第2章 实数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

第2章 实数 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 2．（本题3分）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 3．（本题3分）在下列实数3.1415926，，，，，，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（本题3分）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 5．（本题3分）若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．5 6．（本题3分）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 7．（本题3分）我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（本题3分）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 9．（本题3分）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，则（   ） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 10．（本题3分）一个按某种规律排列的数阵如图所示，根据数阵排列的规律，第行从左向右数第个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 12．（本题3分）已知，一个非负数的平方根为和，则 ． 13．（本题3分）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根是 ． 14．（本题3分）若和都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 15．（本题3分）若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 16．（本题3分）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 17．（本题3分）若x满足，则代数式的的值为 ． 18．（本题3分）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 20．（本题6分）计算题：   （1） （2）． 21．（本题8分）写出所有满足下列条件的数: (1)大于-且小于的所有整数; (2)小于的所有正整数; (3)绝对值小于的所有整数. 22．（本题8分）求下列各式中的实数的值 （1）                        (2) 23．（本题9分）一个正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 24．（本题9分）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 25．（本题10分）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 26．（本题10分）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】考查了平方根、立方根的定义及其表示方法， ①根据一对相反数的立方根仍是一对相反数即可判定；②分别求出64的立方根与平方根，然后即可判定；③理清非负数平方根的表示方法；实数立方根的表示方法即可判定；④考虑数0即可判定． 【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确； ②64的立方根是4，故说法②错误； ③表示a的算术平方根，故说法③错误； ④，则不一定是负数，故说法④正确； 故选：C． 2．（本题3分）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据正数和零有平方根，而负数不存在平方根解题即可． 【详解】解：当时，没有平方根，小丁说法错误； 当为正数时，没有平方根，小张说法正确； 因为，所以一定有平方根，小刘说法正确； 故选：C． 3．（本题3分）在下列实数3.1415926，，，，，，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的区分，熟练掌握无理数的概念是解决本题的关键.根据无限不循环的小数是无理数作答即可. 【详解】解：∵，， ∴实数3.1415926，，，，，，中无理数有，，，共3个， 故选：C 4．（本题3分）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 5．（本题3分）若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是关键．根据算术平方根性质解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∵是整数， ∴， 对应n的值也有16，7，12，15，0． 故选：D． 6．（本题3分）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 7．（本题3分）我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质、完全平方公式、平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．根据等式的性质、完全平方公式和平方根的定义逐步判断即可得到答案． 【详解】解：根据平方根的定义，第④步出现错误，应为或， 即或， 故选：D． 8．（本题3分）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 9．（本题3分）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，则（   ） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系，先根据表格得到规律，再根据规律确定结果，根据表格得到规律，是解决本题的关键． 【详解】由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故选：B． 10．（本题3分）一个按某种规律排列的数阵如图所示，根据数阵排列的规律，第行从左向右数第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律题，二次根式的性质化简，根据题意，分析第1行的第2个数，第2行的第3个数，第3行的第4个数，第4行的第5个数，从而找出规律第n行的第个数是，由此即可求解，掌握数字规律中特点数的计算方法，二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：第1行的第2个数是； 第2行的第3个数是； 第3行的第4个数是； 第4行的第5个数是 ...... ∴第行的第个数是， ∴第2023行从左向右数第2024个数是， 故选：D ． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查实数的相反数、代数和平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 的倒数是， 的平方根是， 故答案为：，，． 12．（本题3分）已知，一个非负数的平方根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，是解此题的关键．根据一个非负数的平方根互为相反数，得出，根据绝对值及算术平方根的非负性计算出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个非负数的平方根为和， ∴， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 13．（本题3分）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根是 ． 【答案】±5 【分析】根据算术平方根的平方，可得被开方数，根据立方根的立方，可得被开方数，从而求出x和y值，代入计算，可得答案． 【详解】解：因为3既是（x-4）的算术平方根，又是（x+2y-10）的立方根， 所以x-4=32=9，x+2y-10=33， 所以x=13，y=12， x2-y2 =132-122 =25． ∴x2-y2的平方根为±5； 故答案为：±5． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 14．（本题3分）若和都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】25或225/225或25 【分析】本题考查平方根，分类讨论，根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数；或者这个两个数是同一个数求解． 【详解】解：由题可知， ①， 解得， 这个正数为； ②， 解得：， 所以这个正数为：， 故答案为：25或225． 15．（本题3分）若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，解题的关键在于得出无理数的取值范围．首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数． 【详解】解：，，，且墨迹覆盖的范围是， 能被墨迹覆盖的数是． 故答案为：． 16．（本题3分）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 17．（本题3分）若x满足，则代数式的的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，先求出的值， 进而利用完全平方公式求出的值，据此可得的值，再计算算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 18．（本题3分）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 【答案】；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个） 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和有理数的定义即可解答． 【详解】解：， 正数集合：； 有理数集合：； 负数集合：（每两个6之间的5依次多一个），； 无理数集合：（每两个6之间的5依次多一个）． 故答案为： ；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个）． 20．（本题6分）计算题：   （1） （2）． 【答案】（1）-3；（2）11 【分析】（1）根据有理数的乘方，求一数的立方根和算术平方根进行计算； （2）根据求一数的立方根和算术平方根，化简绝对值，进行实数的混合运算． 【详解】解：（1）原式； （2）． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，求一数的立方根和算术平方根，掌握实数的运算法则是解题的关键． 21．（本题8分）写出所有满足下列条件的数: (1)大于-且小于的所有整数; (2)小于的所有正整数; (3)绝对值小于的所有整数. 【答案】(1) -3,-2,-1,0,1,2,3.(2) 1,2,3,4,5.(3) -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 【分析】（1）先估算-，的值，由于3＜＜4，所以-4＜-＜-3；同理3＜＜4．得出大于-且小于的所有整数． （2）估算的值，由于5＜＜6，得出小于的所有正整数． （3）先估算-的值，由于4＜＜5，所以-5＜-＜-4，得出绝对值小于的所有整数． 【详解】(1)  ∵<<,∴-<-<-, ∵, ∴-4<-<-3,3<<4, ∴满足此条件的所有整数有:-3,-2,-1,0,1,2,3. (2)∵,即5<<6. ∴小于的所有正整数有:1,2,3,4,5. (3)∵绝对值小于的整数a满足-<a<,而-<-<-,∴-5<a<5, ∴绝对值小于的所有整数有:-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 22．（本题8分）求下列各式中的实数的值 （1）                        (2) 【答案】(1) x= -；（2）x1=0  ， x2=-4 . 【分析】（1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）2x-1=－2     2x=－1 x=－ ； （2）（x+2）2=4 x+2=±2 ∴x1=0 ，x2=－4 ． 【点睛】本题主要考查了立方根及平方根的定义和性质，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 23．（本题9分）一个正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)42 (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握平方根和立方根相关概念是解题关键． （1）根据平方根的定义，求得；再根据立方根的定义，求得；然后利用无理数的估算，求得，代入求值即可得到答案； （2）根据（1）求出的值，再根据平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：一个正数的两个不同的平方根是和， ， ． 的立方根是， ， ， 是的整数部分，， ， ． （2）解：由（1），得，，， ， 的平方根是． 24．（本题9分）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【答案】(1)1640元 (2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人 (3)元 【分析】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用， （1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案； （2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可； （3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意：（元）， ∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元， ∴（元）， 答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元； （2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人， ∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人， ∴，解得：， 乙校区参演人数为：（人）， 答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人； （3）解：∵甲校区参演人数为60人， 又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%， ∴设服装厂每套服装成本元， ，即：， ∵丙学校购买的服装比甲校区少12套， ∴丙校区购买了：（套）， ∴（元）， 答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元． 25．（本题10分）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了实数的运算、立方根与算术平方根、二元一次方程组的应用，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）根据实数的运算法则可得，由此即可得； （2）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据立方根的性质求解即可得； （3）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴， 则的立方根是． （3）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得或， 则或， 所以的算术平方根是或． 26．（本题10分）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$