第09讲 立体图形的直观图（4大知识点+4大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第09讲 立体图形的直观图 目录 题型归纳 1 题型01 斜二测法画平面图形的直观图 2 题型02 斜二测法画立体图形的直观图 8 题型03 由直观图还原几何图形 11 题型04 斜二测画法中有关量的计算 15 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 30 知识点01斜二测画法 斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 知识点02平面图形直观图的画法及要求 （1）建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点， 画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于， 且使（或），它们确定的平面表示水平面； （2）平行不变：已知图形中平行于轴、轴的线段，直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； （3）长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度变为原来的一半. 知识点03空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 知识点04直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 题型一 斜二测法画平面图形的直观图 【例题1】（21-22高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（21-22高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 题型二 斜二测法画立体图形的直观图 【例题2】（21-22高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）现欲设计一个大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）. 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）． 题型三 由直观图还原几何图形 【例题3】（23-24高一下·黑龙江·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .    【变式2】（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【变式3】（20-21高一下·全国·课后作业）如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 题型四 斜二测画法中有关量的计算 【例题4】（21-22高一下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【变式2】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【变式3】（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·福建福州·期中）已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 3．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 6．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 三、填空题 7．（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为 .    8．（23-24高一下·甘肃平凉·阶段练习）如图所示的直观图，其中，，，则原平面图形的面积为 . 9．（23-24高一下·山西大同·期中）用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ． 四、解答题 10．（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 11．（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 12．（22-23高一下·辽宁阜新·期中）如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.    13．（2024高一下·全国·专题练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·福建·期末）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 4．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·湖南娄底·期末）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 6．（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 三、填空题 7．（23-24高一下·湖南·期中）如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 8．（23-24高一下·青海海南·期中）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为 ． 四、解答题 9．（20-21高一·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形． 10．（2022高一·全国·专题练习）画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图． 11．（2024高一下·全国·专题练习）有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 12．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 13．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 立体图形的直观图 目录 题型归纳 1 题型01 斜二测法画平面图形的直观图 2 题型02 斜二测法画立体图形的直观图 8 题型03 由直观图还原几何图形 11 题型04 斜二测画法中有关量的计算 15 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 30 知识点01斜二测画法 斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 知识点02平面图形直观图的画法及要求 （1）建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点， 画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于， 且使（或），它们确定的平面表示水平面； （2）平行不变：已知图形中平行于轴、轴的线段，直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； （3）长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度变为原来的一半. 知识点03空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 知识点04直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 题型一 斜二测法画平面图形的直观图 【例题1】（21-22高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 【变式1】（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 【变式2】（21-22高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 (4)图象见解析 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据斜二测画法规则作图. 【详解】（1）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． （2）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为梯形的直观图． （3）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设中点为，连接， 取中点，作轴，使得， ③连接，， ④去掉轴，轴，得三角形，下右图，为三角形的直观图． （4）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设轴，为垂足，在上取，使得，作轴，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图. 【详解】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为，    以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为.    题型二 斜二测法画立体图形的直观图 【例题2】（21-22高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【答案】D 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【答案】答案见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图，以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图. 【详解】先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图； 以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图． 直观图如图所示． 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）现欲设计一个大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）. 【答案】图象见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】按照斜二测画法先画出直四棱柱的直观图，再画出三棱柱的直观图即可. 【详解】（1）先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图如图1. （2）以直四棱柱的上底面为三棱柱的一个侧面画出三棱柱的直观图. 直观图如图2所示.    【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）． 【答案】答案见解析. 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则，按画底面再确定顶点的步骤作出正六棱锥的直观图. 【详解】（1）画底面： ①在正六边形中，的中点为，的中点为， 以所在直线为轴，所在直线为轴，两轴相交于点（如图①所示）， 画相应的轴、轴和轴，三轴交于点，使，（如图②所示），    ②在图②中，以为中点，在轴上取，在轴上取， 以为中点画平行于轴，并且等于；再以为中点画平行于轴，并且等于， ③连接，得到底面正六边形的直观图， （2）画顶点：在轴的正半轴上任意选取一点（不含点）为， （3）成图：连接，，，，，，并擦去轴， 加以整理（将被遮挡的线改为虚线），便得到正六棱锥的直观图（如图③所示）． 题型三 由直观图还原几何图形 【例题3】（23-24高一下·黑龙江·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法的规则进行判断. 【详解】由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A 【变式1】（21-22高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .    【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】把的直观图在平面直角坐标系中还原即可求解. 【详解】在等腰直角三角形中，点是斜边的中点，且， 所以，把平面直观图还原为原图形，如图所示：    则底边的高为，且. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【答案】答案见解析 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出原图形. 【详解】如图（1）所示，设直观图四边形与轴交于点，可得， 如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得， 过点作，取且，得到四边形， 即直观图四边形对应的原图形为. 【变式3】（20-21高一下·全国·课后作业）如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，，轴，的位置不变，，的位置不变，，画出图形即可. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． 题型四 斜二测画法中有关量的计算 【例题4】（21-22高一下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案. 【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 【变式2】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【答案】（1）图形见解析；（2）原图的面积，直观图的面积； 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】（1）确定各点对应点的位置，即可得到直观图； （2）根据面积公式计算可得. 【详解】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示：    （2）原图的面积， 直观图的面积 【变式3】（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·福建福州·期中）已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 3．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】画出原图可得答案. 【详解】 如图，画出原图， 在原平面图形中，是钝角， 从而． 故选：B. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】由斜二测画法得到的直观图，如正方形的直观图是平行四边形，据此可以判断选项正误. 【详解】如图，由斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，可知ABC均错误，D正确． 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测画法辨析 【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC    6．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据直观图的画法规则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 三、填空题 7．（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为 .    【答案】2 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】设根据直观图得和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上且得、即可由的面积求出，即求出. 【详解】因为、均在坐标轴上，设， 所以由图和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上， 且、， 所以， 所以. 故答案为：2. 8．（23-24高一下·甘肃平凉·阶段练习）如图所示的直观图，其中，，，则原平面图形的面积为 . 【答案】8 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意面积公式结合运算求解. 【详解】由题意可知：的面积为， 所以原平面图形的面积为. 故答案为：8. 9．（23-24高一下·山西大同·期中）用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ． 【答案】8 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 四、解答题 10．（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【详解】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 11．（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 【答案】直观图见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法法则画出图形即可. 【详解】设正六边形ABCDEF的边长为2cm，六棱锥的高为2cm，则正六边形的高为cm. ①以CF的中点O为原点，CF所在的直线为x轴，画y轴，使∠xOy＝45°，再作Oz⊥平面xOy； ②在x轴上取OC＝OF＝2cm，在y轴上分别取M、N两点，使OM＝ONcm， 过点M作AB∥x轴，且AM＝BM＝1cm， 过点N作DE∥x轴，且NE＝ND＝1cm，在z轴上取OP＝2cm； ③连结BC、DE、EF、FA、PA、PB、PC、PD、PE、PF，所得六棱锥P﹣ABCDEF即为所求. 12．（22-23高一下·辽宁阜新·期中）如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.    【答案】原图形见解析，原图形面积为，直观图的面积为 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法可得原图形，再分别求其原图形面积和直观图的面积. 【详解】如下图示，根据斜二测画法可得原图形，是纵向、横向直角边长分别为的直角三角形， 所以，原图面积为，直观图的面积为.    13．（2024高一下·全国·专题练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积. 【答案】答案见解析， 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图.进而求得三角形面积. 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示， 则的面积为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·福建·期末）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直观图运用斜二测画法，还原原图即可解决. 【详解】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，， 在中，，则三角形的周长为． 故选：D． 2．（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B 3．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 4．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 二、多选题 5．（22-23高一下·湖南娄底·期末）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①， 在中，，其面积， 在其直观图（图②）中， 作，则直观图的面积 ， 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的， 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确； 对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 三、填空题 7．（23-24高一下·湖南·期中）如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法，，表示其面积，求出答案. 【详解】设的边上的高为，由斜二测画法原理可得， 所以，又，所以. 故答案为：. 8．（23-24高一下·青海海南·期中）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】由斜二测画法的知识求解． 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而， 则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，如图． 所以四边形的面积为． 故答案为： 四、解答题 9．（20-21高一·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形． 【答案】答案见解析 【分析】逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即； （2）在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，过点 作轴，并使． （3）连接，，则即为原来的图形，如图②所示． 10．（2022高一·全国·专题练习）画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法作直观图． 【详解】解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示． (2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC. (3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图． 11．（2024高一下·全国·专题练习）有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 【答案】812元 【分析】在直观图中，过点作，垂足为，先求出直观图的面积，再利用，求出原图形的面积，即可求得答案. 【详解】在直观图中，过点作，垂足为，如下图： 则在中，，，所以， 又四边形为矩形，， 所以，则， 由此可得， 又， 所以， 故这块菜地所产生的总经济效益是 (元). 12．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【答案】（1）（2）能（3）10 【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解. 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （3）由已知得在直角中，， 故. 13．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ； （2）由斜二测画法规则知， 故原为直角三角形； （3）由已知可得在中，，， 故； （4）原三角形面积为，画直观图后，，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$