2.2.1直线的点斜式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.2.1直线的 点斜式方程 ·选择性必修第一册· 2.2.1 直线的点斜式方程 选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》 给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线， 即在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0, y0)和斜率k就能唯一确定一条直线， 即直线上任意一点P的坐标(x, y)与点P0的坐标(x0, y0)和斜率k之间的关系是确定的，那么这一关系如何表示呢？ 探究新知 由上述推导过程可知： ①直线l上每个点的坐标(x, y)都满足关系式y－y0=k(x－x0)； ②坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每个点都在直线l上；(见P59-60) 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素， 建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式． 探究新知--- 点斜式方程辨析 P61-1.写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(3,-1),斜率是; (2)经过点B(,2),倾斜角是30°; (3)经过点C(0,3),倾斜角是0°; (4)经过点D(-4,-2),倾斜角是. (5)过P(-2,3)，Q(5,-4)两点. 基础巩固---点斜式方程 写方程： ① 若斜率为0，直线方程为： ② 若斜率不存在，直线方程为： ③ 若斜率为其他值，直线方程为： 探究新知 思考： 解析 纵截距可正可负可为0 探究新知——斜截式 思考： 探究新知 思考： 例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了. 解析 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0. 练习4.已知直线l的过点(4,3)，且横截距和纵截距相等，求直线l的方程； [变式1]已知直线l的过点(4,3)，且横截距和纵截距互为相反数，求直线l的方程； 涉及“截距”问题，则一定要注意考虑“零截距”的情况. 巩固练习---斜截式方程 例 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， 如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 设l的斜率为k(k＜0)，则l的方程为y＝k(x－3)＋2， 令x＝0，得B(0,2－3k)， 令y＝0，得A (3－,0), ∴ S△ABO＝ (2－3k)(3－) ≥[12+2)] 当且仅当(－9k)=(－)， ∴△ABO的面积最小值为12. 此时l的方程为2x＋3y－12＝0. 即k＝－时,等号成立． ＝[12+(－9k)+(－)] 解析 =12 (0, 2－3k) (3－,0) 巩固练习 变式 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， 如右图所示，求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程． (0, 2－3k) (3－,0) 设l的斜率为k(k＜0)，则l的方程为y＝k(x－3)＋2， ∴ |PA|＝, |PB|＝ ∴ |PA|·|PB|=·= ≥=12 当且仅当， ∴|PA|·|PB|最小值为12. 此时l的方程为y＝－x+5. 即k＝－1时,等号成立． 解析 (3,2) 巩固练习 |PA|＝ , |PB|＝ ∴ |PA|·|PB|= = 当且仅当=时， ∴|PA|·|PB|最小值为12. 此时l的方程为y＝－x+5. 变 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， 如右图所示，求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程． 法二 ≥12 3 2 巩固练习 课后作业： 1.活页P47-48《2.1.1直线的点斜式方程》 2.2.2 直线的两点式方程 选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》 创设背景，引入新知 回顾 1. 确定直线位置的几何要素有两类： 直线上一点和方向 两点确定一条直线 2. 过点P (x0，y0)，斜率为 k 的直线 l 的点斜式方程为： y－y0＝k(x－x0) 3. 点斜式的特例——斜截式：y＝kx＋b 给定两点可以唯一确定一条直线，那么直线上任意一点P的坐标(x, y)与点P1(x1, y1)和点P2(x2, y2)之间的关系式是什么？ 探究新知 两点式方程辨析 减数相同 分母为常数 直线的截距式方程 应用新知---- 探究新知 截距式方程辨析 巩固练习 例 4： 详解 应用新知 总结 如何利用直线上两点和求直线两点式方程？ 确定点的坐标：根据已知条件求出直线上两点坐标； 第 1 步 写方程： ① 若，直线方程为： ② 若，直线方程为： ③ 若且，直线方程为： = 第 2 步 技巧 一起“欺负”它：y减y，x减x. 比如一起“欺负” 练习4.已知直线l的过点(4,3)，且横截距和纵截距相等，求直线l的方程； [变式1]已知直线l的过点(4,3)，且横截距和纵截距互为相反数，求直线l的方程； 巩固练习---斜截式方程 截距关系求直线方程之截距的绝对值相等 截距关系求直线方程之截距的和 截距关系求直线方程之截距成倍数关系 截距关系求直线方程之截距的差 能力提升 总结 如何利用截距关系求直线方程？ 第 2 步 建立方程(组)：建立关于或的方程、 关于与的方程组； 第 3 步 下结论：一般会有两个方程. 第 1 步 设方程：① 截距相等，设方程为 与 ② 截距成倍数，设方程为 与 ③ 截距互为相反数，设方程为与 ④ 截距和差，设方程为 例 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， 如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 设A(a, 0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)， 则直线l的方程为 ＝1， ∴＝1. ∴1＝≥2, ∴S△ABO＝ab≥12. 即a＝6，b＝4时△ABO的面积最小，最小值为12. 此时直线l的方程为：＝1, ∵l过点P(3,2)， 即ab≥24. a b S△ABO＝ab 当且仅当时等号成立, 即2x＋3y－12＝0. 解法二 综合应用 对称思想(一般找对称点) 练习7.一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(－1,6)， 求入射光线和反射光线所在直线的方程． 【小结】直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的点斜式或两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 课后作业： 1.活页P49-51《2.1.2直线的两点式方程》 2.2.3 直线的一般式方程 选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》 复习回顾 直线方程名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程形式 不能表示的直线 斜率k不存在的直线，即垂直x轴的直线 斜率k不存在的直线，即垂直x轴的直线 ①垂直x轴的直线；垂直y轴的直线 ①垂直x轴的；②垂直y轴的；③过原点的 创设背景，引入新知 思考：我们知道以上四种形式的直线方程，都有其使用的局限性，也就是 说，每一种形式都不能表示所有直线. 那么，是否能找到一种直线方程，它没有局限性，可以表示所有直线呢？ 这就是今天我们要学习的内容 ——— 直线的一般式方程 都是关于x，y的二元一次方程 思考：从代数的角度，观察以上四个方程式都是一个怎样的方程？ 探究新知 思考： 我们知道，直线与二元一次方程有关系，那么: 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元 一次方程表示吗？ 解析 综上，任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示 探究新知 思考： 任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 综上，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 解析 探究新知 直线的一般式方程 思考： 直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，有什么优点？ 没有局限性，可以表示所有直线 微软用户 (微软用户) - 探究新知 解析： ① 当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与 x 轴平行； ② 当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与 y 轴平行； ③ 当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与 x 轴重合 ； ④ 当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与 y 轴重合； ⑤ 当C=0时，方程表示的直线过原点. 深化理解，巩固练习 练习1.已知方程(2m2+m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线， 则m的取值范围是_____________. 深化理解，巩固练习 练习2.方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有 (　　) A．A·B>0 B．A·B<0 C．A>0且B<0 D．A>0或B<0 B -------直线恒过定点问题 练习3.直线y=k(x+2)+3恒过定点________． [变式1]无论k为何值时，直线kx－y＋2＋2k＝0恒过定点________． y－3=k(x+2) 法1：化为y－2=k(x+2) [变式2]不论a为何值，直线(a＋1)x＋y＋2－a＝0恒过定点________. 法1：将方程化为点斜式 法2：化为k(x+2)－y+2=0， 只需x+2=0且－y+2=0， 得x=﹣2，y=2. 法2：化为a(x－1)+x+y+2=0， 只需x－1=0且x+y+2=0， 得x=1，y=﹣3. 法2：将含参数的项放一起 深化理解，巩固练习 深化理解，巩固练习 练习4. 设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________． [变式]设直线l的方程为x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)，若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________． 课后作业： 1.活页P52-53《2.1.3直线的一般方程》 $$