8.2证明的必要性（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

8.2 证明的必要性 主讲： 鲁教版 五·四学制 七年级下册 第八章 平行线的有关证明 学习目标 1.知道通过实验、归纳、观察、猜测等方法得到的数学命题不一定是真命题。 2.理解什么是证明以及证明的必要性。 3.知道要确定命题是真命题要有理有据的进行推理。 新课导入 眼见为实？ 真的在动吗？ 新课导入 眼见为实？ 每一组的线段a与b哪一条长？ 新课导入 眼见为实？ 蓝色的圆A和圆B哪一个大？ 讲授新课 小颖，如图，我画了好几个三角形，用量角器分别测量各三角形内角的度数，然后把三个角度加起来，发现每个三角形的内角的和都是180°。于是我就得出了一个一般性的结论：三角形三个内角的和等于180°。 小明，我有异议，你怎么知道你的结论一定可靠呢？三角形有无数多个，你才测量了几个三角形？即使测量几千个、几万个，也只是很小的一部分，怎么能从这很小一部分的性质推出所有三角形的性质呢？再说，你的测量不可能没有误差，你怎么能确定三角形的内角和正好是180°，而不是181°或179°呢？ 讲授新课 在数学学习中，我们可以通过实验、归纳、观察、猜测等方法，得到数学命题。你是否想过，通过这些方法得到的命题一定是真命题吗？ 合作探究 （1）当n=0，1，2，3，4时，代数式n²-n+11的值是质数还是合数？小明由此得出一个命题：对于所有自然数n，n²-n+11的值都是质数。你认为小明得出的命题是真命题吗？为什么？与同伴进行交流。 当n=0时，代数式n²-n+11=11； 当n=1时，代数式n²-n+11=11； 当n=2时，代数式n²-n+11=13； 当n=3时，代数式n²-n+11=17； 当n=4时，代数式n²-n+11=23； 学生活动：以组为单位讨论，时间3分钟 可以发现，对于n=0，1，2，3，4，代数式n²-n+11的值都是质数，你能继续算下去吗？试一试 合作探究 （1）当n=0，1，2，3，4时，代数式n²-n+11的值是质数还是合数？小明由此得出一个命题：对于所有自然数n，n²-n+11的值都是质数。你认为小明得出的命题是真命题吗？为什么？与同伴进行交流。 当n=5时，代数式n²-n+11=31； 当n=6时，代数式n²-n+11=41； 当n=7时，代数式n²-n+11=53； 当n=8时，代数式n²-n+11=67； 当n=9时，代数式n²-n+11=83； 当n=10时，代数式n²-n+11=101； 当n=11时，代数式n²-n+11=121； 可以发现，121有约数11，它是合数， 所以小明得出的命题是假命题 归纳：只对部分对象进行研究归纳出的一般结论不一定正确。 合作探究 （2）小刚发现2＞，3＞，4＞，...，由此得出一个命题：任何一个整数都大于它的倒数。你认为小刚得出的命题正确吗？为什么？与同伴进行交流。 1也是整数，1的倒数是1，1不大于它的倒数，所以小刚得出的命题是错误的。 学生活动：同桌讨论，时间1分钟 只对部分对象进行研究归纳出的一般结论不一定正确。 合作探究 （3）小颖在一张纸上画出一条直线，这条直线把纸面分为2部分；她在纸上又画出一条直线，发现这两条直线最多把纸面分为4部分，于是她猜想：“三条直线最多可以把一个平面分为6部分。”小明则认为：“三条直线最多可以把一个平面分为7部分。”你认为谁的说法是正确的？为什么？与同伴进行交流。 归纳：通过类比得到的结论也不一定正确 ① ⑤ ④ ③ ② ⑥ ⑦ 学生活动：以组为单位讨论，时间3分钟 小明的说法是正确，如图 归纳总结 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理。推理的过程就是证明。 议一议 （1）在数学活动中，你用到过推理吗？举例说明 （2）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明 巩固练习 1.图中每一组两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下。 归纳：由观察得到的结论不一定正确 可用刻度尺或圆规度量 通过度量发现，两条线段a与b的长度相等 巩固练习 2.图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下。 a b c d 通过直尺验证，b与d在同一条直线上 巩固练习 3.图中四边形是正方形吗？ 图中四边形是正方形 归纳：由观察得到的结论不一定正确 能力提升 1.图小明在计算（a+b）²时，以为（a+b）²=a²+b²，发现不对，后来学习了（a+b）²=a²+2ab+b²后，他又猜想：（a+b）³=a³+3ab+b³。小明的猜想正确吗？ 解：小明的猜想不正确 例如当a=1，b=2时 （a+b）³=（1+2）³=27 a³+3ab+b³=1³+3×1×2+2³=15 （a+b）³≠a³+3ab+b³ 能力提升 2.七（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（n=1，2，，3，...,39）代入式子n²+n+41，结果发现式子n²+n+41的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子n²+n+41的值都是质数”你认为这个猜想正确吗？验证一下n=40的情形 解：当n=40时，n²+n+41=1681； 1681=41×41， 1681是合数 对于所有的自然数，n²+n+41的值不一定是质数 能力提升 3.观察下列各式： 1=1²-0² 3=2²-1² 5=3²-2² 7=4²-3² ... 你能否得到结论：对于所有奇数，都可以表示为两个自然数的平方差？对于偶数，也能表示为两个自然数的平方差吗？与同伴进行交流。 解：能得出结论。 上面的式子可以表示为2n-1=n²-（n-1）² 证明：n²-（n-1）²=n²-n²+2n-1=2n-1 可见结论是正确的。 对于偶数，不一定能表示为两个自然数的平方差 费马的失误 历史上，很多数学家都想找到求质数的公式。1640年，数学家费马（Pierre de Femat，1640-1665）验证了当n=0，1，2，3，4时，式子 +1 的值3，，7，57，5537都是质数，于是他高兴地断言：“对于所有的自然数n，的值都是质数。”由于费马在数学界的 读一读 崇高威望，以及验证这类数字是否为质数的艰巨性，因此很长一段时间里没有人怀疑这一结论的正确性，并且把这类数称为费马数。 1732年，数学家欧拉（Euler ，1707-1783）指出，当n=5时，+1=4294967297=641×6700417，从而否定了费马的结论。更有意思的是，从第6个费马数开始，数学家们在费马数中再也没有发现一个新的质数，全都是合数。有人甚至给出一个新的猜想：当n≥5时，费马数全都是合数！ 费马 课堂小结 通过实验、归纳、观察、猜测等方法，得到数学命题不一定是真命题 只对部分对象进行研究归纳出的一般结论不一定正确。 由观察得到的结论不一定正确 通过类比得到的结论也不一定正确 当堂检测 1.当n为正整数时，n²+3n+1的值一定是质数吗？ 解：当n=1时，n²+3n+1=5； 当n=2时，n²+3n+1=11； 当n=3时，n²+3n+1=19； 当n=4时，n²+3n+1=29； 当n=5时，n²+3n+1=41； 当n=6时，n²+3n+1=55； 55是合数 当n为正整数时，n²+3n+1的值不一定是质数 当堂检测 2.如图，AB∥DE，BC∥EF，那么你能判断∠ABC与∠DEF的大小关系吗？小颖据此得出结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等。你认为她的想法正确吗？与同伴进行交流。 A B C D G E F 解：∵AB∥DE，BC∥EF ∴∠ABC=∠DGC，∠DGC=∠DEF （两直线平行，同位角相等） ∴∠ABC=∠DEF 小颖的想法不正确，如图∠ABC与∠DEF还可能互补。 A B C D G E F 作业布置 必做题：课本39页随堂练习 选做题：本节同步练习 主讲： 鲁教版 五·四学制 七年级下册 感谢聆听 $$