专题06 实数易错必刷题型专训（87题29个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题06 实数易错必刷题型专训（87题29个考点） 【易错必刷一 求一个数的算术平方根】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是5 C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根的性质和应用，逐项判定即可． 【详解】解：A、的平方根是，正确，故此选项符合题意； B、的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、1的平方根是，1的算术平方根都是1，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的算术平方根是 ； （2）的算术平方根是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求得答案． （2）根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：（1）的算术平方根是2； （2）的算术平方根是． 故答案为：2；． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据算术平方根等于它本身的数有0和1解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或1． 【易错必刷二 利用算术平方根的非负性解题】 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后求得的值． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， 那么， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知：，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了乘方、算术平方根的非负性、代数式的值，熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 解得，，， ∴． 故答案为：7． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）实数a，b满足，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根为：， 故答案为：． 【易错必刷三 估计算术平方根的取值范围】 7．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：B． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 【易错必刷四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 10．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 12．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【易错必刷五 与算术平方根有关的规律探索题】 13．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则是的 倍． 【答案】100 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的移位规律是解本题的关键．根据算术平方根的定义可知：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动1位，从而可以解答． 【详解】解：，， 是8.73的10倍， 是的100倍． 故答案为：100． 14．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据即可求解． 【详解】解： 故答案为： 15．（2024七年级下·全国·专题练习）观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 【答案】 0.1 10 17.32 0.01732 560 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义，求解即可； （2）根据被开方数中的小数点每移动2位，算术平方根的小数点相应的移动1位，计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：0.1，10； （2）①，． 故答案为：17.32；0.01732； ②． 故答案为：560． 【易错必刷六 算术平方根的实际应用】 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了算术平方根，设长方形纸片的长为，宽为，依题意得出方程，求出长方形的长和宽，即可求出周长． 【详解】解：设卡纸的长为，宽为， ∴，得， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴，， ∴卡纸的周长是（）． 故答案为：70． 17．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）． 【答案】14秒/ 【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， ∴ ∵，解得（秒）， 故答案为：14秒． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，有一张长宽比为的长方形纸片，面积为． (1)分别求长方形纸片的长和宽； (2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由． 【答案】(1)长方形纸片的长和宽分别是，； (2)她不能裁出符合要求的长方形.见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）设长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式，列出方程，即可求出结论； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据新纸片的面积，即可得出关于a的方程，利用平方根得出a的值，然后计算出长宽，即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴，． 答：长方形纸片的长和宽分别是，； （2）解：不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴她不能裁出符合要求的长方形. 【易错必刷七 平方根概念理解】 19．（2025七年级下·全国·专题练习）下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 【答案】B 【详解】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 20．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若是的平方根，是的算术平方根，则（    ） A． B．17 C．或17 D．或7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根的定义求出m、n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：∵是的平方根，是的算术平方根， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或17， 故选：C． 21．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根．熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决问题的关键． 根据平方根性质，列方程解方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴． 故答案为：． 【易错必刷八 求一个数的平方根】 22．（24-25七年级下·全国·期末）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求一个数的平方根，由可得结论． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 5 13 【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟练掌握平方根的定义，两式利用平方根定义化简即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）5；（2）13 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，平方根，解一元一次方程；熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 解得，， 所以， 故的平方根为． 故答案为：． 【易错必刷九 求代数式的平方根】 25．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将等式两边平方即可求出，然后根据完全平方公式和平方根的定义即可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查的是完全平方公式和求平方根，掌握完全平方公式的特征和平方根的定义是解决此题的关键． 26．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 27．（24-25九年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 【易错必刷十 已知一个数的平方根求这个数】 28．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若一个正整数的两个平方根为与，则这个数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出x的值，从而求出这个数． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ∴， ∴这个数是， 故答案为：． 29．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平方根、算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解． 【详解】解：∵的平方根为， ∴， ∴ ∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为5． 故答案为：5． 30．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 【易错必刷十一 利用平方根解方程】 31．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）先将前的系数化1，再利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 或， 解得：或； （2）解： 或， 解得：或． 32．（24-25八年级上·全国·期末）解方程． (1)． (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． （1）根据平方根的性质，直接开平方求解即可； （2）根据立方根的性质，直接开立方求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同除以3得：， 两边开方得：或； （2）解：， 移项得：， 两边同除以3得：， 两边开方得：或 33．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】此题主要考查了利用平方根解方程，正确开平方法是解题关键． 移项后等式两边同时开平方法解方程即可得出答案． 【详解】解：， 移项得， 开平方得， 解得：或． 【易错必刷十二 平方根的应用】 34．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 35．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解． 【详解】解：∵空白部分面积之和为， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 36．（24-25七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 【易错必刷十三 立方根概念理解】 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】考查了平方根、立方根的定义及其表示方法， ①根据一对相反数的立方根仍是一对相反数即可判定；②分别求出64的立方根与平方根，然后即可判定；③理清非负数平方根的表示方法；实数立方根的表示方法即可判定；④考虑数0即可判定． 【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确； ②64的立方根是4，故说法②错误； ③表示a的算术平方根，故说法③错误； ④，则不一定是负数，故说法④正确； 故选：C． 38．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及算术平方根的概念可进行求解． 【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确； ②实数都有一个立方根，说法正确； ③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误； ④，3的算术平方根为，故原说法错误； ⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确； 故选D． 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． 【易错必刷十四 求一个数的立方根】 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鹿整理了如下组关于，的数据： 根据以上数据，若设的整数部分为，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根的整数部分的相关计算是解题的关键． 【详解】解：根据表中数据可知：的算术平方根是，的算术平方根是， 且， 故， 即的整数部分是， ∴； 故的立方根为：． 故选：B． 41．（24-25八年级上·广西贵港·期末）若，则的值为（   ） A． B．5 C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查非负性，求一个数的立方根，根据非负性求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）若非零实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算以及相反数．根据和为0的两个数互为相反数，可得，从而得结论． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【易错必刷十五 已知一个数的立方根求这个数】 43．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可． 【详解】解：， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根定义先求出x、y值，再代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根及立方根的定义求得，的值，然后将其代入中计算后，再根据算术平方根的定义即可求得答案； （2）将，的值代入中计算后，再根据立方根的定义即可求得答案． 本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得，的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，的立方根是2 ，， 解得：，， 则； （2）解：∵，， ∴， ∴， 则， 即的立方根为． 【易错必刷十六 立方根的实际应用】 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据球的体积公式，可得答案． 【详解】解：设铅球的半径为， ∵铅球的体积（）， ∴， 解得， ∴铅球的半径为． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为， ∵长方体铁坯的长为，宽为，高为， ∴， ∴， 解得， ∴加工后正方体铁块的棱长为． 48．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 【易错必刷十七 算术平方根和立方根的综合应用】 49．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 50．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 51．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【答案】(1)右；一； (2)0.235；23.5； (3)19.13；191.3 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． 【易错必刷十八 实数的分类】 52．（2025七年级下·全国·专题练习）请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 【答案】；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个） 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和有理数的定义即可解答． 【详解】解：， 正数集合：； 有理数集合：； 负数集合：（每两个6之间的5依次多一个），； 无理数集合：（每两个6之间的5依次多一个）． 故答案为： ；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个）． 53．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，， 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 【答案】，0，；，；， 【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义分类即可． 无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数． 【详解】解：，， 整数：，0，； 负分数：，； 无理数：，； 故答案为：，0，；，；， 54．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______． (2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内． 【答案】(1)甲 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键． （1）根据无理数的概念即可判断； （2）根据实数相关概念填空即可． 【详解】（1）解：是有理数，和是无理数， 说错的是甲， 故答案为：甲； （2），， 【易错必刷十九 实数概念理解】 55．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 56．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）下列判断正确的有（     ） ①平方根与立方根都等于它本身的数为1和0；       ②实数包括无理数和有理数； ③有理数和数轴上的点一一对应；                                  ④－是17的平方根； ⑤没有绝对值最小的无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用平方根及立方根定义，实数等有关概念分别分析得出答案． 【详解】①平方根与立方根都等于它本身的数是0，故①错误； ②实数包括有理数、无理数，故②正确； ③实数和数轴上的点一一对应，故③错误； ④－是17的平方根，故④正确； ⑤没有绝对值最小的无理数，故⑤正确． 综上，正确的个数有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数，平方根及立方根定义，正确把握相关定义是解题关键． 57．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③是分数；④负数没有平方根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的定义，无理数和有理数的定义分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：①不正确，实数与数轴上的点一一对应； ②不正确，如π，3.010 010 001…是无理数； ③不正确，是无理数； ④正确．故正确的只有1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的定义，无理数和有理数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断． 【易错必刷二十 实数的性质】 58．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1 C．的相反数为 D．没有倒数 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义逐个判断即可． 【详解】解：A、没有意义，故选项不正确； B、算术平方根和立方根等于本身的数是0、1，故选项不正确； C、的相反数为，故选项正确； D、的倒数是，故选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 59．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：． 60．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【易错必刷二十一 实数与数轴】 61．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先画出图形，再求出的长，然后根据数轴的性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出数轴如下： ∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵点分别位于点的两侧，且到点的距离相等, ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 62．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 63．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式． 【易错必刷二十二 实数的大小比较】 64．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法． （1）利用作差法比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，且， 所以，即， 所以． 65．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【答案】（1）（2）①②③（3）①② 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算： （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ②原式． 66．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． (1)求a，b，c的值． (2)比较与的大小． 【答案】(1)，或， (2)当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，根据平方根求原数： （1）根据无理数的估算方法求出的范围即可求出a、c的值，根据平方根的定义即可求出b的值； （2）根据（1）所求先求出的结果，再根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵在两个连续的自然数和之间， ∴或 ∵是的一个平方根， ∴； ∴，或，； （2）解：当，时，， ∵， ∴， ∴； 当时，． 【易错必刷二十三 无理数的大小估算】 67．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）关于的叙述，错误的是（   ） A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是 C．在3和4之间 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】A 【分析】此题考查了无理数、算术平方根、无理数的估算、实数与数轴等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】A. ，是无理数，故选项错误，符合题意； B. 面积为12的正方形的边长是，故选项正确，不符合题意； C. 由得到，故选项正确，不符合题意；     D. 在数轴上可以找到表示的点，故选项正确，不符合题意； 故选：A 68．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）估算的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 先估算出的值的范围，然后再估算出的值的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在3到4之间． 故选：B． 69．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= 【答案】 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 【易错必刷二十四 无理数整数部分的有关计算】 70．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 71．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分为的整数部分为b，则 ， 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：，． 72．（23-24七年级下·北京·期中）已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了无理数的估算、无理数的小数部分等知识点，正确估算成为解题的关键． 先利用估算以及已知条件可得，进而确定以及的小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的小数部分是． 故答案为：9，． 【易错必刷二十五 实数的混合运算】 73．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 74．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键， （1）利用负数指数幂、开立方、平开方对各项进行化简，再计算即可得到答案； （2）利用开平方、去绝对值、开立方对各项进行化简，再计算即可得以答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 75．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）计算∶ (1) (2) 【答案】(1)2 (2)2 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值，乘方，零指数幂的运算方法是解题的关键， （1）先进行绝对值，乘方，零指数幂开方的运算，再进行加减计算即可得到答案； （2）先进行绝对值和乘法运算，再进行加减计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【易错必刷二十六 程序设计与实数运算】 76．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：当时，是整数，不是无理数； 当时，是整数，不是无理数； 当时，是无理数， ∴输出的的值为， 故选：B． 77．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键． 根据选项依次输入计算判断即可． 【详解】解：A、输入的x为时，， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、当输入的无理数为：时，， ∴， ∴，为有理数，正确，不符合题意； C、当输入的x是1012时，输出， 当输入的x是时，， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； D、由选项A得，当x为，输出的结果为0，正确，不符合题意； 故选：C． 78．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：的算术平方根是8，是有理数， 取的立方根为，是有理数， 取的算术平方根为，是无理数，即可输出， 输出的值是． 故选：B． 【易错必刷二十七 新定义下的实数运算】 79．（23-24七年级下·福建福州·期中）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【详解】∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故选：A． 80．（2024七年级下·全国·专题练习）对于整数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，则和的距离为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的估算和新定义，先估算出的范围，再根据新定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 则， 则和的距离为6， 故选：C． 81．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 【易错必刷二十八 实数的实际应用】 82．（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 83．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 84．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1） 【答案】17.7cm 【分析】由题意得，圆柱体和长方体里面的药液是一样的，所以体积相同，根据高度一样，结合体积公式可得两个容器底面积相等，列出式子求出即可． 【详解】解：由题意得两个容器底面积相等，所以体积相同，再根据体积公式可得两个容器的底面积相等，即正方形面积为π×102＝100π 设长方体容器底面边长为x ∴x2=100π ∴x== 长方体容器底面边长为≈17.7cm． 答：长方体容器的底面边长约为17.7cm． 【点睛】本题主要考查了实数的实际应用，能够得出底面积相等，列出方程，准确的解出方程是解决本题的关键． 【易错必刷二十九 与实数运算相关的规律题】 85．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，，…． (1)第10个算式是____________________； (2)第个算式为____________________； (3)根据以上规律解答下题： 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由所给示例即可求解； （2）由所给示例即可总结规律； （3）由（2）中所得结论即可求解． 【详解】（1）解：由示例可得：； 故答案为： （2）解： 故答案为： （3）解：原式． 【点睛】本题考查实数运算中的规律问题．旨在考查学生的抽象概括能力和运算能力． 86．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 87．（24-25八年级下·山东·单元测试）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据提供的解法可得答案； （2）根据规律推广至一般情况即可； （3）利用上述规律方法解答即可． 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）由上述规律可得， ； （3）． 【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数易错必刷题型专训（87题29个考点） 【易错必刷一 求一个数的算术平方根】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是5 C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1 2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的算术平方根是 ； （2）的算术平方根是 ． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若，则 ． 【易错必刷二 利用算术平方根的非负性解题】 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知：，那么 ． 5．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知：，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）实数a，b满足，求的算术平方根． 【易错必刷三 估计算术平方根的取值范围】 7．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 9．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【易错必刷四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 10．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 12．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【易错必刷五 与算术平方根有关的规律探索题】 13．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则是的 倍． 14．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知，则 ． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 【易错必刷六 算术平方根的实际应用】 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 17．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，有一张长宽比为的长方形纸片，面积为． (1)分别求长方形纸片的长和宽； (2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由． 【易错必刷七 平方根概念理解】 19．（2025七年级下·全国·专题练习）下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 20．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若是的平方根，是的算术平方根，则（    ） A． B．17 C．或17 D．或7 21．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【易错必刷八 求一个数的平方根】 22．（24-25七年级下·全国·期末）的平方根是 ． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：（1） ；（2） ． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则的平方根为 ． 【易错必刷九 求代数式的平方根】 25．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 27．（24-25九年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 【易错必刷十 已知一个数的平方根求这个数】 28．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若一个正整数的两个平方根为与，则这个数是 ． 29．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ． 30．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【易错必刷十一 利用平方根解方程】 31．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)． (2) 32．（24-25八年级上·全国·期末）解方程． (1)． (2) 33．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：． 【易错必刷十二 平方根的应用】 34．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 35．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 36．（24-25七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【易错必刷十三 立方根概念理解】 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 38．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【易错必刷十四 求一个数的立方根】 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鹿整理了如下组关于，的数据： 根据以上数据，若设的整数部分为，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·广西贵港·期末）若，则的值为（   ） A． B．5 C． D．15 42．（2025七年级下·全国·专题练习）若非零实数x，y满足，则 ． 【易错必刷十五 已知一个数的立方根求这个数】 43．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则 ． 45．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【易错必刷十六 立方根的实际应用】 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 48．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【易错必刷十七 算术平方根和立方根的综合应用】 49．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 50．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 51．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【易错必刷十八 实数的分类】 52．（2025七年级下·全国·专题练习）请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 53．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，， 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 54．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______． (2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内． 【易错必刷十九 实数概念理解】 55．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 56．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）下列判断正确的有（     ） ①平方根与立方根都等于它本身的数为1和0；       ②实数包括无理数和有理数； ③有理数和数轴上的点一一对应；                                  ④－是17的平方根； ⑤没有绝对值最小的无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 57．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③是分数；④负数没有平方根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错必刷二十 实数的性质】 58．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1 C．的相反数为 D．没有倒数 59．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 60．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【易错必刷二十一 实数与数轴】 61．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ． 62．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 63．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【易错必刷二十二 实数的大小比较】 64．（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 65．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 66．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． (1)求a，b，c的值． (2)比较与的大小． 【易错必刷二十三 无理数的大小估算】 67．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）关于的叙述，错误的是（   ） A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是 C．在3和4之间 D．在数轴上可以找到表示的点 68．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）估算的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 69．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= 【易错必刷二十四 无理数整数部分的有关计算】 70．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 71．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分为的整数部分为b，则 ， 72．（23-24七年级下·北京·期中）已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 【易错必刷二十五 实数的混合运算】 73．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 74．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 75．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）计算∶ (1) (2) 【易错必刷二十六 程序设计与实数运算】 76．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 77．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 78．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 【易错必刷二十七 新定义下的实数运算】 79．（23-24七年级下·福建福州·期中）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（   ） A． B． C． D． 80．（2024七年级下·全国·专题练习）对于整数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，则和的距离为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 81．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【易错必刷二十八 实数的实际应用】 82．（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 83．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 84．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1） 【易错必刷二十九 与实数运算相关的规律题】 85．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，，…． (1)第10个算式是____________________； (2)第个算式为____________________； (3)根据以上规律解答下题： 求的值． 86．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 87．（24-25八年级下·山东·单元测试）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$