专题2.7 一元一次不等式组（3大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.7 一元一次不等式组（3大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一元一次不等式组 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 特别提醒：一元一次不等式组必须同时满足两个条件 （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 2. 表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 特别解读： 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； 2.未知数的个数必须唯一. 【知识点2】一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 特别解读： “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 【知识点3】解一元一次不等式组 1.定义 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 【要点提示】 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分. 【知识点四】一元一次不等式组的应用 基本步骤：审→设→列→解→验→答. （1）审：认真审题，分清题目中的已知量、未知量，并明确他们之间的不等关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题目中的不等关系列出不等式组； （4）解：解不等式组，求出解集； （5）验：检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； （6）答：写出答案. 【特别提示】 列一元一次不等式组的步骤和要求与列一元一次不等式一样.所不同的是题中所反映的数量关系不只一个，因此需要将所有反应数量关系的语句用不等式一一表示出来，形成一元一次不等式组. 考点与题型目录 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义...............................................3 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集.....................................................4 【题型3】解特殊不等式组.......................................................6 【题型4】求一元一次不等式组的整数解...........................................7 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数.......................................8 【题型6】由不等式组解集的情况求参数..........................................10 【考点四】一元一次不等式组中的应用 【题型7】不等式组和方程组结合的问题..........................................12 【题型8】列一元一次不等式组..................................................14 【题型9】一元一次不等式组的其他应用..........................................15 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接...........................................................18 【题型11】拓展延伸...........................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义 【例1】（18-19七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 【答案】m≠－2 【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值． 解：mx－8≤4－2x， mx＋2x≤4＋8， （m＋2）x≤12， ∴m＋2≠0， 解得m≠－2， 故答案为m≠－2． 【点拨】此题主要考查不等式的定义． 【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 解：（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． 将不等式组的解集在数轴上表示如图． ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集是． 将不等式组的解集在数轴上表示如图． ． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点在第一象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、解不等式组等知识点，掌握点在各象限的坐标符号是解题的关键． 先根据第一象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组求解即可． 解：∵点在第一象限， ∴，解得：． 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·广西崇左·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先列出不等式组，再解不等式组即可． 解：根据题意得，， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 故答案为：． 【题型3】解特殊不等式组 【例3】（21-22八年级上·全国·课后作业）已知，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 解：根据题意得 解得． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及不等式组的解法，熟知二次根式下为非负数是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级下·福建福州·期中）一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【答案】B 【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式组即可． 解：∵一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴（k－1）x＞﹣6， ∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0即k＜1时，2则k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0； 当k＝1时，，，很明显＞也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0时，2且k≠0解答． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【题型4】求一元一次不等式组的整数解 【例4】解下列不等式组， 并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，， 【分析】本题考查的是求解不等式组的整数解，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再确定整数解即可． 解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解为： ∴整数解为： 2，3，4． 【变式1】．不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解决此题的关键． 解：解不等式得，, 解不等式得，, ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：,即不等式组有个整数解， 故选：． 【变式2】不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键． 求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解是， 故答案为：． 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数 【例5】若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 【变式1】若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解． 解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵两个不等式的解集相同， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，代数式求值，关键是正确计算出两个不等式的解集．首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ，， 解得：， ， 故答案为：3． 【题型6】由不等式组解集的情况求参数 【例6】已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集是． 不等式组只有两个整数解，是0和1． 根据题意，得， 解得． 【变式1】．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解第一个不等式求出其解集，再结合且不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 解：解不等式，得， 且不等式组无解， ， 故选：． 【变式2】若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组和一元一次不等式解集的情况求参数的取值范围，先分别求出不等式组和不等式的解集，再根据解集的情况列出关于的不等式即可求解，掌握解一元一次不等式组和一元一次不等式的步骤是解题的关键． 解：解不等式组，得， 解不等式，得， ∵不等式组解集中的任意的值都能使不等式成立， ∴， ∴， 故答案为： 【考点四】一元一次不等式组中的应用 【题型7】不等式组和方程组结合的问题 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的综合应用，求出方程组的解集，根据解集的情况列出不等式组求出的取值范围，化简绝对值即可． 解：解方程得 根据题意，得 解不等式①，得． 解不等式②，得， ． 当时，． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【题型8】列一元一次不等式组 【例8】（23-24八年级下·全国·假期作业）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． （1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 【答案】（1）；（2）每月的用水量不超过立方米 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）分情况讨论：当时，当时，分别根据题意列出等量关系即可； （2）根据用户每月水费不超过元，且要求每月的用水量不超过多少立方米，可得，求出的范围即可求解． 解：（1）解：当时，， 当时，， 关于的函数解析式为； （2）由题意得：， 解得：， 每月的用水量不超过立方米． 【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 【变式2】（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可． 解：∵3，在数轴上从左到右依次排列， ∴，解得， ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 【点拨】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键． 【题型9】一元一次不等式组的其他应用 【例9】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． （1）求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ （2）为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ （3）为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 【答案】（1）每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元；（2）共有8种购买方案；（3） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减中的无关型问题，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得； （2）设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的建立不等式组，解不等式组即可得； （3）设购买总费用为元，则，再根据（2）中的所有购买方案费用相同可得含的项的系数等于0，由此即可得． 解：（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元． （2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶， 由题意得：， 解得， 为正整数， 可能为23，24，25，26，27，28，29，30， 答：共有8种购买方案． （3）解：设购买总费用为元， 则， ∵（2）中的所有购买方案费用相同， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标与轴对称，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第二象限，再根据第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）一幢学生宿舍楼有一些空宿舍，现有一批学生要入住．若每间住4人，则有20人无法入住，若每间住8人，则有一间房还剩余一些空床位，求空宿舍的间数和这批学生的人数．若设空宿舍有间，则根据题意可列一元一次不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组的应用，设空宿舍有间，则学生人数为，根据若每间住人，则有1间房还剩余一些空床位．列出不等式组，求解即可. 解：设空宿舍有间，则学生人数为，根据题意得， 故答案为：． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接 【例1】（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 【例2】（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见分析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得：， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 【例2】．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 一元一次不等式组（3大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一元一次不等式组 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 特别提醒：一元一次不等式组必须同时满足两个条件 （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 2. 表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 特别解读： 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； 2.未知数的个数必须唯一. 【知识点2】一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 特别解读： “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 【知识点3】解一元一次不等式组 1.定义 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 【要点提示】 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分. 【知识点四】一元一次不等式组的应用 基本步骤：审→设→列→解→验→答. （1）审：认真审题，分清题目中的已知量、未知量，并明确他们之间的不等关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题目中的不等关系列出不等式组； （4）解：解不等式组，求出解集； （5）验：检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； （6）答：写出答案. 【特别提示】列一元一次不等式组的步骤和要求与列一元一次不等式一样.所不同的是题中所反映的数量关系不只一个，因此需要将所有反应数量关系的语句用不等式一一表示出来，形成一元一次不等式组. 考点与题型目录 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义...............................................3 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集.....................................................3 【题型3】解特殊不等式组.......................................................3 【题型4】求一元一次不等式组的整数解...........................................4 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数.......................................4 【题型6】由不等式组解集的情况求参数...........................................4 【考点四】一元一次不等式组中的应用 【题型7】不等式组和方程组结合的问题...........................................5 【题型8】列一元一次不等式组...................................................5 【题型9】一元一次不等式组的其他应用...........................................6 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接............................................................6 【题型11】拓展延伸............................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义 【例1】（18-19七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点在第一象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广西崇左·期中）不等式的解集是 ． 【题型3】解特殊不等式组 【例3】（21-22八年级上·全国·课后作业）已知，求a的取值范围． 【变式1】（21-22八年级下·福建福州·期中）一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【题型4】求一元一次不等式组的整数解 【例4】解下列不等式组， 并写出它的所有整数解． 【变式1】．不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】不等式组的最小整数解是 ． 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数 【例5】若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【变式1】若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【题型6】由不等式组解集的情况求参数 【例6】已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 【变式1】．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【考点四】一元一次不等式组中的应用 【题型7】不等式组和方程组结合的问题 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【题型8】列一元一次不等式组 【例8】（23-24八年级下·全国·假期作业）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． （1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为 【题型9】一元一次不等式组的其他应用 【例9】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． （1）求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ （2）为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ （3）为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）一幢学生宿舍楼有一些空宿舍，现有一批学生要入住．若每间住4人，则有20人无法入住，若每间住8人，则有一间房还剩余一些空床位，求空宿舍的间数和这批学生的人数．若设空宿舍有间，则根据题意可列一元一次不等式组为 ． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接 【例1】（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【例2】（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$