精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试题

汽开区2024—2025学年度第一学期期末核心素养调研 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 如图，是的直径，点A、B在上．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿修了一条小路，已知米，新修小路与的夹角，则小路的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与的延长线交于点C，并与量角器所在半圆相切于点D．已知点C、D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点D在量角器上对应的外圈刻度为，则的长为（ ） A. B. C. π D. 6. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点、，则、的大小关系是（） A. B. C. D. 与m的值有关 7. 下表中列出了二次函数的一些对应值，则方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 8. 如图，在中，．的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 10. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 11. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 12. 斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点平移后的对应点分别为点、．若图中的阴影部分图形的面积为10，则新函数的表达式为______． 14. 如图，点P在以为直径的半圆上运动（点M在点N左侧，点P不与点M、N重合），于点Q，平分，交于点E，交于点H．给出下面四个结论： ①； ②是等腰三角形； ③当，时，的面积为； ④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 寒假期间，班级开展社会实践，小红和小旗从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加服务活动，请用画树状图（或列表）的方法，求两人恰好选择同一场馆的概率． 17. 某网店9月份盈利20000元，11月份盈利28800元，且从9月到11月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 19. 如图，是的直径，弦交于点，延长到点，连结交于点，连结、、，且， （1）求证：； （2）若，，则的长为______． 20. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点，边上确定一点，连结、、，使的周长最小． 21. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（m）与小球的运动时间t（s）之间的函数关系式是． （1）求小球落回地面时对应的t值； （2）求小球运动中离地面的最大高度； （3）某科学小组在研究小球运动过程中，汇总小组成员得出的结论如下： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度不能达到； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 上述结论中，正确结论的序号为______． 22. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【问题背景】如图①，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，线段长为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而容易得到的度数为 　　． 【深入探究】如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且，求的最小值． 下面是小明的部分解题过程： 解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，， 再以点为圆心，线段长为半径作． 点为矩形内一点，且， 点在的劣弧上运动． 连结，交于点，此时，最小． 在中，，， ，． 过点作于点，交延长线于点， ． 请你补全余下的解题过程． 【拓展应用】如图③，某小区绿化工程计划打造一片四边形绿地，其中，，，，为了美化环境，要求四边形的面积尽可能大，则绿化区域面积的最大值为 　　． 23. 如图，在中，，，于点，为的中点．点从点出发，沿方向向终点运动，在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度．连结、．设点的运动时间为． （1）的值为______； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点、、三点不共线时，以、为邻边构造平行四边形． ①当为矩形时，求的值； ②当被的一边分成面积比为两部分时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，作直线．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作y轴的垂线，与直线交于点E，点C关于直线的对称点为，连结、．设点P的横坐标为m． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，m的取值范围为______； （4）连结，当与相似时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开区2024—2025学年度第一学期期末核心素养调研 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法解方程．利用直接开方法解方程． 【详解】解：, 故选：C. 2. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，把抛物线的二次项系数和一次项系数代入顶点横坐标公式计算即得到对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 3. 如图，是的直径，点A、B在上．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题．连接，求出，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：连接． 故选：B． 4. 如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿修了一条小路，已知米，新修小路与的夹角，则小路的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据题意利用余弦的定义即可得解． 【详解】解：根据题意知：，，， ∴（米）， ∴小路的长为米． 故选：D． 5. 将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与的延长线交于点C，并与量角器所在半圆相切于点D．已知点C、D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点D在量角器上对应的外圈刻度为，则的长为（ ） A. B. C. π D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，如图所示，，，先根据切线的性质得到，再由含的直角三角形性质得到，最后根据弧长公式计算的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ，， 与半圆相切于点， ， ， 在中，，则， ， 设，则， 由勾股定理可得， ，解得，则， 的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径、含的直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟记切线性质、三角函数及弧长公式是解决问题的关键． 6. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点、，则、的大小关系是（） A. B. C. D. 与m的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据两点与对称轴的关系即可解决问题． 【详解】解：（m为常数）的对称轴为直线， 点在对称轴的两侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 二次函数的图象开口向上， 故选：A． 7. 下表中列出了二次函数的一些对应值，则方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，确定二次函数的对称轴为直线，根据函数的增减性解答即可．解题的关键是确定图象的开口方向、对称轴以及负解的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，随的增大先增大后减小， ∴该二次函数的图象开口向下， ∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，；当时，， ∴一元二次方程有一负解，且， ∴根据对称性可知：一元二次方程的一个正数解的范围为． 故选：C． 8. 如图，在中，．的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接、，利用勾股定理得到，由切线的性质得到，得到，分析可知当线段长最小时，线段长也最小，根据垂线段最短性质可知当时，线段长有最小值，再利用三线合一和直角三角形的性质得到，即可求出线段长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 是的一条切线， ， ， 在中，， 当线段长最小时，线段长也最小， 当时，线段长有最小值， 由三线合一性质可得，此时点在的中点， ， ， 线段长的最小值为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成比例即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为， 解得． 答：这栋楼的高度为， 故答案为：60 11. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出点、点和点的坐标．根据抛物线，可以求得点、点和点的坐标，然后即可得到和的长度，最后计算的面积即可． 【详解】解：抛物线， 当时，；当时，或， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 故答案为：8． 12. 斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解． 【详解】解∶如图， ∵四边形CDEF为正方形， ∴， CD=DE， ∴CE为直径，∠ECD=45°， ∵AB=5，两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺， ∴CE=5-0.5×2=4， ∵，∠ECD=45°， ∴cos∠ECD=， ∴（尺）， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点平移后的对应点分别为点、．若图中的阴影部分图形的面积为10，则新函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，求二次函数的解析式等知识，解决问题的关键是将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积．连接，则进而得出的长，进一步得出结果． 【详解】解：如图，连接， 则四边形是平行四边形，则， 新函数的表达式为：， 故答案为：． 14. 如图，点P在以为直径的半圆上运动（点M在点N左侧，点P不与点M、N重合），于点Q，平分，交于点E，交于点H．给出下面四个结论： ①； ②是等腰三角形； ③当，时，的面积为； ④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，从而可得，结合，得出，即可判断①；证明出 ，得到，即可判断②；由，求出，从而可得，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，证明是等边三角形，结合角平分线的定义可得，解直角三角形求出，作于，再解直角三角形得出，最后由三角形面积公式计算即可判断③；证明，得出，即可判断④． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 作于， ， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 . 16. 寒假期间，班级开展社会实践，小红和小旗从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加服务活动，请用画树状图（或列表）的方法，求两人恰好选择同一场馆的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．根据题意，先画出树状图，可得一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一场馆的情况有3种，再根据概率计算公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一场馆的情况有3种， 所以两人恰好选择同一场馆的概率． 答：两人恰好选择同一场馆的概率为． 17. 某网店9月份盈利20000元，11月份盈利28800元，且从9月到11月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，设这两个月每个月盈利的增长率为，根据“某网店月份盈利元，月份盈利元”列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设这两个月每个月盈利的增长率为x，根据题意，得 ． 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月每个月盈利的增长率为． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 【答案】（1）； （2）开口向上；顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质． 把点、的坐标代入，用待定系数法求二次函数的解析式； 因为二次函数解析式的二次项系数是正数，所以抛物线开口向上，利用配方法可得二次函数的解析式为，从而得到抛物线的顶点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、， ， 解得：， 这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 此抛物线开口向上， ， 此抛物线的顶点坐标为． 19. 如图，是的直径，弦交于点，延长到点，连结交于点，连结、、，且， （1）求证：； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1） 证明：是圆的直径， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理推出，得到，因此，求出，即可证明； （2）由垂径定理推出，由圆周角定理推出，判定，推出，求出，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，关键是由圆周角定理得到，判定，推出． 20. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点，边上确定一点，连结、、，使的周长最小． 【答案】（1） 解：如图①，点即为所求． 由图可得， ， ， ， ， ； （2） 解：如图②，过点作的平行线，交于点， ， ， 则点即为所求． （3） 解：如图③，取点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点， 此时的周长， 则的周长最小， 则点，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、轴对称最短路线问题、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格直接画图即可． （2）结合相似三角形的判定与性质，过点作的平行线，交于点，则点即为所求． （3）取点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（m）与小球的运动时间t（s）之间的函数关系式是． （1）求小球落回地面时对应的t值； （2）求小球运动中离地面的最大高度； （3）某科学小组在研究小球运动过程中，汇总小组成员得出的结论如下： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度不能达到； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 上述结论中，正确结论的序号为______． 【答案】（1）8 （2）80m （3）②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）当时，得，求解即可； （2）将化为顶点式，可得结论； （3）根据（1）可判断①；根据（2）可判断②；分别求出当、时对应的的值，再进行比较即可判断③； 正确理解题意，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴小球落回地面时对应的值为8； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，h有最大值，为， ∴小球运动中离地面的最大高度为； 【小问3详解】 解：①由（1）知：小球从抛出到落地需要，故此结论错误； ②由（2）知：小球运动中离地面的最大高度为， ∴小球运动中的高度不能达到，故此结论正确； ③当时，得：， 当时，得：， ∵， ∴小球运动时的高度小于运动时的高度，故此结论正确， 综上所述，正确结论的序号为②③． 故答案为：②③． 22. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【问题背景】如图①，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，线段长为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而容易得到的度数为 　　． 【深入探究】如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且，求的最小值． 下面是小明的部分解题过程： 解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，， 再以点为圆心，线段长为半径作． 点为矩形内一点，且， 点在的劣弧上运动． 连结，交于点，此时，最小． 在中，，， ，． 过点作于点，交延长线于点， ． 请你补全余下的解题过程． 【拓展应用】如图③，某小区绿化工程计划打造一片四边形绿地，其中，，，，为了美化环境，要求四边形的面积尽可能大，则绿化区域面积的最大值为 　　． 【答案】[问题背景]：或；[深入探究]：；[拓展应用]： 【解析】 【分析】[问题背景]：由可得三点共，根据圆周角定理即可求出答案． [深入探究]：根据小明的解答思路，先通过的长度由正方形的性质求出和的长度，继而得到的长度，再通过勾股定理在中求出的长度，最后由求出的最小值． [拓展应用]：先通过解直角三角形求出的面积，然后确定点的轨迹在以点为圆心的圆弧上，再由切线的性质求出的边上的高的最大值的长度，进而求出面积的最大值，最后由求出答案． 【详解】[问题背景]： 如图，，， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， ，或． 的度数为或． 故答案为：或； [深入探究]： 余下的解题过程如下： 为等腰直角三角形， 四边形为正方形，． 在中，，，则． ． ． [拓展应用]： 如图，过点作的垂线，为垂足在中，、及为定值，则为确定的大小和形状，其面积为定值．而的边为定值，其对角为，依据定弦定角辅助圆模型，点的轨迹在的外接圆圆弧上运动．故求出面积的最大值即找到使四边形面积最大值的点． ，． ，． ． 以为边作等边三角形，根据圆周角定理，则，则△的外接圆圆心为点． 过点作的平行线，当与圆弧相切时，只有一个交点，此时直线到的距离最大，即面积最大． 连接，交于点．由切线的性质得， ， ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形面积公式等知识点，通过定弦定角模型求出动点的轨迹是解答本题的关键． 23. 如图，在中，，，于点，为的中点．点从点出发，沿方向向终点运动，在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度．连结、．设点的运动时间为． （1）的值为______； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点、、三点不共线时，以、为邻边构造平行四边形． ①当为矩形时，求的值； ②当被的一边分成面积比为两部分时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一的性质得：，再根据勾股定理得，最后由正切的定义即可解答； （2）分两种情况：当点在上和点在上，即可解答； （3）①先根据线段中点的定义可得：，如图3，根据余角的性质得：，根据正切的定义即可解答； ②被的一边和分成面积比为两部分，根据这两种情况分别画图，作垂线构建平行线，根据平行线分线段成比例定理列等式即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ，， 由勾股定理得：， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①当点在上时，如图1， ， ； ②当点在上时，如图2， ； 【小问3详解】 解：①是的中点，， ， 当为矩形时，如图3，点在上， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； ②如图3中，四边形是平行四边形， ， 当被的一边分成面积比为两部分时，点在上，如图4，连接，延长，交于点，过点作于， 设的面积，则四边形的面积， 的面积， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ； 如图5，被的一边分成面积比为两部分，延长，交于点，过点作于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， 中，， ， ， 同理得：， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定，平行四边形的判定与性质，矩形的性质等知识，解题的关键是通过分类讨论作出图形，给解题过程提供思路． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，作直线．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作y轴的垂线，与直线交于点E，点C关于直线的对称点为，连结、．设点P的横坐标为m． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，m的取值范围为______； （4）连结，当与相似时，直接写出m的值． 【答案】（1），，， （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）由顶点式可直接写出顶点坐标，分别令、，即可解出与坐标轴的交点坐标； （2）用待定系数法可解决； （3）由题意可知点在对称轴左侧，则，再分时，时，时三类讨论即可得解； （4）设点，表示出点坐标为，由于为等腰三角形，，由与相似，则必有，亦即，从而可列方程，整理可得，从而可解得的值． 【小问1详解】 解：由抛物线，可得顶点坐标为， 令，可得，令，可得或， 则，，． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为，代入，两点， 可得，即， 直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意可知，点在对称轴左侧， ． 当时，满足抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大， 当时，在内部不存在抛物线图象， 当时，满足抛物线在△内部的点的纵坐标随的增大而减小， 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 【小问4详解】 解：如图1所示，设点， 轴， 则点的纵坐标为，把代入中，可得 ，即点坐标为， 为等腰三角形，，， 又为等腰三角形，，且与相似， 则必有，亦即， 又，整理得：， 即， 解得：，（由于，故舍去）， 或，（由于，故舍去）， 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角函数，熟练掌握以上内容并能运用分类讨论的数学思想和数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $