专题04 实数80道计算题专项训练（8大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

第04讲 实数80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 求一个数的平方根（算术平方根） 题型二 求一个数的立方根 题型三 利用平方根、立方根解方程 题型四 算术平方根、立方根的规律计算 题型五 平方根、立方根文字计算题 题型六 实数的混合运算 题型七 新定义下的实数运算 题型八 与实数运算相关的规律题 【经典计算题一 求一个数的平方根（算术平方根）】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的算术平方根． (1)64； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)0.81； (3)； (4)． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： 求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； 求下列各数的平方根： (3)； (4)14． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 10．（23-24七年级下·新疆喀什·阶段练习）分求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【经典计算题二 求一个数的立方根】 11．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的立方根： (1)； (2)；    (3)． 13．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）求下列各数的立方根： (1) (2) 15．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）求下列各式的值： (1)； (2) 16．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 17．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）（1）求出下列各数： ①4的平方根； ②的立方根； ③的算术平方根； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并用“”连接． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【经典计算题三 利用平方根、立方根解方程】21．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 22．（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 25．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）求下列式子中的未知数的值： (1) (2) 26．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求x值； (1) (2)． 27．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程 (1) (2) 28．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）求下列各式中x的值： (1)． (2)； 29．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）解下列方程． (1)； (2) 30．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【经典计算题四 算术平方根、立方根的规律计算】 31．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 32．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 33．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 35．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 36．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 37．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 38．（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）观察并填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ________ ________ 1 ________ ________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知 ，则________； ②已知，则________． 39．（24-25七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 40．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【经典计算题五 平方根、立方根文字计算题】 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根． 42．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 43．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）已知a的平方根是，b的立方根是，求的算术平方根． 44．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知一个正数的平方根是与，的立方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 45．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知的立方根是2，的平方根是． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 46．（24-25八年级上·全国·期中）已知的平方根是的立方根是3． (1)求 的算术平方根： (2)求的相反数． 47．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 48．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 49．（24-25八年级上·广东清远·期中）已知的平方根为，的立方根为3， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 50．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【经典计算题六 实数的混合运算】 51．（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 52．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求值： (1)． (2) 53．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 54．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 55．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 56．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算 (1) (2) 57．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）计算： 58．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）计算：． 59．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典计算题七 新定义下的实数运算】 61．（24-25七年级上·山东泰安·期末）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 62．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 63．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 64．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 65．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 66．（23-24八年级上·山东德州·开学考试）如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根… (1)求256的四次方根； (2)计算； (3)一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a． 67．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)填空：________； (2)若，求x的值． 68．（24-25七年级·湖北·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 69．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 70．（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【经典计算题八 与实数运算相关的规律题】 71．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 72．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 73．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 74．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 75．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 76．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 77．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 78．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 79．（24-25七年级下·福建莆田·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 80．（24-25八年级下·山东·单元测试）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实数80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 求一个数的平方根（算术平方根） 题型二 求一个数的立方根 题型三 利用平方根、立方根解方程 题型四 算术平方根、立方根的规律计算 题型五 平方根、立方根文字计算题 题型六 实数的混合运算 题型七 新定义下的实数运算 题型八 与实数运算相关的规律题 【经典计算题一 求一个数的平方根（算术平方根）】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 【答案】(1)30 (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）根据算术平方根的定义即可解答； （3）根据算术平方根的定义即可解答； （4）根据算术平方根的定义即可解答； 【详解】（1）∵， ∴900的算术平方根为30； （2）∵， ∴1的算术平方根为1； （3） 的算术平方根为; （4）, 的算术平方根为. 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的算术平方根． (1)64； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据算术平方根的定义解答即可．   （2）根据算术平方根的定义解答即可． （3）根据算术平方根的定义解答即可． （4）根据算术平方根的定义解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴64的算术平方根为8， 即． （2）解：∵， ∴的算术平方根为， 即． （3）解：∵， ∴的算术平方根为， 即． （4）解：∵，， ∴81的算术平方根为9， 即． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)0.81； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． （1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可； （3）根据平方根的定义，进行求解即可； （4）根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键 （1）先化简绝对值，再求求平根； （2）先化简绝对值，再求求平根； （3）先求算术平方根，再求平方根； （4）先求算术平方根，再求平方根； 【详解】（1），225的平方根是．用式子表示为； （2），的平方根是．用式子表示为； （3），的平方根是，用式子表示为； （4），的平方根是，用式子表示为 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： 求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； 求下列各数的平方根： (3)； (4)14． 【答案】(1)30 (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，注意正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根；正数的算术平方根有一个，0的算术平方根是0． （1）（2）考查了一个正数的算术平方根； （3）（4）考查了一个正数的平方根． 【详解】（1）900的算术平方根是30， （2）1的算术平方根是1， （3）的平方根是， （4）14的平方根是． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键； （1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可； （3）利用平方根的意义解答即可； （4）利用平方根的意义解答即可； （5）利用平方根的意义解答即可； （6）利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）∵， ∴81的平方根为； （2）∵， ∴1.96的平方根为； （3）∵， ∴30的平方根为； （4）∵， ∴的平方根为； （5）∵， ∴的平方根为； （6）， ∵， ∴的平方根为． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据开平方，可得答案； （2）根据开平方，可得答案； （3）根据开平方，可得答案； （4）先求出，再根据开平方，可得答案； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）∵， ∴的平方根是； 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 10．（23-24七年级下·新疆喀什·阶段练习）分求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用算术平方根和平方根的定义化简，熟练掌握概念是解决此题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行化简即可． （1）根据平方根的定义即可得； （2）根据算术平方根的定义即可得； （3）根据算术平方根的相反数定义即可得； 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴． 【经典计算题二 求一个数的立方根】 11．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根的意义，正确利用立方根的意义解答是解题的关键． （1）直接根据立方根的定义可解答． （2）直接根据立方根的定义可解答． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的立方根： (1)； (2)；    (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根定义是解题关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 的立方根是 ， 即； （2）解：， 的立方根是， 即； （3）解：， 的立方根是， 即． 13．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确求解平方根和立方根是解题的关键． （1）先分别求出平方根和立方根，再计算加法即可； （2）先分别求出平方根和立方根，再计算加法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）求下列各数的立方根： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． （1）如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． （2）如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴的立方根是． （2）解：∵， ∴的立方根是． 15．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)7； (2) 【分析】本题考查了实数的相关运算，掌握算术平方根和立方根的概念，掌握立方根和算术平方根定义是是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义化简计算即可； （2）根据立方根的定义化简计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【答案】（1）0.01，0.1，1，10，100；（2）一个数的小数点每向右（或向左）移动三位，这个数的立方根的小数点就向右（或向左）移动一位；（3）． 【分析】此题考查立方根的知识，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键. （1）由立方根与立方互为逆运算，可从立方入手计算； （2）规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位，由此解决问题； （3）根据（2）的规律计算即可得到结果. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴填表如下： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 故答案为：0.01   0.1   1   10   100 （2）由上表可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位. （3）∵ ∴即 即， 17．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）（1）求出下列各数： ①4的平方根； ②的立方根； ③的算术平方根； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并用“”连接． 【答案】（1）①  ②  ③3  （2）数轴见解析； 【分析】此题考查实数与数轴，实数大小的比较，平方根、立方根、算术平方根的定义．解题关键在于先画出了数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． ①根据平方根、求解即可； ②根据立方根、算术平方根的定义求解即可； ③根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，可将（1）中求出的每个数表示在数轴上；根据数轴上左边的数比右边的数小来解答． 【详解】解：（1）①4的平方根是； ②的立方根是； ③的算术平方根是3； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下： 用“”连接为：． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； （4）利用立方根的定义即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了对立方根定义的应用，主要考查学生的计算能力． （1）根据立方根定义求出即可； （2）根据立方根定义求出即可； （3）根据立方根定义求出即可． 【详解】（1）6； （2）； （3）． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求立方根和算术平方根： （1）原式利用立方根定义计算即可求出值； （2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值． 【详解】（1）解； （2）解： （3）解：； （4）解：． 【经典计算题三 利用平方根、立方根解方程】 21．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】本题考查了利用平方根解方程，能熟练利用平方根的定义解方程是解题的关键． （1）将方程化为，由平方根的定义，即可求解； （2）将方程化为，由平方根的性质，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， 负数没有平方根， 原方程无解． 22．（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据，利用平方根的性质解方程即可得； （2）根据，利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， 或， 或． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了利用平方根的性质求未知数的值． （1）整理后，根据平方根的性质求解即可； （2）整理后，根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：整理得， 解得； （2）解：整理得， 开方得， 解得． 25．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）求下列式子中的未知数的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根与立方根是银题的关键． （1）把看做一个整体，直接开平方，得到一元一次方程，再求解即可； （2）先变形为，再开立方即可求解． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ． 26．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求x值； (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴，即， 解得． 27．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程： （1）先把方程两边同时开平方，再解方程即可； （2）先把方程两边同时除以8，再把方程两边同时开立方，最后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）求下列各式中x的值： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根、立方根，正确理解平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）由平方根的定义可得即可； （2）根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根和立方根的性质； （1）先求出，再根据平方根的性质解方程即可； （2）先求出，再根据立方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【经典计算题四 算术平方根、立方根的规律计算】 31．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 32．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)0.02，0.2，2，20 (2)24.08，68 (3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，它的算术平方根扩大或缩小10倍，说明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）由表格可以发现被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律即可得到答案； （3）根据解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： a 4 400 0.02 0.2 2 20 故答案为：0.02，0.2，2，20； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24.08，68； （3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）． 33．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 35．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； (2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴． 36．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 38．（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）观察并填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ________ ________ 1 ________ ________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知 ，则________； ②已知，则________． 【答案】（1）0.01,0.1,10,100；（2）①14.42　②7.697 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键． （1）根据立方根的定义，求解即可； （2）①根据被开方数中的小数点每移动3位，立方根的小数点相应的移动1位，计算即可；②同理①即可求解． 【详解】解：（1） a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2）①， ； ②， ． 39．（24-25七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，； 拓展延伸：， 【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解； （）应用迁移：根据表格规律即可求解； （）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可； 本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键． 【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，， 由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， 故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，， 故答案为：，； 拓展延伸：，， 故答案为：，． 40．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【答案】(1)，； (2)10倍； (3)①，②32400； (4) 【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案 （4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：a扩大100倍，扩大10倍． 故答案为：10倍； （3）解：①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）解：∵，， ∴， 故答案为：． 【经典计算题五 平方根、立方根文字计算题】 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，先根据平方根和立方根的定义求出，再代入中，求其值，最后求的平方根即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， 解得， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根为． 42．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根： （1）由平方根、立方根的定义可得，，解方程即可； （2）将（1）中结论代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得． ∵的立方根是， ∴， ∴， 解得． （2）解：由（1）可得， ， 即的平方根为． 43．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）已知a的平方根是，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】1 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的概念是解题的关键． 根据平方根的概念求出a，立方根的概念求出b，即可得，再由算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴， ∴的算术平方根是1． 44．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知一个正数的平方根是与，的立方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用； （1）根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质计算即可； （2）根据（1）的结论，算出，再计算平方根，即可求解． 【详解】（1）∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴的平方根． 45．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知的立方根是2，的平方根是． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）利用平方根、立方根定义确定出与的值即可； （2）把与的值代入计算即可求出所求． 【详解】（1）解：的立方根是2，的平方根是， ， 解得：，； （2）当，时，， 则36的算术平方根是6． 46．（24-25八年级上·全国·期中）已知的平方根是的立方根是3． (1)求 的算术平方根： (2)求的相反数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根和相反数： （1）根据立方根和平方根的定义建立关于x、y的方程，求出x、y的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （2）解：由（1）得， ∴的相反数为． 47．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题主要考查了算术平方根，解方程组，平方根和立方根的定义等知识点， （1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算即可解答； 熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴的算术平方根． 48．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案； （2）根据（1）中所求，，的值代入代数式中求出答案再求平方根即可求出答案． 【详解】（1）解： ∵，，c的平方根是它本身， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：由（1）知：，，， ∴， ∴的平方根是． 49．（24-25八年级上·广东清远·期中）已知的平方根为，的立方根为3， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根，求算术平方根的整数的大小，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根与立方根的定义可求出a、b的值，代入计算的值，再求其算术平方根即可； （2）估算7的算术平方根的整数的大小，确定c的值，进而求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴ 解得：， ∵的立方根为3 ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴的算术平方根 ∴的算术平方根为． （2）解：∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∵，， ∴， ∴的平方根， ∴的平方根是． 50．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 【经典计算题六 实数的混合运算】 51．（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算：乘方及立方根的运算，熟练掌握算术平方根、乘方及立方根的意义是解决问题的关键． （1）先根据乘方、算术平方根的性质及乘法法则进行计算，然后再计算加减； （2）先利用算术平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，最后再合并即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， 52．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求值： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握数的开方运算和乘方运算． （1）先算开方或乘方，再加减运算； （2）先算开方或乘方，再加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 53．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的运算，以及去绝对值和乘方运算．在处理绝对值时，需要先判断括号内的表达式的正负，再去绝对值．同时化简时要注意运算的优先级，避免出错． （1）直接提取，进行运算即可； （2）利用乘法分配律展开进行运算即可； （3）先判断括号内的表达式的正负，再去绝对值，进行算术平方根运算； （4）先乘方和去绝对值，进行开方运算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 54．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、算术平方根和立方根的性质进行运算即可求解． 【详解】解： ． 55．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根与立方根，化简绝对值以及有理数的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 56．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算， （1）先根据算术平方根及立方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先根据绝对值的意义，算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则和定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 57．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、立方根，再进行加减计算即可．熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 58．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据乘方、算术平方根、立方根分别化解各个数字，在计算即可． 【详解】解： ． 59．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数的混合法则是解题的关键． （1）先分别计算算术平方根，立方根，然后进行加减运算即可； （2）先分别计算算术平方根，立方根，乘方的运算，然后计算乘除法，最后进行加减法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算开方与乘方，再计算加减即可； （2）先计算开方与乘方，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题七 新定义下的实数运算】 61．（24-25七年级上·山东泰安·期末）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 【答案】是；理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义运算、算术平方根，根据“完美组合数”的定义，结合算术平方根进行计算判断即可． 【详解】解：三个数是“完美组合数”，理由如下： 三个数都是负数， ， ， 结果4、6、12都是整数， 三个数是“完美组合数”． 62．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 63．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 64．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 【答案】(1)； (2)100 (3)见解析 【分析】本题主要考查了开方运算，解题的关键是理解题意，掌握提供中提供的信息． （1）根据，得出64的6次方根是；根据，得出的5次方根是； （2）根据得出； （3）根据题干中提供的信息，归纳一个数的n次方根的情况即可． 【详解】（1）解：∵， ∴64的6次方根是； ∵， ∴的5次方根是； （2）解：∵， ∴； （3）解：当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0． 65．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)14； (2) 【分析】此题考查了新定义运算，求算术平方根，平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）先根据新定义求出，再次利用新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ∴ ∴的平方根是． 66．（23-24八年级上·山东德州·开学考试）如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根… (1)求256的四次方根； (2)计算； (3)一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据是四次方根的定义即可求出答案； （2）根据是四次方根及五次方根的定义即可求出答案； （3）根据是六次方根的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， 的四次方根为； （2）， ； （3）∵a的六次方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴． 67．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)填空：________； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了实数的运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）先判断与的大小，然后根据题中的新规定运算即可； （2）分两种情况讨论：当时或当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）当时，即时，， 可得，解得； 当时，即时，， 可得，解得（舍去）， 所以，的值为5． 68．（24-25七年级·湖北·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）2，5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1），，， ， ，， 故答案为：2，5； （2），，且， ，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 69．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 70．（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 【经典计算题八 与实数运算相关的规律题】 71．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究； （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 72．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 73．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 74．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 75．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 76．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案． （2）总结规律即可解答． （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 77．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 78．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 【答案】(1)最小值为64，最大值为124 (2)11个 【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案， （2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 的最小值64，的最大值124； （2）的最小值25，的最大值35， 可能的值有11种． 【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中． 79．（24-25七年级下·福建莆田·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 80．（24-25八年级下·山东·单元测试）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据提供的解法可得答案； （2）根据规律推广至一般情况即可； （3）利用上述规律方法解答即可． 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）由上述规律可得， ； （3）． 【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$