第五章　图形的轴对称 同步练习 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期

第五章　图形的轴对称 评估测试卷 (满分：120分　时间：120分钟) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2024重庆A卷中考)下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是(　　) 2．如图，在△ABC中，直线BD垂直平分AC，∠A＝20°，则∠CBD的大小是(　　) A．20° B．30° C．60° D．70° 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点。如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为(　　) A．30°　 B．40° C．50°　 D．60° 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为(　　) A．10° B．20° C．30° D．40° 5．如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形。将纸片打开，则打开后的图形是(　　) 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则以下两个角的关系中不成立的是(　　) A.∠1＝∠2 B．∠3＝∠2 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠C 7．(2024深圳中考)在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 8．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于(　　) A．10° B．15° C．20° D．25° 9．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化。当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N。作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD。若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为(　　) A．25 B．22 C．19 D．18 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11．(2024甘肃中考)围棋起源于中国，古代称为“弈”。如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形。(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上) 12．如图，等腰三角形ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为________。 13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________°。 14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点。若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝________。 15．如图，等腰三角形 ABC的底边BC的长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F。若D为底边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为________。 三、解答题(本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16．(8分)如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度。 (1)作四边形ABCD关于直线m的对称图形； (2)求四边形ABCD的面积。 17．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，若△ABD的面积为5，求AB的长。 18.(8分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC，求∠C的度数。 19．(9分)如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，试说明：PC＝PD。(注：四边形四个内角的和等于360°) 20．(9分)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC，BC，分别交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F。 (1)若AB＝3 cm，求△CMN的周长； (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数。 21．(10分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。 (1)试说明：FC＝AD； (2)试说明：AB＝BC＋AD。 22.(11分)同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题： (1)如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB。 理由：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC＝________，所以射线________是∠AOB的平分线。 (2)如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点A′处，EF为折痕。 ①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数； ②过点E再将长方形的另一角∠B折叠，使点B落在∠FEB的内部点B′处(点B′不在射线EA′上)，EH为折痕，H为EH与射线BC的交点。请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由。 23．(12分)【数学概念】平移、翻折、旋转是初中数学几何的三大全等变换，无论哪种变换都不会改变图形的形状和大小。 【概念探索】在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程。小明同学利用一块四边形纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形ABCD，AB＝AD，BC＝CD。 (1)操作一：沿AC所在的直线对折(如图2)。 你认为左右两侧对折后能完全重合吗？请说明理由。 (2)操作二：对折后，将纸片撕成两个三角形(△ACB和△ACD)，先固定△ACB，再将△ACD绕点A顺时针旋转一定的角度(如图3所示)得到△AC′D，连接CD，C′B。试说明：CD＝C′B。 【应用拓展】(3)如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB>BC，点D在边BC上，BD＝mCD，点E，F在线段AD上，∠AEB＝∠AFC＝130°，∠BAC＝50°，若△ABC的面积为n，求△ABE与△CDF的面积之和。 【详解答案】 1．C　解析：A.示意图不是轴对称图形，不符合题意；B.示意图不是轴对称图形，不符合题意；C.示意图是轴对称图形，符合题意；D.示意图不是轴对称图形，不符合题意。故选C。 2．D　解析：因为直线BD垂直平分AC，所以BA＝BC，BD⊥AC，所以∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°，所以∠CBD＝90°－∠C＝70°。故选D。 3．B　解析：因为AB＝AC，D是边BC的中点，所以AD是∠BAC的平分线。因为∠B＝50°，所以∠C＝∠B＝50°，所以∠BAC＝180°－2∠B＝80°，所以∠DAC＝∠BAC＝40°。故选B。 4．A　解析：因为∠BAC＝90°，∠B＝50°，所以∠C＝40°。因为△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，所以∠AB′B＝∠B＝50°，所以∠AB′C＝180°－∠AB′B＝130°，所以∠CAB′＝180°－∠C－∠AB′C＝10°。故选A。 5．D　解析：因为剪去的图形是三角形，所以将纸片沿CD展开，可得剪去部分为，即可排除选项A，由再沿AB展开可知两条短边正对着，所以排除B，C选项。故选D。 6．C　解析：在△ABC中，因为AB＝AC，AD⊥BC，所以AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2，故A选项正确，不符合题意。因为AD⊥BC于点D，BE⊥AC，所以∠ADC＝∠BEC＝90°，所以∠2＋∠C＝∠3＋∠C＝90°，所以∠3＝∠2，故B选项正确，不符合题意。因为∠4与∠5是同位角，但AB与AD交于点A，所以∠4≠∠5，故C选项错误，符合题意。在Rt△AEF中，∠4＝90°－∠2；在Rt△ADC中，∠C＝90°－∠2，所以∠4＝∠C，故D选项正确，不符合题意。故选C。 7．B　解析：根据基本作图可判断图①中AD为∠BAC的平分线，图②中AD为BC边的中线，图③中AD为∠BAC的平分线。故选B。 8．C　解析：因为在等边三角形ABC中，AD⊥BC，所以AD是BC的垂直平分线。因为E是AD上一点，所以EB＝EC，所以∠EBD＝∠ECD。因为∠CED＝50°，所以∠ECD＝40°，所以∠EBD＝40°。又因为∠ABC＝60°，所以∠ABE＝60°－40°＝20°。故选C。 9．B　解析：因为△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC或AC＝BC。当AC＝BC＝4时，AD＋CD＝AC＝4，此时不满足三角形的三边关系；当AC＝AB＝3时，满足三角形的三边关系，所以AC＝3。故选B。 10．C　解析：由题意可得，MN垂直平分BC，所以DB＝DC。因为△ABD的周长＝AB＋BD＋AD，所以AB＋BD＋AD＝AB＋DC＋AD＝AB＋AC。因为AB＝7，AC＝12，所以AB＋AC＝19，所以△ABD的周长是19。故选C。 11．A或C　解析：白方如果落子于点A或C的位置，则所得的对弈图是轴对称图形。 12．36°　解析：因为等腰三角形ABC的底角为72°，所以∠ABC＝∠C＝72°，所以∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－72°×2＝36°。因为DE为AB的垂直平分线，所以AE＝BE，所以∠ABE＝∠A＝36°，所以∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝72°－36°＝36°。 13．15　解析：因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，因为CG＝CD，所以∠CDG＝(180°－∠ACD)＝30°，∠FDE＝150°，因为DF＝DE，所以∠E＝(180°－∠FDE)＝15°。 14．1　解析：如图，过D点作DH⊥AC于H点。因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，所以DE＝DH＝1，所以S△ACD＝×2×1＝1。 15．8　解析：连接AD交EF于点M′，连接AM，如图。 因为△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，所以AD⊥BC， 所以S△ABC＝BC·AD＝×4×AD＝12，所以AD＝6， 因为EF是线段AB的垂直平分线， 所以AM＝BM， 所以BM＋MD＝MD＋AM， 所以当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值为6。 所以△BDM周长的最小值为DB＋MB＋MD＝2＋6＝8。 16．解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求作。 (2)四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝×4×1＋×4×3＝8。 17．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E， 因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，所以DE＝DC＝2。 因为△ABD的面积为5， 所以AB·DE＝5，所以AB＝5， 所以AB的长为5。 18．解：因为DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°， 所以∠BAE＝∠B＝30°。 因为AE平分∠BAC， 所以∠EAC＝∠BAE＝30°， 即∠BAC＝60°， 所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°。 19．解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，如图： 所以∠PEC＝∠PFD＝90°。 因为∠AOB＝90°，所以∠FPE＝360°－90°－90°－90°＝90°， 所以∠DPE＋∠DPF＝90°。 因为∠DPE＋∠CPE＝90°， 所以∠DPF＝∠CPE。 因为OM是∠AOB的平分线，所以PE＝PF。 在△PCE和△PDF中， 所以△PCE≌△PDF(ASA)， 所以PC＝PD。 20．解：(1)因为DM，EN分别垂直平分AC和BC， 所以AM＝CM，BN＝CN， 所以△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB＝3 cm。 (2)因为∠MFN＝70°， 所以∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°。 因为∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， 所以∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°， 所以∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－(∠AMD＋∠BNE)＝180°－110°＝70°。 因为AM＝CM，BN＝CN， 所以∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN。 因为∠CMB＝180°－∠AMC＝180°－(180°－∠A－∠ACM)＝∠A＋∠ACM＝2∠A，∠CNA＝180°－∠BNC＝180°－(180°－∠B－∠BCN)＝∠B＋∠BCN＝2∠B，所以∠MCN＝180°－∠CMB－∠CNA＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°。 21．解：(1)因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE。 因为点E是DC的中点，所以DE＝CE。 在△ADE和△FCE中， 所以△ADE≌△FCE(AAS)，所以FC＝AD。 (2)由(1)得△ADE≌△FCE，FC＝AD，所以AE＝EF，又因为BE⊥AF，所以BE是△ABF的中垂线，所以AB＝BF＝BC＋CF＝BC＋AD。 22．解：(1)∠AOC　OC (2)①由翻折可知∠AEF＝∠A′EF。 因为EA′恰好平分∠FEB， 所以∠A′EF＝∠A′EB， 所以∠A′EF＝∠A′EB＝∠AEF。 因为∠AEF＋∠A′EF＋∠A′EB＝180°， 所以3∠AEF＝180°，所以∠AEF＝60°。 所以∠FEB＝180°－∠AEF＝180°－60°＝120°， 所以∠FEB的度数为120°。 ②2∠A′EF＋2∠B′EH＝180°±∠A′EB′。理由如下： 分两种情况讨论： 如图1，当EB′落在A′E右侧时， 因为△AEF折叠得到△A′EF，△EBH折叠得到△EB′H， 所以∠AEF＝∠A′EF，∠BEH＝∠B′EH。 因为∠AEA′＋∠A′EB′＋∠B′EB＝180°，所以2∠A′EF＋∠A′EB′＋2∠B′EH＝180°。 所以2∠A′EF＋2∠B′EH＝180°－∠A′EB′。 如图2，当EB′落在A′E左侧时， 2∠A′EF＋2∠B′EH－∠A′EB′＝180°， 所以2∠A′EF＋2∠B′EH＝180°＋∠A′EB′。 综上所述，2∠A′EF＋2∠B′EH＝180°－∠A′EB′或2∠A′EF＋2∠B′EH＝180°＋∠A′EB′。 23．解：(1)能完全重合。理由如下： 在△ABC与△ADC中， 因为AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC， 所以△ABC≌△ADC(SSS)，所以对折后能完全重合。 (2)因为∠C′AD＝∠CAB， 所以∠C′AD＋∠BAD＝∠CAB＋∠BAD， 即∠C′AB＝∠CAD。 因为C′A＝CA，AB＝AD， 所以△C′AB≌△CAD(SAS)， 所以CD＝C′B。 (3)因为∠AFC＝130°， 所以∠CFD＝180°－∠AFC＝50°， 所以∠CAD＋∠ACF＝50°。 因为∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝50° ， 所以∠BAD＝∠ACF。 又因为∠AEB＝∠AFC，AB＝AC， 所以△ABE≌△CAF(AAS)， 所以S△ABE＝S△CAF ，所以S△ABE＋S△CDF＝S△CAF＋S△CDF＝S△CAD。 因为BD＝mCD，所以CD∶BC＝1∶(m＋1)， 所以S△CAD∶S△ABC＝CD∶BC＝1∶(m＋1)。 因为S△ABC＝n，所以S△ABE＋S△CDF＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$