次方程的定义得，解得.故答案为1， 0； 7．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长________，底边长________． 【解答】设等腰三角形的底边长为，则腰长为，所以，解得.故答案为7，4； 8．已知是关于x、y的二元一次方程，则m＝________，n＝________；在自然数范围内，该方程的解是________． 【解答】1， 2， ； 9．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y＝________． 【解答】7； 10．对于实数x和y，定义一种新的运算“△”：x△y＝ax+by，其中a、b是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，已知3△5＝25，4△7＝38，那么1△5＝________． 【解答】根据新运算的定义可得，3a+5b＝25，4a+7b＝38，联立方程组，可解得a，b的值，再代入计算. 故答案为55； 11．若方程组的解是一个直角三角形的两条直角边，则这个直角三角形的面积为________． 【解答】原解方程组的解为，所以. 故答案为82.5； 12．解下列方程组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【解答】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； （7）将“”看作整体: 由①得， ③ 将③代入②得 ，即， ④ 将④代入③，化简得，即， 将代入④得，所以原方程组的解为 . （8）， 由①得， ③，将③代入②，整理得，解得， 将代入③得，所以原方程组的解为. 13.已知 （1）求x:z的值；（2）求x:y:z的值；（3）求的值． 【解答】解：（1）解关于x，z的二元一次方程组 ，得． ∴ x:z＝(-6y):y:(-9y)＝2:3． （2）由（1）得x＝-6y，z＝-9ｙ， ∴ x:y:z＝(-6y):y:(-9y)＝(-6):1:(-9)． （3）由（1）得x＝-6y，z＝-9y． ∴ 14．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1．③ ③×16，得16x+16y＝16 ④， ②－④，得x＝-1，从而y＝2．所以原方程组的解是． 请你用上述方法解方程组，并猜测关于x、y的方程组 的解是什么？并加以验证． 【解答】解：，①－②，得2x+2y＝2，即x+y＝1 ③． ③×2005，得2005x+2005y＝2005 ④．②－④，得x＝-1，把x＝-1代入③得y＝2． 所以原方程组的解是，可以猜测关于x，y的方程组的解是． 验证如下：将x＝-1，y＝2，代入方程(a+2)x+(a+1)y＝a中满足方程左、右两边的值相等，将x＝-1，y＝2，代入方程(b+2)x+(b+1)y＝b中满足方程左、右两边的值相等， 所以是方程组的解． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$