2.3.1 直线的交点坐标与距离公式 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.3.1两条直线 的交点坐标 选择性必修第一册 探究新知 引入平面直角坐标系后,我们用二元一次方程表示直线, 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式, 这样我们可以通过方程把握直线上的点,进而用代数方法对直线进行定量研究。 例如 求: 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离等 探究新知 思考: 追问: 探究新知 思考: 总结 求两条相交直线交点坐标的方法: 探究新知 几何角度 代数角度 点P 直线l 点P在直线l上 直线l1上与l2的交点是P 应用新知 例 2: 例 2: 详解 应用新知 例 2: 例 2: 详解 应用新知 例 2: 例 2: 详解 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 交点个数与直线位置关系: 归纳总结 思考: 巩固练习 例题1 【详解】 巩固提升 例题2 【详解】法一: 能力提升 例题2 【详解】法二: 直线系方程法 拓展:直线系方程 总结 过某两条直线交点的一系列直线,统称为直线系 优点 几乎表示所有过交点的直线 应用 凡是求过某交点的直线方程,都可以这样设所求直线方程,然后根据已知条件求出 即可. 缺点 例题3 【证明】 拓展:交点直线系 解 拓展:交点直线系 解 拓展:交点直线系 课堂小结 第二章 直线与圆的方程 2.3.2 两点间 的距离公式 选择性必修第一册 探究新知 我们知道,在各种几何量中,直线段的长度是最基本的. 用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 所以,在解析几何中,最基本的公式自然是: 探究新知 提示:我们可以用平面向量的知识来解决 探究 解析 探究新知 思考: 探究 除了法向量外,还能否借助其他知识,推导两点间的距离公式呢? 解析 探究新知 辨析 识别 1 2 3 应用新知 例4: 分析 详解 思考: 应用新知 例4: 证明 应用新知 总结 第 1 步 一建:建立适当的平面直角坐标系, 第 3 步 三算:进行有关代数运算 第 2 步 二表:用坐标表示点、距离等有关量 四翻译:把代数运算的结果“翻译”成几何结论 第 4 步 应用新知 例4: 证明 y x D(d,h) C(c,h) B(b,-h) A(a,-h) O 应用新知 例4: 证明 思考: 不同的建系,相关量的表示不同,证明过程的计算量不同 y x D(d,h) C(c,h) B(b,-h) A(a,-h) O 应用新知 原则一 让尽可能多的点落在坐标轴上 原则三 轴对称图形,对称轴一般作为坐标轴 原则二 条件中有两条线垂直,一般的这两条线作为坐标轴 思考:如何建立适当的平面直角坐标系? 课后练习 y x D(0,h) C(b-a,h) B(b,0) A(a,0) O 探究新知 回顾 在“平面向量及其应用”的学习中,我们用“向量法”证明过这个命题. 比较“坐标法”和“向量法”, 你有什么体会? 探究新知 回顾 补例1.直线l1:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交于点Q,m是实数,O为坐标原点,则|OQ|的最大值是_. 巩固提升 国庆作业 1.试卷2套 《统计》《概率》-10.8周考要考 2.专题卷P106《10月数学考试》P68《立体几何单元测试二》 P72《立体几何章末测试题》P77《直线方程》 3、教材P47页,复习参考题一,综合应用部分, 《统计》《概率》《空间向量与立体几何》《直线方程》 10.8考试范围 月考范围 《统计》《概率》《空间向量与立体几何》《直线方程》《直线与圆》 补例2. 如图,已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).若该抛物线的对称 轴上存在点Q满足 ABQ是等腰三角形,则点Q的坐 标可以是 A.(1, ) B.(1,0) C.(1,1) D.(1,6) √ √ √ 巩固提升 解:直线y=3x+3与x轴的交点为A(-1,0),与y轴的交点为B(0,3),而C(3,0),故抛物线的对称轴为x=1. 设Q(1,a),当AB=AQ时, 解得a=0或a=6,由于点(1,6)在直线y=3x+3上,故舍去,所以Q(1,0),所以B选项正确D选项错误; 巩固提升 解得a=1,所以Q(1,1),所以C选项正确. 直线 与的交点在第四象限, 则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 联立方程: ,解得 , ∵直线 与 的交点在第四象限, ∴ ,解得: . 故选:C. 直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且过 P(-3,0),求直线l的方程. 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x+y-2=0,,x-y+4=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x=-1,,y=3,)) 即直线l过点(-1,3),因为直线l还过点P(-3,0),所以直线l的斜率为k =eq \f(3,2), 所以直线l的方程为y-3=eq \f(3,2)(x+1),即3x-2y+9=0. 直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且过 P(-3,0),求直线l的方程. 过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点的直线方程可以设为: x-y+4+ (x+y-2)=0, 又直线l的过点P(-3,0),所以-3-0+4+ (-3+0-2)=0,解得 =eq \f(1,5), 代入化简得直线l的方程为3x-2y+9=0. 直线方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0. 若对任意m都成立, 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x+2y-1=0,,x+y-5=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x=9,,y=-4.)) 所以不论m为何实数,所给直线都过定点P(9,-4). 证明:不论m为何实数, 直线 (m-1) x+(2m-1) y=m-5 都恒过某一定点. 例4直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3x-2y+4=0平行,求直线l的方程. 设直线l的方程为x-y+4+ (x+y-2)=0, 整理得(1+ )x+( -1)y+4-2 =0, 因为直线l与直线3x-2y+4=0平行, 所以eq \f(1+ ,3) = eq \f( -1,-2) ≠ eq \f(4-2 ,4),解得 =eq \f(1,5), 所以直线l的方程为eq \f(6,5)x-eq \f(4,5)y+eq \f(18,5)=0,即3x-2y+9=0. 例5求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线、3x+y-1=0垂直的直线l的方程. 设直线l的方程为(2x-3y-3)+ (x+y+2)=0, 整理得 (2+ )x+( -3)y+2 -3=0, 因为l与直线3x+y-1=0垂直,所以3(2+ )+( -3)=0,解得 =- eq \f(3,4) , 所以直线l的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(3,4))) x+ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,4)-3)) y+2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,4))) -3=0, 即5x-15y-18=0. 当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|. 当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|. 此公式计算两点间距离与两点的先后顺序无关 已知BD是 ABC的边AC上的中线,建立适当的平面直角坐标系, 证明:|AB|2+|BC|2=2|BD|2+2|AD|2. 所以|OQ|===, 当m=0时,|OQ|max=2, 所以|OQ|的最大值是2. 2 解:因为l1:x-my-2=0与l2:mx+y+2=0的交点坐标为 Q, - 解得a= ,所以Q(1,-)或Q(1,),所以A选项正确; 当BA=BQ时,=, =, 当QA=QB时, =, $$